শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(x-\sqrt{3}y=7\) সরলরেখার ঢাল কত?
এখানে, \(a=1, \ b=-\sqrt{3}\)
সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=-\frac{1}{-\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\sqrt{3}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
খ \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(\sqrt{3}\)
\(x-\sqrt{3}y=7\) সরলরেখার ঢাল,ঘ \(\sqrt{3}\)
এখানে, \(a=1, \ b=-\sqrt{3}\)
সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=-\frac{1}{-\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (গ)
২। \(\tan{2x}\) এর পর্যায় কোনটি?
\(\tan{2x}\) এর পর্যায় \(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(\frac{3\pi}{2}\)
ঘ \(2\pi\)
\(\tan{x}\) এর পর্যায় \(\pi\)ঘ \(2\pi\)
\(\tan{2x}\) এর পর্যায় \(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
৩। \(I=\int{\frac{\cos{x}}{\sqrt{\sin{x}}}dx}\) হলে, \(I\) এর মান কোনটি?
\(=\int{\frac{d(\sin{x})}{\sqrt{\sin{x}}}}\)
\(=2\sqrt{\sin{x}}+c\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-2\sqrt{\cos{x}}+c\)
গ \(2\cos{x}+c\)
গ \(2\cos{x}+c\)
খ \(2\sqrt{\sin{x}}+c\)
ঘ \(-2\sin{x}+c\)
\(I=\int{\frac{\cos{x}}{\sqrt{\sin{x}}}dx}\)ঘ \(-2\sin{x}+c\)
\(=\int{\frac{d(\sin{x})}{\sqrt{\sin{x}}}}\)
\(=2\sqrt{\sin{x}}+c\) যেহেতু, \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (খ)
৪। \(^nC_{10}=\ ^nC_{6}\) হলে, \(n=?\)
\(\Rightarrow ^nC_{n-10}=\ ^nC_{6}\)
\(\Rightarrow n-10=6\) যেহেতু, \(^nC_{n-r}=\ ^nC_{r_{1}} \Rightarrow n-r=r_{1}\)
\(\Rightarrow n=6+10\)
\(\therefore n=16\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(6\)
ঘ \(16\)
\(^nC_{10}=\ ^nC_{6}\)ঘ \(16\)
\(\Rightarrow ^nC_{n-10}=\ ^nC_{6}\)
\(\Rightarrow n-10=6\) যেহেতু, \(^nC_{n-r}=\ ^nC_{r_{1}} \Rightarrow n-r=r_{1}\)
\(\Rightarrow n=6+10\)
\(\therefore n=16\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(A\) ম্যাটিক্সের ক্রম \((p\times{n}),\) \(B\) ম্যাটিক্সের ক্রম \((n\times{m})\) হলে, \(AB\) ম্যাটিক্সের ক্রম কোনটি?
\(\Rightarrow\) \(AB\) ম্যাটিক্সের ক্রম \((p\times{m})\) যা ১ম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত।
উত্তরঃ (ক)
ক \(p\times{m}\)
গ \(m\times{n}\)
গ \(m\times{n}\)
খ \(n\times{p}\)
ঘ \(m\times{p}\)
\(A\) ম্যাটিক্সের ক্রম \((p\times{n}),\) \(B\) ম্যাটিক্সের ক্রম \((n\times{m})\) ঘ \(m\times{p}\)
\(\Rightarrow\) \(AB\) ম্যাটিক্সের ক্রম \((p\times{m})\) যা ১ম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যার সমন্বয়ে গঠিত।
উত্তরঃ (ক)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি রেখার সমীকরণ, \(x+3y+3=0\)
৬। অক্ষদ্বয় দ্বারা রেখাটির খন্ডিত অংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?একটি রেখার সমীকরণ, \(x+3y+3=0\)
ক \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
খ \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
ঘ \(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
\(x+3y+3=0\)ঘ \(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow x+3y=-3\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}+\frac{3y}{-3}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}=1\)
অক্ষদ্বয় রেখাটিকে যথাক্রমে \(A(-3, 0)\) ও \(B(0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{-3+0}{2}, \frac{0-1}{2}\right)\)
\(\therefore \left(-\frac{-3}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
৭। রেখাটি \(y\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার পোলার স্থানাংক কোনটি?
