শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(2x^2-x+2\) এর ন্যূনতম মান কত?
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(2x^2-x+2)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=4x-1\)
\(f(x)\) এর ন্যূনতম মানের \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 4x-1=0\)
\(\Rightarrow 4x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{4}\)
\(f(x)\) এর ন্যূনতম মান \(=f\left(\frac{1}{4}\right)\)
\(=2\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{4}+2\)
\(=2\times\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+2\)
\(=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+2\)
\(=\frac{1-2+16}{8}\)
\(=\frac{15}{8}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2\)
গ \(\frac{3}{8}\)
গ \(\frac{3}{8}\)
খ \(\frac{15}{8}\)
ঘ \(\frac{17}{8}\)
\(f(x)=2x^2-x+2\)ঘ \(\frac{17}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}\{f(x)\}=\frac{d}{dx}(2x^2-x+2)\)
\(\therefore f^{\prime}(x)=4x-1\)
\(f(x)\) এর ন্যূনতম মানের \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\therefore 4x-1=0\)
\(\Rightarrow 4x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{4}\)
\(f(x)\) এর ন্যূনতম মান \(=f\left(\frac{1}{4}\right)\)
\(=2\left(\frac{1}{4}\right)^2-\frac{1}{4}+2\)
\(=2\times\frac{1}{16}-\frac{1}{4}+2\)
\(=\frac{1}{8}-\frac{1}{4}+2\)
\(=\frac{1-2+16}{8}\)
\(=\frac{15}{8}\)
উত্তরঃ ( খ )
২। \(k\) এর মান কত হলে \(x^2+(k^2-4)x+2k-6=0\) সমীকরণের মূল দুইটি পরস্পর উল্টা ও বিপরীত চিহ্নবিশিষ্ট হবে?
\(\therefore \alpha\times-\frac{1}{\alpha}=\frac{2k-6}{1}\)
\(\Rightarrow -1=2k-6\)
\(\Rightarrow 2k-6=-1\)
\(\Rightarrow 2k=-1+6\)
\(\Rightarrow 2k=5\)
\(\therefore k=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\pm{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
খ \(\pm{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\frac{7}{2}\)
শর্তমতে, \(x^2+(k^2-4)x+2k-6=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\alpha, \ -\frac{1}{\alpha}\)ঘ \(\frac{7}{2}\)
\(\therefore \alpha\times-\frac{1}{\alpha}=\frac{2k-6}{1}\)
\(\Rightarrow -1=2k-6\)
\(\Rightarrow 2k-6=-1\)
\(\Rightarrow 2k=-1+6\)
\(\Rightarrow 2k=5\)
\(\therefore k=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(\left(x-\frac{y}{2}\right)^n\) এর বিস্তৃতিতে-
\(i.\) প্রথম পদ \(=x^n\)
\(ii.\) ৩য় পদ \(=-\frac{n(n-1)}{8}x^{n-2}y^2\)
\(iii.\) \(n\) বিজোড় হলে মধ্যপদ হবে \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) ও \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) তম পদ
নিচের কোনটি সঠীক?
\(i.\) ও \(iii.\) বাক্যদ্বয় সত্য
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) প্রথম পদ \(=x^n\)
\(ii.\) ৩য় পদ \(=-\frac{n(n-1)}{8}x^{n-2}y^2\)
\(iii.\) \(n\) বিজোড় হলে মধ্যপদ হবে \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) ও \(\left(\frac{n+1}{2}\right)\) তম পদ
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\left(x-\frac{y}{2}\right)^n\) এর বিস্তৃতিতে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(i.\) ও \(iii.\) বাক্যদ্বয় সত্য
উত্তরঃ ( খ )
৪। \(-3-3i\) এর মুখ্য আর্গুমেন্ট কত?
