শিক্ষা বোর্ড চট্টগ্রাম - 2019
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2019 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)^5\) এর বিস্তৃতিতে \(x\) বর্জিত পদটি কততম?
এখন, \(\left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)^5\)
\(=\left\{(2x)^2-2\times2x\times\frac{1}{2x}+\left(\frac{1}{2x}\right)^2\right\}^5\)
\(=\left\{\left(2x-\frac{1}{2x}\right)^2\right\}^5\)
\(=\left(2x-\frac{1}{2x}\right)^{10}\)
\(=\left(2x-2^{-1}x^{-1}\right)^{10}\)
এখানে, \(n=10, p=1, \ q=-1, \ m=0\)
\(\therefore r=\frac{np-m}{p-q}\)
\(=\frac{10\times1-0}{1-(-1)}\)
\(=\frac{10}{1+1}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(\therefore r=5\)
\(\therefore r+1=5+1\) তম পদ বা \(6\) তম পদ বা ৬ষ্ঠ পদ।
উত্তরঃ ( খ )
ক ৫ম
গ ১০ম
গ ১০ম
খ ৬ষ্ঠ
ঘ ১১তম
\((ax^p+bx^q)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\) তম পদ \(x^m\) সম্বলিত হলে, \(r=\frac{np-m}{p-q}\)ঘ ১১তম
এখন, \(\left(4x^2-2+\frac{1}{4x^2}\right)^5\)
\(=\left\{(2x)^2-2\times2x\times\frac{1}{2x}+\left(\frac{1}{2x}\right)^2\right\}^5\)
\(=\left\{\left(2x-\frac{1}{2x}\right)^2\right\}^5\)
\(=\left(2x-\frac{1}{2x}\right)^{10}\)
\(=\left(2x-2^{-1}x^{-1}\right)^{10}\)
এখানে, \(n=10, p=1, \ q=-1, \ m=0\)
\(\therefore r=\frac{np-m}{p-q}\)
\(=\frac{10\times1-0}{1-(-1)}\)
\(=\frac{10}{1+1}\)
\(=\frac{10}{2}\)
\(\therefore r=5\)
\(\therefore r+1=5+1\) তম পদ বা \(6\) তম পদ বা ৬ষ্ঠ পদ।
উত্তরঃ ( খ )
২। \((2a+x)^5\) এর বিস্তৃতিতে \(x^4\) এর সহগ \(40\) হলে \(a\) এর মান-
এখন, \((2a+x)^5\) এর বিস্তৃতিতে \(x^4\) এর সহগ \(40\)
এখানে, \(n=5, p=0, \ q=1, \ m=4\)
\(\therefore r=\frac{np-m}{p-q}\)
\(=\frac{5\times0-4}{0-1}\)
\(=\frac{-4}{-1}\)
\(\therefore r=4\)
আবার, \(x^4\) এর সহগ \(40\)
\(\therefore \ ^{n}C_{r}(2a)^{n-r}1^r=40\)
\(\Rightarrow \ ^{5}C_{4}(2a)^{5-4}1^4=40\)
\(\Rightarrow \frac{5!}{4!(5-4)!}2a=40\)
\(\Rightarrow 5\times2a=40\)
\(\Rightarrow 10a=40\)
\(\therefore a=4\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(1\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\sqrt{2}\)
ঘ \(4\)
\((ax^p+bx^q)^n\) এর বিস্তৃতিতে \(r+1\) তম পদ \(x^m\) সম্বলিত হলে, \(r=\frac{np-m}{p-q}\) এবং \(x^m\) এর সহগ \(= \ ^{n}C_{r}a^{n-r}b^r\)যেখানে, \(m,n\in{\mathbb{N}}\)ঘ \(4\)
এখন, \((2a+x)^5\) এর বিস্তৃতিতে \(x^4\) এর সহগ \(40\)
এখানে, \(n=5, p=0, \ q=1, \ m=4\)
\(\therefore r=\frac{np-m}{p-q}\)
\(=\frac{5\times0-4}{0-1}\)
\(=\frac{-4}{-1}\)
\(\therefore r=4\)
আবার, \(x^4\) এর সহগ \(40\)
\(\therefore \ ^{n}C_{r}(2a)^{n-r}1^r=40\)
\(\Rightarrow \ ^{5}C_{4}(2a)^{5-4}1^4=40\)
\(\Rightarrow \frac{5!}{4!(5-4)!}2a=40\)
\(\Rightarrow 5\times2a=40\)
\(\Rightarrow 10a=40\)
\(\therefore a=4\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৩। \(x\lt{-1}\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow 3x\lt{-3}\)
