শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\cot^2{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\) এর মান কত?
এখানে, লম্ব\(=1,\) অতিভুজ \(=2\)
\(\therefore\) ভূমি \(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
এখন, \(\cot^2{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\left\{\cot{\left(\cot^{-1}\frac{\sqrt{3}}{1}\right)}\right\}^2\)
\(=\left\{\sqrt{3}\right\}^2\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(3\)
গ \(15\)
গ \(15\)
খ \(\frac{1}{15}\)
ঘ \(\frac{1}{3}\)
\(\cot^2{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\) ঘ \(\frac{1}{3}\)
এখানে, লম্ব\(=1,\) অতিভুজ \(=2\)
\(\therefore\) ভূমি \(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
এখন, \(\cot^2{\left(\sin^{-1}\frac{1}{2}\right)}\)
\(=\left\{\cot{\left(\cot^{-1}\frac{\sqrt{3}}{1}\right)}\right\}^2\)
\(=\left\{\sqrt{3}\right\}^2\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( ক )
২। \(\cos{x}+\sec{x}=2\) হলে, \(x\)-এর মান কত?
\(\Rightarrow \cos{x}+\frac{1}{\cos{x}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{x}+1}{\cos{x}}=2\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}+1=2\cos{x}\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}-2\cos{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\cos{x}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=1\)
\(\therefore x=2n\pi\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \((2n+1)\pi\)
গ \(2n\pi\)
গ \(2n\pi\)
খ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{4}\)
\(\cos{x}+\sec{x}=2\)ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{x}+\frac{1}{\cos{x}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{\cos^2{x}+1}{\cos{x}}=2\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}+1=2\cos{x}\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}-2\cos{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\cos{x}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=1\)
\(\therefore x=2n\pi\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। \(\sin{(2\tan^{-1}{x})}\) এর সমান কোনটি?
এখন, \(\sin{(2\tan^{-1}{x})}\)
\(=\frac{2\tan(\tan^{-1}{x})}{1+\tan^2{(\tan^{-1}{x})}}\)
\(=\frac{2x}{1+\{\tan{(\tan^{-1}{x})}\}^2}\)
\(=\frac{2x}{1+x^2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{2x}{1-x^2}\)
গ \(\frac{1+x^2}{1-x^2}\)
গ \(\frac{1+x^2}{1-x^2}\)
খ \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
ঘ \(\frac{2x}{1+x^2}\)
আমরা জানি, \(\sin{(2A)}=\frac{2\tan{A}}{1+\tan^2{A}}\)ঘ \(\frac{2x}{1+x^2}\)
এখন, \(\sin{(2\tan^{-1}{x})}\)
\(=\frac{2\tan(\tan^{-1}{x})}{1+\tan^2{(\tan^{-1}{x})}}\)
\(=\frac{2x}{1+\{\tan{(\tan^{-1}{x})}\}^2}\)
\(=\frac{2x}{1+x^2}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। \(3\) একক দূরত্বে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(6\) এবং \(3\) একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়-
\(i.\) সদৃশ হলে, লব্ধির মান \(9\) একক
\(ii.\) বিসদৃশ হলে, লব্ধির মান \(3\) একক
\(iii.\) সদৃশ এবং লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, \(AC=1\) একক
নিচের কোনটি সঠীক?
সদৃশ হলে, লব্ধির মান \(=6+3\)
\(=9\) একক
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(6\) এবং \(3\) একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়
বিসদৃশ হলে, লব্ধির মান \(=6-3\)
\(=3\) একক
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(3\) একক দূরত্বে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত
\(6\) এবং \(3\) একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়
সদৃশ এবং লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত
চিত্র হতে,
\(6.AC=3.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{3}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{1}{1+2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore AC=1\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) সদৃশ হলে, লব্ধির মান \(9\) একক
\(ii.\) বিসদৃশ হলে, লব্ধির মান \(3\) একক
\(iii.\) সদৃশ এবং লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত হলে, \(AC=1\) একক
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(6\) এবং \(3\) একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সদৃশ হলে, লব্ধির মান \(=6+3\)
\(=9\) একক
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(6\) এবং \(3\) একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়
বিসদৃশ হলে, লব্ধির মান \(=6-3\)
\(=3\) একক
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(3\) একক দূরত্বে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত
\(6\) এবং \(3\) একক মানের সমান্তরাল বলদ্বয়
সদৃশ এবং লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত
চিত্র হতে,
\(6.AC=3.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{3}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{1}{1+2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{3}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore AC=1\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
৫। \(3 N\) ও \(4 N\) মানের দুইটি বল লম্বভাবে ক্রিয়া করলে লব্ধির মান কত?
