শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\cos{\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\) এর পর্যায় কোনটি?
\(\therefore \cos{\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}\)
\(=6\pi\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(6\pi\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(3\pi\)
ঘ \(\frac{\pi}{6}\)
\(\cos{mx}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{m}\)ঘ \(\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \cos{\left(\frac{x}{3}+\frac{\pi}{4}\right)}\) এর পর্যায় \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{3}}\)
\(=6\pi\)
উত্তরঃ ( ক )
২। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে-।
\(i.\) \(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\)
\(ii.\) \(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(iii.\) \(\cos{2A}=\frac{1+\tan^2{A}}{1-\tan^2{A}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(i.\) ও \(ii.\) বাক্যদ্বয় সত্য
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(\tan{2A}=\frac{2\tan{A}}{1-\tan^2{A}}\)
\(ii.\) \(\sin{2A}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)
\(iii.\) \(\cos{2A}=\frac{1+\tan^2{A}}{1-\tan^2{A}}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে- ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(i.\) ও \(ii.\) বাক্যদ্বয় সত্য
উত্তরঃ ( ক )
৩। \(\int_{0}^1{\frac{2x}{1+x^2}dx}\) এর মান-
\(=\int_{0}^1{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}\)
\(=[\ln{|1+x^2|}]_{0}^{1}\)
\(=\ln{|1+1^2|}-\ln{|1+0^2|}\)
\(=\ln{|1+1|}-\ln{|1+0|}\)
\(=\ln{|2|}-\ln{|1|}\)
\(=\ln{2}-\ln{1}\)
\(=\ln{2}-0\)
\(=\ln{2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(0\)
গ \(\ln{3}\)
গ \(\ln{3}\)
খ \(1\)
ঘ \(\ln{2}\)
\(\int_{0}^1{\frac{2x}{1+x^2}dx}\) ঘ \(\ln{2}\)
\(=\int_{0}^1{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}\)
\(=[\ln{|1+x^2|}]_{0}^{1}\)
\(=\ln{|1+1^2|}-\ln{|1+0^2|}\)
\(=\ln{|1+1|}-\ln{|1+0|}\)
\(=\ln{|2|}-\ln{|1|}\)
\(=\ln{2}-\ln{1}\)
\(=\ln{2}-0\)
\(=\ln{2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। \(\frac{d}{dx}(10^x)=?\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(10^x)\)
\(=10^x\log_{e}{10}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(10^x\log_{e}{10}\)
গ \(10^x\log_{10}{e}\)
গ \(10^x\log_{10}{e}\)
খ \(x10^{x-1}\)
ঘ \(x10^{x+1}\)
\(\because \frac{d}{dx}(a^x)=a^x\log_{e}{a}\) ঘ \(x10^{x+1}\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(10^x)\)
\(=10^x\log_{e}{10}\)
উত্তরঃ ( ক )
৫। \(\int{e^x(\cos{x}-\sin{x})dx}\) এর মান-
\(\therefore \int{e^x(\cos{x}-\sin{x})dx}\)
\(=\int{e^x(\cos{x}+\frac{d}{dx}\cos{x})dx}\)
\(=e^x\cos{x}+c\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(e^x\sin{x}+c\)
গ \(-e^x\cos{x}+c\)
গ \(-e^x\cos{x}+c\)
খ \(e^x\cos{x}+c\)
ঘ \(-e^x\sin{x}+c\)
\(\because \int{e^x(f(x)+f^{\prime}(x))dx}=e^xf(x)+c\) ঘ \(-e^x\sin{x}+c\)
\(\therefore \int{e^x(\cos{x}-\sin{x})dx}\)
\(=\int{e^x(\cos{x}+\frac{d}{dx}\cos{x})dx}\)
\(=e^x\cos{x}+c\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(\sin{2\theta}\) এর রেঞ্জ কোনটি?