\(\Rightarrow 3x\times-1\gt{-3\times-1}\)
\(\therefore -3x\gt{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(3x\gt{-3}\)
গ \(3x\lt{3}\)
গ \(3x\lt{3}\)
খ \(3x\gt{3}\)
ঘ \(-3x\gt{3}\)
দেওয়া আছে, \(x\lt{-1}\)ঘ \(-3x\gt{3}\)
\(\Rightarrow 3x\lt{-3}\)
\(\Rightarrow 3x\times-1\gt{-3\times-1}\)
\(\therefore -3x\gt{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। \(2m/s\) বেগে ও \(30^{o}\) কোণে ভূমি হতে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকের সর্বাধিক উচ্চতা-
\(=\frac{u^2}{2g}\sin^2{\alpha}\)
এখানে, \(u=2, \ \alpha=30^{o}\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{2^2}{2g}\sin^2{30^{o}}\)
\(=\frac{2}{g}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\frac{2}{g}\times\frac{1}{4}\)
\(=\frac{1}{g}\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2g}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{1}{2g}\)
গ \(\frac{2}{g}\)
গ \(\frac{2}{g}\)
খ \(\frac{1}{g}\)
ঘ \(\frac{2\sqrt{3}}{g}\)
\(u\) বেগে ও \(\alpha\) কোণে ভূমি হতে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকের সর্বাধিক উচ্চতা,ঘ \(\frac{2\sqrt{3}}{g}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\sin^2{\alpha}\)
এখানে, \(u=2, \ \alpha=30^{o}\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{2^2}{2g}\sin^2{30^{o}}\)
\(=\frac{2}{g}\times\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\frac{2}{g}\times\frac{1}{4}\)
\(=\frac{1}{g}\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{2g}\)
উত্তরঃ ( ক )
৫। \(\omega\) এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে, \((1-\omega^4)(1-\omega^8)(1-\omega^{10})(1-\omega^{14})\) এর মান-
এখন, \((1-\omega^4)(1-\omega^8)(1-\omega^{10})(1-\omega^{14})\)
\(=(1-\omega^3\times\omega)(1-\omega^3\times\omega^3\times\omega^2)(1-\omega^3\times\omega^3\times\omega^3\times\omega)(1-\omega^3\times\omega^3\times\omega^3\times\omega^3\times\omega^2)\)
\(=(1-1\times\omega)(1-1\times1\times\omega^2)(1-1\times1\times1\times\omega)(1-1\times1\times1\times1\times\omega^2)\)
\(=(1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega)(1-\omega^2)\)
\(=(1-\omega)^2(1-\omega^2)^2\)
\(=(1-2\omega+\omega^2)(1-2\omega^2+\omega^4)\)
\(=(1+\omega+\omega^2-3\omega)(1-2\omega^2+\omega^3\times\omega)\)
\(=(0-3\omega)(1-2\omega^2+\omega)\)
\(=-3\omega(1+\omega+\omega^2-3\omega^2)\)
\(=-3\omega(0-3\omega^2)\)
\(=9\omega^3\)
\(=9\times1\)
\(=9\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-1\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(1\)
ঘ \(9\)
\(\omega\) এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে, \(\omega^3=1, \ \omega^2+\omega+1=0\)ঘ \(9\)
এখন, \((1-\omega^4)(1-\omega^8)(1-\omega^{10})(1-\omega^{14})\)
