শিক্ষা বোর্ড ময়মনসিংহ - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উদ্দীপকের আলোকে ১ ও ২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=\sec{x}, \ g(x)=\tan{x}\)
১। \(\int{f(x)}dx=\)?\(f(x)=\sec{x}, \ g(x)=\tan{x}\)
ক \(\ln{\left|\tan{\left(\frac{\pi}{4}-\frac{x}{2}\right)}\right|}+c\)
গ \(\ln{\left|\sec{x}-\tan{x}\right|}+c\)
গ \(\ln{\left|\sec{x}-\tan{x}\right|}+c\)
খ \(\ln{\left|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\right|}+c\)
ঘ \(\ln{\left|\tan{x}-\sec{x}\right|}+c\)
\(f(x)=\sec{x}\)ঘ \(\ln{\left|\tan{x}-\sec{x}\right|}+c\)
\(\int{f(x)}dx=\int{\sec{x}}dx\)
\(=\int{\frac{\sec{x}(\sec{x}+\tan{x})}{\sec{x}+\tan{x}}}dx\)
\(=\int{\frac{(\sec^2{x}+\sec{x}\tan{x})}{\sec{x}+\tan{x}}}dx\)
\(=\int{\frac{d(\sec{x}+\tan{x})}{\sec{x}+\tan{x}}}\)
\(=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c \ \because \int{\frac{dx}{x}}=\ln{|x|}+c\)
আবার,
\(\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{1}{\cos{x}}+\frac{\sin{x}}{\cos{x}}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{1+\sin{x}}{\cos{x}}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}+\cos^2{\frac{x}{2}}+2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}-\sin^2{\frac{x}{2}}}\right|}+c\) ➜ \(\because \sin^2{\frac{A}{2}}+\cos^2{\frac{A}{2}}=1, 2\sin{\frac{x}{2}}\cos{\frac{x}{2}}=\sin{A}\), \(\cos^2{\frac{A}{2}}-\sin^2{\frac{A}{2}}=\cos{A}\)
\(=\ln{\left|\frac{(\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}})^2}{(\cos{\frac{x}{2}}+\sin{\frac{x}{2}})(\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}})}\right|}+c\) ➜ \(\because a^2+b^2+2ab=(a+b)^2, (a+b)(a-b)=a^2-b^2\)
\(=\ln{\left|\frac{\sin{\frac{x}{2}}+\cos{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{\cos{\frac{x}{2}}+\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}-\sin{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{\cos{\frac{x}{2}}\left(1+\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\right)}{\cos{\frac{x}{2}}\left(1-\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}\right)}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{1+\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}{1-\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\cos{\frac{x}{2}}}}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{1+\tan{\frac{x}{2}}}{1-\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\)
\(=\ln{\left|\frac{\tan{\frac{\pi}{4}}+\tan{\frac{x}{2}}}{1-\tan{\frac{\pi}{4}}\tan{\frac{x}{2}}}\right|}+c\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(=\ln{\left|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\right|}+c\) ➜ \(\because \frac{\tan{A}+\tan{B}}{1-\tan{A}\tan{B}}=\tan{(A+B)}\)
\(\therefore \int{\sec{x}dx}=\ln{|\sec{x}+\tan{x}|}+c=\ln{\left|\tan{\left(\frac{\pi}{4}+\frac{x}{2}\right)}\right|}+c\)
উত্তরঃ (খ)
২। \(\int{e^xf(x)\{1+g(x)\}}dx=\)?
