শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(y+x=0\) সরলরেখাটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?
\(\therefore \tan{\theta}=-1\) এখানে, \(\theta\) হলো \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত উৎপন্ন কোণ।
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=180^{o}-45^{o}\)
\(\therefore \theta=135^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(45^{o}\)
গ \(225^{o}\)
গ \(225^{o}\)
খ \(135^{o}\)
ঘ \(315^{o}\)
\(y+x=0\) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{1}{1}=-1\)ঘ \(315^{o}\)
\(\therefore \tan{\theta}=-1\) এখানে, \(\theta\) হলো \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সহিত উৎপন্ন কোণ।
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=180^{o}-45^{o}\)
\(\therefore \theta=135^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
২। \(x+y=2\) এবং \(y-x=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী এবং \(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(x+y-2+k(x-y)=0\)
\(\Rightarrow x+y-2+kx-ky=0\)
\(\therefore x(1+k)+y(1-k)-2=0\)
সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{1+k}{1-k}\)
শর্ত মতে, \(-\frac{1+k}{1-k}=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ
\(x(1-1)+y(1+1)-2=0\)
\(\Rightarrow 2y-2=0\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=0\)
\(\therefore y-1=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(x=2\)
গ \(y-1=0\)
গ \(y-1=0\)
খ \(y=2\)
ঘ \(x-1=0\)
\(x+y=2\) এবং \(y-x=0\) রেখাদ্বয়ের ছেদবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(x-1=0\)
\(x+y-2+k(x-y)=0\)
\(\Rightarrow x+y-2+kx-ky=0\)
\(\therefore x(1+k)+y(1-k)-2=0\)
সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{1+k}{1-k}\)
শর্ত মতে, \(-\frac{1+k}{1-k}=0\)
\(\Rightarrow 1+k=0\)
\(\therefore k=-1\)
\(x\) অক্ষের সমান্তরাল রেখার সমীকরণ
\(x(1-1)+y(1+1)-2=0\)
\(\Rightarrow 2y-2=0\)
\(\Rightarrow 2(y-1)=0\)
\(\therefore y-1=0\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(x-3y-8=0\) এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখাদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণের মান কত?
অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ \(\theta\) হলে, \(\tan{\theta}=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{\frac{1}{3}-3}{1+\frac{1}{3}\times3}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{\frac{1}{3}-3}{1+1}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{\frac{1}{3}-3}{2}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{1-9}{6}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|-\frac{8}{6}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\tan^{-1}\left(-\frac{4}{3}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
গ \(\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)\)
খ \(\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)
ঘ \(\tan^{-1}(\infty)\)
\(x-3y-8=0\) এবং \(3x-y+7=0\) সরলরেখাদ্বয়ের ঢাল যথাক্রমে \(m_{1}=\frac{1}{3}\) এবং \(m_{2}=3\)ঘ \(\tan^{-1}(\infty)\)
অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্ণকোণ \(\theta\) হলে, \(\tan{\theta}=\left|\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{\frac{1}{3}-3}{1+\frac{1}{3}\times3}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{\frac{1}{3}-3}{1+1}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{\frac{1}{3}-3}{2}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|\frac{1-9}{6}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\left|-\frac{8}{6}\right|\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \theta=\tan^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(2x^2+2y^2-4x+8y-8=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
৪। বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি? \(2x^2+2y^2-4x+8y-8=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \((-2, 4)\)
গ \((1, -2)\)
গ \((1, -2)\)
খ \((2, -4)\)
ঘ \((-1, 2)\)
\(2x^2+2y^2-4x+8y-8=0\)ঘ \((-1, 2)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+4y-4=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে
\(2g=-2, \ 2f=4\)
\(\therefore g=-1, \ f=2\)
কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-g, -f)\)
\(\therefore (1, -2)\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশ কত?
