শিক্ষা বোর্ড যশোর - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। একই অনুভূমিক রেখায় \(10\) কেজি ও \(5\) কেজি ওজনের দুইটি বিসদৃশ সমান্তরাল বল দুটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত আছে। বৃহত্তর বল থেকে এদের লব্ধির প্রয়োগ বিন্দুর দূরত্ব \(25\) সে.মি. হলে বল দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
এখানে,
\(AC=25 cm\)
এখন, \(10.AC=5.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{5}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{5}{10-5}\)
\(\Rightarrow \frac{25}{AB}=\frac{5}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{25}{AB}=1\)
\(\therefore AB=25\) সে.মি.
উত্তরঃ ( গ )
ক \(50\) সে.মি.
গ \(25\) সে.মি.
গ \(25\) সে.মি.
খ \(75\) সে.মি.
ঘ \(15\) সে.মি.
ঘ \(15\) সে.মি.
এখানে,
\(AC=25 cm\)
এখন, \(10.AC=5.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{5}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{5}{10-5}\)
\(\Rightarrow \frac{25}{AB}=\frac{5}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{25}{AB}=1\)
\(\therefore AB=25\) সে.মি.
উত্তরঃ ( গ )
২।
উদ্দীপকের \(Q\) ও \(R\) বলের মধ্যবর্তী কোণ কত?
\(=90^{o}+90^{o}-\alpha\)
\(=180^{o}-\alpha\)
উত্তরঃ ( খ )
উদ্দীপকের \(Q\) ও \(R\) বলের মধ্যবর্তী কোণ কত?
ক \(90^{o}-\alpha\)
গ \(90^{o}+\alpha\)
গ \(90^{o}+\alpha\)
খ \(180^{o}-\alpha\)
ঘ \(180^{o}+\alpha\)
উদ্দীপকের \(Q\) ও \(R\) বলের মধ্যবর্তী কোণঘ \(180^{o}+\alpha\)
\(=90^{o}+90^{o}-\alpha\)
\(=180^{o}-\alpha\)
উত্তরঃ ( খ )
৩।
\(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\) হলে, \(R\) হলো-
\(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\) হলে,
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+PQ}\)
উত্তরঃ ( ক )
\(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\) হলে, \(R\) হলো-
ক \(\sqrt{P^2+Q^2+PQ}\)
গ \(P^2+Q^2+PQ\)
গ \(P^2+Q^2+PQ\)
খ \(\sqrt{P^2+Q^2+2PQ}\)
ঘ \(P^2+Q^2+2PQ\)
দেওয়া আছে,ঘ \(P^2+Q^2+2PQ\)
\(P\) ও \(Q\) এর মধ্যবর্তী কোণ \(60^{o}\) হলে,
\(R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{60^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+PQ}\)
উত্তরঃ ( ক )
৪। দুইটি ট্রেন একই রেলপথে বিপরীত দিক থেকে একই \(60 \ m/sec\) গতিবেগে পরস্পরের দিকে অগ্রসর হচ্ছে। \(1200 \ m\) দূরত্বে একে অপরকে দেখতে পেল। মন্দনের সর্বোচ্চ মান নির্ণয় কর যাতে সংঘর্ষ এড়ানো যেতে পারে।
\(u=60 \ m/sec, \ s=1200 \ m\)
এবং মন্দন \(f\)
সংঘর্ষ এড়ানোর জন্য \(fs=u^2\)
\(\Rightarrow f\times1200=(60)^2\)
\(\Rightarrow f=\frac{3600}{1200}\)
\(\therefore f=3 m/s^{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(2 \ m/sec^{2}\)
গ \(4 \ m/sec^{2}\)
গ \(4 \ m/sec^{2}\)
খ \(3 \ m/sec^{2}\)
ঘ \(5 \ m/sec^{2}\)
এখানে, ঘ \(5 \ m/sec^{2}\)
\(u=60 \ m/sec, \ s=1200 \ m\)
এবং মন্দন \(f\)
সংঘর্ষ এড়ানোর জন্য \(fs=u^2\)
\(\Rightarrow f\times1200=(60)^2\)
\(\Rightarrow f=\frac{3600}{1200}\)
\(\therefore f=3 m/s^{2}\)
উত্তরঃ ( খ )
৫। একটি বল অনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(\sqrt{8g} \ m/sec\) বেগে প্রক্ষিপ্ত হলে, সর্বোচ্চ উচ্চতা কত মিটার হবে?