\(\int{e^xf(x)\{1+g(x)\}}dx=\int{e^x\sec{x}\{1+\tan{x}\}}dx\)
\(=\int{(e^x\sec{x}+e^x\sec{x}\tan{x})}dx\)
\(=\int{e^x\sec{x}}dx+e^x\int{\sec{x}\tan{x}}dx-\int{\frac{d}{dx}e^x\times\int{\sec{x}\tan{x}}dx}dx\)
\(=\int{e^x\sec{x}}dx+e^x\sec{x}-\int{e^x\sec{x}}dx\)
\(=e^x\sec{x}+c\)
\(=e^xf(x)+c\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(e^xf(x)+c\)
গ \(-e^xf(x)+c\)
গ \(-e^xf(x)+c\)
খ \(e^xg(x)+c\)
ঘ \(-e^xg(x)+c\)
\(f(x)=\sec{x}, \ g(x)=\tan{x}\)ঘ \(-e^xg(x)+c\)
\(\int{e^xf(x)\{1+g(x)\}}dx=\int{e^x\sec{x}\{1+\tan{x}\}}dx\)
\(=\int{(e^x\sec{x}+e^x\sec{x}\tan{x})}dx\)
\(=\int{e^x\sec{x}}dx+e^x\int{\sec{x}\tan{x}}dx-\int{\frac{d}{dx}e^x\times\int{\sec{x}\tan{x}}dx}dx\)
\(=\int{e^x\sec{x}}dx+e^x\sec{x}-\int{e^x\sec{x}}dx\)
\(=e^x\sec{x}+c\)
\(=e^xf(x)+c\)
উত্তরঃ (ক)
৩। \(\int_{0}^{1}{\frac{1-x}{1+x}dx}=?\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{2-(1+x)}{1+x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left(\frac{2}{1+x}-\frac{1+x}{1+x}\right)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left(\frac{2}{1+x}-1\right)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{2}{1+x}dx}-\int_{0}^{1}{1dx}\)
\(=2\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x}dx}-\int_{0}^{1}{1dx}\)
\(=2\left[\ln{|1+x|}\right]_{0}^{1}-\left[x\right]_{0}^{1}\) ➜ \(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{1dx}=x\)
\(=2\left[\ln{(1+1)}-\ln{(1+0)}\right]-\left[1-0\right]\)
\(=2\left[\ln{(2)}-\ln{(1)}\right]-1\)
\(=2\left[\ln{(2)}-0\right]-1\) ➜ \(\because \ln{(1)}=0\)
\(=2\ln{(2)}-1\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\ln{2}-2\)
গ \(2\ln{2}-1\)
গ \(2\ln{2}-1\)
খ \(1-2\ln{2}\)
ঘ \(2\ln{2}+2\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{1-x}{1+x}dx}\)ঘ \(2\ln{2}+2\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{2-(1+x)}{1+x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left(\frac{2}{1+x}-\frac{1+x}{1+x}\right)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left(\frac{2}{1+x}-1\right)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{2}{1+x}dx}-\int_{0}^{1}{1dx}\)
\(=2\int_{0}^{1}{\frac{1}{1+x}dx}-\int_{0}^{1}{1dx}\)
\(=2\left[\ln{|1+x|}\right]_{0}^{1}-\left[x\right]_{0}^{1}\) ➜ \(\because \int{\frac{1}{x}dx}=\ln{|x|}, \int{1dx}=x\)
\(=2\left[\ln{(1+1)}-\ln{(1+0)}\right]-\left[1-0\right]\)
\(=2\left[\ln{(2)}-\ln{(1)}\right]-1\)
\(=2\left[\ln{(2)}-0\right]-1\) ➜ \(\because \ln{(1)}=0\)
\(=2\ln{(2)}-1\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & 2 & 1\\-1 & 2 & m\\ \ \ \ 4 & 1 & 0\end{array}\right|\)
৪। \(\left|\begin{array}{c} 1 & 2 & 5\\0 & 1 & 2\\3 & 1 & x\end{array}\right|\) এর \((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(5\) হলে \(x\) এর মান কত?\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & 2 & 1\\-1 & 2 & m\\ \ \ \ 4 & 1 & 0\end{array}\right|\)
ক \(0\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(\frac{5}{2}\)
ঘ \(10\)
\(\left|\begin{array}{c} 1 & 2 & 5\\0 & 1 & 2\\3 & 1 & x\end{array}\right|\) এর \((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক
\(5\)ঘ \(10\)
\((2,1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}(2x-5)\)