\(=(1-\omega^3\times\omega)(1-\omega^3\times\omega^3\times\omega^2)(1-\omega^3\times\omega^3\times\omega^3\times\omega)(1-\omega^3\times\omega^3\times\omega^3\times\omega^3\times\omega^2)\)
\(=(1-1\times\omega)(1-1\times1\times\omega^2)(1-1\times1\times1\times\omega)(1-1\times1\times1\times1\times\omega^2)\)
\(=(1-\omega)(1-\omega^2)(1-\omega)(1-\omega^2)\)
\(=(1-\omega)^2(1-\omega^2)^2\)
\(=(1-2\omega+\omega^2)(1-2\omega^2+\omega^4)\)
\(=(1+\omega+\omega^2-3\omega)(1-2\omega^2+\omega^3\times\omega)\)
\(=(0-3\omega)(1-2\omega^2+\omega)\)
\(=-3\omega(1+\omega+\omega^2-3\omega^2)\)
\(=-3\omega(0-3\omega^2)\)
\(=9\omega^3\)
\(=9\times1\)
\(=9\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৬।
\(8N\) বলের অংশকদ্বয় \(P_{1}\) ও \(P_{2}\) হলে, \(P_{1}\) এর মান নিচের কোনটি?
চিত্র হতে, \(\triangle{OAC}\) এ \(\angle{OAC}=60^{o}\)
\(\therefore \tan{60^{o}}=\frac{OC}{OA}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{8}{P_{1}}\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\)
\(\therefore P_{1}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
\(8N\) বলের অংশকদ্বয় \(P_{1}\) ও \(P_{2}\) হলে, \(P_{1}\) এর মান নিচের কোনটি?
ক \(4\sqrt{3}\)
গ \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\)
গ \(\frac{16\sqrt{3}}{3}\)
খ \(8\sqrt{3}\)
ঘ \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
ঘ \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
চিত্র হতে, \(\triangle{OAC}\) এ \(\angle{OAC}=60^{o}\)
\(\therefore \tan{60^{o}}=\frac{OC}{OA}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}=\frac{8}{P_{1}}\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}\times\sqrt{3}}\)
\(\therefore P_{1}=\frac{8\sqrt{3}}{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৭। \(2\sqrt{3}+2i\) জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট-
\(=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(2\sqrt{3}+2i\) জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে,
\(x=2\sqrt{3}, \ y=2\)
\(\therefore\) আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}\frac{2}{2\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(\frac{2\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(x+iy\) জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট,ঘ \(\frac{\pi}{4}\)
\(=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(2\sqrt{3}+2i\) জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে,
\(x=2\sqrt{3}, \ y=2\)
\(\therefore\) আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}\frac{2}{2\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\tan^{-1}\tan{\frac{\pi}{6}}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
উত্তরঃ ( ক )
৮। \(y=4x+c\) সরলরেখাটি \(y^2=32x\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করলে \(c\) এর মান কত?
