শিক্ষা বোর্ড কুমিল্লা - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\frac{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}\) এর মণ কত?
\(=\frac{2\cos{\frac{\alpha+\beta+\alpha-\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha+\beta-\alpha+\beta}{2}}}{2\sin{\frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha+\beta-\alpha+\beta}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{2\alpha}{2}}\sin{\frac{2\beta}{2}}}{\sin{\frac{2\alpha}{2}}\sin{\frac{2\beta}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}\)
\(=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)
\(=\cot{\alpha}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\cot{\alpha}\)
গ \(\tan{\alpha}\)
গ \(\tan{\alpha}\)
খ \(\cot{\beta}\)
ঘ \(\tan{\beta}\)
\(\frac{\sin{(\alpha+\beta)}-\sin{(\alpha-\beta)}}{\cos{(\alpha-\beta)}-\cos{(\alpha+\beta)}}\)ঘ \(\tan{\beta}\)
\(=\frac{2\cos{\frac{\alpha+\beta+\alpha-\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha+\beta-\alpha+\beta}{2}}}{2\sin{\frac{\alpha-\beta+\alpha+\beta}{2}}\sin{\frac{\alpha+\beta-\alpha+\beta}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\frac{2\alpha}{2}}\sin{\frac{2\beta}{2}}}{\sin{\frac{2\alpha}{2}}\sin{\frac{2\beta}{2}}}\)
\(=\frac{\cos{\alpha}\sin{\beta}}{\sin{\alpha}\sin{\beta}}\)
\(=\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)
\(=\cot{\alpha}\)
উত্তরঃ ( ক )
২। \(g(x)=\sqrt{225-x^2}\) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?
এবং সর্বোনিম্ন মান \(=0\)
\(\therefore\) রেঞ্জ \(=[0, 15]\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \((0, 15)\)
গ \([0, 15]\)
গ \([0, 15]\)
খ \((0, \infty)\)
ঘ \([0, \infty)\)
\sqrt{225-x^2} এর সর্বোচ্চ মান \(=15\)ঘ \([0, \infty)\)
এবং সর্বোনিম্ন মান \(=0\)
\(\therefore\) রেঞ্জ \(=[0, 15]\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(\frac{d}{dx}\left(\cos{\frac{1}{x}}\right)\) এর মান কোনটি?
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\times-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
\(=x^{-2}\sin{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\sin{\frac{1}{x}}\)
গ \(-x^{-2}\sin{\frac{1}{x}}\)
গ \(-x^{-2}\sin{\frac{1}{x}}\)
খ \(\sin{\frac{1}{x}}\)
ঘ \(x^{-2}\sin{\frac{1}{x}}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\cos{\frac{1}{x}}\right)\)ঘ \(x^{-2}\sin{\frac{1}{x}}\)
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\times-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
\(=x^{-2}\sin{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(ABC\) রেখার সমীকরণ-
\(6x-4y+24=0\) এবং \(AP=PB\)
৪। \(CD\) রেখার ঢাল কত?
