শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। কোন শর্তে \(y=f(x)\) ফাংশনটি \(x=a\) বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান হবে?
ফাংশনটি ঐ বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান হয়।
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{dy}{dx}\lt{0}\)
গ \(\frac{dy}{dx}=0\)
গ \(\frac{dy}{dx}=0\)
খ \(\frac{dy}{dx}\gt{0}\)
ঘ \(\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
কোন ফাংশন \(y=f(x)\) এর ক্ষেত্রে, কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুতে
\(\frac{dy}{dx}\gt{0}\) হলে,ঘ \(\frac{d^2y}{dx^2}=0\)
ফাংশনটি ঐ বিন্দুতে ক্রমবর্ধমান হয়।
উত্তরঃ ( খ )
২। \(\frac{d}{dx}\left(5^{x}\right)=\) কত?
উত্তরঃ ( ক )
ক \(5^{x}\ln{5}\)
গ \(5^{x-1}x\)
গ \(5^{x-1}x\)
খ \(5^{x}\)
ঘ \(5^{x}\ln{x}\)
\(\because \frac{d}{dx}\left(a^{x}\right)=a^{x}\ln{a}\) ঘ \(5^{x}\ln{x}\)
উত্তরঃ ( ক )
৩। \(k\) কোন মানের জন্য \(\begin{bmatrix}k & -2 \\2 & k-4
\end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমী হবে?
\(\left|\begin{array}{c}k & -2 \\2 & k-4 \end{array}\right|=0\) হবে।
\(\Rightarrow k(k-4)+4=0\)
\(\Rightarrow k^2-4k+4=0\)
\(\Rightarrow (k-2)^2=0\)
\(\Rightarrow k-2=0\)
\(\therefore k=2\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-4\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-2\)
ঘ \(4\)
\(\begin{bmatrix}k & -2 \\2 & k-4 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি
ব্যাতিক্রমী হলে,ঘ \(4\)
\(\left|\begin{array}{c}k & -2 \\2 & k-4 \end{array}\right|=0\) হবে।
\(\Rightarrow k(k-4)+4=0\)
\(\Rightarrow k^2-4k+4=0\)
\(\Rightarrow (k-2)^2=0\)
\(\Rightarrow k-2=0\)
\(\therefore k=2\)
উত্তরঃ ( গ )
৪। যদি \(\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x-1}=\ln{p}\) হয় তবে \(p\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \left[\frac{1}{2}\ln{(2x-1)}\right]_{1}^{5}=\ln{p}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left[\ln{(2\times5-1)}-\ln{(2\times1-1)}\right]=\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{(10-1)}-\ln{(2-1)}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{9}-\ln{1}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{9}-0=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{3^2}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow 2\ln{3}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{3}=\ln{p}\)
\(\Rightarrow 3=p\)
\(\therefore p=3\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(3\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(9\)
ঘ \(81\)
\(\int_{1}^{5}\frac{dx}{2x-1}=\ln{p}\)ঘ \(81\)
\(\Rightarrow \left[\frac{1}{2}\ln{(2x-1)}\right]_{1}^{5}=\ln{p}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\left[\ln{(2\times5-1)}-\ln{(2\times1-1)}\right]=\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{(10-1)}-\ln{(2-1)}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{9}-\ln{1}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{9}-0=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{3^2}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow 2\ln{3}=2\ln{p}\)
\(\Rightarrow \ln{3}=\ln{p}\)
\(\Rightarrow 3=p\)
\(\therefore p=3\)
উত্তরঃ ( ক )
৫। \(3y-2x+6=0\) রেখাটি-
\(i.\) \(y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(ii.\) \(x\) অক্ষ হতে \(3\) একক অংশ খন্ডন করে
\(iii.\) অক্ষদ্বয়ের সাথে \(3\) বর্গ একক ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow 3y-2\times0+6=0\)
\(\Rightarrow 3y-0+6=0\)
\(\Rightarrow 3y=-6\)