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+4y-4=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে
\(2g=-2, \ 2f=4, \ c=-8\)
\(\therefore g=-1, \ f=2, \ c-8\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-(-8)}\)
\(=2\sqrt{4+8}\)
\(=2\sqrt{12}\)
\(=2\sqrt{4\times3}\)
\(=2\times2\sqrt{3}\)
\(=4\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(4\sqrt{6}\)
গ \(4\sqrt{2}\)
গ \(4\sqrt{2}\)
খ \(4\sqrt{3}\)
ঘ \(2\sqrt{5}\)
\(2x^2+2y^2-4x+8y-8=0\)ঘ \(2\sqrt{5}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+4y-4=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে
\(2g=-2, \ 2f=4, \ c=-8\)
\(\therefore g=-1, \ f=2, \ c-8\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-(-8)}\)
\(=2\sqrt{4+8}\)
\(=2\sqrt{12}\)
\(=2\sqrt{4\times3}\)
\(=2\times2\sqrt{3}\)
\(=4\sqrt{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(10\) বাহুবিশিষ্ট সামতলিক ক্ষেত্রের কৌনিক বিন্দুর সংযোগে গঠিত কর্ণের সংখ্যা কত?
\(\therefore 10\) বাহুবিশিষ্ট সামতলিক ক্ষেত্রের কর্ণের সংখ্যা
\(=^{10}C_{2}-10\)
\(=\frac{10!}{2!(10-2)!}-10\)
\(=\frac{10.9.8!}{2!8!}-10\)
\(=\frac{90}{2}-10\)
\(=45-10\)
\(=35\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(35\)
গ \(45\)
গ \(45\)
খ \(80\)
ঘ \(90\)
\(n\) বাহুবিশিষ্ট সামতলিক ক্ষেত্রের কর্ণের সংখ্যা \(=^nC_{2}-n\)ঘ \(90\)
\(\therefore 10\) বাহুবিশিষ্ট সামতলিক ক্ষেত্রের কর্ণের সংখ্যা
\(=^{10}C_{2}-10\)
\(=\frac{10!}{2!(10-2)!}-10\)
\(=\frac{10.9.8!}{2!8!}-10\)
\(=\frac{90}{2}-10\)
\(=45-10\)
\(=35\)
উত্তরঃ ( ক )
৭। \(COMBINATION\) শব্দটির স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে পুনর্বিন্যাস সংখ্যা কত?
স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে পুনর্বিন্যাস সংখ্যা,
\(=\frac{6!}{2!}-1\)
\(=\frac{6.5.4.3.2!}{2!}-1\)
\(=360-1\)
\(=359\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(720\)
গ \(719\)
গ \(719\)
খ \(360\)
ঘ \(359\)
\(COMBINATION\) শব্দটিতে মোট \(6\) টি ব্যঞ্জনবর্ণ আছে যার মধ্যে \(2\) টি \(T\)ঘ \(359\)
স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে পুনর্বিন্যাস সংখ্যা,
\(=\frac{6!}{2!}-1\)
\(=\frac{6.5.4.3.2!}{2!}-1\)
\(=360-1\)
\(=359\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৮। \(x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0\) সরলরেখাটির-
\(i.\) ঢাল, \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(ii.\) লম্ব রেখার ঢাল, \(\sqrt{3}\)
\(iii.\) \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(-\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0\) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
সরলরেখাটির লম্ব রেখার ঢাল \(=\sqrt{3}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0\) সরলরেখাটির \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ
\(=-\frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) ঢাল, \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(ii.\) লম্ব রেখার ঢাল, \(\sqrt{3}\)
\(iii.\) \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ, \(-\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0\) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0\) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
সরলরেখাটির লম্ব রেখার ঢাল \(=\sqrt{3}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(x+\sqrt{3}y+\sqrt{3}=0\) সরলরেখাটির \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ
\(=-\frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
৯। \(f(x)=3\cos{x}\) ফাংশনটির-
\(i.\) রেঞ্জ, \(R_{f}=[-3, 3]\)
\(ii.\) পর্যায়কাল \(2\pi\)
\(iii.\) লেখচিত্র \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠীক?