\(ABC\) রেখার সমীকরণ-\(6x-4y+24=0\) এবং \(AP=PB\)
ক \(-\frac{3}{2}\)
গ \(-\frac{2}{3}\)
গ \(-\frac{2}{3}\)
খ \(\frac{3}{2}\)
ঘ \(\frac{2}{3}\)
\(6x-4y+24=0\)ঘ \(\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow 6x-4y=-24\)
\(\Rightarrow \frac{6x}{-24}-\frac{4y}{-24}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-4}+\frac{y}{6}=1\)
এখন, চিত্র হতে,
\(A(-4, 0)\) এবং \(B(0, 6)\)
তাহলে, \(AB\) রেখার ঢাল \(=\frac{0-6}{-4-0}\)
\(=\frac{-6}{-4}\)
\(=\frac{3}{2}\)
\(CD\) রেখা, \(AB\) রেখার উপর লম্ব,
\(\therefore CD\) রেখার ঢাল \(=-\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
৫। \(OP\) রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow 6x-4y=-24\)
\(\Rightarrow \frac{6x}{-24}-\frac{4y}{-24}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-4}+\frac{y}{6}=1\)
এখন, চিত্র হতে,
\(A(-4, 0)\) এবং \(B(0, 6)\)
\(AB\) রেখার মধ্যবিন্দু \(P\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)\)
\(\therefore P\left(-2, 3\right)\)
\(OP\) রেখার সমীকরণ \(\frac{x-0}{0+2}=\frac{y-0}{0-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{-3}\)
\(\Rightarrow 2y=-3x\)
\(\therefore y=-\frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(y=-\frac{2}{3}x\)
গ \(y=\frac{2}{3}x\)
গ \(y=\frac{2}{3}x\)
খ \(y=-\frac{3}{2}x\)
ঘ \(y=\frac{3}{2}x\)
\(6x-4y+24=0\)ঘ \(y=\frac{3}{2}x\)
\(\Rightarrow 6x-4y=-24\)
\(\Rightarrow \frac{6x}{-24}-\frac{4y}{-24}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-4}+\frac{y}{6}=1\)
এখন, চিত্র হতে,
\(A(-4, 0)\) এবং \(B(0, 6)\)
\(AB\) রেখার মধ্যবিন্দু \(P\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+6}{2}\right)\)
\(\therefore P\left(-2, 3\right)\)
\(OP\) রেখার সমীকরণ \(\frac{x-0}{0+2}=\frac{y-0}{0-3}\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{y}{-3}\)
\(\Rightarrow 2y=-3x\)
\(\therefore y=-\frac{3}{2}x\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(y=ne^{-nx}\) হলে, \(y_{3}\) কোনটি?
\(\Rightarrow y_{1}=n\frac{d}{dx}\left(e^{-nx}\right)\)
\(=ne^{-nx}\frac{d}{dx}(-nx)\)
\(=ne^{-nx}\times{-n}\)
\(=-n^2e^{-nx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-n^2\frac{d}{dx}\left(e^{-nx}\right)\)
\(=-n^2e^{-nx}\frac{d}{dx}(-nx)\)
\(=-n^2e^{-nx}\times{-n}\)
\(=n^3e^{-nx}\)
\(\Rightarrow y_{3}=n^3\frac{d}{dx}\left(e^{-nx}\right)\)
\(=n^3e^{-nx}\frac{d}{dx}(-nx)\)
\(=n^3e^{-nx}\times{-n}\)
\(=-n^4e^{-nx}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-n^4e^{-nx}\)
গ \(n^4e^{-nx}\)
গ \(n^4e^{-nx}\)
খ \(-n^3e^{-nx}\)
ঘ \(ne^{-nx}\)
\(y=ne^{-nx}\)ঘ \(ne^{-nx}\)
\(\Rightarrow y_{1}=n\frac{d}{dx}\left(e^{-nx}\right)\)
\(=ne^{-nx}\frac{d}{dx}(-nx)\)
\(=ne^{-nx}\times{-n}\)
\(=-n^2e^{-nx}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-n^2\frac{d}{dx}\left(e^{-nx}\right)\)
\(=-n^2e^{-nx}\frac{d}{dx}(-nx)\)
\(=-n^2e^{-nx}\times{-n}\)
\(=n^3e^{-nx}\)
\(\Rightarrow y_{3}=n^3\frac{d}{dx}\left(e^{-nx}\right)\)
\(=n^3e^{-nx}\frac{d}{dx}(-nx)\)
\(=n^3e^{-nx}\times{-n}\)
\(=-n^4e^{-nx}\)
উত্তরঃ ( ক )
৭। \(\tan{\beta}=\frac{q}{p}\) হলে, \(\cos{2\beta}\) এর মান কত?