\(\therefore y=-2\)
\(\therefore\) রেখাটি \(y\) অক্ষকে \((0, -2)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(3y-2x+6=0\) সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow 3\times0-2x+6=0\)
\(\Rightarrow 0-2x+6=0\)
\(\Rightarrow -2x=-6\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore\) রেখাটি \(x\) অক্ষ হতে \(3\) একক অংশ খন্ডন করে
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(3y-2x+6=0\)
\(\Rightarrow 3y-2x=-6\)
\(\Rightarrow \frac{3y}{-6}-\frac{2x}{-6}=1\)
\(\therefore \frac{x}{3}+\frac{y}{-2}=1\)
\(\therefore \) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের ছেদিতাংশের পরিমান যথাক্রমে \(3\) ও \(-2\)
রেখাটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times3\times-2\)
\(=-3\)
\(=3 \because \triangle\ne{-ve}\) বর্গ একক
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) \(y\) অক্ষকে \((0, 2)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(ii.\) \(x\) অক্ষ হতে \(3\) একক অংশ খন্ডন করে
\(iii.\) অক্ষদ্বয়ের সাথে \(3\) বর্গ একক ক্ষেত্রফলবিশিষ্ট ত্রিভুজ গঠন করে
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(3y-2x+6=0\) সমীকরণে \(x=0\) বসিয়ে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow 3y-2\times0+6=0\)
\(\Rightarrow 3y-0+6=0\)
\(\Rightarrow 3y=-6\)
\(\therefore y=-2\)
\(\therefore\) রেখাটি \(y\) অক্ষকে \((0, -2)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(3y-2x+6=0\) সমীকরণে \(y=0\) বসিয়ে,
\(\Rightarrow 3\times0-2x+6=0\)
\(\Rightarrow 0-2x+6=0\)
\(\Rightarrow -2x=-6\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore\) রেখাটি \(x\) অক্ষ হতে \(3\) একক অংশ খন্ডন করে
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(3y-2x+6=0\)
\(\Rightarrow 3y-2x=-6\)
\(\Rightarrow \frac{3y}{-6}-\frac{2x}{-6}=1\)
\(\therefore \frac{x}{3}+\frac{y}{-2}=1\)
\(\therefore \) রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের ছেদিতাংশের পরিমান যথাক্রমে \(3\) ও \(-2\)
রেখাটি ও অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times3\times-2\)
\(=-3\)
\(=3 \because \triangle\ne{-ve}\) বর্গ একক
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
৬। \(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & -1 & \ \ \ 2\\ \ \ \ 2 & -2 & \
\ \ 1\\ -3 & \ \ \ 4 & -5\end{array}\right|\) এ \((3, 1)\) তম ভুক্তির
সহগুণক কত?
\((3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-1+4)\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-9\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(-3\)
ঘ \(9\)
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & -1 & \ \ \ 2\\ \ \ \ 2 & -2 & \
\ \ 1\\ -3 & \ \ \ 4 & -5\end{array}\right|\) এ \((3, 1)\) তম
ভুক্তির সহগুণকঘ \(9\)
\((3,1)\) তম ভুক্তির সহগুনক \(=(-1)^{3+1}\left|\begin{array}{c} -1 & 2 \\ -2 & 1 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-1+4)\)
\(=3\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ৭ ও ৮ নং প্রশ্নের
উত্তর দাওঃ
\(f(x)=\tan{x}\) এবং \(g(x)=\sec^2{x}\)
৭। \(\int{f(x)dx}=\) কত?\(f(x)=\tan{x}\) এবং \(g(x)=\sec^2{x}\)
ক \(-\ln{\cos{x}}+c\)
গ \(\ln{\cos{x}}+c\)
গ \(\ln{\cos{x}}+c\)
খ \(-\ln{\sec{x}}+c\)
ঘ \(\ln{\sin{x}}+c\)
\(f(x)=\tan{x}\) এবং \(\int{f(x)dx}\) ঘ \(\ln{\sin{x}}+c\)
\(\therefore \int{f(x)dx}=\int{\tan{x}dx}\)
\(=\int{\frac{\sin{x}}{\cos{x}}dx}\)
\(=-\int{\frac{d(\cos{x})}{\cos{x}}dx}\)
\(=-\ln{\cos{x}}+c, \ \because \frac{dx}{x}=\ln{x}+c\)
উত্তরঃ ( ক )
৮। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\{f(x)+g(x)\}dx=\) কত?