\(\therefore \sin{2\theta}\) এর রেঞ্জ \([-1, 1]\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \((-1, 1)\)
গ \([-1, 1]\)
গ \([-1, 1]\)
খ \([-2, 2)\)
ঘ \((-2, 2)\)
\(\because \sin{\theta}\) এর রেঞ্জ \([-1, 1]\)ঘ \((-2, 2)\)
\(\therefore \sin{2\theta}\) এর রেঞ্জ \([-1, 1]\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{x\cos{3x}}\] এর মান-
এবং \(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1}{\cos{\theta}}=1\)
এখন, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{x\cos{3x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{2x}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos{3x}}\times2\]
\[=1\times1\times2\]
\(=2\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(3\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(2\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(\because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\sin{\theta}}{\theta}=1\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
এবং \(\lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{1}{\cos{\theta}}=1\)
এখন, \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{x\cos{3x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{2x}}{2x}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{\cos{3x}}\times2\]
\[=1\times1\times2\]
\(=2\)
উত্তরঃ ( খ )
৮। যেকোনো ত্রিভুজ \(ABC\) এর ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(ii.\) \(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(iii.\) \(c-a\cos{B}=b\cos{A}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\) বাক্যত্রয় সত্য
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(ii.\) \(\triangle=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(iii.\) \(c-a\cos{B}=b\cos{A}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে- ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\) বাক্যত্রয় সত্য
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ৯ ও ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
৯। \(AB\) এর ঢাল কত?\(x^2+y^2+6x-2y-10=0\) একটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \(\frac{4}{3}\)
গ \(-\frac{3}{4}\)
গ \(-\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(-\frac{4}{3}\)
\(\because P(x_{1}, y_{1}), Q(x_{2}, y_{2}), \) হলে, ঘ \(-\frac{4}{3}\)
\(PQ\) এর ঢাল \(=\frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}\)
এখানে, \(A(-4, 0), \ B(0, -3) \) \(\therefore AB\) এর ঢাল \(=\frac{0+3}{-4-0}\)
\(=\frac{3}{-4}\)
\(=-\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ ( গ )
১০। মূলবিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব হলো-
এখানে, \(A(-4, 0), \ B(0, -3) \)
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{-4}+\frac{y}{-3}=1\)
\(\Rightarrow 3x+4y=-12\)
\(\therefore 3x+4y+12=0\)
মূলবিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব
\(=\frac{3\times0+4\times0+12}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{12}{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(5\)
গ \(\frac{12}{5}\)
গ \(\frac{12}{5}\)
খ \(3\)
ঘ \(\frac{12}{25}\)
ঘ \(\frac{12}{25}\)
এখানে, \(A(-4, 0), \ B(0, -3) \) \(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x}{-4}+\frac{y}{-3}=1\)
\(\Rightarrow 3x+4y=-12\)
\(\therefore 3x+4y+12=0\)
মূলবিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব
\(=\frac{3\times0+4\times0+12}{\sqrt{3^2+4^2}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{12}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{12}{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
১১। \(x^2+y^2=9\) এবং \(x^2+y^2+6x+8y+c=0\) বৃত্তদুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে \(c\) এর মান-
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=\) ব্যসার্ধদ্বয়ের যোগফল
\(x^2+y^2=9\) এর কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=3\)
\(x^2+y^2+6x+8y+c=0\) এর কেন্দ্র \((-3, -4)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2-c}=\sqrt{25-c}\)
শর্তমতে, \(\sqrt{(0+3)^2+(0+4)^2}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{9+16}-3=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 5-3=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 2=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 4=25-c\)
\(\Rightarrow c=25-4\)
\(\therefore c=21\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-39\)
গ \(21\)
গ \(21\)
খ \(-12\)
ঘ \(39\)
দুইটি বৃত্তের পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করার শর্তঃঘ \(39\)
কেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=\) ব্যসার্ধদ্বয়ের যোগফল
\(x^2+y^2=9\) এর কেন্দ্র \((0, 0)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=3\)
\(x^2+y^2+6x+8y+c=0\) এর কেন্দ্র \((-3, -4)\) এবং ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(-3)^2+(-4)^2-c}=\sqrt{25-c}\)
শর্তমতে, \(\sqrt{(0+3)^2+(0+4)^2}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{9+16}-3=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 5-3=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 2=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 4=25-c\)
\(\Rightarrow c=25-4\)
\(\therefore c=21\)
উত্তরঃ ( গ )
১২। ৮টা ৩০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ কত?
ঘড়ির \(8\) ও \(6\) এর ঘন্টার কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\)
\(\therefore\) ৮টা ৩০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=60^{o}+15^{o}\)
\(=75^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(60^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(75^{o}\)
ঘ \(105^{o}\)
\(30\) মিনিটের জন্য ঘন্টার পরিবর্তন \(15^{o}\)ঘ \(105^{o}\)
ঘড়ির \(8\) ও \(6\) এর ঘন্টার কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\)
\(\therefore\) ৮টা ৩০ মিনিটে ঘন্টার কাঁটা ও মিনিটের কাঁটার মধ্যবর্তী কোণ \(=60^{o}+15^{o}\)
\(=75^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(\cos{3x}\) এর \(n\) তম অন্তরজ সহগ-
\(\therefore \cos{(3x)}\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(=3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(3^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)
গ \(3^n\sin{3x}\)
গ \(3^n\sin{3x}\)
খ \(3^n\cos{3x}\)
ঘ \(3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)
\(\cos{(ax)}\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(=a^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)ঘ \(3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)
\(\therefore \cos{(3x)}\) এর \(n\) তম অন্তরজ \(=3^n\cos{\left(\frac{n\pi}{2}+3x\right)}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৪। \(ABSCISSA\) শব্দটির অক্ষরগুলিকে কতভাবে পূনর্বিন্যাস করা যার?