এখন, \(\cos{2\beta}=\frac{1-\tan^2{\beta}}{1+\tan^2{\beta}}\)
\(=\frac{1-\frac{q^2}{p^2}}{1+\frac{q^2}{p^2}}\)
\(=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{2pq}{p^2-q^2}\)
গ \(\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\)
গ \(\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\)
খ \(\frac{2pq}{p^2+q^2}\)
ঘ \(\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}\)
দেওয়া আছে, \(\tan{\beta}=\frac{q}{p}\) ঘ \(\frac{p^2+q^2}{p^2-q^2}\)
এখন, \(\cos{2\beta}=\frac{1-\tan^2{\beta}}{1+\tan^2{\beta}}\)
\(=\frac{1-\frac{q^2}{p^2}}{1+\frac{q^2}{p^2}}\)
\(=\frac{p^2-q^2}{p^2+q^2}\)
উত্তরঃ ( গ )
৮। \(2\alpha+2\beta+2\gamma=\pi\) হলে, \(cosec \ (\alpha+\gamma)\) এর মান কত?
\(\Rightarrow 2(\alpha+\beta+\gamma)=\pi\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha+\gamma=\frac{\pi}{2}-\beta\)
\(\Rightarrow cosec \ (\alpha+\gamma)=cosec \ \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\)
\(=\sec{\beta}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-cosec \ \beta\)
গ \(-\sec{\beta}\)
গ \(-\sec{\beta}\)
খ \(cosec \ \beta\)
ঘ \(\sec{\beta}\)
\(2\alpha+2\beta+2\gamma=\pi\)ঘ \(\sec{\beta}\)
\(\Rightarrow 2(\alpha+\beta+\gamma)=\pi\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha+\gamma=\frac{\pi}{2}-\beta\)
\(\Rightarrow cosec \ (\alpha+\gamma)=cosec \ \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\)
\(=\sec{\beta}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৯। \(P=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\2 & 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(Q=\begin{bmatrix}1 \\2 \\3 \\4 \end{bmatrix}\) হলে, \(PQ\) এর ক্রম কত?
এখানে, \(P=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\2 & 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(Q=\begin{bmatrix}1 \\2 \\3 \\4 \end{bmatrix}\)
\(P\) এর ক্রম \(2\times{4}\) এবং \(Q\) এর ক্রম \(4\times{1},\) সুতরাং \(PQ\) এর ক্রম হবে \(2\times{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(1\times2\)
গ \(4\times1\)
গ \(4\times1\)
খ \(2\times1\)
ঘ \(4\times4\)
\(A\) এর ক্রম \(m\times{n}\) এবং \(B\) এর ক্রম \(n\times{p},\) সুতরাং \(AB\) এর ক্রম হবে \(m\times{p}\)ঘ \(4\times4\)
এখানে, \(P=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 & 4 \\2 & 3 & 4 & 5 \end{bmatrix}\) এবং \(Q=\begin{bmatrix}1 \\2 \\3 \\4 \end{bmatrix}\)
\(P\) এর ক্রম \(2\times{4}\) এবং \(Q\) এর ক্রম \(4\times{1},\) সুতরাং \(PQ\) এর ক্রম হবে \(2\times{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
১০। \(3x^2+3y^2+9x-12y+18=0\) বৃত্তটির কেন্দ্র-
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+3x-4y+6)=0\)
\(\therefore x^2+y^2+3x-4y+6=0\)
এখানে, \(2g=3, \ 2f=-4, \ c=6\)
\(\therefore g=\frac{3}{2}, \ f=-2\)
কেন্দ্র \(\left(-g, -f\right)\)
\(\therefore\) কেন্দ্র \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
গ \(\left(-\frac{9}{2}, 6\right)\)
গ \(\left(-\frac{9}{2}, 6\right)\)
খ \(\left(\frac{3}{2}, -2\right)\)
ঘ \(\left(\frac{9}{2}, -6\right)\)
\(3x^2+3y^2+9x-12y+18=0\)ঘ \(\left(\frac{9}{2}, -6\right)\)
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2+3x-4y+6)=0\)
