শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((1, 150^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক নিচের কোনটি?
এখানে, \(r=1, \ \theta=150^{o}\)
এখন, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=1\cos{150^{o}}, \ y=1\sin{150^{o}}\)
\(\Rightarrow x=\cos{(90^{o}+60^{o})}, \ y=\sin{(90^{o}+60^{o})}\)
\(\Rightarrow x=-\sin{60^{o}}, \ y=\cos{60^{o}}\)
\(\therefore x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \ y=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
খ \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
\((1, 150^{o})\)ঘ \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
এখানে, \(r=1, \ \theta=150^{o}\)
এখন, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=1\cos{150^{o}}, \ y=1\sin{150^{o}}\)
\(\Rightarrow x=\cos{(90^{o}+60^{o})}, \ y=\sin{(90^{o}+60^{o})}\)
\(\Rightarrow x=-\sin{60^{o}}, \ y=\cos{60^{o}}\)
\(\therefore x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \ y=\frac{1}{2}\)
\(\therefore\) বিন্দুটির কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \ \frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
২। \(y=x\) সরলরেখাটি-
\(i.\) মূল বিন্দুগামী
\(ii.\) ঢাল \(1\)
\(iii.\) উভয় অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
নিচের কোনটি সঠীক?
মূল বিন্দুগামী
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(y=x\) কে \(y=mx\) এর সাথে তুলুনা করে,
ঢাল \(=1\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে, রেখাটি উভয় অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) মূল বিন্দুগামী
\(ii.\) ঢাল \(1\)
\(iii.\) উভয় অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(y=x\) সরলরেখাটি-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
মূল বিন্দুগামী
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(y=x\) কে \(y=mx\) এর সাথে তুলুনা করে,
ঢাল \(=1\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে, রেখাটি উভয় অক্ষের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
৩। \(2x+y+6=0\) এবং \(4x+2y+2=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?
\(\Rightarrow 2x+y+6=0\) এবং \(2(2x+y+1)=0\)
\(\therefore 2x+y+6=0\) এবং \(2x+y+1=0\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|6-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4\)
গ \(\sqrt{5}\)
গ \(\sqrt{5}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(5\)
\(2x+y+6=0\) এবং \(4x+2y+2=0\) ঘ \(5\)
\(\Rightarrow 2x+y+6=0\) এবং \(2(2x+y+1)=0\)
\(\therefore 2x+y+6=0\) এবং \(2x+y+1=0\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|6-1|}{\sqrt{2^2+1^2}}\)
\(=\frac{5}{\sqrt{4+1}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( গ )
৪। \(x^2+y^2+4x-6y-12=0\) বৃত্ত দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ কত?
এখানে, \(2g=4, \ 2f=-6, \ c=-12\)
\(\therefore g=2, \ f=-3, \ c=-12\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{2^2-(-12)}\)
\(=2\sqrt{4+12}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(\sqrt{21}\)
ঘ \(2\sqrt{21}\)
\(x^2+y^2+4x-6y-12=0\)ঘ \(2\sqrt{21}\)
এখানে, \(2g=4, \ 2f=-6, \ c=-12\)
\(\therefore g=2, \ f=-3, \ c=-12\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{2^2-(-12)}\)
\(=2\sqrt{4+12}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। \((1, 2)\) ও \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ নিচের কোনটি?
অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x-1)(x-2)+(y-2)(y-3)=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-2x+2+y^2-2y-3y+6=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y+8=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(x^2+y^2-3x-5y+8=0\)
গ \(x^2+y^2+3x+5y+8=0\)
গ \(x^2+y^2+3x+5y+8=0\)
খ \(x^2+y^2-3x+5y+8=0\)
ঘ \(x^2+y^2+3x-5y+8=0\)
\((1, 2)\) ও \((2, 3)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে ব্যাস ধরে,ঘ \(x^2+y^2+3x-5y+8=0\)
অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ \((x-1)(x-2)+(y-2)(y-3)=0\)
\(\Rightarrow x^2-x-2x+2+y^2-2y-3y+6=0\)
\(\therefore x^2+y^2-3x-5y+8=0\)
উত্তরঃ ( ক )
৬। \(0, \ 1, \ 2\) অঙ্কগুলোর প্রত্যেকটি প্রতি সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করে তিন অংকবিশিষ্ট কতগুলো অর্থপূর্ণ সংখ্যা গঠন করা যায়।
তিন অঙ্কের বিন্যাস সংখ্যা \(=3!\)
\(0\) প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা \(=2!\)
অর্থপূর্ণ সংখ্যা \(=3!-2!\)
\(=6-2\)
\(=4\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(3\)
ঘ \(6\)
\(0, \ 1, \ 2\) অঙ্কগুলোর প্রত্যেকটি প্রতি সংখ্যায় একবার মাত্র ব্যবহার করেঘ \(6\)
তিন অঙ্কের বিন্যাস সংখ্যা \(=3!\)
\(0\) প্রথমে রেখে বিন্যাস সংখ্যা \(=2!\)
অর্থপূর্ণ সংখ্যা \(=3!-2!\)
\(=6-2\)
\(=4\)
উত্তরঃ ( গ )
৭। \(^nC_{r}\) এর সম্পূরক সমাবেশ কোনটি?
অতএব, \(^nC_{r}\) এর সম্পূরক সমাবেশ \(^nC_{n-r}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(^nC_{r-n}\)
গ \(^rC_{r-n}\)
গ \(^rC_{r-n}\)
খ \(^rC_{n}\)
ঘ \(^nC_{n-r}\)
আমরা জানি, \(^nC_{r}= \ ^nC_{n-r}\)ঘ \(^nC_{n-r}\)
অতএব, \(^nC_{r}\) এর সম্পূরক সমাবেশ \(^nC_{n-r}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৮। \(\cos{(2n\pi-30^{o})}=\) কত?
এখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
অর্থাৎ, \(z=0, \ \pm{1}, \ \pm{2}, ......\)
\(n=0\) হলে, \(\cos{(-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=1\) হলে, \(\cos{(2\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=-1\) হলে, \(\cos{(-2\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=2\) হলে, \(\cos{(4\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=-2\) হলে, \(\cos{(-4\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(...................................\)
\(....................................\)
\(\therefore \cos{(2n\pi-30^{o})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(\cos{(2n\pi-30^{o})}\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
এখানে, \(n\in{\mathbb{Z}}\)
অর্থাৎ, \(z=0, \ \pm{1}, \ \pm{2}, ......\)
\(n=0\) হলে, \(\cos{(-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=1\) হলে, \(\cos{(2\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=-1\) হলে, \(\cos{(-2\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=2\) হলে, \(\cos{(4\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(n=-2\) হলে, \(\cos{(-4\pi-30^{o})}=\cos{30^{o}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(...................................\)
\(....................................\)
\(\therefore \cos{(2n\pi-30^{o})}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \(\sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin{B}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে, \(\tan{(A+B)}=\) কত?