\(\Rightarrow x+3y=-3\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}+\frac{3y}{-3}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}=1\)
রেখাটি \(y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(x=0, \ y=-1\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{0^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-1}{0}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{0+1}, \ \theta=180^{o}+\tan^{-1}{\infty}\)
\(\Rightarrow r=1, \ \theta=180^{o}+\tan^{-1}{\tan{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow r=1, \ \theta=180^{o}+90^{o}\)
\(\therefore r=1, \ \theta=270^{o}\)
\(\therefore\) পোলার স্থানাংক \((1, 270^{o})\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((-1, 0^{o})\)
গ \((1, 90^{o})\)
গ \((1, 90^{o})\)
খ \((1, 0^{o})\)
ঘ \((1, 270^{o})\)
\(x+3y+3=0\)ঘ \((1, 270^{o})\)
\(\Rightarrow x+3y=-3\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}+\frac{3y}{-3}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{-1}=1\)
রেখাটি \(y\) অক্ষকে \((0, -1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(x=0, \ y=-1\)
\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{0^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-1}{0}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{0+1}, \ \theta=180^{o}+\tan^{-1}{\infty}\)
\(\Rightarrow r=1, \ \theta=180^{o}+\tan^{-1}{\tan{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow r=1, \ \theta=180^{o}+90^{o}\)
\(\therefore r=1, \ \theta=270^{o}\)
\(\therefore\) পোলার স্থানাংক \((1, 270^{o})\)
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(\frac{d}{dx}(\log_{10}{x})\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{d}{dx}(\log_{10}{e}\times\log_{e}{x})\)
\(=\log_{10}{e}\frac{d}{dx}(\log_{e}{x})\)
\(=\log_{10}{e}\frac{d}{dx}(\ln{x})\)
\(=\log_{10}{e}\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x}\log_{10}{e}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{x}\)
গ \(\frac{1}{x}\log_{e}{10}\)
গ \(\frac{1}{x}\log_{e}{10}\)
খ \(\frac{1}{x}\log_{10}{e}\)
ঘ \(\log_{10}{e}\)
\(\frac{d}{dx}(\log_{10}{x})\)ঘ \(\log_{10}{e}\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_{10}{e}\times\log_{e}{x})\)
\(=\log_{10}{e}\frac{d}{dx}(\log_{e}{x})\)
\(=\log_{10}{e}\frac{d}{dx}(\ln{x})\)
\(=\log_{10}{e}\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x}\log_{10}{e}\)
উত্তরঃ (খ)
৯।
উদ্দীপক থেকে-
\(i.\) \(\tan{\theta}=2\)
\(ii.\) \(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(iii.\) \(\sec{\alpha}=\sqrt{5}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
লম্ব \(=2\)
ভূমি \(=1\)
অতিভুজ\(=\sqrt{2^2+1^2}\)
\(=\sqrt{4+1}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\tan{\theta}=\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha\) এর জন্য,
লম্ব \(=1\)
ভূমি \(=2\)
অতিভুজ\(=\sqrt{1^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\sin{\alpha}=\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\sec{\alpha}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
উদ্দীপক থেকে-\(i.\) \(\tan{\theta}=2\)
\(ii.\) \(\sin{\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(iii.\) \(\sec{\alpha}=\sqrt{5}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
চিত্রে, \(\theta\) এর জন্য,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
লম্ব \(=2\)
ভূমি \(=1\)
অতিভুজ\(=\sqrt{2^2+1^2}\)
\(=\sqrt{4+1}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\tan{\theta}=\frac{\text{লম্ব}}{\text{ভূমি}}\)
\(=\frac{2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha\) এর জন্য,
লম্ব \(=1\)
ভূমি \(=2\)
অতিভুজ\(=\sqrt{1^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\sin{\alpha}=\frac{\text{লম্ব}}{\text{অতিভুজ}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\sec{\alpha}=\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১০। \(A=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\) এর \(A^{-1}\) কোনটি?