\(\therefore x^2+y^2+3x-4y+6=0\)
এখানে, \(2g=3, \ 2f=-4, \ c=6\)
\(\therefore g=\frac{3}{2}, \ f=-2\)
কেন্দ্র \(\left(-g, -f\right)\)
\(\therefore\) কেন্দ্র \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
১১। \(\int{\sin{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}dx=f(x)+c\) হলে, \(f(x)\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \frac{-\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}{\frac{d}{dx}\left(5-\frac{x}{10}\right)}+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \frac{-\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}{-\frac{1}{10}}=f(x)\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{-\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}{-\frac{1}{10}}\)
\(\therefore f(x)=10\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-10\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
গ \(-\frac{1}{10}\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
গ \(-\frac{1}{10}\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
খ \(10\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
ঘ \(\frac{1}{10}\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
\(\int{\sin{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}dx=f(x)+c\)ঘ \(\frac{1}{10}\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
\(\Rightarrow \frac{-\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}{\frac{d}{dx}\left(5-\frac{x}{10}\right)}+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \frac{-\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}{-\frac{1}{10}}=f(x)\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{-\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}}{-\frac{1}{10}}\)
\(\therefore f(x)=10\cos{\left(5-\frac{x}{10}\right)}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। \(\cot{x}=\frac{5}{4}\) এবং \(\pi\lt{x}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) হলে, \(\sin{x}\) এর মান কত?
এখানে, লম্ব \(=4\)
ভূমি \(=5\)
\(\therefore\) অতিভুজ \(=\sqrt{4^2+5^2}\)
\(=\sqrt{16+25}\)
\(=\sqrt{41}\)
\(\therefore \sin{x}=-\frac{4}{\sqrt{41}}\) যেহেতু, \(\pi\lt{x}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\frac{\sqrt{41}}{4}\)
গ \(-\frac{4}{\sqrt{41}}\)
গ \(-\frac{4}{\sqrt{41}}\)
খ \(\frac{\sqrt{41}}{4}\)
ঘ \(\frac{5}{\sqrt{41}}\)
\(\cot{x}=\frac{5}{4}\) এবং \(\pi\lt{x}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)ঘ \(\frac{5}{\sqrt{41}}\)
এখানে, লম্ব \(=4\)
ভূমি \(=5\)
\(\therefore\) অতিভুজ \(=\sqrt{4^2+5^2}\)
\(=\sqrt{16+25}\)
\(=\sqrt{41}\)
\(\therefore \sin{x}=-\frac{4}{\sqrt{41}}\) যেহেতু, \(\pi\lt{x}\lt{\frac{3\pi}{2}}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৩। কোন লেখচিত্রটি ফাংশন?
উল্লম্ব রেখা গ্রাফকে একটি বিন্দুতে ছেদ করলে সেটি ফাংশন।
এখানে, 'ঘ' লেখচিত্রটি ফাংশন।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
উল্লম্ব রেখা টেষ্ট।ঘ
উল্লম্ব রেখা গ্রাফকে একটি বিন্দুতে ছেদ করলে সেটি ফাংশন।
এখানে, 'ঘ' লেখচিত্রটি ফাংশন।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৪। \((-7, 8)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করলে বৃত্তটির ব্যাস কত?