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) রেঞ্জ, \(R_{f}=[-3, 3]\)
\(ii.\) পর্যায়কাল \(2\pi\)
\(iii.\) লেখচিত্র \(y\) অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=3\cos{x}\) ফাংশনটির ক্ষেত্রে সবগুলি বাক্য সত্য।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\cot{\theta}=\frac{12}{5}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
১০। \(\sin{\theta}\) এর মান কত?\(\cot{\theta}=\frac{12}{5}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
ক \(\frac{5}{13}\)
গ \(\frac{12}{13}\)
গ \(\frac{12}{13}\)
খ \(-\frac{5}{13}\)
ঘ \(-\frac{12}{13}\)
\(\cot{\theta}=\frac{12}{5}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)ঘ \(-\frac{12}{13}\)
এখানে, ভূমি\(=12,\) লম্ব\(=5\)
অতএব, অতিভুজ\(=-\sqrt{(5)^2+(12)^2}\) যেহেতু \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
\(=-\sqrt{25+144}\)
\(=-\sqrt{169}\)
\(=-13\)
অতএব, \(\sin{\theta}=\frac{5}{-13}\)
\(=-\frac{5}{13}\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। \(\tan{2\theta}\) এর মান কত?
\(\therefore \tan{\theta}=\frac{5}{12}\)
এখন, \(\tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\times\frac{5}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)^2}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{144-25}{144}}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}}\)
\(=\frac{5}{6}\times\frac{144}{119}\)
\(=\frac{120}{119}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{120}{119}\)
গ \(\frac{60}{119}\)
গ \(\frac{60}{119}\)
খ \(\frac{120}{169}\)
ঘ \(\frac{60}{169}\)
\(\cot{\theta}=\frac{12}{5}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)ঘ \(\frac{60}{169}\)
\(\therefore \tan{\theta}=\frac{5}{12}\)
এখন, \(\tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\times\frac{5}{12}}{1-\left(\frac{5}{12}\right)^2}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{1-\frac{25}{144}}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{144-25}{144}}\)
\(=\frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}}\)
\(=\frac{5}{6}\times\frac{144}{119}\)
\(=\frac{120}{119}\)
উত্তরঃ ( ক )
১২। \(g(x)=\log_{e}{(\cos{x})}\) হলে, \(e^{2g(x)}\) এর মান হবে-
\(\therefore g(x)=\ln{(\cos{x})}\)
এখন, \(e^{2g(x)}=e^{2\ln{(\cos{x})}}\)
\(=e^{\ln{(\cos^2{x})}}\)
\(=\cos^2{x}\) যেহেতু \(e^{\ln{x}}=x\)
\(=\frac{1}{2}\times2\cos^2{x}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2x})\) যেহেতু \(2\cos^2{x}=1+\cos{2x}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(1+\cos{2x}\)
গ \(\frac{1}{2}(1+\cos{2x})\)
গ \(\frac{1}{2}(1+\cos{2x})\)
খ \(1-\cos{2x}\)
ঘ \(\frac{1}{2}(1-\cos{2x})\)
\(g(x)=\log_{e}{(\cos{x})}\)ঘ \(\frac{1}{2}(1-\cos{2x})\)
\(\therefore g(x)=\ln{(\cos{x})}\)
এখন, \(e^{2g(x)}=e^{2\ln{(\cos{x})}}\)
\(=e^{\ln{(\cos^2{x})}}\)
\(=\cos^2{x}\) যেহেতু \(e^{\ln{x}}=x\)
\(=\frac{1}{2}\times2\cos^2{x}\)
\(=\frac{1}{2}(1+\cos{2x})\) যেহেতু \(2\cos^2{x}=1+\cos{2x}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৩। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{x}\] এর মান কোনটি?
\[=\lim_{ax \rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{ax}\times{a}\]
\[=1\times{a}\] যেহেতু \(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\)
\[=a\]
উত্তরঃ ( ক )
ক \(a\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{1}{a}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{x}\]ঘ \(\frac{1}{a}\)
\[=\lim_{ax \rightarrow 0}\frac{\sin{ax}}{ax}\times{a}\]
\[=1\times{a}\] যেহেতু \(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\)
\[=a\]
উত্তরঃ ( ক )
১৪। যদি \(f(x)=\sin{x}\) হয়, তবে \(f(\cos^{-1}{x})\) এর অন্তরজ কোনটি?