\(\theta=\tan^{-1}\left|\frac{-3}{-3}\right|\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\tan^{-1}\tan{\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)}\) যেহেতু \((-3, -3)\) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}\)
বিপরীতক্রমে,
\(=\frac{5\pi}{4}-2\pi\)
\(=\frac{5\pi-8\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{3\pi}{4}\)
গ \(-\frac{\pi}{4}\)
গ \(-\frac{\pi}{4}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(-\frac{3\pi}{4}\)
\(-3-3i\) এর মুখ্য আর্গুমেন্টঘ \(-\frac{3\pi}{4}\)
\(\theta=\tan^{-1}\left|\frac{-3}{-3}\right|\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\tan^{-1}\tan{\left(\pi+\frac{\pi}{4}\right)}\) যেহেতু \((-3, -3)\) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}\)
বিপরীতক্রমে,
\(=\frac{5\pi}{4}-2\pi\)
\(=\frac{5\pi-8\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৫। যদি \((x+1)^{30}\) এর বিস্তৃতিতে \(r\) তম পদের সহগ \((r+6)\) তম পদের সহগের সমান হয় তবে \(r\) এর মান হবে-
\(\therefore r+6+r=n+2\)
\(\Rightarrow r+6+r=30+2\)
\(\Rightarrow 2r=32-6\)
\(\Rightarrow 2r=26\)
\(\therefore r=13\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(12\)
গ \(27\)
গ \(27\)
খ \(13\)
ঘ \(28\)
\((x+1)^{30}\) এর বিস্তৃতিতে\((r+6)\) ও \(r\) তম পদের সহগ সমান ঘ \(28\)
\(\therefore r+6+r=n+2\)
\(\Rightarrow r+6+r=30+2\)
\(\Rightarrow 2r=32-6\)
\(\Rightarrow 2r=26\)
\(\therefore r=13\)
উত্তরঃ ( খ )
৬। \(S=\left\{\frac{1}{2}, \ \frac{2}{3}, \ \frac{3}{4}, \ \frac{4}{5}, ......\frac{n}{n+1}, .....\right\}\) সেটটির \(Sup(S)=?\)
\(\therefore Sup(S)=1\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{4}{5}\)
ঘ \(\infty\)
\(n\rightarrow \infty \Rightarrow \frac{n}{n+1}\rightarrow 1\) ঘ \(\infty\)
\(\therefore Sup(S)=1\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৭ এবং ৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(9x^2-4y^2=36\) এর-
৭। উতকেন্দ্রিকতা কোনটি?\(9x^2-4y^2=36\) এর-
ক \(\frac{\sqrt{13}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
খ \(\frac{\sqrt{13}}{3}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(9x^2-4y^2=36\)ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{36}-\frac{4y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে,\(a=2, \ b=3\)
উতকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
উত্তরঃ ( ক )
৮। উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{36}-\frac{4y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে,\(a=2, \ b=3\)
উতকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{2\times\frac{\sqrt{13}}{2}}, 0\right)\)
\(\therefore \left(\pm{\sqrt{13}}, 0\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \((\pm{\sqrt{13}}, 0)\)
গ \((0, \pm{\sqrt{5}})\)
গ \((0, \pm{\sqrt{5}})\)
খ \((0, \pm{\sqrt{13}})\)
ঘ \((\pm{\sqrt{5}}, 0)\)
\(9x^2-4y^2=36\)ঘ \((\pm{\sqrt{5}}, 0)\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{36}-\frac{4y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে,\(a=2, \ b=3\)
উতকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+9}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{2\times\frac{\sqrt{13}}{2}}, 0\right)\)
\(\therefore \left(\pm{\sqrt{13}}, 0\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
৯। \(i.\) \(cosec^{-1}x+\sec^{-1}x=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) \(2\cot^{-1}x=\cot^{-1}\frac{x^2-1}{2x}\)
\(iii.\) \(\cos^{-1}x=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠীক?
\(i.\) ও \(ii.\) বাক্যদ্বয় সত্য
উত্তরঃ ( ক )
\(ii.\) \(2\cot^{-1}x=\cot^{-1}\frac{x^2-1}{2x}\)
\(iii.\) \(\cos^{-1}x=\tan^{-1}\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উপরের তথ্যের আলোকে নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
উপরের তথ্যের আলোকেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(i.\) ও \(ii.\) বাক্যদ্বয় সত্য
উত্তরঃ ( ক )
১০। \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত \(\sqrt{5}\) একক মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি কত?
\(=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2+2\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{5+5+10\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{10+5}\)
\(=\sqrt{15}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2\sqrt{5}\)
গ \(\sqrt{10+5\sqrt{3}}\)
গ \(\sqrt{10+5\sqrt{3}}\)
খ \(\sqrt{15}\)
ঘ \(10+5\sqrt{3}\)
\(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত \(\sqrt{5}\) একক মানের দুইটি সমান বলের লব্ধিঘ \(10+5\sqrt{3}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2+2\times\sqrt{5}\times\sqrt{5}\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{5+5+10\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{10+5}\)
\(=\sqrt{15}\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। \(1, \ 2\) ও \(3\) সংখ্যাগুলির ভেদাংক নিচের কোনটি?