\(c=\frac{a}{m}\)
\(y=4x+c\) সরলরেখা \(y^2=32x\) বক্ররেখার ক্ষেত্রে,
\(m=4, \ a=8\)
\(\therefore c=\frac{8}{4}\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-128\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(128\)
\(y=mx+c\) সরলরেখাটি \(y^2=4ax\) বক্ররেখাকে স্পর্শ করার শর্তঃঘ \(128\)
\(c=\frac{a}{m}\)
\(y=4x+c\) সরলরেখা \(y^2=32x\) বক্ররেখার ক্ষেত্রে,
\(m=4, \ a=8\)
\(\therefore c=\frac{8}{4}\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৯ এবং ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=2x^2-5x+1, \ g(x)=x\)
৯। \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়- \(f(x)=2x^2-5x+1, \ g(x)=x\)
ক মূলদ ও অসমান
গ অবাস্তব
গ অবাস্তব
খ অমূলদ
ঘ বাস্তব ও সমান
দেওয়া আছে,ঘ বাস্তব ও সমান
\(f(x)=2x^2-5x+1\) এবং \(f(x)=0\)
\(\therefore 2x^2-5x+1=0\)
এখানে, \(a=2, \ b=-5, \ c=1\)
\(\therefore D=(b)^2-4.a.c\)
\(=(-5)^2-4.2.1\)
\(=25-8\)
\(=17\gt{0}\)
\(\therefore D\gt{0}\) এবং অপূর্ণ বর্গ সংখ্যা।
অতএব, সমীকরণের মূলদ্বয় অমূলদ
উত্তরঃ ( খ )
১০। \(f(x)g(x)=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum{\alpha\beta}\) এর মান-
\(\Rightarrow (2x^2-5x+1)x=0\)
\(\therefore 2x^3-5x^2+x=0\)
এখানে, \(a=2, \ b=-5, \ c=1, \ d=0\)
সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে,
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \sum{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-\frac{5}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{5}{2}\)
\(f(x)=2x^2-5x+1, \ g(x)=x\) এবং \(f(x)g(x)=0\)ঘ \(\frac{5}{2}\)
\(\Rightarrow (2x^2-5x+1)x=0\)
\(\therefore 2x^3-5x^2+x=0\)
এখানে, \(a=2, \ b=-5, \ c=1, \ d=0\)
সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে,
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \sum{\alpha\beta}=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
১১। একটি তাসের প্যাকেট হতে দৈবভাবে একটি তাস টনলে তা টেক্কা হওয়ার সম্ভাবনা-
টেক্কা \(=4\)
সম্ভাবনা \(=\frac{4}{52}\)
\(=\frac{1}{13}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{4}{13}\)
গ \(\frac{1}{13}\)
গ \(\frac{1}{13}\)
খ \(\frac{1}{4}\)
ঘ \(\frac{1}{52}\)
একটি তাসের প্যাকেটে মোট তাস সংখ্যা \(=52\)ঘ \(\frac{1}{52}\)
টেক্কা \(=4\)
সম্ভাবনা \(=\frac{4}{52}\)
\(=\frac{1}{13}\)
উত্তরঃ ( গ )
১২। প্রক্ষেপক কোণ \(45^{o}\) হলে-
\(i.\) \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(ii.\) \(H=\frac{u^2}{4g}\)
\(iii.\)\(T=\frac{u}{g}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2}{g}\sin{2\alpha}\)
\(=\frac{u^2}{g}\sin{(2\times45^{o})}\)
\(=\frac{u^2}{g}\sin{90^{o}}\)
\(=\frac{u^2}{g}\times1\)
\(=\frac{u^2}{g}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
প্রক্ষেপক কোণ \(\alpha=45^{o}\) হলে-
বৃহত্তম উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\sin^2{\alpha}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\sin^2{45^{o}}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(=\frac{u^2}{2g}\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{u^2}{4g}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
প্রক্ষেপক কোণ \(\alpha=45^{o}\) হলে-
বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\sin{\alpha}\)
\(=\frac{2u}{g}\sin{45^{o}}\)
\(=\frac{2u}{g}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}u}{g}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}u}{g}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(ii.\) \(H=\frac{u^2}{4g}\)
\(iii.\)\(T=\frac{u}{g}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