অতএব, লব্ধি \(=\sqrt{3^2+4^2+2\times3\times4\cos{90^{o}}}\)
\(=\sqrt{9+16+24\times0}\)
\(=\sqrt{25+0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5 N\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2 N\)
গ \(5 N\)
গ \(5 N\)
খ \(3 N\)
ঘ \(7 N\)
\(3 N\) ও \(4 N\) মানের দুইটি বল লম্বভাবে ক্রিয়া করেঘ \(7 N\)
অতএব, লব্ধি \(=\sqrt{3^2+4^2+2\times3\times4\cos{90^{o}}}\)
\(=\sqrt{9+16+24\times0}\)
\(=\sqrt{25+0}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5 N\)
উত্তরঃ ( গ )
৬। বায়ুশূন্য স্থানে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিপথ একটি-
উত্তরঃ ( ক )
ক পরাবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ বৃত্ত
বায়ুশূন্য স্থানে নিক্ষিপ্ত বস্তুর গতিপথ একটি পরাবৃত্তঘ বৃত্ত
উত্তরঃ ( ক )
৭। একটি কণা সমত্বরণে \(5\) মি./সে. আদিবেগে \(50\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে \(10\) মি./সে. গতিবেগ অর্জন করে। কণাটির ত্বরণ কত?
এখানে, \(u=5\) মি./সে., \(v=10\) মি./সে., \(s=50\) সে.মি. বা, \(s=\frac{1}{2}\) মি.
এখন, \(v^2=u^2+2as\)
\(\Rightarrow 10^2=5^2+2a\times\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 100=25+a\)
\(\Rightarrow 25+a=100\)
\(\Rightarrow a=100-25\)
\(\therefore a=75\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-75\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
গ \(-\frac{3}{4}\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
গ \(-\frac{3}{4}\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
খ \(75\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
ঘ \(\frac{3}{4}\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
একটি কণা সমত্বরণে \(5\) মি./সে. আদিবেগে \(50\) সে.মি. পথ অতিক্রম করে \(10\) মি./সে. গতিবেগ অর্জন করে।ঘ \(\frac{3}{4}\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
এখানে, \(u=5\) মি./সে., \(v=10\) মি./সে., \(s=50\) সে.মি. বা, \(s=\frac{1}{2}\) মি.
এখন, \(v^2=u^2+2as\)
\(\Rightarrow 10^2=5^2+2a\times\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 100=25+a\)
\(\Rightarrow 25+a=100\)
\(\Rightarrow a=100-25\)
\(\therefore a=75\) মি./সে.\(^{\text{২}}\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ এবং ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(2x^2-2x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\frac{1}{p}, \ \frac{1}{q}\)
৮। একটি তাসের প্যাকেট হতে দৈবভাবে একটি তাস টেনে টেক্কা না পাওয়ার সম্ভাবনা কত?\(2x^2-2x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\frac{1}{p}, \ \frac{1}{q}\)
ক \(\frac{1}{26}\)
গ \(\frac{25}{26}\)
গ \(\frac{25}{26}\)
খ \(\frac{1}{13}\)
ঘ \(\frac{12}{13}\)
টেক্কা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{4}{52}\)ঘ \(\frac{12}{13}\)
\(=\frac{1}{13}\)
টেক্কা না পাওয়ার সম্ভাবনা \(=1-\frac{1}{13}\)
\(=\frac{13-1}{13}\)
\(=\frac{12}{13}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৯। একটি পরীক্ষায় প্রাপ্ত নম্বর যথাক্রমে
\(12, \ 14, \ 16, \ 15\) ও \(18\)
প্রদত্ত নম্বরগুলোর পরিমিত ব্যবধান কত?