ভেদাংক \(=\frac{n^2-1}{12}\)
\(=\frac{3^2-1}{12}\)
\(=\frac{9-1}{12}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(\frac{3}{2}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
এখানে, \(n=3\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
ভেদাংক \(=\frac{n^2-1}{12}\)
\(=\frac{3^2-1}{12}\)
\(=\frac{9-1}{12}\)
\(=\frac{8}{12}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
১২। দৈবভাবে দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে দুইটি ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যার যোগফল \(4\) এর কম হওয়ার সম্ভাবনা কত?
\((1, 1), \ (1, 2), \ (2, 1)\) মোট 3টি
সম্ভাবনা \(=\frac{3}{36}\)
\(=\frac{1}{12}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{12}\)
গ \(\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{1}{4}\)
খ \(\frac{1}{6}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
দৈবভাবে দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করলে দুইটি ছক্কায় প্রাপ্ত সংখ্যার যোগফল \(4\) এর কম হওয়ার নমুনাক্ষেত্রঘ \(\frac{1}{2}\)
\((1, 1), \ (1, 2), \ (2, 1)\) মোট 3টি
সম্ভাবনা \(=\frac{3}{36}\)
\(=\frac{1}{12}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৩। \(y=(x+2)^2\) পরাবৃত্তের লেখচিত্র কোনটি?
উত্তরঃ ( খ )
ক 
গ
গ
খ
ঘ
\(y=(x+2)^2\) পরাবৃত্তের লেখচিত্রঘ
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(Z=2x+i3y; \ x\) ও \(y\) বাস্তব সংখ্যা হলে \(|Z|=1\) দ্বারা কি নির্দেশিত হয়?
\(\therefore |Z|=|2x+i3y|=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2x)^2+(3y)^2}=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{4x^2+9y^2}=1\)
\(\Rightarrow 4x^2+9y^2=1^2\)
\(\therefore 4x^2+9y^2=1\) যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( খ )
ক বৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\(Z=2x+i3y\) এবং \(|Z|=1\)ঘ অধিবৃত্ত
\(\therefore |Z|=|2x+i3y|=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{(2x)^2+(3y)^2}=1\)
\(\Rightarrow \sqrt{4x^2+9y^2}=1\)
\(\Rightarrow 4x^2+9y^2=1^2\)
\(\therefore 4x^2+9y^2=1\) যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ ( খ )
১৫। \(\frac{1}{x(x-1)}\lt{0}\) এর সমাধান নিচের কোনটি?
\(\therefore x\gt{0}\) এবং \(x\lt{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(x\lt{0}\) এবং \(x\gt{1}\)
গ \(x\gt{0}\) অথবা \(x\gt{1}\)
গ \(x\gt{0}\) অথবা \(x\gt{1}\)
খ \(x\gt{0}\) এবং \(x\lt{1}\)
ঘ \(x\lt{0}\) অথবা \(x\lt{1}\)
\(\frac{1}{x(x-1)}\lt{0}\) এর সমাধান \(0\lt{x}\lt{1}\)ঘ \(x\lt{0}\) অথবা \(x\lt{1}\)
\(\therefore x\gt{0}\) এবং \(x\lt{1}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৬। এককের একটি ঘনমূল \(x\) ও \(y\) হলে-
\(i.\) \(x^2=y\)
\(ii.\) \(x^2+y^2=i^2\)
\(iii.\) \(x^2y^2=i^4\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(i., ii.\) ও \(iii.\) বাক্যত্রয় সত্য
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(x^2=y\)
\(ii.\) \(x^2+y^2=i^2\)
\(iii.\) \(x^2y^2=i^4\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এককের একটি ঘনমূল \(x\) ও \(y\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(i., ii.\) ও \(iii.\) বাক্যত্রয় সত্য
উত্তরঃ ( ঘ )
১৭। কোনো ছাত্র \(300\) টাকা ব্যয় করে \(x\) সংখ্যক খাতা ও \(y\) সংখ্যক কলম কিনতে চায়। প্রতিটি খাতার দাম \(25\) টাকা ও কলমের দাম \(10\) টাকা। \(9\)টির বেশি খাতা ও কমপক্ষে \(3\)টি কলম সে ক্রয় করবে। কোন
প্রকারের কতগুলি জিনিস ক্রয় করলে সে সর্বোচ্চ সংখ্যক জিনিস ক্রয় করতে পারবে?