প্রক্ষেপক কোণ \(\alpha=45^{o}\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2}{g}\sin{2\alpha}\)
\(=\frac{u^2}{g}\sin{(2\times45^{o})}\)
\(=\frac{u^2}{g}\sin{90^{o}}\)
\(=\frac{u^2}{g}\times1\)
\(=\frac{u^2}{g}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
প্রক্ষেপক কোণ \(\alpha=45^{o}\) হলে-
বৃহত্তম উচ্চতা \(H=\frac{u^2}{2g}\sin^2{\alpha}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\sin^2{45^{o}}\)
\(=\frac{u^2}{2g}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2\)
\(=\frac{u^2}{2g}\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{u^2}{4g}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
প্রক্ষেপক কোণ \(\alpha=45^{o}\) হলে-
বিচরণকাল \(T=\frac{2u}{g}\sin{\alpha}\)
\(=\frac{2u}{g}\sin{45^{o}}\)
\(=\frac{2u}{g}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\sqrt{2}u}{g}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}u}{g}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
১৩। \(\sin\tan^{-1}\frac{a}{b}\) এর মান-
লম্ব \(=a\)
ভূমি \(=b\)
অতএব, অতিভুজ \(=\sqrt{a^2+b^2}\)
এখন, \(\sin\tan^{-1}\frac{a}{b}\)
\(=\sin\sin^{-1}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
গ \(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
গ \(\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
খ \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}\)
\(\sin\tan^{-1}\frac{a}{b}\) এর ক্ষেত্রে,ঘ \(\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{b}\)
লম্ব \(=a\)
ভূমি \(=b\)
অতএব, অতিভুজ \(=\sqrt{a^2+b^2}\)
এখন, \(\sin\tan^{-1}\frac{a}{b}\)
\(=\sin\sin^{-1}\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
\(=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\)
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ১৪ এবং ১৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\frac{x^2}{256}-\frac{y^2}{225}=1\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
১৪। শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক-\(\frac{x^2}{256}-\frac{y^2}{225}=1\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
ক \((\pm{16}, 0)\)
গ \((0 , \pm{16})\)
গ \((0 , \pm{16})\)
খ \((\pm{15}, 0)\)
ঘ \((0 , \pm{15})\)
\(\frac{x^2}{256}-\frac{y^2}{225}=1\)ঘ \((0 , \pm{15})\)
\(\therefore \frac{x^2}{16^2}-\frac{y^2}{15^2}=1\)
এখানে, \(a=16, \ b=15\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক \((\pm{a}, 0)\)
\(\Rightarrow (\pm{16}, 0)\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। উৎকেন্দ্রিকতার মান-
\(\therefore \frac{x^2}{16^2}-\frac{y^2}{15^2}=1\)
এখানে, \(a=16, \ b=15\)
\(\therefore\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{225}{256}}\)
\(=\sqrt{\frac{256+225}{256}}\)
\(=\sqrt{\frac{481}{256}}\)
\(=\frac{\sqrt{481}}{16}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\frac{\sqrt{481}}{16}\)
গ \(\frac{\sqrt{31}}{16}\)
গ \(\frac{\sqrt{31}}{16}\)
খ \(\frac{\sqrt{481}}{15}\)
ঘ \(\frac{31}{16}\)
\(\frac{x^2}{256}-\frac{y^2}{225}=1\)ঘ \(\frac{31}{16}\)
\(\therefore \frac{x^2}{16^2}-\frac{y^2}{15^2}=1\)
এখানে, \(a=16, \ b=15\)
\(\therefore\) উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{225}{256}}\)
\(=\sqrt{\frac{256+225}{256}}\)
\(=\sqrt{\frac{481}{256}}\)
\(=\frac{\sqrt{481}}{16}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৬। যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের উদ্দেশ্য-
\(i.\) উৎপাদনের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ণয়
\(ii.\) প্রতিবন্ধকতাসমূহ নির্ণয়
\(iii.\) সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন
নিচের কোনটি সঠীক?