\(\alpha=30^{o}, \ u=\sqrt{8g} \ m/sec\)
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(\sqrt{8g})^2\sin^2{30^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{8g\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=4\times\frac{1}{4}\)
\(=1 \ m\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(4 \ m\)
গ \(1 \ m\)
গ \(1 \ m\)
খ \(6 \ m\)
ঘ \(10 \ m\)
এখানে, ঘ \(10 \ m\)
\(\alpha=30^{o}, \ u=\sqrt{8g} \ m/sec\)
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(\sqrt{8g})^2\sin^2{30^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{8g\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=4\times\frac{1}{4}\)
\(=1 \ m\)
উত্তরঃ ( গ )
৬। একটি কণা \(10 \ m/sec\) বেগে এবং \(30^{o}\) কোণে প্রক্ষিপ্ত হলে-
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(\frac{25}{2g} \ m\)
\(ii.\) উড্ডয়নকাল \(\frac{10}{g} \ sec\)
\(iii.\) অনুভূমিক পাল্লা \(\frac{50}{g} \ m\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(u=10 \ m/sec, \ \alpha=30^{o}\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{10^2\sin^2{30^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{10^2\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=\frac{100\times\frac{1}{4}}{2g}\)
\(=\frac{25}{2g} \ m\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
উড্ডয়নকাল \(2T=2\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=2\frac{10\sin{30^{o}}}{g}\)
\(=\frac{20\times\frac{1}{2}}{g}\)
\(=\frac{10}{g} \ sec\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
অনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{10^2\sin{(2\times30^{o})}}{g}\)
\(=\frac{100\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{100\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{g}\)
\(=\frac{50\sqrt{3}}{g}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(\frac{25}{2g} \ m\)
\(ii.\) উড্ডয়নকাল \(\frac{10}{g} \ sec\)
\(iii.\) অনুভূমিক পাল্লা \(\frac{50}{g} \ m\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(u=10 \ m/sec, \ \alpha=30^{o}\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{10^2\sin^2{30^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{10^2\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=\frac{100\times\frac{1}{4}}{2g}\)
\(=\frac{25}{2g} \ m\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
উড্ডয়নকাল \(2T=2\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=2\frac{10\sin{30^{o}}}{g}\)
\(=\frac{20\times\frac{1}{2}}{g}\)
\(=\frac{10}{g} \ sec\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
অনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{10^2\sin{(2\times30^{o})}}{g}\)
\(=\frac{100\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{100\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{g}\)
\(=\frac{50\sqrt{3}}{g}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
৭। \(|x|\ge{3}\) অসমতার সমাধান কোনোটি?
\(\Rightarrow x\ge{3}\) অথবা \(x\le{-3}\)
\(\therefore [3, \infty)\cup{(-\infty, -3]}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \([3, \infty)\cup{(-\infty, -3]}\)
গ \([-3, 3]\)
গ \([-3, 3]\)
খ \((-\infty, 3]\)
ঘ \([3, \infty)\)
\(|x|\ge{3}\)ঘ \([3, \infty)\)
\(\Rightarrow x\ge{3}\) অথবা \(x\le{-3}\)
\(\therefore [3, \infty)\cup{(-\infty, -3]}\)
উত্তরঃ ( ক )
৮। \(S=\{x\in{\mathbb{N}}: 5\le{x^2+1}\le{82}\}\) এর সুপ্রিমাম কত?