\(\therefore f(\cos^{-1}{x})=\sin{\cos^{-1}{x}}\)
\(=\sin{\sin^{-1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\therefore f(\cos^{-1}{x})=\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}f(\cos^{-1}{x})=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\times-2x\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
গ \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
গ \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
খ \(-\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\)
ঘ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=\sin{x}\)ঘ \(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\therefore f(\cos^{-1}{x})=\sin{\cos^{-1}{x}}\)
\(=\sin{\sin^{-1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
\(\therefore f(\cos^{-1}{x})=\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}f(\cos^{-1}{x})=\frac{d}{dx}(\sqrt{1-x^2})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\frac{d}{dx}(1-x^2)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}\times-2x\)
\(=-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৫। \(y=\frac{1}{x^2}\) হলে,\((-1, 0)\) বিন্দুতে \(y_{1}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \left(y_{1}\right)_{(-1, 0)}=-\frac{1}{-1}\)
\(\therefore \left(y_{1}\right)_{(-1, 0)}=1\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(-2\)
দেওয়া আছে, \(y=\frac{1}{x^2}\)ঘ \(-2\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\frac{1}{x}\)
\(\Rightarrow \left(y_{1}\right)_{(-1, 0)}=-\frac{1}{-1}\)
\(\therefore \left(y_{1}\right)_{(-1, 0)}=1\)
উত্তরঃ ( গ )
১৬। \(f(x)=x-x^2\) ফাংশনটির কোন বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল?
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(f(x)\right)=\frac{d}{dx}\left(x-x^2\right)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=1-2x\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, \(f^{\prime}(x)=0\) হয়।
\(\Rightarrow 1-2x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-1\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
আবার,
\(f(x)=x-x^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{2-1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
নির্ণেয় বিন্দু \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right)\)
গ \(-\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\)
গ \(-\left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}\right)\)
খ \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)\)
দেওয়া আছে,\(f(x)=x-x^2\)ঘ \(\left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{4}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\left(f(x)\right)=\frac{d}{dx}\left(x-x^2\right)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=1-2x\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে, \(f^{\prime}(x)=0\) হয়।
\(\Rightarrow 1-2x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-1\)
\(\Rightarrow 2x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
আবার,
\(f(x)=x-x^2=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{2-1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
নির্ণেয় বিন্দু \(\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{4}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \(\int{\frac{\sin{2x}}{\cos^2{2x}}dx}=\) কত?
\(=\int{\frac{1}{\cos{2x}}\times\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}dx}\)
\(=\int{\sec{2x}\tan{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\sec{2x}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{2}\sec{2x}+c\)
গ \(\frac{1}{2} cosec \ 2x+c\)
গ \(\frac{1}{2} cosec \ 2x+c\)
খ \(2\sec{2x}+c\)
ঘ \(2 cosec \ 2x+c\)
\(\int{\frac{\sin{2x}}{\cos^2{2x}}dx}\)ঘ \(2 cosec \ 2x+c\)
\(=\int{\frac{1}{\cos{2x}}\times\frac{\sin{2x}}{\cos{2x}}dx}\)
\(=\int{\sec{2x}\tan{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\sec{2x}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(y=x+3\) হলে, \(f^{-1}(-9)\) এর মান কত?
\(\Rightarrow y-3=x\)
\(\Rightarrow x=y-3\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=y-3\)
\(\therefore f^{-1}(-9)=-9-3\)
\(=-12\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(12\)
গ \(-6\)
গ \(-6\)
খ \(6\)
ঘ \(-12\)
\(y=x+3\)ঘ \(-12\)
\(\Rightarrow y-3=x\)
\(\Rightarrow x=y-3\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=y-3\)
\(\therefore f^{-1}(-9)=-9-3\)
\(=-12\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(f(x)=\ln(\ln{2x})\) হলে, \(f^{\prime}(x)=\) কত?