এখানে, \(g=7, \ f=-8\)
যেহেতু বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে
\(\therefore f^2=c\)
\(\Rightarrow (-8)^2=c\)
\(\Rightarrow c=64\)
ব্যাস \(=2\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=2\sqrt{7^2+(-8)^2-64}\)
\(=2\sqrt{49+64-64}\)
\(=2\sqrt{49}\)
\(=2\times7\)
\(=14\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(7\)
গ \(14\)
গ \(14\)
খ \(8\)
ঘ \(16\)
দেওয়া আছে, \((-7, 8)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করেঘ \(16\)
এখানে, \(g=7, \ f=-8\)
যেহেতু বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে
\(\therefore f^2=c\)
\(\Rightarrow (-8)^2=c\)
\(\Rightarrow c=64\)
ব্যাস \(=2\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=2\sqrt{7^2+(-8)^2-64}\)
\(=2\sqrt{49+64-64}\)
\(=2\sqrt{49}\)
\(=2\times7\)
\(=14\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\overrightarrow{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
১৫। \(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{A}\) নিচের কোনটি?\(\overrightarrow{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)
ক \(\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\)
গ \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
গ \(-\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}\)
খ \(3\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
ঘ \(-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)ঘ \(-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}\)
\(\overrightarrow{B}\times\overrightarrow{A}\)
\(=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})\times(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\)
\(=\left|\begin{array}{c}\hat{i} & \ \ \ \hat{j} & \ \ \ \hat{k}\\ 1 & \ \ \ 2 & -1\\ 1 & -1 & \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=\hat{i}(2-1)-\hat{j}(1+1)+\hat{k}(-1-2)\)
\(=\hat{i}-2\hat{j}-3\hat{k}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৬। \(\overrightarrow{AB}\) এর মান কত?
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\)
\(=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\)
\(=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
\(=3\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) এর মান \(=|\overrightarrow{AB}|\)
\(=|3\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+(-2)^2}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\sqrt{5}\)
গ \(\sqrt{13}\)
গ \(\sqrt{13}\)
খ \(\sqrt{9}\)
ঘ \(\sqrt{17}\)
দেওয়া আছে, \(\overrightarrow{A}=\hat{i}-\hat{j}+\hat{k}\) এবং \(\overrightarrow{B}=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}\)ঘ \(\sqrt{17}\)
\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{B}-\overrightarrow{A}\)
\(=(\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k})-(\hat{i}-\hat{j}+\hat{k})\)
\(=\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}-\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}\)
\(=3\hat{j}-2\hat{k}\)
\(\overrightarrow{AB}\) এর মান \(=|\overrightarrow{AB}|\)
\(=|3\hat{j}-2\hat{k}|\)
\(=\sqrt{3^2+(-2)^2}\)
\(=\sqrt{9+4}\)
\(=\sqrt{13}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(x+y-2=0\) রেখাটির-
\(i.\) সমান্তরাল রেখা \(2x+2y+3=0\)
\(ii.\) মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক
\(iii.\) দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(2\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠীক?
সমান্তরাল রেখা \(2x+2y+3=0\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+1^1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x+y-2=0\)
\(\Rightarrow x+y=2\)
\(\therefore \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\)
রেখাটির দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times2\times2\)
\(=2\) বর্গ একক
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) সমান্তরাল রেখা \(2x+2y+3=0\)
\(ii.\) মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক
\(iii.\) দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(2\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x+y-2=0\) রেখাটির-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সমান্তরাল রেখা \(2x+2y+3=0\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব \(=\frac{|-2|}{\sqrt{1^2+1^1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x+y-2=0\)
\(\Rightarrow x+y=2\)
\(\therefore \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\)
রেখাটির দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times2\times2\)
\(=2\) বর্গ একক
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৮। নিচের কোনটি অসীম লিমিট?
\[=\frac{2}{5\times0^3}\]
\[=\frac{2}{0}\]
\[=\infty\]
'ক' নং লিমিটটি অসীম
উত্তরঃ ( ক )
ক \[\lim_{x \rightarrow ০}\frac{2}{5x^3}\]
গ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{4^x}\]
গ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{1}{4^x}\]
খ \[\lim_{x \rightarrow 0}e^{-3x}\]
ঘ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{5x^3}\]
\[\lim_{x \rightarrow ০}\frac{2}{5x^3}\]ঘ \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{3}{5x^3}\]
\[=\frac{2}{5\times0^3}\]
\[=\frac{2}{0}\]
\[=\infty\]
'ক' নং লিমিটটি অসীম
উত্তরঃ ( ক )
১৯। \(m=1\) ও \(n=-1\) হলে, \(y=me^{nx}\) এর লেখচিত্র কোনটি?