\(5\le{x^2+1}\le{82}\)
\(\Rightarrow 5-1\le{x^2+1-1}\le{82-1}\)
\(\Rightarrow 4\le{x^2}\le{81}\)
\(\Rightarrow \sqrt{4}\le{\sqrt{x^2}}\le{\sqrt{81}}\)
\(\Rightarrow 2\le{x}\le{9}\)
\(\therefore Sup(S)=9\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(2\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(4\)
ঘ \(81\)
দেওয়া আছে,ঘ \(81\)
\(5\le{x^2+1}\le{82}\)
\(\Rightarrow 5-1\le{x^2+1-1}\le{82-1}\)
\(\Rightarrow 4\le{x^2}\le{81}\)
\(\Rightarrow \sqrt{4}\le{\sqrt{x^2}}\le{\sqrt{81}}\)
\(\Rightarrow 2\le{x}\le{9}\)
\(\therefore Sup(S)=9\)
উত্তরঃ ( গ )
৯। \(z=-1+i\) হলে, \(\overline{z}\) এর আর্গুমেন্ট কত?
এখানে, \(x=-1 \ y=-1\) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\overline{z}\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}\frac{-1}{-1}\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\pi+\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{4}}\) যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}-2\pi\) বিপরীত ক্রমে।
\(=\frac{5\pi-8\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(-\frac{5\pi}{4}\)
ঘ \(-\frac{\pi}{4}\)
\(z=-1+i\) হলে, \(\overline{z}=-1-i\)ঘ \(-\frac{\pi}{4}\)
এখানে, \(x=-1 \ y=-1\) বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\overline{z}\) এর আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}\frac{-1}{-1}\)
\(=\tan^{-1}1\)
\(=\pi+\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{4}}\) যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}\)
\(=\frac{5\pi}{4}-2\pi\) বিপরীত ক্রমে।
\(=\frac{5\pi-8\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ ( ক )
১০। \((2i)^{-\frac{1}{2}}+(-2i)^{-\frac{1}{2}}\) এর মান কত?
\(=\frac{1}{(2i)^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{(-2i)^{\frac{1}{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2i}}+\frac{1}{\sqrt{-2i}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+2i-1}}+\frac{1}{\sqrt{1-2i-1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1^2+2i+i^2}}+\frac{1}{\sqrt{1^2-2i+i^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(1+i)^2}}+\frac{1}{\sqrt{(1-i)^2}}\)
\(=\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-i}\)
\(=\frac{1-i+1+i}{(1+i)(1-i)}\)
\(=\frac{2}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{2}{1+1}\)
\(=\frac{2}{2}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(1\)
ঘ \(\infty\)
\((2i)^{-\frac{1}{2}}+(-2i)^{-\frac{1}{2}}\) ঘ \(\infty\)
\(=\frac{1}{(2i)^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{(-2i)^{\frac{1}{2}}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2i}}+\frac{1}{\sqrt{-2i}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1+2i-1}}+\frac{1}{\sqrt{1-2i-1}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1^2+2i+i^2}}+\frac{1}{\sqrt{1^2-2i+i^2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{(1+i)^2}}+\frac{1}{\sqrt{(1-i)^2}}\)
\(=\frac{1}{1+i}+\frac{1}{1-i}\)
\(=\frac{1-i+1+i}{(1+i)(1-i)}\)
\(=\frac{2}{1^2-i^2}\)
\(=\frac{2}{1+1}\)
\(=\frac{2}{2}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( খ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১১ এবং ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(z=4x+2y\) শর্তঃ \(x+y\le{6}, \ x\ge{4}, \ x\ge{0}, \ y\ge{0},\)
১১। উল্লেখিত শর্তাধীনে সমাধান অঞ্চল কোনটি?\(z=4x+2y\) শর্তঃ \(x+y\le{6}, \ x\ge{4}, \ x\ge{0}, \ y\ge{0},\)
ক বর্গাকার
গ ত্রিভুজাকার
গ ত্রিভুজাকার
খ আয়তাকার
ঘ ট্রাপিজিয়াম
ঘ ট্রাপিজিয়াম
চিত্র হতে ইহা স্পষ্ট যে,
উল্লেখিত শর্তাধীনে সমাধান অঞ্চল ত্রিভুজাকার।
উত্তরঃ ( গ )
১২। \(z\) এর সর্বোচ্চ মান কোনটি?