উৎপাদনের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ণয়
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের উদ্দেশ্য-
প্রতিবন্ধকতাসমূহ নির্ণয়
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের উদ্দেশ্য-
সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) উৎপাদনের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ণয়
\(ii.\) প্রতিবন্ধকতাসমূহ নির্ণয়
\(iii.\) সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের উদ্দেশ্য-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
উৎপাদনের কাঙ্ক্ষিত মান নির্ণয়
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের উদ্দেশ্য-
প্রতিবন্ধকতাসমূহ নির্ণয়
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
যোগাশ্রয়ী প্রোগ্রামের উদ্দেশ্য-
সর্বোচ্চ মুনাফা অর্জন
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১৭। \(\left\{1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3} \ ......... \frac{1}{n}, \ ....... \right\}\) সেটের একটি নিম্নসীমা-
\(n \rightarrow \infty\) হলে,
\(\frac{1}{n} \rightarrow 0\)
\(\therefore\) সেটটির একটি নিম্নসীমা \(Infi=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{n}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(0\)
ঘ \(1\)
\(\left\{1, \ \frac{1}{2}, \ \frac{1}{3} \ ......... \frac{1}{n}, \ ....... \right\}\)ঘ \(1\)
\(n \rightarrow \infty\) হলে,
\(\frac{1}{n} \rightarrow 0\)
\(\therefore\) সেটটির একটি নিম্নসীমা \(Infi=0\)
উত্তরঃ ( খ )
১৮। \(x^2-8x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(4\) হলে, অন্য মূলটি-
মূলদ্বয়ের যোগফল \(4+\alpha=-\frac{-8}{1}\)
\(\Rightarrow 4+\alpha=8\)
\(\Rightarrow \alpha=8-4\)
\(\therefore \alpha=4\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(k-4\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(-4\)
ঘ \(4-k\)
\(x^2-8x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(4\) এবং অপর মূলটি \(\alpha\) হলে,ঘ \(4-k\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(4+\alpha=-\frac{-8}{1}\)
\(\Rightarrow 4+\alpha=8\)
\(\Rightarrow \alpha=8-4\)
\(\therefore \alpha=4\)
উত্তরঃ ( গ )
১৯। \(z=x-2iy\) হলে, \(z\overline{z}=7\) এর সঞ্চারপথ একটি-
এখন, \(z\overline{z}=7\)
\(\Rightarrow (x-2iy)(x+2iy)=7\)
\(\Rightarrow x^2-(2iy)^2=7\)
\(\Rightarrow x^2-4i^2y^2=7\)
\(\Rightarrow x^2-4y^2(-1)=7\)
\(\therefore x^2+4y^2=7\) যা একটি উপবৃত্ত।
\(\therefore\) সঞ্চারপথ একটি উপবৃত্ত
উত্তরঃ ( খ )
ক পরাবৃত্ত
গ বৃত্ত
গ বৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\(z=x-2iy\) হলে, \(\overline{z}=x+2iy\)ঘ অধিবৃত্ত
এখন, \(z\overline{z}=7\)
\(\Rightarrow (x-2iy)(x+2iy)=7\)
\(\Rightarrow x^2-(2iy)^2=7\)
\(\Rightarrow x^2-4i^2y^2=7\)
\(\Rightarrow x^2-4y^2(-1)=7\)
\(\therefore x^2+4y^2=7\) যা একটি উপবৃত্ত।
\(\therefore\) সঞ্চারপথ একটি উপবৃত্ত
উত্তরঃ ( খ )
২০। \((3-x^2)^7\) এর বিস্তৃতিতে চতুর্থ পদ-
\((3+1)\) তম পদ \(= \ ^{7}C_{3}3^{7-3}(-x^2)^{3}\)
\(=-\frac{7!}{3!(7-3)!}\times81x^6\)
\(=-\frac{7.6.5.4!}{6\times4!}\times81x^6\)
\(=-35\times81x^6\)
\(=-2835x^6\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-2835x^6\)
গ \(35x^6\)
গ \(35x^6\)
খ \(-35x^6\)
ঘ \(2835x^6\)
\((3-x^2)^7\) এর বিস্তৃতিতে চতুর্থ পদঘ \(2835x^6\)
\((3+1)\) তম পদ \(= \ ^{7}C_{3}3^{7-3}(-x^2)^{3}\)
\(=-\frac{7!}{3!(7-3)!}\times81x^6\)
\(=-\frac{7.6.5.4!}{6\times4!}\times81x^6\)
\(=-35\times81x^6\)
\(=-2835x^6\)
উত্তরঃ ( ক )
২১। \(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন-
অর্থাৎ \(\sin{x}\) এর রেঞ্জ \(=[-1, \ 1]\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \([-\pi, \ \pi]\)
গ \([-1, \ 1]\)
গ \([-1, \ 1]\)
খ \([-\frac{\pi}{2}, \ \frac{\pi}{2}]\)
ঘ \((-\infty, \ \infty)\)
\(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন,ঘ \((-\infty, \ \infty)\)
অর্থাৎ \(\sin{x}\) এর রেঞ্জ \(=[-1, \ 1]\)
উত্তরঃ ( গ )
২২। দুইটি সমান বলের লব্ধির বর্গ তাদের গুণফলের দ্বিগুণ হলে বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ-
শর্তমতে \(P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=2P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=2P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=2P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=1-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(135^{o}\)
গ \(135^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
দুইটি সমান বল \(P\) তাদের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\) হলে,ঘ \(180^{o}\)
শর্তমতে \(P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=2P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=2P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=2P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=1-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৩। \(u\) ও \(v \ (u\lt{v})\) বেগদ্বয়ের-