\(|A|=\left|\begin{array}{c}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4\end{array}\right|\)
\(=2\times3\times4\)
\(=24\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{24}\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0 \\0 & 4 \end{bmatrix} & 0 & 0 \\0 & \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 4 \end{bmatrix} & 0 \\0 & 0 & \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 3 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{24}\begin{bmatrix}12-0 & 0 & 0 \\0 & 8-0 & 0 \\0 & 0 & 6-0 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{24}\begin{bmatrix}12 & 0 & 0 \\0 & 8 & 0 \\0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{12}{24} & 0 & 0 \\0 & \frac{8}{24} & 0 \\0 & 0 & \frac{6}{24} \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{3} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix}}\)
গ \(24\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)
গ \(24\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)
খ \(\frac{1}{24}\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{3} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{3} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
\(|A|=\left|\begin{array}{c}2 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4\end{array}\right|\)
\(=2\times3\times4\)
\(=24\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{24}\begin{bmatrix}\begin{bmatrix}3 & 0 \\0 & 4 \end{bmatrix} & 0 & 0 \\0 & \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 4 \end{bmatrix} & 0 \\0 & 0 & \begin{bmatrix}2 & 0 \\0 & 3 \end{bmatrix} \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{24}\begin{bmatrix}12-0 & 0 & 0 \\0 & 8-0 & 0 \\0 & 0 & 6-0 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{24}\begin{bmatrix}12 & 0 & 0 \\0 & 8 & 0 \\0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{12}{24} & 0 & 0 \\0 & \frac{8}{24} & 0 \\0 & 0 & \frac{6}{24} \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}\frac{1}{2} & 0 & 0 \\0 & \frac{1}{3} & 0 \\0 & 0 & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(k\) এর কোন মানের জন্য \(2x-y+7=0\) এবং \(3x+ky-5=0\) সরলরেখদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
\(3x+ky-5=0\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{k}\)
শর্তমতে, \(2\times-\frac{3}{k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{k}=1\)
\(\therefore k=6\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-6\)
গ \(\frac{1}{6}\)
গ \(\frac{1}{6}\)
খ \(-\frac{1}{6}\)
ঘ \(6\)
\(2x-y+7=0\) এর ঢাল \(=-\frac{2}{-1}=2\)ঘ \(6\)
\(3x+ky-5=0\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{k}\)
শর্তমতে, \(2\times-\frac{3}{k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{6}{k}=1\)
\(\therefore k=6\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(\cos{10^{o}}=p\) হলে, \(\sin{20^{o}}\) এর মান কোনটি?
এখন, \(\sin{(2\times10^{o})}\)
\(=2\sin{10^{o}}\cos{10^{o}}\)
\(=2\sqrt{1-\cos^2{10^{o}}}\cos{10^{o}}\)
\(=2\sqrt{1-p^2}.p\)
\(=2p\sqrt{1-p^2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2p-1\)
গ \(2p\sqrt{p^2-1}\)
গ \(2p\sqrt{p^2-1}\)
খ \(2p\)
ঘ \(2p\sqrt{1-p^2}\)
\(\cos{10^{o}}=p\)ঘ \(2p\sqrt{1-p^2}\)
এখন, \(\sin{(2\times10^{o})}\)
\(=2\sin{10^{o}}\cos{10^{o}}\)
\(=2\sqrt{1-\cos^2{10^{o}}}\cos{10^{o}}\)
\(=2\sqrt{1-p^2}.p\)
\(=2p\sqrt{1-p^2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(AMERICA\) শব্দটির সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে কত প্রকারে পুনর্বিন্যাস করা যায়?
সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে পুনর্বিন্যাসের সংখ্যা \(=\frac{7!}{2!}-1\)
\(=\frac{7.6.5.4.3.2!}{2!}-1\)
\(=(7.6.5.4.3)-1\)
\(=2520-1\)
\(=2519\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2519\)
গ \(5039\)
গ \(5039\)
খ \(2520\)
ঘ \(5040\)
\(AMERICA\) শব্দটিতে মোট \(7\) টি অক্ষর তার মধ্যে \(2\) টি \(A\)ঘ \(5040\)
সবগুলি অক্ষর একত্রে নিয়ে পুনর্বিন্যাসের সংখ্যা \(=\frac{7!}{2!}-1\)
\(=\frac{7.6.5.4.3.2!}{2!}-1\)
\(=(7.6.5.4.3)-1\)
\(=2520-1\)
\(=2519\)
উত্তরঃ (ক)
১৪।
লেখচিত্রের সমীকরণ কোনটি?
