শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। একটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা কত?
\(\therefore n(S)=6\)
মৌলিক সংখ্যা উঠার নমুনাক্ষেত্র, \(P=\{2, \ 3, \ 5\}\)
\(\therefore n(P)=3\)
\(\therefore\) মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{n(P)}{n(S)}\)
\(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{6}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(\frac{2}{3}\)
একটি ছক্কা নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র, \(S=\{1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6\}\)ঘ \(\frac{2}{3}\)
\(\therefore n(S)=6\)
মৌলিক সংখ্যা উঠার নমুনাক্ষেত্র, \(P=\{2, \ 3, \ 5\}\)
\(\therefore n(P)=3\)
\(\therefore\) মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{n(P)}{n(S)}\)
\(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
২। \(S=\{x:x\in{\mathbb{Z}}\}\) এবং \(8\le{x^2}\le{27}\) এর গরিষ্ট নিম্নসীমা নিচের কোনটি?
এর নিম্নসীমার সেট, \(\{x:x\in{\mathbb{R}}, \ x\le{-3}\}\)
এর গরিষ্ট নিম্নসীমা \(=-3\)
\(\therefore n(P)=3\)
\(\therefore\) মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{n(P)}{n(S)}\)
\(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-5\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(-3\)
ঘ \(5\)
\(S=\{x:x\in{\mathbb{Z}}\}\) এবং \(8\le{x^2}\le{27}\)ঘ \(5\)
এর নিম্নসীমার সেট, \(\{x:x\in{\mathbb{R}}, \ x\le{-3}\}\)
এর গরিষ্ট নিম্নসীমা \(=-3\)
\(\therefore n(P)=3\)
\(\therefore\) মৌলিক সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{n(P)}{n(S)}\)
\(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(ax-b\gt{0}\) এর সমাধান-
\(i.\) \(\left[\frac{b}{a}, \infty \right)\) যখন \(a\ge{0}\)
\(ii.\) \(\left(-\infty, \frac{b}{a}\right)\) যখন \(a\lt{0}\)
\(iii.\) কোনো সমাধান নেই, যখন \(a=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow ax\gt{b}\)
\(\therefore x\gt{\frac{b}{a}}\)
\(\therefore\) সমাধান সেট \(\left(\frac{b}{a}, \infty \right)\) অথবা, কোনো সমাধান নেই, যখন \(a\ge{0}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
সমাধান সেট \(\left(-\infty, \frac{b}{a}\right)\) যখন \(a\lt{0}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, কোনো সমাধান নেই, যখন \(a=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(\left[\frac{b}{a}, \infty \right)\) যখন \(a\ge{0}\)
\(ii.\) \(\left(-\infty, \frac{b}{a}\right)\) যখন \(a\lt{0}\)
\(iii.\) কোনো সমাধান নেই, যখন \(a=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ax-b\gt{0}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow ax\gt{b}\)
\(\therefore x\gt{\frac{b}{a}}\)
\(\therefore\) সমাধান সেট \(\left(\frac{b}{a}, \infty \right)\) অথবা, কোনো সমাধান নেই, যখন \(a\ge{0}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
সমাধান সেট \(\left(-\infty, \frac{b}{a}\right)\) যখন \(a\lt{0}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, কোনো সমাধান নেই, যখন \(a=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (খ)
৪। \(x^2+4x+13=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\alpha+1\) এবং \(\beta+1\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ
নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{4}{1}, \ \alpha\beta=\frac{13}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-4, \ \alpha\beta=13\)
\(\alpha+1\) এবং \(\beta+1\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+1+\beta+1)x+(\alpha+1)(\beta+1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta+2)x+\alpha\beta+\alpha+\beta+1=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-4+2)x+13-4+1=0\)
\(\therefore x^2+2x+10=0\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের কোনটি?
ক \(x^2+2x+10=0\)
গ \(x^2-2x+10=0\)
গ \(x^2-2x+10=0\)
খ \(x^2+6x+18=0\)
ঘ \(x^2-6x+18=0\)
\(x^2+4x+13=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(x^2-6x+18=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{4}{1}, \ \alpha\beta=\frac{13}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-4, \ \alpha\beta=13\)
\(\alpha+1\) এবং \(\beta+1\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+1+\beta+1)x+(\alpha+1)(\beta+1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(\alpha+\beta+2)x+\alpha\beta+\alpha+\beta+1=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-4+2)x+13-4+1=0\)
\(\therefore x^2+2x+10=0\)
উত্তরঃ (ক)
৫। \(\left(\frac{1}{x^2}+x^2-2\right)^7\) এর বিস্তৃতির মধ্যপদটি কততম?