এর যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম নিচের কোনটি?
\(25x+10y\le{300}, \ x\gt{9}, \ y\ge{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
এর যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রাম নিচের কোনটি?
ক \(25x+10y\le{300}, \ x\gt{9}, \ y\ge{3}\)
গ \(25x+10y\le{300}, \ x\lt{9}, \ y\lt{3}\)
গ \(25x+10y\le{300}, \ x\lt{9}, \ y\lt{3}\)
খ \(25x+10y\le{300}, \ x\ge{9}, \ y\ge{3}\)
ঘ \(25x+10y\le{300}, \ x\lt{9}, \ y\le{3}\)
প্রদত্ত শর্ত মতে যোগাশ্রয়ী প্রগ্রামটি নিম্নরূপঃঘ \(25x+10y\le{300}, \ x\lt{9}, \ y\le{3}\)
\(25x+10y\le{300}, \ x\gt{9}, \ y\ge{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। \(x^3-bx^2+cx-a=0\) সমীকরণের মূলগুলির বিপরীত মূলগুলি দ্বারা গঠিত সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\left(\frac{1}{x}\right)^3-b\left(\frac{1}{x}\right)^2+c\left(\frac{1}{x}\right)-a=0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^3}-\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x}-a=0\)
\(\Rightarrow 1-bx+cx^2-ax^3=0\) উভয় পার্শে \(x^3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -ax^3+cx^2-bx+1=0\)
\(\therefore ax^3-cx^2+bx-1=0\) উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-x^3+bx^2-cx+a=0\)
গ \(x^3+bx^2+cx+a=0\)
গ \(x^3+bx^2+cx+a=0\)
খ \(ax^3+cx^2-bx+1=0\)
ঘ \(ax^3-cx^2+bx-1=0\)
প্রদত্ত সমীকরণের মূলগুলির বিপরীত মূলগুলি দ্বারা গঠিত সমীকরণ ঘ \(ax^3-cx^2+bx-1=0\)
\(\left(\frac{1}{x}\right)^3-b\left(\frac{1}{x}\right)^2+c\left(\frac{1}{x}\right)-a=0\)
\(\Rightarrow \frac{1}{x^3}-\frac{b}{x^2}+\frac{c}{x}-a=0\)
\(\Rightarrow 1-bx+cx^2-ax^3=0\) উভয় পার্শে \(x^3\) গুণ করে।
\(\Rightarrow -ax^3+cx^2-bx+1=0\)
\(\therefore ax^3-cx^2+bx-1=0\) উভয় পার্শে \(-1\) গুণ করে।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(\sqrt{3}+2\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নিচের কোনটি?
উপরোক্ত মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ \(x^2-(\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+2)x+(\sqrt{3}+2)(-\sqrt{3}+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-(\sqrt{3})^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4-3=0\)
\(\therefore x^2-4x+1=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(x^2-x+4=0\)
গ \(x^2-2\sqrt{3}x-1=0\)
গ \(x^2-2\sqrt{3}x-1=0\)
খ \(x^2-4x+1=0\)
ঘ \(x^2+x+2\sqrt{3}=0\)
কোনো সমীকরণ একটি মূল \(\sqrt{3}+2\) হলে, অপর মূলটি হয় \(-\sqrt{3}+2\)ঘ \(x^2+x+2\sqrt{3}=0\)
উপরোক্ত মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত সমীকরণ \(x^2-(\sqrt{3}+2-\sqrt{3}+2)x+(\sqrt{3}+2)(-\sqrt{3}+2)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-(\sqrt{3})^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4-3=0\)
\(\therefore x^2-4x+1=0\)
উত্তরঃ ( খ )
২০। \(x^2-3x+4=0\) সমীকরণের মূলগুলির প্রকৃতি কিরূপ?