ইহা স্পষ্ট যে, যা একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে,
যার সমীকরণ,\(x^2=-4ay .......(1)\)
এখানে, \(y=-2x^2\)
\(\Rightarrow -2x^2=y\)
\(\Rightarrow x^2=-\frac{1}{2}y\)
\(\therefore x^2=-4\left(\frac{1}{8}\right)y\) যা \((1)\) এর অনুরূপ।
উত্তরঃ (গ)
লেখচিত্রের সমীকরণ কোনটি?
ক \(y=x^2\)
গ \(y=-2x^2\)
গ \(y=-2x^2\)
খ \(y=x^2-3\)
ঘ \(x=y^2\)
চিত্র হতে,ঘ \(x=y^2\)
ইহা স্পষ্ট যে, যা একটি পরাবৃত্ত নির্দেশ করে,
যার সমীকরণ,\(x^2=-4ay .......(1)\)
এখানে, \(y=-2x^2\)
\(\Rightarrow -2x^2=y\)
\(\Rightarrow x^2=-\frac{1}{2}y\)
\(\therefore x^2=-4\left(\frac{1}{8}\right)y\) যা \((1)\) এর অনুরূপ।
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(\left|\begin{array}{c}3 & \ \ \ 2 & \ \ \ 4\\ 0 & \ \ \ 3 & \ \ \ 6\\ 1 & -1 & -2\end{array}\right|\) নির্ণায়কটির-
\(i.\) মান \(0\)
\(ii.\) \((2, 3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(5\)
\(iii.\) \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগূনক \(0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{2}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c}3 & \ \ \ 2 & 0\\ 0 & \ \ \ 3 & 0\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right|\)
\(=0\) যেহেতু তৃতীয় কলামের সকল ভুক্তি শূন্য।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((2, 3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি,
\(=\left|\begin{array}{c}3 & \ \ \ 2 \\ 1 & -1\end{array}\right|\)
\(=-3-2\)
\(=-5\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগূনক,
\(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 2 & \ \ \ 4 \\ -1 & -2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-4+4)\)
\(=-(0)\)
\(=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) মান \(0\)
\(ii.\) \((2, 3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(5\)
\(iii.\) \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগূনক \(0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\left|\begin{array}{c}3 & \ \ \ 2 & \ \ \ 4\\ 0 & \ \ \ 3 & \ \ \ 6\\ 1 & -1 & -2\end{array}\right|\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(c_{3}^{\prime}=c_{3}-c_{2}\times2\)
প্রয়োগ করে,
\(=\left|\begin{array}{c}3 & \ \ \ 2 & 0\\ 0 & \ \ \ 3 & 0\\ 1 & -1 & 0\end{array}\right|\)
\(=0\) যেহেতু তৃতীয় কলামের সকল ভুক্তি শূন্য।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((2, 3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি,
\(=\left|\begin{array}{c}3 & \ \ \ 2 \\ 1 & -1\end{array}\right|\)
\(=-3-2\)
\(=-5\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগূনক,
\(=(-1)^{2+1}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 2 & \ \ \ 4 \\ -1 & -2\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(-4+4)\)
\(=-(0)\)
\(=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2-6x+4y+c=0\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
১৬। \(c\) এর মান কত?\(x^2+y^2-6x+4y+c=0\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
ক \(-2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(9\)
\(x^2+y^2-6x+4y+c=0\)ঘ \(9\)
\(2g=-6, \ 2f=4\)
\(\therefore g=-3, \ f=2\)
\(y\) অক্ষকে স্পর্শ করার শর্ত, \(c=f^2\)
\(\Rightarrow c=2^2\)
\(\therefore c=4\)
উত্তরঃ (গ)
১৭। স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক কত?
\(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে, \(x=0\)
\(\therefore 0^2+y^2-6.0+4y+4=0\)
\(\Rightarrow y^2+4y+4=0\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=0\)
\(\Rightarrow y+2=0\)
\(\therefore y=-2\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক, \((0, -2)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \((0, 2)\)
গ \((3-\sqrt{5}, 0)\)
গ \((3-\sqrt{5}, 0)\)
খ \((0, -2)\)
ঘ \((3+\sqrt{5}, 0)\)
\(x^2+y^2-6x+4y+4=0\)ঘ \((3+\sqrt{5}, 0)\)
\(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে বলে, \(x=0\)
\(\therefore 0^2+y^2-6.0+4y+4=0\)
\(\Rightarrow y^2+4y+4=0\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=0\)
\(\Rightarrow y+2=0\)
\(\therefore y=-2\)
স্পর্শবিন্দুর স্থানাংক, \((0, -2)\)
উত্তরঃ (খ)
১৮। \(\overrightarrow{P}=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{Q}=-\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\) হলে, \(\overrightarrow{P}\) ও \(\overrightarrow{Q}\) এর লব্ধি ভেক্টর কোনটি?