\(=\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)^7\)
\(=\left\{x^2-2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2\right\}^7\)
\(=\left\{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\right\}^7\)
\(=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{14}\)
যেহেতু, \(14\) একটি জোড় সংখ্যা,
মধ্যপদটি হবে \(\left(\frac{14}{2}+1\right)\) তম।
\(=\left(7+1\right)\) তম।
\(=8\) তম।
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3\) তম
গ \(7\) তম
গ \(7\) তম
খ \(4\) তম
ঘ \(8\) তম
\(\left(\frac{1}{x^2}+x^2-2\right)^7\)ঘ \(8\) তম
\(=\left(x^2-2+\frac{1}{x^2}\right)^7\)
\(=\left\{x^2-2.x.\frac{1}{x}+\left(\frac{1}{x}\right)^2\right\}^7\)
\(=\left\{\left(x-\frac{1}{x}\right)^2\right\}^7\)
\(=\left(x-\frac{1}{x}\right)^{14}\)
যেহেতু, \(14\) একটি জোড় সংখ্যা,
মধ্যপদটি হবে \(\left(\frac{14}{2}+1\right)\) তম।
\(=\left(7+1\right)\) তম।
\(=8\) তম।
উত্তরঃ (ঘ)
৬। \((1+x)^{-3}\) এর বিস্তৃতির \(5\) তম পদের সহগ কত?
অর্থাৎ, \((4+1)\) তম পদের সহগ \(=\frac{-3(-3-1)(-3-2)(-3-3)}{4!}\)
\(=\frac{-3(-4)(-5)(-6)}{4.3.2.1}\)
\(=\frac{360}{24}\)
\(=15\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-15\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(-10\)
ঘ \(15\)
\((1+x)^{-3}\) এর বিস্তৃতির \(5\) তম পদের সহগ,ঘ \(15\)
অর্থাৎ, \((4+1)\) তম পদের সহগ \(=\frac{-3(-3-1)(-3-2)(-3-3)}{4!}\)
\(=\frac{-3(-4)(-5)(-6)}{4.3.2.1}\)
\(=\frac{360}{24}\)
\(=15\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। \(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}=\) কত?
\(=\frac{1}{2}\times2\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{2\times\frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}}\) যেহেতু, \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9+1}{9}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{\frac{3}{5}}\)
গ \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
গ \(\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
খ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
ঘ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}\)
\(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)ঘ \(\cos^{-1}{\frac{4}{5}}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{2\times\frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}}\) যেহেতু, \(2\tan^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2x}{1+x^2}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9+1}{9}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(z=-2i\) একটি জটিল সংখ্যা।
৮। \(\overline{z}\) এর প্রতিরূপী বিন্দু কোনটি?\(z=-2i\) একটি জটিল সংখ্যা।
ক \((-2, 0)\)
গ \((2, 0)\)
গ \((2, 0)\)
খ \((0, -2)\)
ঘ \((0, 2)\)
\(z=-2i\)ঘ \((0, 2)\)
\(\Rightarrow z=0-2i\)
\(\Rightarrow \overline{z}=\overline{0-2i}\)
\(\therefore \overline{z}=0+2i\)
এখানে, \(x=0, \ y=2\)
\(\therefore\) প্রতিরূপী বিন্দু \((0, 2)\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(z\) এর মুখ্য আর্গুমেন্ট কত?