\(=\frac{40320}{12}\)
\(=3360\)
শব্দটি নিজেই একটি বিন্যাস সংখ্যা বলে, পূনর্বিন্যাসের সংখ্যা হবে
\(=3360-1\)
\(=3359\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(719\)
গ \(3360\)
গ \(3360\)
খ \(3359\)
ঘ \(20159\)
\(ABSCISSA\) শব্দটির অক্ষরগুলির বিন্যাস সংখ্যা \(=\frac{8!}{3!2!}\)ঘ \(20159\)
\(=\frac{40320}{12}\)
\(=3360\)
শব্দটি নিজেই একটি বিন্যাস সংখ্যা বলে, পূনর্বিন্যাসের সংখ্যা হবে
\(=3360-1\)
\(=3359\)
উত্তরঃ ( খ )
১৫। \(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে, \(a\) এর মান কত?
\(\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\therefore \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে,
\(\left|\begin{array}{c}\ \ \ 1&\ \ \ 1&-1\\ \ \ \ 1&-1&\ \ \ 1\\ -1&\ \ \ 1&\ \ \ a\end{array}\right|=0\) হবে।
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}\ \ \ 1+1&\ \ \ 1-1&-1\\ \ \ \ 1-1&-1+1&\ \ \ 1\\ -1+1&\ \ \ 1+a&\ \ \ a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}\ \ \ 2&\ \ \ 0&-1\\ \ \ \ 0&\ \ \ 0&\ \ \ 1\\ \ \ \ 0&\ \ \ 1+a&\ \ \ a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 2\left|\begin{array}{c} \ \ \ 0&\ \ \ 1\\ \ \ \ 1+a&\ \ \ a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 0\times{a}-1\times{(1+a)}=0\)
\(\Rightarrow -1\times{(1+a)}=0\)
\(\Rightarrow 1+a=0\)
\(\therefore a=-1\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-2\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-1\)
ঘ \(2\)
\(\overline{a}=a_{1}\hat{i}+a_{2}\hat{j}+a_{3}\hat{k}, \overline{b}=b_{1}\hat{i}+b_{2}\hat{j}+b_{3}\hat{k}\) এবং \(\overline{c}=c_{1}\hat{i}+c_{2}\hat{j}+c_{3}\hat{k}\) ভেক্টর তিনটির সমতলীয় হওয়ার শর্তঃ ঘ \(2\)
\(\left|\begin{array}{c}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\ b_{1}&b_{2}&b_{3}\\ c_{1}&c_{2}&c_{3}\end{array}\right|=0\)
\(\therefore \hat{i}+\hat{j}-\hat{k}, \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(-\hat{i}+\hat{j}+a\hat{k}\) ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থিত হলে,
\(\left|\begin{array}{c}\ \ \ 1&\ \ \ 1&-1\\ \ \ \ 1&-1&\ \ \ 1\\ -1&\ \ \ 1&\ \ \ a\end{array}\right|=0\) হবে।
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}\ \ \ 1+1&\ \ \ 1-1&-1\\ \ \ \ 1-1&-1+1&\ \ \ 1\\ -1+1&\ \ \ 1+a&\ \ \ a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}\ \ \ 2&\ \ \ 0&-1\\ \ \ \ 0&\ \ \ 0&\ \ \ 1\\ \ \ \ 0&\ \ \ 1+a&\ \ \ a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 2\left|\begin{array}{c} \ \ \ 0&\ \ \ 1\\ \ \ \ 1+a&\ \ \ a\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 0\times{a}-1\times{(1+a)}=0\)
\(\Rightarrow -1\times{(1+a)}=0\)
\(\Rightarrow 1+a=0\)
\(\therefore a=-1\)
উত্তরঃ ( খ )
১৬। \(y=\tan^{-1}\frac{1+x}{1-x}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=?\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) \(=\frac{1}{1+x^2}\) উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{1+x^2}\)
গ \(\frac{1}{1+x}\)
গ \(\frac{1}{1+x}\)
খ \(-\frac{1}{1+x^2}\)
ঘ \(-\frac{1}{1+x}\)
মনে করি,ঘ \(-\frac{1}{1+x}\)
\(y=\tan^{-1} \left(\frac{1+x}{1-x}\right)\)
এবং
\(\tan \theta=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1} x\)
\(\therefore y=\tan^{-1} \left(\frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \left(\frac{\tan \frac{\pi}{4}+\tan \theta}{1-\tan \frac{\pi}{4}\tan \theta}\right)\)
\(=\tan^{-1} \tan \left(\frac{\pi}{4}+\theta\right)\)
\(=\frac{\pi}{4}+\theta\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\)
\(\therefore \frac{d}{dx}(y)=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}+\tan^{-1} x\right)\)
\(=\frac{d}{dx}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{d}{dx}(\tan^{-1} x)\)
\(=0+\frac{1}{1+x^2}\) \(=\frac{1}{1+x^2}\) উত্তরঃ ( ক )
১৭। \(f(x)=(x+3)^3\) ফাংশনটির স্কেচ(sketch) কোনটি?