লব্ধি ভেক্টর \(=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)
\(=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\)
\(=2\hat{i}+3\hat{j}-8\hat{k}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-2\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
গ \(4\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
গ \(4\hat{i}+\hat{j}+4\hat{k}\)
খ \(2\hat{i}+3\hat{j}-8\hat{k}\)
ঘ \(4\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
\(\overrightarrow{P}=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{Q}=-\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\)ঘ \(4\hat{i}+\hat{j}-4\hat{k}\)
লব্ধি ভেক্টর \(=\overrightarrow{P}+\overrightarrow{Q}\)
\(=3\hat{i}+2\hat{j}-2\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}-6\hat{k}\)
\(=2\hat{i}+3\hat{j}-8\hat{k}\)
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(A+B+C=\frac{3\pi}{2}\) হলে, \(cosec \ {(B+C)}\) এর মান কোনটি?
\(\therefore B+C=\frac{3\pi}{2}-A\)
এখন, \(cosec \ {(B+C)}\)
\(=cosec \ {\left(\frac{3\pi}{2}-A\right)}\)
\(=cosec \ {\left(\frac{\pi}{2}\times3-A\right)}\)
\(=-\sec{A}\) যেহেতু \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক বিজোড় সংখ্যা \((3)\) এবং ইহা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\sec{A}\)
গ \(-cosec \ {A}\)
গ \(-cosec \ {A}\)
খ \(\sec{A}\)
ঘ \(cosec \ {A}\)
\(A+B+C=\frac{3\pi}{2}\)ঘ \(cosec \ {A}\)
\(\therefore B+C=\frac{3\pi}{2}-A\)
এখন, \(cosec \ {(B+C)}\)
\(=cosec \ {\left(\frac{3\pi}{2}-A\right)}\)
\(=cosec \ {\left(\frac{\pi}{2}\times3-A\right)}\)
\(=-\sec{A}\) যেহেতু \(\frac{\pi}{2}\) এর সহগুণক বিজোড় সংখ্যা \((3)\) এবং ইহা তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
উত্তরঃ (খ)
২০। \(3x+4y=12\) সরলরেখাটির লেখচিত্র কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{3x}{12}+\frac{4y}{12}=1\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\)
যা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \((4, 0)\) ও \((0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
যার চিত্র
উত্তরঃ (গ)
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(3x+4y=12\)ঘ
\(\Rightarrow \frac{3x}{12}+\frac{4y}{12}=1\)
\(\therefore \frac{x}{4}+\frac{y}{3}=1\)
যা অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \((4, 0)\) ও \((0, 3)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
যার চিত্র
উত্তরঃ (গ)
২১। \(f(x)=\sin{x}\) ফাংশনটির-
\(i.\) ডোমেন \(=\mathbb{R}\)
\(ii.\) রেঞ্জ \(=[-1, 1]\)
\(iii.\) লেখচিত্র \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠিক?