\(=-(2x-5)\)
শর্তমতে, \(-(2x-5)=5\)
\(\Rightarrow 2x-5=-5\)
\(\Rightarrow 2x=0\)
\(\therefore x=0\)
উত্তরঃ (ক)
৫। \((1,-2)\) বিন্দুগামী এবং \(12x+5y-3=0\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ-
\(12x+5y=12\times1+5\times-2, \ \because (\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, \(ax+by=a\alpha+b\beta\)
\(\Rightarrow 12x+5y=12-10\)
\(\therefore 12x+5y=2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(12x+5y+2=0\)
গ \(12x+5y=2\)
গ \(12x+5y=2\)
খ \(5x+12y+2=0\)
ঘ \(5x-12y=2\)
\((1,-2)\) বিন্দুগামী এবং \(12x+5y-3=0\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(5x-12y=2\)
\(12x+5y=12\times1+5\times-2, \ \because (\alpha, \beta)\) বিন্দুগামী এবং \(ax+by+c=0\) রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ, \(ax+by=a\alpha+b\beta\)
\(\Rightarrow 12x+5y=12-10\)
\(\therefore 12x+5y=2\)
উত্তরঃ (গ)
৬। \((3, 270^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক-
\(r=3, \ \theta=270^{o}\)
আমরা জানি, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{270^{o}}, \ y=3\sin{270^{o}}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{(3\times90^{o}+0)}, \ y=3\sin{(3\times90^{o}+0)}\)
\(\Rightarrow x=3\sin{0}, \ y=3\times-\cos{0}\)
\(\Rightarrow x=3\times0, \ y=3\times-1\)
\(\Rightarrow x=0, \ y=-3\)
\(\therefore (0, -3)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \((-3, 0)\)
গ \((3, -3)\)
গ \((3, -3)\)
খ \((0, -3)\)
ঘ \((0, 0)\)
\((3, 270^{o})\) বিন্দুর ক্ষেত্রে,ঘ \((0, 0)\)
\(r=3, \ \theta=270^{o}\)
আমরা জানি, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{270^{o}}, \ y=3\sin{270^{o}}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{(3\times90^{o}+0)}, \ y=3\sin{(3\times90^{o}+0)}\)
\(\Rightarrow x=3\sin{0}, \ y=3\times-\cos{0}\)
\(\Rightarrow x=3\times0, \ y=3\times-1\)
\(\Rightarrow x=0, \ y=-3\)
\(\therefore (0, -3)\)
উত্তরঃ (খ)
৭। \(A=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\0 & 3 & 0 \\0 & 0 & 4 \end{bmatrix};\) \(A\) হলো-
\(i.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore\) ইহা কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির অশূন্য ভুক্তিগুলি সমান নয়,
\(\therefore\) ইহা স্কেলার ম্যাট্রিক্স নয়,
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য নয়।
প্রদত্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সটির ক্ষেত্রে \(A^{t}=A\) হয়,
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ম্যাট্রিক্সটির প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি শুন্য \((0)\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore\) ইহা কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
ম্যাট্রিক্সটির অশূন্য ভুক্তিগুলি সমান নয়,
\(\therefore\) ইহা স্কেলার ম্যাট্রিক্স নয়,
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য নয়।
প্রদত্ত বর্গ ম্যাট্রিক্সটির ক্ষেত্রে \(A^{t}=A\) হয়,
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
৮। \(\begin{bmatrix}2 & 3 & \ \ \ x \\3 & 4 & -5 \\4 & 1 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6 & 8 & \ \ \ 7 \\ \ \
\ 2 & y & -9 \\ \ \ \ z & 1 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5
& \ \ \ 2 \end{bmatrix}\) হলে \(x, y, z\) এর মান কত?