উত্তরঃ ( খ )
ক 
গ
গ
খ
ঘ
\(f(x)=(x+3)^3\) ফাংশনটির স্কেচ(sketch)ঘ
উত্তরঃ ( খ )
১৮। \(A=\left[\begin{array}{c}2 &-1\\ 5 &-3\end{array}\right]\) হলে, নিচের কোনটির মান \(A^{-1}\)?
\(=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{c}d &-b\\ -c & a\end{array}\right]\)
\(\therefore \left[\begin{array}{c}2 &-1\\ 5 &-3\end{array}\right]\) এর বিপরীত
\(=\frac{1}{-6+5}\left[\begin{array}{c}-3 & 1\\ -5 & 2\end{array}\right]\)
\(=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{c}-3 & 1\\ -5 & 2\end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{c}-3 & 1\\ -5 & 2\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}3 & -1\\ 5 & -2\end{array}\right]\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\left[\begin{array}{c}-3 &1\\ \ \ \ 5 &2\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{c}3 &-1\\ 5 &-2\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{c}3 &-1\\ 5 &-2\end{array}\right]\)
খ \(\left[\begin{array}{c}-3 &-1\\ -5 &-2\end{array}\right]\
ঘ \(\left[\begin{array}{c}-3 & \ \ \ 1\\ -5 &-2\end{array}\right]\)
\(\left[\begin{array}{c}a & b\\ c & d\end{array}\right]\) এর বিপরীত ঘ \(\left[\begin{array}{c}-3 & \ \ \ 1\\ -5 &-2\end{array}\right]\)
\(=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{c}d &-b\\ -c & a\end{array}\right]\)
\(\therefore \left[\begin{array}{c}2 &-1\\ 5 &-3\end{array}\right]\) এর বিপরীত
\(=\frac{1}{-6+5}\left[\begin{array}{c}-3 & 1\\ -5 & 2\end{array}\right]\)
\(=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{c}-3 & 1\\ -5 & 2\end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{c}-3 & 1\\ -5 & 2\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c}3 & -1\\ 5 & -2\end{array}\right]\)
উত্তরঃ ( গ )
১৯। যদি \(\overrightarrow{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=\hat{i}-\lambda\hat{j}+10\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হয় তবে \(\lambda\) এর মান কত?
\(\therefore \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=0\)
\(\Rightarrow (2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}).(\hat{i}-\lambda\hat{j}+10\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow 2\times1+4\times-\lambda+5\times10=0\)
\(\Rightarrow 2-4\lambda+50=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda+52=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda=-52\)
\(\therefore \lambda=13\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-13\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(-12\)
ঘ \(13\)
\(\overrightarrow{A}=2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=\hat{i}-\lambda\hat{j}+10\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্বঘ \(13\)
\(\therefore \overrightarrow{A}.\overrightarrow{B}=0\)
\(\Rightarrow (2\hat{i}+4\hat{j}+5\hat{k}).(\hat{i}-\lambda\hat{j}+10\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow 2\times1+4\times-\lambda+5\times10=0\)
\(\Rightarrow 2-4\lambda+50=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda+52=0\)
\(\Rightarrow -4\lambda=-52\)
\(\therefore \lambda=13\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। \(r=2\cos{\theta}\) পোলার সমীকরণটি নির্দেশ করে-
\(\Rightarrow r^2=2r\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2x; \ \because r^2=x^2+y^2, \ r\cos{\theta}=x\)
\(\therefore x^2+y^2-2x=0\) যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক সরলরেখা
গ উপবৃত্ত
গ উপবৃত্ত
খ পরাবৃত্ত
ঘ বৃত্ত
\(r=2\cos{\theta}\)ঘ বৃত্ত
\(\Rightarrow r^2=2r\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2x; \ \because r^2=x^2+y^2, \ r\cos{\theta}=x\)
\(\therefore x^2+y^2-2x=0\) যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। কর্ণ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(a_{ij}\ne{0}, \ i=j\)
\(ii.\) \(a_{ij}=0, \ i\gt{j}\)
\(iii.\) \(a_{ij}=0, \ i\lt{j}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\) বাক্যত্রয় সত্য
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(a_{ij}\ne{0}, \ i=j\)
\(ii.\) \(a_{ij}=0, \ i\gt{j}\)
\(iii.\) \(a_{ij}=0, \ i\lt{j}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
কর্ণ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\) বাক্যত্রয় সত্য
উত্তরঃ ( ঘ )
২২। \(2, \ 3, \ 5\) এবং \(7\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সরলরেখা দ্বারা কতগুলি ত্রিভুজ গঠন করা যায়?