\(\Rightarrow z=0-2i\)
এখানে, \(x=0, \ y=-2\)
\(z\) এর মুখ্য আর্গুমেন্ট \(=-\tan^{-1}{\frac{2}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\infty}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\pi\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\pi\)
\(z=-2i\)ঘ \(\pi\)
\(\Rightarrow z=0-2i\)
এখানে, \(x=0, \ y=-2\)
\(z\) এর মুখ্য আর্গুমেন্ট \(=-\tan^{-1}{\frac{2}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\infty}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(z=x+iy\) হলে-
\(i.\) \(z-\overline{z}\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা
\(ii.\) \(z.\overline{z}\) একটি বাস্তব সংখ্যা
\(iii.\) \(z^n\) একটি বাস্তব সংখ্যা, যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখন, \(z-\overline{z}\)
\(=x+iy-(x-iy)\)
\(=x+iy-x+iy\)
\(=2iy\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(z.\overline{z}\)
\(=(x+iy)\overline{x+iy}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-(iy)^2\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\) যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(z^n\)
\(=z^1\)
\(=z\)
\(=x+iy\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
আবার, \(z^n\)
\(=z^2\)
\(=(x+iy)^2\)
\(=x^2+2ixy+i^2y^2\)
\(=x^2+2ixy-y^2\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
আবার, \(z^n\)
\(=z^3\)
\(=(x+iy)^3\)
\(=x^3+3x^2iy+3xi^2y^2+i^3y^3\)
\(=x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3\)
\(=x^2-3xy^2+i(2x^2y-y^3)\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(z-\overline{z}\) একটি কাল্পনিক সংখ্যা
\(ii.\) \(z.\overline{z}\) একটি বাস্তব সংখ্যা
\(iii.\) \(z^n\) একটি বাস্তব সংখ্যা, যেখানে \(n\in{\mathbb{N}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=x+iy\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখন, \(z-\overline{z}\)
\(=x+iy-(x-iy)\)
\(=x+iy-x+iy\)
\(=2iy\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(z.\overline{z}\)
\(=(x+iy)\overline{x+iy}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-(iy)^2\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\) যা একটি বাস্তব সংখ্যা।
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(z^n\)
\(=z^1\)
\(=z\)
\(=x+iy\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
আবার, \(z^n\)
\(=z^2\)
\(=(x+iy)^2\)
\(=x^2+2ixy+i^2y^2\)
\(=x^2+2ixy-y^2\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
আবার, \(z^n\)
\(=z^3\)
\(=(x+iy)^3\)
\(=x^3+3x^2iy+3xi^2y^2+i^3y^3\)
\(=x^3+3ix^2y-3xy^2-iy^3\)
\(=x^2-3xy^2+i(2x^2y-y^3)\) যা একটি কাল্পনিক সংখ্যা।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১১। \(24\) মিটার দীর্ঘ একটি দণ্ডের দুই প্রান্তে \(12N\) এবং \(8N\) মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত হলে তাদের লব্ধি \(8N\) বল হতে কত দূরে অবস্থান করবে?
\(\therefore AC.12=BC.8\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{8}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{8+12}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{20}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{24}{BC}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 5.BC=72\)
\(\Rightarrow BC=\frac{72}{5}\)
\(\therefore BC=14.4\)
\(\therefore 8N\) বল হতে \(14.4\) মিটার
উত্তরঃ (গ)
ক \(8\) মিটার
গ \(14.4\) মিটার
গ \(14.4\) মিটার
খ \(9.6\) মিটার
ঘ \(20\) মিটার
ধরি, \(AB\) দণ্ডের \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে \(12N\) এবং \(8N\) মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত এবং লব্ধির ক্রিয়া বিন্দু \(C\) ঘ \(20\) মিটার
\(\therefore AC.12=BC.8\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{8}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{8+12}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{20}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{24}{BC}=\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow 5.BC=72\)
\(\Rightarrow BC=\frac{72}{5}\)
\(\therefore BC=14.4\)
\(\therefore 8N\) বল হতে \(14.4\) মিটার
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১২ ও ১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) একটি কণিকের সমীকরণ।
১২। কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক \((\pm\sqrt{7}, 0)\)
গ \((0, \pm\sqrt{7})\)