\(\begin{bmatrix}2 & 3 & \ \ \ x \\3 & 4 & -5 \\4 & 1 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6 & 8 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 2 & y & -9 \\ \ \ \ z & 1 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2-6 & 3+8 & \ \ \ x+7 \\3+2 & 4+y & -5-9 \\4+z & 1+1 & \ \ \ 2+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}-4 & 11 & \ \ \ x+7 \\ \ \ \ 5 & 4+y & -14 \\ \ \ \ 4+z & 2 & \ \ \ 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow x+7=7, \ 4+y=8, \ 4+z=0\)
\(\Rightarrow x=7-7, \ y=8-4, \ z=-4\)
\(\therefore x=0, \ y=4, \ z=-4\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-4, \ 8, \ 2\)
গ \(0, \ 4, \ -4\)
গ \(0, \ 4, \ -4\)
খ \(14, \ 12, \ 4\)
ঘ \(0, \ -4, \ 4\)
দেওয়া আছে,ঘ \(0, \ -4, \ 4\)
\(\begin{bmatrix}2 & 3 & \ \ \ x \\3 & 4 & -5 \\4 & 1 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}-6 & 8 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 2 & y & -9 \\ \ \ \ z & 1 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2-6 & 3+8 & \ \ \ x+7 \\3+2 & 4+y & -5-9 \\4+z & 1+1 & \ \ \ 2+2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}-4 & 11 & \ \ \ x+7 \\ \ \ \ 5 & 4+y & -14 \\ \ \ \ 4+z & 2 & \ \ \ 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-4 & 3 & \ \ \ 7 \\ \ \ \ 8 & 8 & -18 \\ \ \ \ 0 & 5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow x+7=7, \ 4+y=8, \ 4+z=0\)
\(\Rightarrow x=7-7, \ y=8-4, \ z=-4\)
\(\therefore x=0, \ y=4, \ z=-4\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\) এবং \(I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\) হলে,
\(IA=?\)
\(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\) এবং \(I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(IA=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1+0 & 5+0\\0-3 & 0+2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ঘ)
\(IA=?\)
ক \(\begin{bmatrix}6 & \ \ \ 0\\0 & -1 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}5 & \ \ \ 0\\0 & -6 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}5 & \ \ \ 0\\0 & -6 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}1 & -3\\5 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\) এবং \(I=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\)
\(IA=\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1+0 & 5+0\\0-3 & 0+2 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & 5\\-3 & 2 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। \(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -8\\-2 & \ \ \ 5 \end{bmatrix}\) হলে,
\(A^{-1}\) কোনটি?
\(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -8\\-2 & \ \ \ 5 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & -8\\-2 & \ \ \ 5 \end{array}\right|\)
(=15-16\)
\(=-1\)
\(\therefore det(A)=-1\ne{0}\)
\(|A|\) এর \((i,j)\) তমভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}(5)=(-1)^{2}5=5\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তমভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}(-2)=(-1)^{3}(-2)=2\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \((-1)^{2+1}(-8)=(-1)^{3}(-8)=8\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক (=(-1)^{2+2}3=(-1)^{4}3=3\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} \\A_{2,1} & A_{2,2}\end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} \end{bmatrix}\)
\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=-\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & -8 \\-2 & -3 \end{bmatrix}\) উত্তরঃ (ঘ)
\(A^{-1}\) কোনটি?