\[=\sqrt{\frac{1}{5}(12^2+14^2+16^2+15^2+18^2)-\left\{\frac{1}{5}(12+14+16+15+18)\right\}^2}\]
\[=\sqrt{\frac{1}{5}(144+196+256+225+324)-\left\{\frac{1}{5}\times75\right\}^2}\]
\[=\sqrt{\frac{1}{5}\times1145-\left\{15\right\}^2}\]
\[=\sqrt{229-225}\]
\[=\sqrt{4}\]
\[=2\]
উত্তরঃ ( ক )
\(12, \ 14, \ 16, \ 15\) ও \(18\)
প্রদত্ত নম্বরগুলোর পরিমিত ব্যবধান কত?
ক \(2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\sqrt{5}\)
ঘ \(\sqrt{\frac{8}{5}}\)
পরিমিত ব্যবধান \[\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}^2-\left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i}\right)^2}\]ঘ \(\sqrt{\frac{8}{5}}\)
\[=\sqrt{\frac{1}{5}(12^2+14^2+16^2+15^2+18^2)-\left\{\frac{1}{5}(12+14+16+15+18)\right\}^2}\]
\[=\sqrt{\frac{1}{5}(144+196+256+225+324)-\left\{\frac{1}{5}\times75\right\}^2}\]
\[=\sqrt{\frac{1}{5}\times1145-\left\{15\right\}^2}\]
\[=\sqrt{229-225}\]
\[=\sqrt{4}\]
\[=2\]
উত্তরঃ ( ক )
১০। \(2 N, \ 4 N\) এবং \(6 N\) বলত্রয় একটি বস্তুর উপর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। \(2 N\) এবং \(6 N\) এর মধ্যবর্তী কোণ কত?
\(2 N\) এবং \(6 N\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে,
\(2^2+6^2+2\times2\times6\cos{\alpha}=4^2\)
\(\Rightarrow 4+36+24\cos{\alpha}=16\)
\(\Rightarrow 40+24\cos{\alpha}=16\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=16-40\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=-24\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{180^{o}}\)
\(\therefore \alpha=180^{o}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(0^{o}\)
গ \(180^{o}\)
গ \(180^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(270^{o}\)
\(2 N, \ 4 N\) এবং \(6 N\) বলত্রয় একটি বস্তুর উপর ক্রিয়া করে ভারসাম্য সৃষ্টি করে। ঘ \(270^{o}\)
\(2 N\) এবং \(6 N\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে,
\(2^2+6^2+2\times2\times6\cos{\alpha}=4^2\)
\(\Rightarrow 4+36+24\cos{\alpha}=16\)
\(\Rightarrow 40+24\cos{\alpha}=16\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=16-40\)
\(\Rightarrow 24\cos{\alpha}=-24\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{180^{o}}\)
\(\therefore \alpha=180^{o}\)
উত্তরঃ ( গ )
১১। বাস্তব সংখ্যার সেট-
\(i.\) বিনিময় বিধি মানে
\(ii.\) সংযোগ বিধি মানে
\(iii.\) বন্টন বিধি মানে
নিচের কোনটি সঠীক?
বিনিময় বিধি মানে
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
বাস্তব সংখ্যার সেট-
সংযোগ বিধি মানে
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
বাস্তব সংখ্যার সেট-
বন্টন বিধি মানে
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) বিনিময় বিধি মানে
\(ii.\) সংযোগ বিধি মানে
\(iii.\) বন্টন বিধি মানে
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বাস্তব সংখ্যার সেট-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বিনিময় বিধি মানে
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
বাস্তব সংখ্যার সেট-
সংযোগ বিধি মানে
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
বাস্তব সংখ্যার সেট-
বন্টন বিধি মানে
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। \(x^2+2x-3\lt{0}\) অসমতাটির সমাধান নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow x^2+3x-x-3\lt{0}\)
\(\Rightarrow x(x+3)-1(x+3)\lt{0}\)
\(\Rightarrow (x+3)(x-1)\lt{0}\)
\(\therefore -3\lt{x}\lt{1}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(1\lt{x}\lt{3}\)
গ \(-1\lt{x}\lt{3}\)
গ \(-1\lt{x}\lt{3}\)
খ \(x\lt{-3} \ \text{অথবা} \ x\gt{1}\)
ঘ \(-3\lt{x}\lt{1}\)
\(x^2+2x-3\lt{0}\)ঘ \(-3\lt{x}\lt{1}\)
\(\Rightarrow x^2+3x-x-3\lt{0}\)
\(\Rightarrow x(x+3)-1(x+3)\lt{0}\)
\(\Rightarrow (x+3)(x-1)\lt{0}\)
\(\therefore -3\lt{x}\lt{1}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৩। \(X\) এবং \(Y\) দুইটি বাস সমান্তরাল দুইটি রাস্তা বরাবর একই দিকে যথাক্রমে \(20 km/h\) এবং \(10 km/h\) বেগে চলছে। \(Y\) বাসের সাপেক্ষে \(X\) বাসের আপেক্ষিক বেগ কত?