\(y=me^{nx}\)
\(\therefore y=e^{-x}\)
\(\therefore\) 'খ' নং চিত্রটি \(y=e^{-x}\) এর লেখচিত্র।
উত্তরঃ ( খ )
ক 
গ
গ
খ 
ঘ
\(m=1\) ও \(n=-1\) হলে, ঘ
\(y=me^{nx}\)
\(\therefore y=e^{-x}\)
\(\therefore\) 'খ' নং চিত্রটি \(y=e^{-x}\) এর লেখচিত্র।
উত্তরঃ ( খ )
২০। \(\sec{\frac{x}{4}}\) এর মৌলিক পর্যায় কত?
\(\therefore \sec{\frac{x}{4}}\) এর মৌলিক পর্যায় \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}\)
\(=8\pi\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(4\pi\)
গ \(4\pi\)
খ \(2\pi\)
ঘ \(8\pi\)
\(\sec{(mx)}\) এর মৌলিক পর্যায় \(=\frac{2\pi}{m}\)ঘ \(8\pi\)
\(\therefore \sec{\frac{x}{4}}\) এর মৌলিক পর্যায় \(=\frac{2\pi}{\frac{1}{4}}\)
\(=8\pi\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। \(B=\begin{bmatrix}2 & -7 \\1 & -4 \end{bmatrix}\) হলে, \(B^{-1}\) কোনটি?
\(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{c} \ \ \ d & -b \\-c & \ \ \ a\end{array}\right]\)
\(\therefore B=\begin{bmatrix}2 & -7 \\1 & -4 \end{bmatrix}\) হলে,
\(B^{-1}=\frac{1}{-8+7}\left[\begin{array}{c} -4 & 7 \\-1 & 2\end{array}\right]\)
\(=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{c} -4 & 7 \\-1 & 2\end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{c} -4 & 7 \\-1 & 2\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c} 4 & -7 \\1 & -2\end{array}\right]\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\begin{bmatrix}-4 & 7 \\-1 & 2 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}4 & -1 \\7 & -2 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}4 & -1 \\7 & -2 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}4 & -7 \\1 & -2 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\7 & -4 \end{bmatrix}\)
\(A=\left[\begin{array}{c}a & b \\c & d\end{array}\right]\) হলে,ঘ \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\7 & -4 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\left[\begin{array}{c} \ \ \ d & -b \\-c & \ \ \ a\end{array}\right]\)
\(\therefore B=\begin{bmatrix}2 & -7 \\1 & -4 \end{bmatrix}\) হলে,
\(B^{-1}=\frac{1}{-8+7}\left[\begin{array}{c} -4 & 7 \\-1 & 2\end{array}\right]\)
\(=\frac{1}{-1}\left[\begin{array}{c} -4 & 7 \\-1 & 2\end{array}\right]\)
\(=-\left[\begin{array}{c} -4 & 7 \\-1 & 2\end{array}\right]\)
\(=\left[\begin{array}{c} 4 & -7 \\1 & -2\end{array}\right]\)
উত্তরঃ ( খ )
২২। \(DOMAIN\) শব্দটির-
\(i.\) পূুনর্বিন্যাস সংখ্যা \(=719\)
\(ii.\) স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বিন্যাস সংখ্যা \(=6\)
\(iii.\) সমাবেশ সংখ্যা \(=6!\)
নিচের কোনটি সঠীক?