ক \(\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2\\-8 & \ \ \ 5 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} 5 & 8\\2 & 3 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} 5 & 8\\2 & 3 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix} 5 & 2\\8 & 3 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} -5 & -8\\-2 & -3 \end{bmatrix}\)
দেওয়া আছে,ঘ \(\begin{bmatrix} -5 & -8\\-2 & -3 \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -8\\-2 & \ \ \ 5 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(A)=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & -8\\-2 & \ \ \ 5 \end{array}\right|\)
(=15-16\)
\(=-1\)
\(\therefore det(A)=-1\ne{0}\)
\(|A|\) এর \((i,j)\) তমভুক্তির সহগুনক \(=A_{i,j}\)
তাহলে,
\(A_{1,1}=(1,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+1}(5)=(-1)^{2}5=5\)
\(A_{1,2}=(1,2)\) তমভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{1+2}(-2)=(-1)^{3}(-2)=2\)
\(A_{2,1}=(2,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \((-1)^{2+1}(-8)=(-1)^{3}(-8)=8\)
\(A_{2,2}=(2,2)\) তম ভুক্তির সহগুনক (=(-1)^{2+2}3=(-1)^{4}3=3\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{1,2} \\A_{2,1} & A_{2,2}\end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}A_{1,1} & A_{2,1} \\A_{1,2} & A_{2,2} \end{bmatrix}\)
\(\therefore adj(A)=\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
এখন,
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{det(A)}\)
\(=\frac{1}{det(A)}adj(A)\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=-\begin{bmatrix} 5 & 8 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
(\therefore A^{-1}=\begin{bmatrix} -5 & -8 \\-2 & -3 \end{bmatrix}\) উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১১ ও ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(OA=-3, \ OB=2\)
১১। \(AB\) এর সমীকরণ কোনটি?
\(OA=-3, \ OB=2\)
ক \(2x+3y=1\)
গ \(2x-3y=-6\)
গ \(2x-3y=-6\)
খ \(2x+3y=6\)
ঘ \(2x-3y=1\)
চিত্রে দেওয়া আছে,ঘ \(2x-3y=1\)
\(OA=-3, \ OB=2\)
\(AB\) এর সমীকরণ,
\(\frac{x}{-3}+\frac{y}{2}=1\)
\(\Rightarrow -2x+3y=6\)
\(\therefore 2x-3y=-6\)
উত্তরঃ (গ)
১২। \(AB\) এর ঢাল কত?
\(OA=-3, \ OB=2\)
\(\therefore A(-3, 0), \ B(0, 2)\)
\(AB\) এর ঢাল\(=\frac{0-2}{-3-0}=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
খ \(\frac{2}{3}\)
ঘ \(-\frac{3}{2}\)
চিত্রে দেওয়া আছে,ঘ \(-\frac{3}{2}\)
\(OA=-3, \ OB=2\)
\(\therefore A(-3, 0), \ B(0, 2)\)
\(AB\) এর ঢাল\(=\frac{0-2}{-3-0}=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। দুইটি সরলরেখা \(x+by=1\) এবং \(ax+y=1, \ (1, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(a\) এবং \(b\) এর মান কত?
\(x+by=1\) এবং \(ax+y=1, \ (1, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(\Rightarrow 1+b.1=1, \ a.1+1=1\)
\(\Rightarrow 1+b=1, \ a+1=1\)
\(\therefore b=0, \ a=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(0, 0\)
গ \(1, 0\)
গ \(1, 0\)
খ \(0, 1\)
ঘ \(1, 1\)
দেওয়া আছে,ঘ \(1, 1\)
\(x+by=1\) এবং \(ax+y=1, \ (1, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(\Rightarrow 1+b.1=1, \ a.1+1=1\)
\(\Rightarrow 1+b=1, \ a+1=1\)
\(\therefore b=0, \ a=0\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(4x-3y+2=0\) এবং \(8x-6y-9=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
\(\Rightarrow 4x-3y+2=0\) এবং \(2\left(4x-3y-\frac{9}{2}\right)=0\)
\(\therefore 4x-3y+2=0\) এবং \(4x-3y-\frac{9}{2}=0\)
\(=\frac{\left|2-\left(-\frac{9}{2}\right)\right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{\left|2+\frac{9}{2}\right|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{\left|\frac{4+9}{2}\right|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{5}\)
\(=\frac{13}{5\times2}\)
\(=\frac{13}{10}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{11}{5}\)
গ \(\frac{11}{10}\)
গ \(\frac{11}{10}\)
খ \(\frac{13}{10}\)
ঘ \(\frac{13}{5}\)
\(4x-3y+2=0\) এবং \(8x-6y-9=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্বঘ \(\frac{13}{5}\)
\(\Rightarrow 4x-3y+2=0\) এবং \(2\left(4x-3y-\frac{9}{2}\right)=0\)
\(\therefore 4x-3y+2=0\) এবং \(4x-3y-\frac{9}{2}=0\)