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}, \ \cos{B}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}, \ \cos{B}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{\frac{2-1}{2}}, \ \cos{B}=\sqrt{\frac{3-1}{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{\frac{1}{2}}, \ \cos{B}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \cos{B}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
আবার, \(\tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}, \ \tan{B}=\frac{\sin{B}}{\cos{B}}\)
\(\Rightarrow \tan{A}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \ \tan{B}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)
\(\therefore \tan{A}=1, \ \tan{B}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
এখন, \(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-1\times\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1-\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)
গ \(\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}+1}\)
খ \(\frac{1+\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
\(\sin{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \sin{B}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে,ঘ \(\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}, \ \cos{B}=\sqrt{1-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}, \ \cos{B}=\sqrt{1-\frac{1}{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{\frac{2-1}{2}}, \ \cos{B}=\sqrt{\frac{3-1}{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{A}=\sqrt{\frac{1}{2}}, \ \cos{B}=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(\therefore \cos{A}=\frac{1}{\sqrt{2}}, \ \cos{B}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\)
আবার, \(\tan{A}=\frac{\sin{A}}{\cos{A}}, \ \tan{B}=\frac{\sin{B}}{\cos{B}}\)
\(\Rightarrow \tan{A}=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}, \ \tan{B}=\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\)
\(\therefore \tan{A}=1, \ \tan{B}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
এখন, \(\tan{(A+B)}=\frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}\)
\(=\frac{1+\frac{1}{\sqrt{2}}}{1-1\times\frac{1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১০। \(\tan{\theta}=\sqrt{3}\) হলে-
\(i.\) \(\sin{2\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(ii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(iii.\) \(\tan{2\theta}=-\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
এখন, \(\sin{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1+3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার, \(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-3}{1+3}\)
\(=\frac{2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(\tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{-2}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(\sin{2\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(ii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(iii.\) \(\tan{2\theta}=-\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\tan{\theta}=\sqrt{3}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখন, \(\sin{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1+3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার, \(\cos{2\theta}=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-3}{1+3}\)
\(=\frac{2}{4}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার,
\(\tan{2\theta}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{-2}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১১ ও ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১১। \(\sin{\frac{A}{2}}=\) কত?
ক \(\sqrt{\frac{2}{5}}\)
গ \(\frac{2}{5}\)
গ \(\frac{2}{5}\)
খ \(-\sqrt{\frac{2}{5}}\)
ঘ \(-\frac{2}{5}\)
চিত্রে, \(a=7, \ b=6, \ c=5\)ঘ \(-\frac{2}{5}\)
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+6+5}{2}=\frac{18}{2}=9\)
এখন, \(\sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
\(=\sqrt{\frac{(9-6)(9-5)}{6\times5}}\)
\(=\sqrt{\frac{3\times4}{30}}\)
\(=\sqrt{\frac{4}{10}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ ( ক )
১২। \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রেফল কত বর্গ সে.মি.?
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+6+5}{2}=\frac{18}{2}=9\)
এখন, \(\triangle{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)}\)
\(=\sqrt{9\times2\times3\times4}\)
\(=6\sqrt{6}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(9\sqrt{6}\)
গ \(6\sqrt{6}\)
গ \(6\sqrt{6}\)
খ \(7\sqrt{6}\)
ঘ \(5\sqrt{6}\)
চিত্রে, \(a=7, \ b=6, \ c=5\)ঘ \(5\sqrt{6}\)
\(s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{7+6+5}{2}=\frac{18}{2}=9\)
এখন, \(\triangle{ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{9(9-7)(9-6)(9-5)}\)
\(=\sqrt{9\times2\times3\times4}\)
\(=6\sqrt{6}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৩। \(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\) একটি-
\(i.\) এক-এক ফাংশন
\(ii.\) সার্বিক ফাংশন
\(iii.\) \(f(-5)\) অসংজ্ঞায়িত
নিচের কোনটি সঠীক?