পূুনর্বিন্যাস সংখ্যা \(=6!-1\)
\(=720-1\)
\(=719\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বিন্যাস সংখ্যা \(=3!\)
\(=6\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{6!}{6!0!}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=1\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) পূুনর্বিন্যাস সংখ্যা \(=719\)
\(ii.\) স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বিন্যাস সংখ্যা \(=6\)
\(iii.\) সমাবেশ সংখ্যা \(=6!\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(DOMAIN\) শব্দটির-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
পূুনর্বিন্যাস সংখ্যা \(=6!-1\)
\(=720-1\)
\(=719\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
স্বরবর্ণের অবস্থান পরিবর্তন না করে বিন্যাস সংখ্যা \(=3!\)
\(=6\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
সমাবেশ সংখ্যা \(=\frac{6!}{6!0!}\)
সমাবেশ সংখ্যা \(=1\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২৩। \(60\) টি জিনিস সমান চার ভাগে ভাগ করলে সমাবেশ সংখ্যা কত?
\(= \ ^{60}C_{15}\times \ ^{45}C_{15}\times \ ^{30}C_{15}\times \ ^{15}C_{15}\)
\(= \frac{60!}{45!15!}\times\frac{45!}{30!15!}\times\frac{30!}{15!15!}\times\frac{15!}{0!15!}\)
\(= \frac{60!}{15!}\times\frac{1}{15!}\times\frac{1}{15!15!}\)
\(= \frac{60!}{(15!)^4}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{60!}{(15!)^4}\)
গ \(\frac{60!}{4(15!)^4}\)
গ \(\frac{60!}{4(15!)^4}\)
খ \(\frac{60!}{4!(15!)^4}\)
ঘ \(\frac{60!}{4!15!}\)
\(60\) টি জিনিস সমান চার ভাগে ভাগ করলে সমাবেশ সংখ্যাঘ \(\frac{60!}{4!15!}\)
\(= \ ^{60}C_{15}\times \ ^{45}C_{15}\times \ ^{30}C_{15}\times \ ^{15}C_{15}\)
\(= \frac{60!}{45!15!}\times\frac{45!}{30!15!}\times\frac{30!}{15!15!}\times\frac{15!}{0!15!}\)
\(= \frac{60!}{15!}\times\frac{1}{15!}\times\frac{1}{15!15!}\)
\(= \frac{60!}{(15!)^4}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৪। \(\int_{0}^{1}e^{5x+3}dx \) এর মান কত?
ক \(e^{8}-e^{3}\)
গ \(\frac{1}{5}(e^{8}-e^{3})\)
গ \(\frac{1}{5}(e^{8}-e^{3})\)
খ \(e^{3}-e^{8}\)
ঘ \(5(e^{8}-e^{3})\)
\(\int_{0}^{1}e^{5x+3}dx \)
\(=\left[\frac{e^{5x+3}}{5}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{e^{5\times1+3}}{5}-\frac{e^{5\times0+3}}{5}\)
\(=\frac{e^{5+3}}{5}-\frac{e^{0+3}}{5}\)
\(=\frac{e^{8}}{5}-\frac{e^{3}}{5}\)
\(=\frac{1}{5}(e^{8}-e^{3})\)
উত্তরঃ ( গ )
ঘ \(5(e^{8}-e^{3})\)
২৫। \(\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -4 \\-4 & -8 \end{bmatrix}\) একটি-
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠীক?
বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right|=-16-16=-32\ne{0}\)
অতএব, ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -4 \\-4 & -8 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -4 \\-4 & -8 \end{bmatrix}\)
অতএব, ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -4 \\-4 & -8 \end{bmatrix}\) একটি-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 2 & -4\\ -4 & -8\end{array}\right|=-16-16=-32\ne{0}\)
অতএব, ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -4 \\-4 & -8 \end{bmatrix}^{T}=\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & -4 \\-4 & -8 \end{bmatrix}\)
অতএব, ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002