আপেক্ষিক বেগ \(=V_{A}-V_{B}\)
\(=20-10\) এখানে, \(V_{A}=20, \ V_{B}=10\)
\(=10\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(20\)
গ \(20\)
খ \(10\)
ঘ \(30\)
একই দিকে ক্রিয়াশীল হলে,ঘ \(30\)
আপেক্ষিক বেগ \(=V_{A}-V_{B}\)
\(=20-10\) এখানে, \(V_{A}=20, \ V_{B}=10\)
\(=10\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(P(A)=\frac{1}{2}, \ P(B)=\frac{1}{5}\) এবং \(A\) ও \(B\) ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে, \(P(A\cup{B})\) এর মান কত?
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
\(=P(A)+P(B)-P(A).P(B)\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\)
\(=\frac{5+2-1}{10}\)
\(=\frac{7-1}{10}\)
\(=\frac{6}{10}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{3}{5}\)
গ \(\frac{7}{10}\)
গ \(\frac{7}{10}\)
খ \(\frac{1}{10}\)
ঘ \(\frac{4}{5}\)
\(P(A)=\frac{1}{2}, \ P(B)=\frac{1}{5}\) এবং \(A\) ও \(B\) ঘটনাদ্বয় স্বাধীন হলে,ঘ \(\frac{4}{5}\)
\(P(A\cup{B})=P(A)+P(B)-P(A\cap{B})\)
\(=P(A)+P(B)-P(A).P(B)\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{2}\times\frac{1}{5}\)
\(=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}-\frac{1}{10}\)
\(=\frac{5+2-1}{10}\)
\(=\frac{7-1}{10}\)
\(=\frac{6}{10}\)
\(=\frac{3}{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। \(1+i\) জটিল সংখ্যার মডুলাস ও আর্গুমেন্ট কত?
\(x=1, \ y=1\)
জটিল সংখ্যার মডুলাস \(=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{1}}\)
\(=\tan^{-1}{1}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2, \ \frac{\pi}{4}\)
গ \(\sqrt{2}, \ \frac{\pi}{2}\)
গ \(\sqrt{2}, \ \frac{\pi}{2}\)
খ \(\sqrt{2}, \ \frac{\pi}{4}\)
ঘ \(2, \ \frac{\pi}{2}\)
\(1+i\) জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে,ঘ \(2, \ \frac{\pi}{2}\)
\(x=1, \ y=1\)
জটিল সংখ্যার মডুলাস \(=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1^2+1^2}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{1}}\)
\(=\tan^{-1}{1}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৬। \(2i\) এর বর্গমূল কত?