এখন, \(f(a)=\frac{a-3}{a-1}, \ f(b)=\frac{b-3}{b-1}\)
\(f(a)=f(b) \Rightarrow \frac{a-3}{a-1}=\frac{b-3}{b-1}\)
\(\Rightarrow (a-3)(b-1)=(a-1)(b-3)\)
\(\Rightarrow ab-3b-a+3=ab-b-3a+3\)
\(\Rightarrow -3b-a=-b-3a\)
\(\Rightarrow -a+3a=-b+3b\)
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f(a)=f(b) \Rightarrow a=b\)
\(\therefore f(x)\) এক-এক ফাংশন
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\)
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-1\ne{0}\) হয়
\(\therefore x\ne{1}\)
\(\therefore f(x)\) এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}-\{1\}\)
আবার
\(y=\frac{x-3}{x-1}\)
\(\Rightarrow xy-y=x-3\)
\(\Rightarrow xy-x=y-3\)
\(\Rightarrow x(y-1)=y-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-3}{y-1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ne{0}\) হয়
\(\therefore y\ne{1}\)
\(\therefore f(x)\) এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}-\{1\}\)
\(\therefore D_{f}=R_{f}\)
\(\therefore f(x)\) সার্বিক ফাংশন
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার
\(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\)
\(\Rightarrow f(-5)=\frac{-5-3}{-5-1}\)
\(=\frac{-8}{-6}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore f(-5)\) সংজ্ঞায়িত
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) এক-এক ফাংশন
\(ii.\) সার্বিক ফাংশন
\(iii.\) \(f(-5)\) অসংজ্ঞায়িত
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখন, \(f(a)=\frac{a-3}{a-1}, \ f(b)=\frac{b-3}{b-1}\)
\(f(a)=f(b) \Rightarrow \frac{a-3}{a-1}=\frac{b-3}{b-1}\)
\(\Rightarrow (a-3)(b-1)=(a-1)(b-3)\)
\(\Rightarrow ab-3b-a+3=ab-b-3a+3\)
\(\Rightarrow -3b-a=-b-3a\)
\(\Rightarrow -a+3a=-b+3b\)
\(\Rightarrow 2a=2b\)
\(\Rightarrow a=b\)
\(\therefore f(a)=f(b) \Rightarrow a=b\)
\(\therefore f(x)\) এক-এক ফাংশন
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য
\(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\)
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(x-1\ne{0}\) হয়
\(\therefore x\ne{1}\)
\(\therefore f(x)\) এর ডোমেন \(D_{f}=\mathbb{R}-\{1\}\)
আবার
\(y=\frac{x-3}{x-1}\)
\(\Rightarrow xy-y=x-3\)
\(\Rightarrow xy-x=y-3\)
\(\Rightarrow x(y-1)=y-3\)
\(\Rightarrow x=\frac{y-3}{y-1}\)
\(x\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(y-1\ne{0}\) হয়
\(\therefore y\ne{1}\)
\(\therefore f(x)\) এর রেঞ্জ \(R_{f}=\mathbb{R}-\{1\}\)
\(\therefore D_{f}=R_{f}\)
\(\therefore f(x)\) সার্বিক ফাংশন
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য
আবার
\(f(x)=\frac{x-3}{x-1}\)
\(\Rightarrow f(-5)=\frac{-5-3}{-5-1}\)
\(=\frac{-8}{-6}\)
\(=\frac{4}{3}\)
\(\therefore f(-5)\) সংজ্ঞায়িত
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
১৪। \(f(x)=\sqrt{4-x^2}\) এর ডোমেন কত?
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(4-x^2\ge{0}\) হয়
\(\Rightarrow x^2-4\le{0}\)
\(\Rightarrow x^2-2^2\le{0}\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+2)\le{0}\)
\(\Rightarrow -2\le{x}\le{2}\)
\(\therefore [-2, 2]\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \([0, 2]\)
গ \([-2, 2]\)
গ \([-2, 2]\)
খ \((0, 2)\)
ঘ \((-2, 2)\)
\(f(x)=\sqrt{4-x^2}\)ঘ \((-2, 2)\)
\(f(x)\) সংজ্ঞায়িত হবে যদি \(4-x^2\ge{0}\) হয়
\(\Rightarrow x^2-4\le{0}\)
\(\Rightarrow x^2-2^2\le{0}\)
\(\Rightarrow (x-2)(x+2)\le{0}\)
\(\Rightarrow -2\le{x}\le{2}\)
\(\therefore [-2, 2]\)
উত্তরঃ ( গ )
১৫। \(f(x)=x^2\) হলে, \(f^{-1}(169)=\) কত?