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}\left\{\ln(\ln{2x})\right\}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\ln{2x}}\frac{d}{dx}\left(\ln{2x}\right)\)
\(=\frac{1}{\ln{2x}}\times\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{1}{2x\ln{2x}}\times2\)
\(=\frac{1}{x\ln{2x}}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{\ln{2x}}\)
গ \(\frac{1}{x\ln{2x}}\)
গ \(\frac{1}{x\ln{2x}}\)
খ \(\frac{1}{2x}\)
ঘ \(\frac{1}{2x\ln{2x}}\)
\(f(x)=\ln(\ln{2x})\)ঘ \(\frac{1}{2x\ln{2x}}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}\left\{\ln(\ln{2x})\right\}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{1}{\ln{2x}}\frac{d}{dx}\left(\ln{2x}\right)\)
\(=\frac{1}{\ln{2x}}\times\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{1}{2x\ln{2x}}\times2\)
\(=\frac{1}{x\ln{2x}}\)
উত্তরঃ ( গ )
২০। \((-1, -1)\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক-
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}\frac{-1}{-1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\tan^{-1}1\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{4}}\) যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চৌকোণে অবস্থিত।
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{5\pi}{4}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(\sqrt{2}, \frac{\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(2, \frac{\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(2, \frac{\pi}{4}\right)\)
খ \(\left(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\)
ঘ \(\left(2, \frac{5\pi}{4}\right)\)
\((-1, -1)\)ঘ \(\left(2, \frac{5\pi}{4}\right)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}\frac{-1}{-1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\tan^{-1}1\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{4}}\) যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চৌকোণে অবস্থিত।
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{5\pi}{4}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(\sqrt{2}, \frac{5\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
২১। \(A, \ B\) এবং \(C\) ম্যাটিক্সগুলির মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) এবং \(7\times4\) হলে, \((B+A^{T}).C^{T}\) ম্যাটিক্সের মাত্রা কত?
\(B+A^{T}\) এর মাত্রা \(3\times4\)
এখন, \((3\times4).(7\times4)\) গুণফলের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(3\times4\)
গ \(4\times3\)
গ \(4\times3\)
খ \(3\times7\)
ঘ \(4\times7\)
দেওয়া আছে, \(A, \ B\) এবং \(C\) ম্যাটিক্সগুলির মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) এবং \(7\times4\)ঘ \(4\times7\)
\(B+A^{T}\) এর মাত্রা \(3\times4\)
এখন, \((3\times4).(7\times4)\) গুণফলের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(\overline{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর হলে-
\(i.\)\(\overline{A}\) ভেক্টরের মান \(\sqrt{3}\)
\(ii.\) \(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ \(\frac{8}{\sqrt{3}}\)
\(iii.\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ \(\cos^{-1}{\frac{8}{\sqrt{66}}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\therefore |\overline{A}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ,
\(=\frac{\overline{A}.\overline{B}}{|\overline{A}|}\)
\(=\frac{(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}).(3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})}{|\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{(1).(3)+(-1).(-2)+(1).(3)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\)
\(=\frac{3+2+3}{\sqrt{1+1+1}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ \(\cos^{-1}{\frac{\overline{A}.\overline{B}}{|\overline{A}||\overline{B}|}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{(1).(3)+(-1).(-2)+(1).(3)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\sqrt{3^2+(-2)^2+3^2}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{3+2+3}{\sqrt{1+1+1}\sqrt{9+4+9}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{8}{\sqrt{3}\sqrt{22}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{8}{\sqrt{66}}}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\)\(\overline{A}\) ভেক্টরের মান \(\sqrt{3}\)
\(ii.\) \(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ \(\frac{8}{\sqrt{3}}\)
\(iii.\) ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ \(\cos^{-1}{\frac{8}{\sqrt{66}}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\overline{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overline{B}=3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore |\overline{A}|=\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1+1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(\overline{A}\) ভেক্টরের উপর \(\overline{B}\) ভেক্টরের অভিক্ষেপ,
\(=\frac{\overline{A}.\overline{B}}{|\overline{A}|}\)
\(=\frac{(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}).(3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k})}{|\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{(1).(3)+(-1).(-2)+(1).(3)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}}\)
\(=\frac{3+2+3}{\sqrt{1+1+1}}\)
\(=\frac{8}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
ভেক্টর দুইটির অন্তর্গত কোণ \(\cos^{-1}{\frac{\overline{A}.\overline{B}}{|\overline{A}||\overline{B}|}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{(1).(3)+(-1).(-2)+(1).(3)}{\sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}\sqrt{3^2+(-2)^2+3^2}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{3+2+3}{\sqrt{1+1+1}\sqrt{9+4+9}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{8}{\sqrt{3}\sqrt{22}}}\)
\(=\cos^{-1}{\frac{8}{\sqrt{66}}}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}\) এবং \(\overline{b}=-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
২৩। সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?\(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}\) এবং \(\overline{b}=-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
ক \(30\)
গ \(\frac{1}{2}\sqrt{30}\)
গ \(\frac{1}{2}\sqrt{30}\)
খ \(15\)
ঘ \(\sqrt{30}\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\sqrt{30}\)
\(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}\) এবং \(\overline{b}=-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|\overline{a}\times\overline{b}|\)
এখন, \(\overline{a}\times\overline{b}=\left|\begin{array}{c} \ \ \hat{i}&\hat{j}&\hat{k}\\ \ \ 1&2&0 \\ -1&3&1 \end{array}\right|\)
\(=\hat{i}(2-0)-\hat{j}(1-0)+\hat{k}(3+2)\)
\(=2\hat{i}-\hat{j}+5\hat{k}\)
এখন, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল \(=|2\hat{i}-\hat{j}+5\hat{k}|\)
\(=\sqrt{2^2+(-1)^2+5^2}\)
\(=\sqrt{4+1+25}\)
\(=\sqrt{30}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৪। সামান্তরিক্টির কর্ণের সমান্তরাল একক ভেক্টর কোনটি?