গ \((0, \pm\sqrt{7})\)
খ \((\pm5, 0)\)
ঘ \((0, \pm5)\)
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)ঘ \((0, \pm5)\)
এখানে, \(a^2=9, \ b^2=16\)
\(\therefore a=3, \ b=4\)
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{3\times\frac{5}{3}}, 0\right)\)
\(\therefore (\pm5, 0)\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। কণিকটির-
\(i.\) সীমতট রেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(ii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ,\(5x\pm9=0\)
\(iii.\) পরামিতিক সমীকরণ, \(x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(a^2=9, \ b^2=16\)
\(\therefore a=3, \ b=4\)
এবং \(e=\frac{5}{3}\)
সীমতট রেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm\frac{4}{3}x\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, নিয়ামক রেখার সমীকরণ,\(x=\pm\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm9\)
\(\therefore 5x\pm9=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(L.S=\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}\)
\(=\frac{(3\sec{\theta})^2}{9}-\frac{(4\tan{\theta})^2}{16}\)
\(=\frac{9\sec^2{\theta}}{9}-\frac{16\tan^2{\theta}}{16}\)
\(=\sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}\)
\(=1=R.S\)
\(\therefore x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে,
\(\therefore\) কণিকটির পরামিতিক সমীকরণ, \(x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) সীমতট রেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(ii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ,\(5x\pm9=0\)
\(iii.\) পরামিতিক সমীকরণ, \(x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(a^2=9, \ b^2=16\)
\(\therefore a=3, \ b=4\)
এবং \(e=\frac{5}{3}\)
সীমতট রেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm\frac{4}{3}x\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, নিয়ামক রেখার সমীকরণ,\(x=\pm\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5x=\pm9\)
\(\therefore 5x\pm9=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(L.S=\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}\)
\(=\frac{(3\sec{\theta})^2}{9}-\frac{(4\tan{\theta})^2}{16}\)
\(=\frac{9\sec^2{\theta}}{9}-\frac{16\tan^2{\theta}}{16}\)
\(=\sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}\)
\(=1=R.S\)
\(\therefore x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করে,
\(\therefore\) কণিকটির পরামিতিক সমীকরণ, \(x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১৪। \(\sin{\theta}+1=0\) হলে, \(\theta=?\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-1\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2},\ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((4n-1)\frac{\pi}{2},\ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2},\ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2},\ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \((4n+1)\frac{\pi}{2},\ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \((2n-1)\pi,\ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{\theta}+1=0\) সরলরেখার ঢাল,ঘ \((2n-1)\pi,\ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-1\)
\(\therefore \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2},\ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
১৫। দুইটি অসম রাশির গাণিতিক গড় ও ভেদাংক যথাক্রমে \(15\) ও \(36\) হলে রাশি দুইটি কত?
আবার, ভেদাংক \(=\frac{(9-15)^2+(21-15)^2}{2}=\frac{6^2+6^2}{2}=36\)
\(\therefore\) রাশি দুইটি \(9, \ 21\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(7, \ 23\)
গ \(9, \ 21\)
গ \(9, \ 21\)
খ \(8, \ 22\)
ঘ \(10, \ 20\)
এখানে, গাণিতিক গড় \(\frac{9+21}{2}=15\) ঘ \(10, \ 20\)
আবার, ভেদাংক \(=\frac{(9-15)^2+(21-15)^2}{2}=\frac{6^2+6^2}{2}=36\)
\(\therefore\) রাশি দুইটি \(9, \ 21\)
উত্তরঃ (গ)
১৬।
চিত্রে \(ABCD\) একটি বর্গক্ষেত্র। \(A\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলত্রয়ের লব্ধি কত?
\(AB\) ও \(AD\) বরাবর ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\) যা \(AC\) বরাবর ক্রিয়া করে।
কিন্তু পূর্বেই \(AC\) বরাবর ক্রিয়ারত বল \(=2N\)
তাহলে, \(AC\) বরাবর ক্রিয়ারত মোট বল \(=2N+2N\)
\(=4N\)
উত্তরঃ (খ)
চিত্রে \(ABCD\) একটি বর্গক্ষেত্র। \(A\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলত্রয়ের লব্ধি কত?