চিত্রে \(Q(6, 0)\) বিন্দুতে \(z\) এর মান,
\(z=4\times6+2\times0\)
\(=24+0\)
\(=24\) যা সর্বোচ্চ।
উত্তরঃ ( ক )
ক \(24\)
গ \(20\)
গ \(20\)
খ \(16\)
ঘ \(14\)
ঘ \(14\)
চিত্রে \(Q(6, 0)\) বিন্দুতে \(z\) এর মান,
\(z=4\times6+2\times0\)
\(=24+0\)
\(=24\) যা সর্বোচ্চ।
উত্তরঃ ( ক )
১৩। \(ax^2+bx+c=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ-
\(i.\) \(c=0\) হলে, একটি মূল শূন্য
\(ii.\) \(b=0\) হলে, মূল দুইটি সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে
\(iii.\) \(c\) ও \(a\) একই চিহ্নবিশীষ্ট হলে মূ্ল দুইটি বাস্তব হবে
নিচের কোনটি সঠীক?
\(c=0\) হলে
\(ax^2+bx=0\)
\(\Rightarrow x(ax+b)=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ ax+b=0\)
\(\therefore c=0\) হলে, একটি মূল শূন্য
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(b=0\) হলে,
\(ax^2+c=0\)
\(\Rightarrow ax^2=-c\)
\(\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\)
\(\therefore b=0\) হলে, মূল দুইটি সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণে \(c\) ও \(a\) একই চিহ্নবিশীষ্ট হলে
মূ্ল দুইটি বাস্তব হবে এটি সঠিক না।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(c=0\) হলে, একটি মূল শূন্য
\(ii.\) \(b=0\) হলে, মূল দুইটি সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে
\(iii.\) \(c\) ও \(a\) একই চিহ্নবিশীষ্ট হলে মূ্ল দুইটি বাস্তব হবে
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ax^2+bx+c=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(c=0\) হলে
\(ax^2+bx=0\)
\(\Rightarrow x(ax+b)=0\)
\(\Rightarrow x=0, \ ax+b=0\)
\(\therefore c=0\) হলে, একটি মূল শূন্য
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(b=0\) হলে,
\(ax^2+c=0\)
\(\Rightarrow ax^2=-c\)
\(\Rightarrow x^2=-\frac{c}{a}\)
\(\Rightarrow x=\pm\sqrt{-\frac{c}{a}}\)
\(\therefore b=0\) হলে, মূল দুইটি সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(ax^2+bx+c=0\) সমীকরণে \(c\) ও \(a\) একই চিহ্নবিশীষ্ট হলে
মূ্ল দুইটি বাস্তব হবে এটি সঠিক না।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
১৪। \(5x^2-12xy+5y^2+22x-26y+29=0\) সমীকরণ সূচীত বক্ররেখাটি কি নির্দেশ কর?
এখানে, \(a=b=5, \ 2h=-12 \ 2g=22 \ 2f=-26 \ c=29\)
\(\therefore a=b=5, \ h=-6 \ g=11 \ f=-13 \ c=29\)
\(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=5\times5\times29+2\times-13\times11\times-6-5(-13)^2-5(11)^2-29(-6)^2\)
\(=725+1716-845-605-1044\)
\(=2441-2494\)
\(=-53\)
\(\therefore \Delta\ne{0}\)
আবার, \(ab-h^2=5\times5-(-6)^2=25-36=-11\)
\(\therefore ab-h^2\lt{0}\)
আবার, \(a+b=5+5=10\)
\(\therefore a+b\ne{0}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ ( গ )
ক পরাবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ বৃত্ত
\(5x^2-12xy+5y^2+22x-26y+29=0\)ঘ বৃত্ত
এখানে, \(a=b=5, \ 2h=-12 \ 2g=22 \ 2f=-26 \ c=29\)
\(\therefore a=b=5, \ h=-6 \ g=11 \ f=-13 \ c=29\)
\(\Delta=abc+2fgh-af^2-bg^2-ch^2\)
\(=5\times5\times29+2\times-13\times11\times-6-5(-13)^2-5(11)^2-29(-6)^2\)
\(=725+1716-845-605-1044\)
\(=2441-2494\)
\(=-53\)
\(\therefore \Delta\ne{0}\)
আবার, \(ab-h^2=5\times5-(-6)^2=25-36=-11\)
\(\therefore ab-h^2\lt{0}\)
আবার, \(a+b=5+5=10\)
\(\therefore a+b\ne{0}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ ( গ )
১৫। \(\frac{(x+2)^2}{3}+\frac{(y-1)^2}{4}=1\) উপবৃত্তের-
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-2, 1)\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\)
\(iii.\) একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=2\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(x+2=0, \ y-1=0\)
\(\therefore x=-2, \ y=1\)