\(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}\) এবং \(\overline{b}=-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
কর্ণ ভেক্টর \(=\overline{a}+\overline{b}\)
\(=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
\(=5\hat{j}+\hat{k}\)
এখন,
কর্ণ ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{|\overline{a}+\overline{b}|}\)
\(=\frac{5\hat{j}+\hat{k}}{|5\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{5\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{0^2+5^2+1^2}}\)
\(=\frac{5\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{0+25+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{26}}(5\hat{j}+\hat{k})\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{26}(5\hat{j}+\hat{k})\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}+2\hat{j})\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}+2\hat{j})\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{26}}(5\hat{j}+\hat{k})\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{11}}(-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\frac{1}{\sqrt{11}}(-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k})\)
\(\overline{a}=\hat{i}+2\hat{j}\) এবং \(\overline{b}=-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\) ভেক্টর দুইটি কোনো সামান্তরিকের দুইটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।
কর্ণ ভেক্টর \(=\overline{a}+\overline{b}\)
\(=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{i}+3\hat{j}+\hat{k}\)
\(=5\hat{j}+\hat{k}\)
এখন,
কর্ণ ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টর \(=\frac{\overline{a}+\overline{b}}{|\overline{a}+\overline{b}|}\)
\(=\frac{5\hat{j}+\hat{k}}{|5\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{5\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{0^2+5^2+1^2}}\)
\(=\frac{5\hat{j}+\hat{k}}{\sqrt{0+25+1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{26}}(5\hat{j}+\hat{k})\)
উত্তরঃ ( খ )
২৫। \(A+B=\begin{bmatrix}2 & -3 \\4 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & 5 \\-2 & 7 \end{bmatrix}\) হলে, নিচের কোনটি \(B\) ম্যাট্রিক্স?
\(A+B=\begin{bmatrix}2 & -3 \\4 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & 5 \\-2 & 7 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow A+B-A+B=\begin{bmatrix}2 & -3 \\4 & -1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & 5 \\-2 & 7 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2B=\begin{bmatrix}2-4 & -3-5 \\4+2 & -1-7 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2B=\begin{bmatrix}-2 & -8 \\ \ \ \ 6 & -8 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2B=2\begin{bmatrix}-1 & -4 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore B=\begin{bmatrix}-1 & -4 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\begin{bmatrix}-1 & -4 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}6 & 2 \\2 & 6 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}6 & 2 \\2 & 6 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}-1 & 1 \\ \ \ \ 3 & 3 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}3 & 1 \\1 & 3 \end{bmatrix}\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\begin{bmatrix}3 & 1 \\1 & 3 \end{bmatrix}\)
\(A+B=\begin{bmatrix}2 & -3 \\4 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(A-B=\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & 5 \\-2 & 7 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow A+B-A+B=\begin{bmatrix}2 & -3 \\4 & -1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & 5 \\-2 & 7 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2B=\begin{bmatrix}2-4 & -3-5 \\4+2 & -1-7 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2B=\begin{bmatrix}-2 & -8 \\ \ \ \ 6 & -8 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2B=2\begin{bmatrix}-1 & -4 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore B=\begin{bmatrix}-1 & -4 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( ক )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007