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(4\)
ঘ \(16\)
চিত্রে \(ABCD\) একটি বর্গক্ষেত্র। \(A\) বিন্দুতে \(AB, \ AC\) \(AD\) বরাবর ক্রিয়ারত বলত্রয় যথাক্রমে \(\sqrt{2}N, \ 2N, \ \sqrt{2}N\)ঘ \(16\)
\(AB\) ও \(AD\) বরাবর ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(=\sqrt{(\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2}=\sqrt{2+2}=\sqrt{4}=2\) যা \(AC\) বরাবর ক্রিয়া করে।
কিন্তু পূর্বেই \(AC\) বরাবর ক্রিয়ারত বল \(=2N\)
তাহলে, \(AC\) বরাবর ক্রিয়ারত মোট বল \(=2N+2N\)
\(=4N\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(|2x-9|\gt{7}\) অসমতাটির সমাধান-
\(\Rightarrow \pm(2x-9)\gt{7}\)
\(\Rightarrow -(2x-9)\gt{7} \text{অথবা,} (2x-9)\gt{7}\)
\(\Rightarrow 2x-9\lt{-7} \text{অথবা,} 2x-9\gt{7}\)
\(\Rightarrow 2x\lt{9-7} \text{অথবা,} 2x\gt{9+7}\)
\(\Rightarrow 2x\lt{2} \text{অথবা,} 2x\gt{16}\)
\(\Rightarrow x\lt{1} \text{অথবা,} x\gt{8}\)
\(\therefore (-\infty, 1)\cup{(8, \infty)}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \((-\infty, 1)\)
গ \((-\infty, 1)\cup{(8, \infty)}\)
গ \((-\infty, 1)\cup{(8, \infty)}\)
খ \((8, \infty)\)
ঘ \((-\infty, 1)\cap{(8, \infty)}\)
\(|2x-9|\gt{7}\)ঘ \((-\infty, 1)\cap{(8, \infty)}\)
\(\Rightarrow \pm(2x-9)\gt{7}\)
\(\Rightarrow -(2x-9)\gt{7} \text{অথবা,} (2x-9)\gt{7}\)
\(\Rightarrow 2x-9\lt{-7} \text{অথবা,} 2x-9\gt{7}\)
\(\Rightarrow 2x\lt{9-7} \text{অথবা,} 2x\gt{9+7}\)
\(\Rightarrow 2x\lt{2} \text{অথবা,} 2x\gt{16}\)
\(\Rightarrow x\lt{1} \text{অথবা,} x\gt{8}\)
\(\therefore (-\infty, 1)\cup{(8, \infty)}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(2x+y\le{8}, \ 2x+3y\le{12}, \ x\ge{0}, \ y\ge{0}\) শর্ত সাপেক্ষে \(z=4x+3y\) এর সর্বোচ্চ মান কোনটি?
চিত্রের \((3, 2)\) বিন্দুটি সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
\(\therefore z\) এর সর্বোচ্চ মান,
\(z=4x+3y\)
\(=4\times3+3\times2\)
\(=12+6\)
\(=18\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(12\)
গ \(17\)
গ \(17\)
খ \(16\)
ঘ \(18\)
\(2x+y\le{8}, \ 2x+3y\le{12}, \ x\ge{0}, \ y\ge{0}\) শর্ত সাপেক্ষেঘ \(18\)
চিত্রের \((3, 2)\) বিন্দুটি সকল শর্ত সিদ্ধ করে।
\(\therefore z\) এর সর্বোচ্চ মান,\(z=4x+3y\)
\(=4\times3+3\times2\)
\(=12+6\)
\(=18\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৯ ও ২০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y=ax^2+bx+c, \ (a\ne{0})\) বক্ররেখাটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
১৯। পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা হলো-\(y=ax^2+bx+c, \ (a\ne{0})\) বক্ররেখাটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল
গ \(x\) অক্ষ
গ \(x\) অক্ষ
খ \(y\) অক্ষের সমান্তরাল
ঘ \(y\) অক্ষ
\(y=ax^2+bx+c, \ (a\ne{0})\)ঘ \(y\) অক্ষ
বক্ররেখাটি একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ যার অক্ষরেখা,
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল।
উত্তরঃ (খ)
২০। পরাবৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়-
পরাবৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(y=0\)
\(\therefore ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
কারণ, পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু \(\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
অর্থাৎ \(x\) একটি মাত্র মান \(-\frac{b}{2a}\)
উত্তরঃ (ক)
ক বাস্তব ও সমান
গ অমূলদ ও অসমান
গ অমূলদ ও অসমান
খ মূলদ ও অসমান
ঘ জটিল ও অসমান
\(y=ax^2+bx+c, \ (a\ne{0})\)ঘ জটিল ও অসমান
পরাবৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে \(y=0\)
\(\therefore ax^2+bx+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান হবে।
কারণ, পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু \(\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{b^2-4ac}{4a}\right)\)
অর্থাৎ \(x\) একটি মাত্র মান \(-\frac{b}{2a}\)
উত্তরঃ (ক)
২১। ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকত্রয়ের ছেদবিন্দুকে কি বলা হয়?