\(\therefore\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-2, 1)\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=2\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{3}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-1=\pm{be}\)
\(\Rightarrow y-1=\pm{2\times\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow y-1=\pm{1}\)
\(\Rightarrow y-1=1, \ y-1=-1\)
\(\therefore y=2, \ y=0\)
\(\therefore\) একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=2\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-2, 1)\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(6\)
\(iii.\) একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=2\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{(x+2)^2}{3}+\frac{(y-1)^2}{4}=1\) উপবৃত্তের কেন্দ্র নির্ণয়ের ক্ষেত্রে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x+2=0, \ y-1=0\)
\(\therefore x=-2, \ y=1\)
\(\therefore\) কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-2, 1)\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=2\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{3}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y-1=\pm{be}\)
\(\Rightarrow y-1=\pm{2\times\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow y-1=\pm{1}\)
\(\Rightarrow y-1=1, \ y-1=-1\)
\(\therefore y=2, \ y=0\)
\(\therefore\) একটি উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=2\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
১৬।
উদ্দীপকের পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) হলে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?
\(\Rightarrow x+y=2\)
\(\therefore \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\)
চিত্র হতে \(Z(2, 0)\)
\(\therefore SZ\) এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{2+6}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
\(\therefore A(4, 2)\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
উত্তরঃ ( খ )
উদ্দীপকের পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ \(x+y-2=0\) হলে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?
ক \((2, 0)\)
গ \((2, 4)\)
গ \((2, 4)\)
খ \((4, 2)\)
ঘ \((0, 2)\)
উদ্দীপকের পরাবৃত্তের দিকাক্ষের সমীকরণ তথা \(MM^{\prime}\) এর সমীকরণ \(x+y-2=0\)ঘ \((0, 2)\)
\(\Rightarrow x+y=2\)
\(\therefore \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\)
চিত্র হতে \(Z(2, 0)\)
\(\therefore SZ\) এর মধ্যবিন্দু \(A\left(\frac{2+6}{2}, \frac{0+4}{2}\right)\)
\(\therefore A(4, 2)\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক।
উত্তরঃ ( খ )
১৭। \(10, \ 11\) ও \(12\) এই তথ্যসারির গড় ব্যবধানাংক কত?
\(=\frac{33}{3}\)
\(=11\)
গড় ব্যবধান \(MD(\overline{x})=\frac{|10-11|+|11-11|+|12-11|}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
তথ্যসারির গড় ব্যবধানাংক \(CMD(\overline{x})=\frac{MD(\overline{x})}{\overline{x}}\times100\) %
\(=\frac{\frac{2}{3}}{11}\times100\) %
\(=\frac{2}{33}\times100\) %
\(=\frac{200}{33}\) %
\(=6.06\) %
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0.67\)%
গ \(4.6\)%
গ \(4.6\)%
খ \(6.06\)%
ঘ \(6.67\)%
\(10, \ 11\) ও \(12\) এই তথ্যসারির গাণিতিক গড় \(\overline{x}=\frac{10+11+12}{3}\)ঘ \(6.67\)%
\(=\frac{33}{3}\)
\(=11\)
গড় ব্যবধান \(MD(\overline{x})=\frac{|10-11|+|11-11|+|12-11|}{3}\)
\(=\frac{1+0+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
তথ্যসারির গড় ব্যবধানাংক \(CMD(\overline{x})=\frac{MD(\overline{x})}{\overline{x}}\times100\) %
\(=\frac{\frac{2}{3}}{11}\times100\) %
\(=\frac{2}{33}\times100\) %
\(=\frac{200}{33}\) %
\(=6.06\) %
উত্তরঃ ( খ )
১৮। \(20\) থেকে \(30\) পর্যন্ত সংখ্যা হতে যে কোনো একটি দৈব চয়নের মাধ্যমে নিলে সেই সংখ্যাটি \(5\) বা \(7\) এর গুণিতক হওয়ার সম্ভাবনা কত?