ধরি, \(f(x)=x^2=y\)
\(\Rightarrow f(x)=y, \ x^2=y\)
\(\Rightarrow x=f^{-1}(y), \ x=\pm\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(169)=\pm\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(169)=\pm13\)
\(\therefore f^{-1}(169)=\{-13, 13\}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\{13\}\)
গ \((-13, 13)\)
গ \((-13, 13)\)
খ \(\{-13, 13\}\)
ঘ \([-13, 13]\)
\(f(x)=x^2\)ঘ \([-13, 13]\)
ধরি, \(f(x)=x^2=y\)
\(\Rightarrow f(x)=y, \ x^2=y\)
\(\Rightarrow x=f^{-1}(y), \ x=\pm\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(y)=\pm\sqrt{y}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(169)=\pm\sqrt{169}\)
\(\Rightarrow f^{-1}(169)=\pm13\)
\(\therefore f^{-1}(169)=\{-13, 13\}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৬। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(mx)}}{x}=\] কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(mx)}}{mx}\times{m}\]
\[=1\times{m}\]
\[=m\]
উত্তরঃ ( গ )
ক \(0\)
গ \(m\)
গ \(m\)
খ \(\infty\)
ঘ \(\frac{1}{m}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(mx)}}{x}\] ঘ \(\frac{1}{m}\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{(mx)}}{mx}\times{m}\]
\[=1\times{m}\]
\[=m\]
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(y=\frac{1}{x}\) হলে, \(y_{3}=\) কত?
\(\Rightarrow y=x^{-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(x^{-1})\)
\(\Rightarrow y_{1}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\frac{d}{dx}(x^{-2})\)
\(\Rightarrow y_{2}=2x^{-2-1}=2x^{-3}\)
\(\Rightarrow y_{3}=2\frac{d}{dx}(x^{-3})\)
\(\therefore y_{3}=-6x^{-3-1}=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{6}{x^4}\)
গ \(6x^4\)
গ \(6x^4\)
খ \(\frac{6}{x^4}\)
ঘ \(-6x^4\)
\(y=\frac{1}{x}\)ঘ \(-6x^4\)
\(\Rightarrow y=x^{-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(x^{-1})\)
\(\Rightarrow y_{1}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\frac{d}{dx}(x^{-2})\)
\(\Rightarrow y_{2}=2x^{-2-1}=2x^{-3}\)
\(\Rightarrow y_{3}=2\frac{d}{dx}(x^{-3})\)
\(\therefore y_{3}=-6x^{-3-1}=-6x^{-4}=-\frac{6}{x^4}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(y=2x^2+3x+5\) বক্ররেখার \((0, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল কত?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2x^2+3x+5)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4x+3\)
\(\Rightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)}=4\times0+3\)
\(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)}=3\) যা, \((0, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল।
\(\therefore (0, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল \(=-\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-3\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(-\frac{1}{3}\)
ঘ \(3\)
\(y=2x^2+3x+5\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(2x^2+3x+5)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=4x+3\)
\(\Rightarrow \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)}=4\times0+3\)
\(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 1)}=3\) যা, \((0, 1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল।
\(\therefore (0, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল \(=-\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৯ ও ২০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=x^2, \ g(x)=2x\)
১৯। \(\int{g(x)}dx=\) কত?\(f(x)=x^2, \ g(x)=2x\)
ক \(x+c\)
গ \(2x+c\)
গ \(2x+c\)
খ \(2x^2+c\)
ঘ \(x^2+c\)
দেওয়া আছে, \(g(x)=2x\)ঘ \(x^2+c\)
এখন, \(\int{g(x)}dx\)
\(=\int{2x}dx\)
\(=2\int{x}dx\)
\(=2\times\frac{x^2}{2}+c\)
\(=x^2+c\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। \(\int_{0}^{1}{e^{x}\{f(x)+g(x)\}dx}=\) কত?
এখন, \(\int_{0}^{1}{e^{x}\{f(x)+g(x)\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{e^{x}\{x^2+2x\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{(e^{x}x^2+2xe^{x})dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{d(e^{x}x^2)}\)
\(=\left[e^{x}x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=e^{1}.1^2-e^{0}.0\)
\(=e\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(e\)
গ \(2e\)
গ \(2e\)
খ \(-e\)
ঘ \(-2e\)
দেওয়া আছে, \(f(x)=x^2, \ g(x)=2x\)ঘ \(-2e\)
এখন, \(\int_{0}^{1}{e^{x}\{f(x)+g(x)\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{e^{x}\{x^2+2x\}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{(e^{x}x^2+2xe^{x})dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{d(e^{x}x^2)}\)
\(=\left[e^{x}x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=e^{1}.1^2-e^{0}.0\)
\(=e\)
উত্তরঃ ( ক )
২১। \(\int{\sqrt{9-x^2}dx}=\) কত?