\(=\frac{\left|2-\left(-\frac{9}{2}\right)\right|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{\left|2+\frac{9}{2}\right|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{\left|\frac{4+9}{2}\right|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{\frac{13}{2}}{5}\)
\(=\frac{13}{5\times2}\)
\(=\frac{13}{10}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(3x-4y+3=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ-
এখানে, \(a_{1}=3, \ b_{1}=-4, \ a_{2}=4, \ b_{2}=-3\)
\(\Rightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3\times4+(-4)\times-3\)
\(=12+12\)
\(=24\gt{0}\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\gt{0}\)
রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-4y+3}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{4x-3y+5}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-4y+3}{\sqrt{9+16}}=\frac{4x-3y+5}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3=4x-3y+5\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3-4x+3y-5=0\)
\(\Rightarrow -x-y-2=0\)
\(\therefore x+y+2=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x+y=2\)
গ \(x+y+2=0\)
গ \(x+y+2=0\)
খ \(x-y=2\)
ঘ \(x-y+2=0\)
রেখাদ্বয় \(3x-4y+3=0\) এবং \(4x-3y+5=0\) ঘ \(x-y+2=0\)
এখানে, \(a_{1}=3, \ b_{1}=-4, \ a_{2}=4, \ b_{2}=-3\)
\(\Rightarrow a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}=3\times4+(-4)\times-3\)
\(=12+12\)
\(=24\gt{0}\)
\(\therefore a_{1}a_{2}+b_{1}b_{2}\gt{0}\)
রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডকের সমীকরণ,
\(\frac{3x-4y+3}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{4x-3y+5}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x-4y+3}{\sqrt{9+16}}=\frac{4x-3y+5}{\sqrt{16+9}}\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3=4x-3y+5\)
\(\Rightarrow 3x-4y+3-4x+3y-5=0\)
\(\Rightarrow -x-y-2=0\)
\(\therefore x+y+2=0\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)=l\] এবং \[\lim_{x \rightarrow a}g(x)=m\] হলে-
\(i.\) \[\lim_{x \rightarrow a}[f(x)-g(x)]=l-m\]
\(ii.\) \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x)=lm\]
\(iii.\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{l}{m}\]
নিচের কোনটি সঠিক?
\[\lim_{x \rightarrow a}[f(x)-g(x)]=\lim_{x \rightarrow a}f(x)-\lim_{x \rightarrow a}g(x)\]
\[=l-m\]
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\[\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x)=\lim_{x \rightarrow a}f(x).\lim_{x \rightarrow a}g(x)\]
\[=lm\]
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}\]
\[=\frac{m}{l}\]
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \[\lim_{x \rightarrow a}[f(x)-g(x)]=l-m\]
\(ii.\) \[\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x)=lm\]
\(iii.\) \[\lim_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{l}{m}\]
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
দেওয়া আছে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\[\lim_{x \rightarrow a}[f(x)-g(x)]=\lim_{x \rightarrow a}f(x)-\lim_{x \rightarrow a}g(x)\]
\[=l-m\]
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\[\lim_{x \rightarrow a}f(x)g(x)=\lim_{x \rightarrow a}f(x).\lim_{x \rightarrow a}g(x)\]
\[=lm\]
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\[\lim_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{f(x)}=\frac{\lim_{x \rightarrow a}g(x)}{\lim_{x \rightarrow a}f(x)}\]
\[=\frac{m}{l}\]
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১৭। \[\lim_{x \rightarrow \infty}x\sin{\left(\frac{2}{x}\right)}=?\]
\(=2.1, \ \because \lim_{x \rightarrow \alpha}\frac{\sin{x}}{x}=1\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\infty\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(0\)
ঘ \(2\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}x\sin{\left(\frac{2}{x}\right)}=2\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\sin{\left(\frac{2}{x}\right)}}{\frac{2}{x}}\]ঘ \(2\)
\(=2.1, \ \because \lim_{x \rightarrow \alpha}\frac{\sin{x}}{x}=1\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\frac{dx}{1+\cos{2x}}\) এর মান কত?