\(i.\)বৃহত্তম লব্ধি \(=u+v\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(=u-v\)
\(iii.\) তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\) হলে লব্ধি \(=\sqrt{u^2+v^2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
বৃহত্তম লব্ধি \(=u+v\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(u\) ও \(v \ (u\lt{v})\) বেগদ্বয়ের-
ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(=v-u\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(u\) ও \(v \ (u\lt{v})\) বেগদ্বয়ের-
তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\) হলে,
লব্ধি \(=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos{90^{o}}}\)
\(=\sqrt{u^2+v^2+2uv\times0}\)
\(=\sqrt{u^2+v^2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\)বৃহত্তম লব্ধি \(=u+v\)
\(ii.\) ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(=u-v\)
\(iii.\) তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\) হলে লব্ধি \(=\sqrt{u^2+v^2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(u\) ও \(v \ (u\lt{v})\) বেগদ্বয়ের-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বৃহত্তম লব্ধি \(=u+v\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(u\) ও \(v \ (u\lt{v})\) বেগদ্বয়ের-
ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(=v-u\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(u\) ও \(v \ (u\lt{v})\) বেগদ্বয়ের-
তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\) হলে,
লব্ধি \(=\sqrt{u^2+v^2+2uv\cos{90^{o}}}\)
\(=\sqrt{u^2+v^2+2uv\times0}\)
\(=\sqrt{u^2+v^2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
২৪। একটি ছক্কার গুটি নিক্ষেপ করা হলো-
\(i.\)জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{1}{2}\)
\(ii.\) \(4\) অপেক্ষা বৃহত্তর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{1}{3}\)
\(iii.\) \(5\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{2}{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
একটি ছক্কার গুটি নিক্ষেপ করা হলো-
\(4\) অপেক্ষা বৃহত্তর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{2}{6}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
একটি ছক্কার গুটি নিক্ষেপ করা হলো-
\(5\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{4}{6}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\)জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{1}{2}\)
\(ii.\) \(4\) অপেক্ষা বৃহত্তর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{1}{3}\)
\(iii.\) \(5\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{2}{3}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
একটি ছক্কার গুটি নিক্ষেপ করা হলো-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
জোড় সংখ্যা উঠার সম্ভাবনা \(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
একটি ছক্কার গুটি নিক্ষেপ করা হলো-
\(4\) অপেক্ষা বৃহত্তর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{2}{6}\)
\(=\frac{1}{3}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
একটি ছক্কার গুটি নিক্ষেপ করা হলো-
\(5\) অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা \(=\frac{4}{6}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
২৫। \(12N\) ও \(16N\) সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে এবং লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল যেখানে \(AB=14\) মিটার। \(BC\) এর মান কত মিটার?
\(\therefore AC\times12=BC\times16\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{16}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{4+3}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{7}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{14}{BC}=\frac{7}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore BC=6\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(42\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(\frac{49}{2}\)
ঘ \(6\)
\(12N\) ও \(16N\) সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে এবং লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়াশীল যেখানে \(AB=14\) মিটার।ঘ \(6\)
\(\therefore AC\times12=BC\times16\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{16}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{4+3}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{7}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{14}{BC}=\frac{7}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\therefore BC=6\)
উত্তরঃ ( ঘ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005