\(=\pm{\sqrt{1+2i-1}}\)
\(=\pm{\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}}\)
\(=\pm{\sqrt{(1+i)^2}}\)
\(=\pm{(1+i)}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(1+i\)
গ \(\pm(1+i)\)
গ \(\pm(1+i)\)
খ \(-(1+i)\)
ঘ \(\pm(1-i)\)
\(2i\) এর বর্গমূল \(=\pm{\sqrt{2i}}\)ঘ \(\pm(1-i)\)
\(=\pm{\sqrt{1+2i-1}}\)
\(=\pm{\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}}\)
\(=\pm{\sqrt{(1+i)^2}}\)
\(=\pm{(1+i)}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৭। \(x^2-5x+6=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় হবে-
\(a=1, \ b=-5, \ c=6\)
এখন, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4\times1\times6\)
\(=25-24\)
\(=1\)
\(=1^2\gt{0}\)
\(\therefore D\) ধনাত্মক এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় হবে বাস্তব ও অসমান
উত্তরঃ ( ক )
ক বাস্তব ও অসমান
গ জটিল ও সমান
গ জটিল ও সমান
খ বাস্তব ও সমান
ঘ জটিল ও অসমান
\(x^2-5x+6=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে ঘ জটিল ও অসমান
\(a=1, \ b=-5, \ c=6\)
এখন, \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4\times1\times6\)
\(=25-24\)
\(=1\)
\(=1^2\gt{0}\)
\(\therefore D\) ধনাত্মক এবং পূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
সমীকরণের মূলদ্বয় হবে বাস্তব ও অসমান
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ১৮ এবং ১৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x^2-4x-k=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
১৮। সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল \(10\) হলে, \(k\) এর মান কোনটি?\(3x^2-4x-k=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
ক \(30\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(-10\)
ঘ \(-30\)
\(3x^2-4x-k=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে ঘ \(-30\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(\frac{-k}{3}=10\)
\(\Rightarrow k=-10\times3\)
\(\therefore k=-30\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। সমীকরণটির একটি মূল অপরটির দ্বিগুণ হলে, মূলদ্বয়ের মান কোনটি?
\(\alpha+2\alpha=-\frac{-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3\alpha=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \alpha=\frac{4}{9}\)
মূলদ্বয়ের মান \(\alpha, \ 2\alpha\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}, \ 2\times\frac{4}{9}\)
\(\therefore \frac{4}{9}, \ \frac{8}{9}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(-4, -8\)
গ \(4, 8\)
গ \(4, 8\)
খ \(\frac{4}{9}, \frac{8}{9}\)
ঘ \(-\frac{4}{9}, -\frac{8}{9}\)
সমীকরণটির একটি মূল \(\alpha\) হলে, অপরটি \(2\alpha\)ঘ \(-\frac{4}{9}, -\frac{8}{9}\)
\(\alpha+2\alpha=-\frac{-4}{3}\)
\(\Rightarrow 3\alpha=\frac{4}{3}\)
\(\therefore \alpha=\frac{4}{9}\)
মূলদ্বয়ের মান \(\alpha, \ 2\alpha\)
\(\Rightarrow \frac{4}{9}, \ 2\times\frac{4}{9}\)
\(\therefore \frac{4}{9}, \ \frac{8}{9}\)
উত্তরঃ ( খ )
২০। \(\left(2x+\frac{1}{6x}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে কত তম পদ \(x\) বর্জিত?
এবং \(x^{m}\) এর সহগ \(= \ ^{n}C_{r}a^{n-r}b^r\) যেখানে, \(m, n\in{\mathbb{N}}\)
\(\left(2x+\frac{1}{6x}\right)^{10}=\left(2x^{1}+\frac{1}{6}x^{-1}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ \(x\) বর্জিত হলে,
\(r=\frac{np-m}{p-q}\)
\(=\frac{10\times1-0}{1-(-1)}\)
\(=\frac{10}{1+1}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(\therefore r=5\)
\(\therefore (5+1)\) বা, \(6\) তম পদ \(x\) বর্জিত হলে,
উত্তরঃ ( গ )
ক \(5\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(10\)
ঘ \(11\)
\(\left(ax^p+bx^q\right)^{n}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ \(x^m\) সম্বলিত হলে \(r=\frac{np-m}{p-q}\)ঘ \(11\)
এবং \(x^{m}\) এর সহগ \(= \ ^{n}C_{r}a^{n-r}b^r\) যেখানে, \(m, n\in{\mathbb{N}}\)
\(\left(2x+\frac{1}{6x}\right)^{10}=\left(2x^{1}+\frac{1}{6}x^{-1}\right)^{10}\) এর বিস্তৃতিতে \((r+1)\) তম পদ \(x\) বর্জিত হলে,