মোট নমুনা বিন্দু \(S(n)=11\) টি
\(5\) দ্বারা বিভাজ্য \(=3\) টি
\(7\) এর গুণিতক \(=2\) টি
সম্ভাবনা \(=\frac{3}{S(n)}+\frac{2}{S(n)}\)
\(=\frac{3}{11}+\frac{2}{11}\)
\(=\frac{3+2}{11}\)
\(=\frac{5}{11}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{3}{11}\)
গ \(\frac{5}{11}\)
গ \(\frac{5}{11}\)
খ \(\frac{2}{11}\)
ঘ \(\frac{7}{11}\)
\(20\) থেকে \(30\) পর্যন্ত সংখ্যা হতেঘ \(\frac{7}{11}\)
মোট নমুনা বিন্দু \(S(n)=11\) টি
\(5\) দ্বারা বিভাজ্য \(=3\) টি
\(7\) এর গুণিতক \(=2\) টি
সম্ভাবনা \(=\frac{3}{S(n)}+\frac{2}{S(n)}\)
\(=\frac{3}{11}+\frac{2}{11}\)
\(=\frac{3+2}{11}\)
\(=\frac{5}{11}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৯। একটি বাক্সে \(15\) টি লাল ও \(10\) টি কাল মার্বেল আছে। দৈব চয়নে একটির পর আরেটি মোট দুইটি মার্বেল বাক্স হতে তোলা হলো। মার্বেল দুইটি একই রঙের হওয়ার সম্ভাবনা কত?
\(=\frac{3}{5}\times\frac{7}{12}\)
\(=\frac{7}{20}\)
দুইটি মার্বেল কাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{25}\times\frac{9}{24}\)
\(=\frac{2}{5}\times\frac{3}{8}\)
\(=\frac{3}{20}\)
মোট সম্ভাবনা \(=\frac{7}{20}+\frac{3}{20}\)
\(=\frac{7+3}{20}\)
\(=\frac{10}{20}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
দুইটি মার্বেল লাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{15}{25}\times\frac{14}{24}\) ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(=\frac{3}{5}\times\frac{7}{12}\)
\(=\frac{7}{20}\)
দুইটি মার্বেল কাল হওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{10}{25}\times\frac{9}{24}\)
\(=\frac{2}{5}\times\frac{3}{8}\)
\(=\frac{3}{20}\)
মোট সম্ভাবনা \(=\frac{7}{20}+\frac{3}{20}\)
\(=\frac{7+3}{20}\)
\(=\frac{10}{20}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
২০। \(4x^3+2x^2+3x-6\) কে \(x-1\) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ কত হবে?
\(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
ভাগশেষ \(f(1)=4\times1^3+2\times1^2+3\times1-6\)
\(=4+2+3-6\)
\(=9-6\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(1\)
গ \(-11\)
গ \(-11\)
খ \(3\)
ঘ \(0\)
ধরি, \(f(x)=4x^3+2x^2+3x-6\) এবংঘ \(0\)
\(x-1=0 \Rightarrow x=1\)
ভাগশেষ \(f(1)=4\times1^3+2\times1^2+3\times1-6\)
\(=4+2+3-6\)
\(=9-6\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( খ )
২১। \(x^2+x+1=0\) সমীকরণের একটি মূল \(\alpha\) হলে, অন্য মূলটি হবে-
\(\Rightarrow \alpha^2+\alpha+1=0\)
\(\therefore \alpha, \ 1\) এর কাল্পনিক ঘনমূলের একটি
\(\therefore\) অপর মূলটি হবে, \(\alpha^2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-\alpha\)
গ \(\frac{1}{\alpha}\)
গ \(\frac{1}{\alpha}\)
খ \(\frac{1}{\alpha^2}\)
ঘ \(\alpha^2\)
\(x^2+x+1=0\) সমীকরণের একটি মূল \(\alpha\) হলে,ঘ \(\alpha^2\)
\(\Rightarrow \alpha^2+\alpha+1=0\)
\(\therefore \alpha, \ 1\) এর কাল্পনিক ঘনমূলের একটি
\(\therefore\) অপর মূলটি হবে, \(\alpha^2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২২ এবং ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\((1+2x)^{-2}\)
২২। উদ্দীপকের বিস্তৃতিতে \(x^n\) এর সহগ কোনটি?\((1+2x)^{-2}\)
ক \((-2)^{n}\)
গ \((-1)^{n}(n+1)\)
গ \((-1)^{n}(n+1)\)
খ \((-2)^{n}(n+1)\)
ঘ \((-1)^{n}n\)
\((1+2x)^{-2}=1-2(2x)+3(2x)^2-4(2x)^3+ ........+(-1)^n(n+1)(2x)^n\) ঘ \((-1)^{n}n\)
\(=1-2(2x)+3(2x)^2-4(2x)^3+ ........+(-2)^n(n+1)x^n\)
\(x^n\) এর সহগ \(=(-2)^n(n+1)\)
উত্তরঃ ( খ )
২৩। \(x\) এর কোন মানের জন্য বিস্তৃতিটি বৈধ?