উত্তরঃ (ক)
ক অন্তঃকেন্দ্র
গ ভরকেন্দ্র
গ ভরকেন্দ্র
খ পরিকেন্দ্র
ঘ লম্বকেন্দ্র
ত্রিভুজের অন্তঃবৃত্তের কেন্দ্র, ত্রিভুজের অন্তঃস্থ কোণত্রয়ের সমদ্বিখন্ডকত্রয়ের ছেদবিন্দুতে অবস্থান করে।ঘ লম্বকেন্দ্র
উত্তরঃ (ক)
২২। \(30m/s\) বেগে একটি বস্তুকণা \(30^{o}\) কোণে প্রক্ষিপ্ত হলে প্রক্ষেপকটির-
\(i.\) আনুভূমিক পাল্লাঃ \(79.53 m\)
\(ii.\) সর্বাধিক উচ্চতাঃ \(11.48 m\)
\(iii.\) বিচরণ কালঃ \(3.06 sec\)
নিচের কোনটি সঠিক?
আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{30^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{900\sin{60^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{900\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{450\times\sqrt{3}}{9.8}\)
\(=\frac{779.42}{9.8}\)
\(=79.53 m\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
সর্বাধিক উচ্চতা, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{30^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{900\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{19.6}\)
\(=\frac{900\times\frac{1}{4}}{19.6}\)
\(=\frac{225}{19.6}\)
\(=11.48 m\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণ কাল, \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times30\times\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{60\times\frac{1}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{30}{9.8}\)
\(=3.06 sec\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) আনুভূমিক পাল্লাঃ \(79.53 m\)
\(ii.\) সর্বাধিক উচ্চতাঃ \(11.48 m\)
\(iii.\) বিচরণ কালঃ \(3.06 sec\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(30m/s\) বেগে একটি বস্তুকণা \(30^{o}\) কোণে প্রক্ষিপ্ত হলে প্রক্ষেপকটিরঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{30^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{900\sin{60^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{900\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{450\times\sqrt{3}}{9.8}\)
\(=\frac{779.42}{9.8}\)
\(=79.53 m\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
সর্বাধিক উচ্চতা, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{30^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{900\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{19.6}\)
\(=\frac{900\times\frac{1}{4}}{19.6}\)
\(=\frac{225}{19.6}\)
\(=11.48 m\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণ কাল, \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times30\times\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{60\times\frac{1}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{30}{9.8}\)
\(=3.06 sec\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(u\) বেগে এবং \(\alpha\) কোণে প্রক্ষিপ্ত বস্তুকণার \(\alpha\) এর কোন মানের জন্য আনুভূমিক পাল্লা সর্বাধিক হবে?
\(R\) বৃহত্তম হবে যখন \(\sin{2\alpha}\) এর মান বৃহত্তম হবে।
\(\therefore \sin{2\alpha}=1\) কারণ \(\sin{\theta}\) এর মান বৃহত্তম \(1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(30^{o}\)
আনুভূমিক পাল্লা, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)ঘ \(30^{o}\)
\(R\) বৃহত্তম হবে যখন \(\sin{2\alpha}\) এর মান বৃহত্তম হবে।
\(\therefore \sin{2\alpha}=1\) কারণ \(\sin{\theta}\) এর মান বৃহত্তম \(1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমস্যা গঠনে-
\(i.\) সসীম সম্পদ থাকতে হবে
\(ii.\) সিদ্ধান্ত চলক থাকতে হবে
\(iii.\) সিদ্ধান্ত চলক ধনাত্মক হতে পারেনা
নিচের কোনটি সঠিক?
সসীম সম্পদ থাকতে হবে
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
সিদ্ধান্ত চলক থাকতে হবে
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
সিদ্ধান্ত চলক ধনাত্মক হতে পারেনা
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) সসীম সম্পদ থাকতে হবে
\(ii.\) সিদ্ধান্ত চলক থাকতে হবে
\(iii.\) সিদ্ধান্ত চলক ধনাত্মক হতে পারেনা
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম সমস্যা গঠনে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সসীম সম্পদ থাকতে হবে
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
সিদ্ধান্ত চলক থাকতে হবে
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
সিদ্ধান্ত চলক ধনাত্মক হতে পারেনা
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা এবং \(P(A\cap{B})=P(A).P(B)\) হলে, ঘটনাদ্বয়-
স্বাধীন হবে।
উত্তরঃ (ক)
ক স্বাধীন
গ বর্জনশীল
গ বর্জনশীল
খ অধীন
ঘ নিশ্চিত
\(A\) ও \(B\) দুইটি ঘটনা এবং \(P(A\cap{B})=P(A).P(B)\) হলে, ঘটনাদ্বয়-ঘ নিশ্চিত
স্বাধীন হবে।
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001