ডোমেন \(=\mathbb{R}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
রেঞ্জ \(=[-1, 1]\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
লেখচিত্র \(x\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) ডোমেন \(=\mathbb{R}\)
\(ii.\) রেঞ্জ \(=[-1, 1]\)
\(iii.\) লেখচিত্র \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\sin{x}\) ফাংশনটিরঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ডোমেন \(=\mathbb{R}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
রেঞ্জ \(=[-1, 1]\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
লেখচিত্র \(x\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (গ)
২২। \(\overrightarrow{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টরটি দ্বারা \(z\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ-
বরাবর একক ভেক্টর \(=\frac{\overrightarrow{a}}{\sqrt{2^2+3^2+5^2}}\)
\(=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}}{\sqrt{4+9+25}}\)
\(=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}}{\sqrt{38}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{38}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{38}}\hat{j}+\frac{5}{\sqrt{38}}\hat{k}\)
ভেক্টরটি দ্বারা \(z\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ
\(=\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{38}}}\) এখানে, \(\hat{k}\) এর সহগ ব্যবহার করা হয়েছে।
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{38}}}\)
গ \(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{38}}}\)
গ \(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{38}}}\)
খ \(\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{38}}}\)
ঘ \(\cos^{-1}{\frac{3}{\sqrt{38}}}\)
\(\overrightarrow{a}=2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}\) ভেক্টরটিঘ \(\cos^{-1}{\frac{3}{\sqrt{38}}}\)
বরাবর একক ভেক্টর \(=\frac{\overrightarrow{a}}{\sqrt{2^2+3^2+5^2}}\)
\(=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}}{\sqrt{4+9+25}}\)
\(=\frac{2\hat{i}+3\hat{j}+5\hat{k}}{\sqrt{38}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{38}}\hat{i}+\frac{3}{\sqrt{38}}\hat{j}+\frac{5}{\sqrt{38}}\hat{k}\)
ভেক্টরটি দ্বারা \(z\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণের পরিমাণ
\(=\cos^{-1}{\frac{5}{\sqrt{38}}}\) এখানে, \(\hat{k}\) এর সহগ ব্যবহার করা হয়েছে।
উত্তরঃ (খ)
২৩। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x^{o}}}{x}\] এর মান কোনটি?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{\left(2\times\frac{x\pi}{180^{o}}\right)}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{\left(\frac{x\pi}{90^{o}}\right)}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{\left(\frac{x\pi}{90^{o}}\right)}}{\frac{x\pi}{90^{o}}}\times\frac{\pi}{90^{o}}\]
\[=1\times\frac{\pi}{90^{o}}\]
\[=\frac{\pi}{90^{o}}\]
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{180^{o}}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(\frac{\pi}{90^{o}}\)
ঘ \(\frac{90}{\pi}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x^{o}}}{x}\]ঘ \(\frac{90}{\pi}\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{\left(2\times\frac{x\pi}{180^{o}}\right)}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{\left(\frac{x\pi}{90^{o}}\right)}}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{\left(\frac{x\pi}{90^{o}}\right)}}{\frac{x\pi}{90^{o}}}\times\frac{\pi}{90^{o}}\]
\[=1\times\frac{\pi}{90^{o}}\]
\[=\frac{\pi}{90^{o}}\]
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(\int_{0}^{1}{e^{-x}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\left[\frac{e^{-x}}{-1}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\left[e^{-x}\right]_{0}^{1}\)
\(=-[e^{-1}-e^{0}]\)
\(=-e^{-1}+e^{0}\)
\(=-\frac{1}{e}+1\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{e}-1\)
গ \(-\frac{1}{e}\)
গ \(-\frac{1}{e}\)
খ \(-\frac{1}{e}-1\)
ঘ \(-\frac{1}{e}+1\)
\(\int_{0}^{1}{e^{-x}dx}\)ঘ \(-\frac{1}{e}+1\)
\(=\left[\frac{e^{-x}}{-1}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\left[e^{-x}\right]_{0}^{1}\)
\(=-[e^{-1}-e^{0}]\)
\(=-e^{-1}+e^{0}\)
\(=-\frac{1}{e}+1\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(\int{\frac{dx}{1-\cos{x}}}\) এর মান কোনটি?
\(=\int{\frac{dx}{2\sin^2{\frac{x}{2}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{cosec^2{\frac{x}{2}}}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{\cot{\frac{x}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=-\cot{\frac{x}{2}}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\cot{\frac{x}{2}}+c\)
গ \(\frac{1}{4}\cot{\frac{x}{2}}+c\)
গ \(\frac{1}{4}\cot{\frac{x}{2}}+c\)
খ \(\cot{\frac{x}{2}}+c\)
ঘ \(-\frac{1}{4}\cot{\frac{x}{2}}+c\)
\(\int{\frac{dx}{1-\cos{x}}}\)ঘ \(-\frac{1}{4}\cot{\frac{x}{2}}+c\)
\(=\int{\frac{dx}{2\sin^2{\frac{x}{2}}}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{cosec^2{\frac{x}{2}}}\)
\(=-\frac{1}{2}\frac{\cot{\frac{x}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=-\cot{\frac{x}{2}}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007