\(\int{\sqrt{9-x^2}dx}\)
\(=\int{\sqrt{3^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
গ \(\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{3}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
গ \(\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{3}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
খ \(\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}-\frac{9}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
ঘ \(\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}-\frac{3}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
যেহেতু, \(\int{\sqrt{a^2-x^2}dx}=\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+\frac{a^2}{2}\sin{\frac{x}{a}}+c\)ঘ \(\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}-\frac{3}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
\(\int{\sqrt{9-x^2}dx}\)
\(=\int{\sqrt{3^2-x^2}dx}\)
\(=\frac{x}{2}\sqrt{9-x^2}+\frac{9}{2}\sin{\frac{x}{3}}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
২২। \(\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) একটি-
\(\therefore \begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
উত্তরঃ ( গ )
ক বর্গ ম্যাট্রিক্স
গ প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
গ প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
খ স্কেলার ম্যাট্রিক্স
ঘ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
যেহেতু, \(\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\)ঘ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(\therefore \begin{bmatrix}2 & 0 & 1 \\0 & 2 & 0 \\1 & 0 & 2 \end{bmatrix}\) একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
উত্তরঃ ( গ )
২৩। \(\left|\begin{array}{c}a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{array}\right|=\) কত?
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(a\)
গ \(-abc\)
গ \(-abc\)
খ \(ab\)
ঘ \(abc\)
\(\left|\begin{array}{c}a & 0 & 0\\ 0 & b & 0\\ 0 & 0 & c\end{array}\right|=a\times{b}\times{c}=abc\)ঘ \(abc\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৪। \(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=-\hat{i}+\hat{j}+\lambda\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে, \(\lambda\) এর মান নিচের কোনটি?
\(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=-\hat{i}+\hat{j}+\lambda\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})(-\hat{i}+\hat{j}+\lambda\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow (1)(-1)+(2)(1)+(-1)(\lambda)=0\)
\(\Rightarrow -1+2-\lambda=0\)
\(\Rightarrow 1-\lambda=0\)
\(\Rightarrow -\lambda=-1\)
\(\therefore \lambda=1\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-3\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(3\)
দেওয়া আছে,ঘ \(3\)
\(\underline{a}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\) এবং \(\underline{b}=-\hat{i}+\hat{j}+\lambda\hat{k}\) ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব
\(\Rightarrow \overline{a}.\overline{b}=0\)
\(\Rightarrow (\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})(-\hat{i}+\hat{j}+\lambda\hat{k})=0\)
\(\Rightarrow (1)(-1)+(2)(1)+(-1)(\lambda)=0\)
\(\Rightarrow -1+2-\lambda=0\)
\(\Rightarrow 1-\lambda=0\)
\(\Rightarrow -\lambda=-1\)
\(\therefore \lambda=1\)
উত্তরঃ ( গ )
২৫। \(\underline{A}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \underline{B}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\) হলে, \(\underline{A}\) এর উপর \(\underline{B}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ কত?
\(\underline{A}\) এর উপর \(\underline{B}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ ,
\(=\frac{\underline{A}.\underline{B}}{|\underline{A}|}\)
\(=\frac{(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}).(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})}{|2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{2-1+2}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{4+1+1}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{6}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{6}}\)
খ \(\frac{3}{2}\)
ঘ \(\sqrt{6}\)
\(\underline{A}=2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \ \underline{B}=\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}\)ঘ \(\sqrt{6}\)
\(\underline{A}\) এর উপর \(\underline{B}\) এর লম্ব অভিক্ষেপ ,
\(=\frac{\underline{A}.\underline{B}}{|\underline{A}|}\)
\(=\frac{(2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}).(\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k})}{|2\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}|}\)
\(=\frac{2-1+2}{\sqrt{2^2+1^2+1^2}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{4+1+1}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{6}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\)
উত্তরঃ ( ক )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005