\(r=\frac{np-m}{p-q}\)
\(=\frac{10\times1-0}{1-(-1)}\)
\(=\frac{10}{1+1}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(\therefore r=5\)
\(\therefore (5+1)\) বা, \(6\) তম পদ \(x\) বর্জিত হলে,
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২১ এবং ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\((1-2x)^{11}\) একটি রাশি।
২১। উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কোনটি?\((1-2x)^{11}\) একটি রাশি।
ক \(5\) তম পদ
গ \(5\) তম পদ ও \(6\) তম পদ
গ \(5\) তম পদ ও \(6\) তম পদ
খ \(6\) তম পদ
ঘ \(6\) তম পদ ও \(7\) তম পদ
\((1-2x)^{11}\) এর বিস্তৃতিতেঘ \(6\) তম পদ ও \(7\) তম পদ
\(11\) বিজোড় সংখ্যা ফলে মধ্যপদ হবে \(2\) টি
\(\left(\frac{n-1}{2}+1\right)\) তম এবং \(\left(\frac{n+1}{2}+1\right)\) তম।
\(\Rightarrow \left(\frac{11-1}{2}+1\right)\) তম এবং \(\left(\frac{11+1}{2}+1\right)\) তম।
\(\Rightarrow \left(\frac{10}{2}+1\right)\) তম এবং \(\left(\frac{12}{2}+1\right)\) তম।
\(\Rightarrow (5+1)\) তম এবং \((6+1)\) তম।
\(\therefore 6\) তম পদ এবং \(7\) তম পদ।
উত্তরঃ ( ঘ )
২২। উদ্দীপকের রাশিটির বিস্তৃতিতে ৬ষ্ঠ পদের সহগ কত?
\(= \ ^{11}C_{5}(-2x)^5\)
\(=- \ ^{11}C_{5}2^5x^5\)
\(=-14784x^5\)
সহগ \(=-14784\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-14784\)
গ \(462\)
গ \(462\)
খ \(-462\)
ঘ \(14784\)
\((1-2x)^{11}\) এর বিস্তৃতিতে ৬ষ্ঠ পদ বা \((5+1)\) তম পদঘ \(14784\)
\(= \ ^{11}C_{5}(-2x)^5\)
\(=- \ ^{11}C_{5}2^5x^5\)
\(=-14784x^5\)
সহগ \(=-14784\)
উত্তরঃ ( ক )
২৩। \(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\) উপবৃত্তের-
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(\pm\sqrt{5}, 0\right)\)
\(iii.\) ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=4\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রে
\(a=3, \ b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{3\times\frac{\sqrt{5}}{3}}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{\sqrt{5}}, 0\right)\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times2\)
\(=4\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(\pm\sqrt{5}, 0\right)\)
\(iii.\) ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=4\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রে
\(a=3, \ b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{3\times\frac{\sqrt{5}}{3}}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{\sqrt{5}}, 0\right)\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
ক্ষুদ্র অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times2\)
\(=4\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৪ এবং ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y^2-4y-4x+16=0\) একটি প্যারাবোলার সমীকরণ।
২৪। প্যারাবোলার উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?\(y^2-4y-4x+16=0\) একটি প্যারাবোলার সমীকরণ।
ক \((-4, -2)\)
গ \((4, 2)\)
গ \((4, 2)\)
খ \((6, 2)\)
ঘ \((2, 4)\)
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, \ Y=y-2\)
এখানে, \(4a=4\)ঘ \((2, 4)\)
\(\therefore a=1\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((a, 0)\)
\(\Rightarrow (1, 0)\)
\(\Rightarrow X=1, \ Y=0\)
\(\Rightarrow x-3=1, \ y-2=0\)
\(\Rightarrow x=1+3, \ y=2\)
\(\Rightarrow x=4, \ y=2\)
অতএব, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((4, 2)\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। অক্ষরেখার সমীকরণ কোনটি?
\(\therefore y-2=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(x-3=0\)
গ \(x=0\)
গ \(x=0\)
খ \(y-2=0\)
ঘ \(y=0\)
\(y^2-4y-4x+16=0\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4x+12=0\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-12\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-3)\)
\(\Rightarrow Y^2=4X\) যেখানে, \(X=x-3, \ Y=y-2\)
অক্ষরেখার সমীকরণ \(Y=0\)ঘ \(y=0\)
\(\therefore y-2=0\)
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003