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2\cos^2{x}}dx}\) ➜ \(\because 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}.\frac{1}{\cos^2{x}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^2{x}dx}\) ➜ \(\because \frac{1}{\cos^2{A}}=\sec^2{A}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) ➜ \(\because \int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\tan{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[1-0\right]\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(=\frac{1}{2}\) উত্তরঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\)ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2\cos^2{x}}dx}\) ➜ \(\because 1+\cos{2A}=2\cos^2{A}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}.\frac{1}{\cos^2{x}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^2{x}dx}\) ➜ \(\because \frac{1}{\cos^2{A}}=\sec^2{A}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\) ➜ \(\because \int{\sec^2{x}dx}=\tan{x}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\tan{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[1-0\right]\) ➜ \(\because \tan{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(=\frac{1}{2}\) উত্তরঃ (খ)
১৯। \(\int_{0}^{1}xe^{x^2}dx\) এর মান-
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{x^2}.2xdx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{x^2}d(x^2)}\)
\(=\frac{1}{2}\left[e^{x^2}\right]_{0}^{1}\) \(=\frac{1}{2}\left[e^{1^2}-e^{0^2}\right]\) \(=\frac{1}{2}\left(e^{1}-e^{0}\right)\) \(=\frac{1}{2}(e-1)\) উত্তরঃ (গ)
ক \(1-\frac{2}{e}\)
গ \(\frac{1}{2}(e-1)\)
গ \(\frac{1}{2}(e-1)\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{1}{4}e\)
\(\int_{0}^{1}{xe^{x^2}dx}\)ঘ \(\frac{1}{4}e\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{x^2}.2xdx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{1}{e^{x^2}d(x^2)}\)
\(=\frac{1}{2}\left[e^{x^2}\right]_{0}^{1}\) \(=\frac{1}{2}\left[e^{1^2}-e^{0^2}\right]\) \(=\frac{1}{2}\left(e^{1}-e^{0}\right)\) \(=\frac{1}{2}(e-1)\) উত্তরঃ (গ)
২০। \(ax+by+c=0\) সমীকরণটি একটি সরলরেখা নির্দেশ করে।
\(i.\) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(ii.\) \(c=0\) হলে সেটি মূলবিন্দুগামী
\(iii.\) অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|ab|\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(c=0\) হলে \(ax+by=0\) সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(ax+by+c=0\) সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\) এবং \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|-\frac{c}{a}\times-\frac{c}{b}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\left|\frac{c^2}{ab}\right|\) বর্গ একক
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(ii.\) \(c=0\) হলে সেটি মূলবিন্দুগামী
\(iii.\) অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}|ab|\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ax+by+c=0\) সরলরেখাটির ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(c=0\) হলে \(ax+by=0\) সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী হবে
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(ax+by+c=0\) সরলরেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{a}\) এবং \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশ \(=-\frac{c}{b}\)
অক্ষদ্বয়ের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|-\frac{c}{a}\times-\frac{c}{b}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\left|\frac{c^2}{ab}\right|\) বর্গ একক
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২১। \(\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}\right)=?\)
\(=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{2x}{1-x^2}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{2}{1+x^2}\)
ঘ \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}\frac{2x}{1-x^2}\right)=\frac{d}{dx}\left(2\tan^{-1}{x}\right)\)ঘ \(\frac{1-x^2}{1+x^2}\)