\(\therefore |x|\lt{\frac{1}{2}}\) হয়।
উত্তরঃ ( খ )
ক \(|x|\gt{\frac{1}{2}}\)
গ \(|x|\lt{-\frac{1}{2}}\)
গ \(|x|\lt{-\frac{1}{2}}\)
খ \(|x|\lt{\frac{1}{2}}\)
ঘ \(|x|\gt{-\frac{1}{2}}\)
বিস্তৃতিটি বৈধ হবে যদি \(|2x|\lt{1}\) হয়।ঘ \(|x|\gt{-\frac{1}{2}}\)
\(\therefore |x|\lt{\frac{1}{2}}\) হয়।
উত্তরঃ ( খ )
২৪। \(\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{4}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
\(\Rightarrow 2\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2x}=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow 2x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore x=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
গ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
খ \(2n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
ঘ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
\(\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{4}\)ঘ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
\(\Rightarrow 2\sin{x}\cos{x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2x}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2x}=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow 2x=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore x=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(\frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{3}{5}=\) কত?
\(\Rightarrow 2a=\sin^{-1}\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \sin{2a}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2\tan{a}}{1+\tan^2{a}}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 3+3\tan^2{a}=10\tan{a}\)
\(\Rightarrow 3\tan^2{a}-10\tan{a}+3=0\)
\(\Rightarrow 3\tan^2{a}-9\tan{a}-\tan{a}+3=0\)
\(\Rightarrow 3\tan{a}(\tan{a}-3)-1(\tan{a}-3)=0\)
\(\Rightarrow (\tan{a}-3)(3\tan{a}-1)=0\)
\(\Rightarrow \tan{a}-3=0, \ 3\tan{a}-1=0\)
\(\Rightarrow \tan{a}=3, \ 3\tan{a}=1\)
\(\Rightarrow \tan{a}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=\tan^{-1}\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{3}{5}=\tan^{-1}\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\tan^{-1}\frac{1}{3}\)
গ \(2\cos^{-1}\frac{4}{5}\)
গ \(2\cos^{-1}\frac{4}{5}\)
খ \(\tan^{-1}2\)
ঘ \(\sin^{-1}\frac{1}{10}\)
ধরি, \(a=\frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{3}{5}\)ঘ \(\sin^{-1}\frac{1}{10}\)
\(\Rightarrow 2a=\sin^{-1}\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \sin{2a}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{2\tan{a}}{1+\tan^2{a}}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 3+3\tan^2{a}=10\tan{a}\)
\(\Rightarrow 3\tan^2{a}-10\tan{a}+3=0\)
\(\Rightarrow 3\tan^2{a}-9\tan{a}-\tan{a}+3=0\)
\(\Rightarrow 3\tan{a}(\tan{a}-3)-1(\tan{a}-3)=0\)
\(\Rightarrow (\tan{a}-3)(3\tan{a}-1)=0\)
\(\Rightarrow \tan{a}-3=0, \ 3\tan{a}-1=0\)
\(\Rightarrow \tan{a}=3, \ 3\tan{a}=1\)
\(\Rightarrow \tan{a}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow a=\tan^{-1}\frac{1}{3}\)
\(\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}\frac{3}{5}=\tan^{-1}\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002