\(=^4C_{3}\)
\(=\frac{4!}{3!(4-3)!}\)
\(=\frac{24}{6}\)
\(=4\)
কিন্তু \(2, \ 3, \ 5\); \(2, \ 3, \ 7\); \(2, \ 5, \ 7\) এই তিন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
\(\therefore\) ত্রিভুজ গঠনের উপায়
\(=4-3\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(1\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(24\)
\(2, \ 3, \ 5\) এবং \(7\) দৈর্ঘ্যবিশিষ্ট সরলরেখা হতে প্রতিবার তিনটি করে নিয়ে ত্রিভুজ গঠনের উপায়ঘ \(24\)
\(=^4C_{3}\)
\(=\frac{4!}{3!(4-3)!}\)
\(=\frac{24}{6}\)
\(=4\)
কিন্তু \(2, \ 3, \ 5\); \(2, \ 3, \ 7\); \(2, \ 5, \ 7\) এই তিন ক্ষেত্রে ত্রিভুজ গঠন সম্ভব নয়।
\(\therefore\) ত্রিভুজ গঠনের উপায়
\(=4-3\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ক )
২৩। \(x^2+y^2+6x+2y+6=0\) এবং \(x^2+y^2+8x+y+10=0\) বৃত্তদুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ কোনটি?
এবং \(x^2+y^2+8x+y+10=0\) বৃত্তদুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+6x+2y+6-x^2-y^2-8x-y-10=0\)
\(\Rightarrow -2x+y-4=0\)
\(\therefore 2x-y+4=0\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2x+y+4=0\)
গ \(2x-y+4=0\)
গ \(2x-y+4=0\)
খ \(2x-y-4=0\)
ঘ \(2x+y-4=0\)
\(x^2+y^2+6x+2y+6=0\)ঘ \(2x+y-4=0\)
এবং \(x^2+y^2+8x+y+10=0\) বৃত্তদুইটির সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2+6x+2y+6-x^2-y^2-8x-y-10=0\)
\(\Rightarrow -2x+y-4=0\)
\(\therefore 2x-y+4=0\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
২৪। \(\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\) এর মান-\(\overline{a}=2\hat{i}-3\hat{j}+4\hat{k}\) এবং \(\overline{b}=4\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}\) দুইটি ভেক্টর।
ক \(\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
খ \(\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(\cos{\left(\frac{\pi}{8}\right)}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2-\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{4\cos^2{\left(\frac{\pi}{8}\right)}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2\times2\cos^2{\left(\frac{\pi}{8}\right)}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2\left\{1+\cos{\left(\frac{\pi}{4}\right)}\right\}}; \) যেহেতু \(2\cos^2{\theta}=1+\cos{2\theta} \)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2\left\{1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\frac{2}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2+\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(f(x)\) ফাংশনটি নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত,
\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}-x, \ & 0\lt{x}\lt{\frac{1}{2}}\\ \frac{1}{2}, & x =\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}-x, \ & \frac{1}{2}\lt{x}\lt{1}\end{cases}\)
\(f\left(\frac{1}{4}\right)\) এর মান কত?
\(\therefore f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{2-1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
\(f(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}-x, \ & 0\lt{x}\lt{\frac{1}{2}}\\ \frac{1}{2}, & x =\frac{1}{2}\\ \frac{3}{2}-x, \ & \frac{1}{2}\lt{x}\lt{1}\end{cases}\)
\(f\left(\frac{1}{4}\right)\) এর মান কত?
ক \(-\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{1}{4}\)
ঘ \(\frac{5}{4}\)
\(f\left(\frac{1}{4}\right)\) এর ক্ষেত্রে ব্যবধি \(0\lt{x}\lt{\frac{1}{2}}\)ঘ \(\frac{5}{4}\)
\(\therefore f\left(\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{2-1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005