\(=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(\frac{d}{dx}\left(x^{x^2}\right)=?\)
\(=x^{x^2}\left(\frac{x^2}{x}\frac{dx}{dx}+\ln{x}\frac{d(x^2)}{dx}\right), \ \because \frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=x^{x^2}\left(x.1+\ln{x}.2x\right)\)
\(=x^{x^2}(x+2x\ln{x})\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x^{x^2}2(1+\ln{x})\)
গ \(x^{x^2}(x+2x\ln{x})\)
গ \(x^{x^2}(x+2x\ln{x})\)
খ \(x^{x^2}2x(1+\ln{x})\)
ঘ \(x^{x^2-1}.2x\)
\(\frac{d}{dx}\left(x^{x^2}\right)\)ঘ \(x^{x^2-1}.2x\)
\(=x^{x^2}\left(\frac{x^2}{x}\frac{dx}{dx}+\ln{x}\frac{d(x^2)}{dx}\right), \ \because \frac{d}{dx}\left(u^{v}\right)=u^{v}\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(=x^{x^2}\left(x.1+\ln{x}.2x\right)\)
\(=x^{x^2}(x+2x\ln{x})\)
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(x^2-2y=10\) বক্ররেখার \((-4, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কত?
\(\Rightarrow 2x-2\frac{dy}{dx}=0, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\Rightarrow 2\left(x-\frac{dy}{dx}\right)=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{dy}{dx}=-x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x\)
\((-4, 3)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-4\) যা স্পর্শকের ঢাল।
উত্তরঃ (ক)
ক \(-4\)
গ \(14\)
গ \(14\)
খ \(4\)
ঘ \(2\)
\(x^2-2y=10\)ঘ \(2\)
\(\Rightarrow 2x-2\frac{dy}{dx}=0, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে,
\(\Rightarrow 2\left(x-\frac{dy}{dx}\right)=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{dy}{dx}=-x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x\)
\((-4, 3)\) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=-4\) যা স্পর্শকের ঢাল।
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(y=x(1-x)\) এর সর্বোচ্চ মান কত?
\(\Rightarrow y=x-x^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=1-2x\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
সর্বোচ্চ মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 1-2x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে \(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\lt{0}\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে সর্বোচ্চ মান \(y=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{2-1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-2\)
গ \(-6\)
গ \(-6\)
খ \(2\)
ঘ \(\frac{1}{4}\)
\(y=x(1-x)\)ঘ \(\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow y=x-x^2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=1-2x\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}=-2\)
সর্বোচ্চ মানের জন্য \(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 1-2x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-1\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\(x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে \(\frac{d^2y}{dx^2}=-2\lt{0}\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\) বিন্দুতে সর্বোচ্চ মান \(y=\frac{1}{2}-\left(\frac{1}{2}\right)^2\)
\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\)
\(=\frac{2-1}{4}\)
\(=\frac{1}{4}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(\int\frac{\ln{x^2}}{x}dx=?\)
\(=\int\frac{2\ln{x}}{x}dx\)
\(=2\int\frac{\ln{x}}{x}dx\)
\(=2\int\ln{x}d(\ln{x})\)
\(=2\frac{(\ln{x})^2}{2}+c, \ \because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}+c \)
\(=(\ln{x})^2+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2(\ln{x})^2+c\)
গ \(\ln{x}+c\)
গ \(\ln{x}+c\)
খ \(\frac{1}{2}(\ln{x})^2+c\)
ঘ \((\ln{x})^2+c\)
\(\int\frac{\ln{x^2}}{x}dx\)ঘ \((\ln{x})^2+c\)
\(=\int\frac{2\ln{x}}{x}dx\)
\(=2\int\frac{\ln{x}}{x}dx\)
\(=2\int\ln{x}d(\ln{x})\)
\(=2\frac{(\ln{x})^2}{2}+c, \ \because \int{xdx}=\frac{x^2}{2}+c \)
\(=(\ln{x})^2+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000008