নিশ্চায়ক \(D=(-3)^2-4.1.4\)
\(=9-16\)
\(=-7\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore \) সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব
উত্তরঃ ( ঘ )
ক বাস্তব ও সমান
গ মূলদ
গ মূলদ
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ অবাস্তব
\(x^2-3x+4=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে,ঘ অবাস্তব
নিশ্চায়ক \(D=(-3)^2-4.1.4\)
\(=9-16\)
\(=-7\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore \) সমীকরণটির মূলদ্বয় অবাস্তব
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। কোনো বস্তু কণা স্থির অবস্থা হতে \(\frac{4m}{s^2}\) সমত্বরণে যাত্রা করলে পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব-
\(5\)তম বা পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{5}=0+\frac{1}{2}\times4(2\times5-1)\)
\(=2(10-1)\)
\(=2\times9\)
\(=18m\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(18m\)
গ \(50m\)
গ \(50m\)
খ \(22m\)
ঘ \(100m\)
\(t\)তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{t}=u+\frac{1}{2}a(2t-1)\) ঘ \(100m\)
\(5\)তম বা পঞ্চম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{5}=0+\frac{1}{2}\times4(2\times5-1)\)
\(=2(10-1)\)
\(=2\times9\)
\(=18m\)
উত্তরঃ ( ক )
২২।
উদ্দীপকে \(OA=?\)
উদ্দীপকে \(OA=\frac{(29.4)^2\sin{2\times30^{o}}}{9.8}\) যেহেতু আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{864.36\sin{60^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{748.5577}{9.8}\)
\(=76.38m\)
উত্তরঃ ( খ )
উদ্দীপকে \(OA=?\)
ক \(74m\)
গ \(78m\)
গ \(78m\)
খ \(76.38m\)
ঘ \(78.4m\)
ঘ \(78.4m\)
উদ্দীপকে \(OA=\frac{(29.4)^2\sin{2\times30^{o}}}{9.8}\) যেহেতু আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{864.36\sin{60^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{748.5577}{9.8}\)
\(=76.38m\)
উত্তরঃ ( খ )
২৩। \(\tan^{-1}\sqrt{3}\) এর মান নিচের কোনটি?
\(=\tan^{-1}\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(=\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{6}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)
\(\tan^{-1}\sqrt{3}\) এর মান ঘ \(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(=\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল \(P, \ \sqrt{3}P, \ P\) সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রথম বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ-
\(p^2+(\sqrt{3}P)^2+2P\times\sqrt{3}P\cos{\theta}=p^2\)
\(\Rightarrow p^2+3P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\theta}=p^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\theta}=p^2\)
\(\Rightarrow p^2(4+2\sqrt{3}\cos{\theta})=p^2\)
\(\Rightarrow 4+2\sqrt{3}\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\theta}=1-4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\theta}=-3\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\cos{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{6\pi-\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\times180^{o}}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=5\times30^{o}\)
\(\therefore \theta=150^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(60^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
শর্তমতে প্রথম বলদ্বয়ের লব্ধি হবে শেষ বলটি। মধ্যবর্তী কোণ \(\theta\) হলে,ঘ \(150^{o}\)
\(p^2+(\sqrt{3}P)^2+2P\times\sqrt{3}P\cos{\theta}=p^2\)
\(\Rightarrow p^2+3P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\theta}=p^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\theta}=p^2\)
\(\Rightarrow p^2(4+2\sqrt{3}\cos{\theta})=p^2\)
\(\Rightarrow 4+2\sqrt{3}\cos{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\theta}=1-4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\theta}=-3\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\cos{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{6\pi-\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\times180^{o}}{6}\)
\(\Rightarrow \theta=5\times30^{o}\)
\(\therefore \theta=150^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৫। \(\cot{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে, \(\theta\) এর মান কত হবে?
যখন \(180^{o}\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
যখন \(180^{o}\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=2\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{6\pi-\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\times180^{o}}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=5\times60^{o}\)
\(\therefore \theta=300^{o}\)
উত্তরঃ ( গ )
যখন \(180^{o}\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
ক \(210^{o}\)
গ \(300^{o}\)
গ \(300^{o}\)
খ \(240^{o}\)
ঘ \(330^{o}\)
\(\cot{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে, \(\theta\) এর মানঘ \(330^{o}\)
যখন \(180^{o}\lt{\theta}\lt{360^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan\left(\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\Rightarrow \theta=2\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{6\pi-\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{5\times180^{o}}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=5\times60^{o}\)
\(\therefore \theta=300^{o}\)
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002