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\{\tan{x}+\sec^2{x}\}dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\tan{x}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx\)
\(=\left[e^{x}\tan{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left\{\frac{d}{dx}\tan{x}\int{e^{x}dx}\right\}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx\)
\(=\left[e^{\frac{\pi}{4}}\tan{\frac{\pi}{4}}-e^{0}\tan{0}\right]-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx\)
\(=e^{\frac{\pi}{4}}.1-1.0\)
\(=e^{\frac{\pi}{4}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(e^{\frac{\pi}{4}}\)
ঘ \(e^{\frac{\pi}{4}}-1\)
\(f(x)=\tan{x}\) এবং \(g(x)=\sec^2{x}\)ঘ \(e^{\frac{\pi}{4}}-1\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\{f(x)+g(x)\}dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\{\tan{x}+\sec^2{x}\}dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\tan{x}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx\)
\(=\left[e^{x}\tan{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\left\{\frac{d}{dx}\tan{x}\int{e^{x}dx}\right\}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx\)
\(=\left[e^{\frac{\pi}{4}}\tan{\frac{\pi}{4}}-e^{0}\tan{0}\right]-\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{x}\sec^2{x}dx\)
\(=e^{\frac{\pi}{4}}.1-1.0\)
\(=e^{\frac{\pi}{4}}\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \(x=3\) এবং \(y=\pm{x}\) সরলরেখাগুলো দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের
ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(=2\int_{0}^{3}xdx\)
\(=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3}\)
\(=\left[x^2\right]_{0}^{3}\)
\(=3^2-0^2\)
\(=9-0\)
\(=9\) বর্গ একক
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(3\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(\frac{9}{2}\)
ঘ \(9\)
\(x=3\) এবং \(y=\pm{x}\) সরলরেখাগুলো দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের
ক্ষেত্রফল,ঘ \(9\)
\(=2\int_{0}^{3}xdx\)\(=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{3}\)
\(=\left[x^2\right]_{0}^{3}\)
\(=3^2-0^2\)
\(=9-0\)
\(=9\) বর্গ একক
উত্তরঃ ( ঘ )
১০। \(B\) একটি \(2\times2\) আকারের ম্যাট্রিক্স এবং \(|B|=5\) হলে,
\(|3B|\) এর মান কত?
\(|3B|\)
\(=3|B|\)
\(=3\times5 \ \because |B|=5\)
\(=15\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(5\)
গ \(20\)
গ \(20\)
খ \(15\)
ঘ \(45\)
\(B\) একটি \(2\times2\) আকারের ম্যাট্রিক্স এবং \(|B|=5\)ঘ \(45\)
\(|3B|\)
\(=3|B|\)
\(=3\times5 \ \because |B|=5\)
\(=15\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। \(f(x)=\cos{x}\) হলে-
\(i.\) \(f^{\prime}(2t)=-\sin{2t}\)
\(ii.\) \(\int{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx=-\cos{x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(2x)}dx=\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\cos{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\sin{x}\)
\(\therefore f^{\prime}(2t)=-\sin{2t}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\int{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx\)
\(=\int{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}dx\)
\(=\int{\sin{x}}dx\)
\(=-\cos{x}+c\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(2x)}dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{(2x)}}dx\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin{(2x)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin{\left(2\times\frac{\pi}{4}\right)}-\sin{\left(2\times0\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}-\sin{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(f^{\prime}(2t)=-\sin{2t}\)
\(ii.\) \(\int{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx=-\cos{x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(2x)}dx=\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\cos{x}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{d}{dx}f(x)=\frac{d}{dx}\cos{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=-\sin{x}\)
\(\therefore f^{\prime}(2t)=-\sin{2t}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\int{f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}dx\)
\(=\int{\cos{\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}}dx\)
\(=\int{\sin{x}}dx\)
\(=-\cos{x}+c\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{f(2x)}dx\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{(2x)}}dx\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin{(2x)}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin{\left(2\times\frac{\pi}{4}\right)}-\sin{\left(2\times0\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}-\sin{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
১২। \(y=2x+3\) এবং \(3x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ কত?
\(y=2x+3\) এর ঢাল \(m_{1}=2\)
\(3x-y+5=0\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-1}=3\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী
\(=\tan^{-1}\left(\pm\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\pm\frac{2-3}{1+2\times3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\pm\frac{-1}{1+6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\mp\frac{1}{7}\right)\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ,
\(=\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\tan^{-1}\left(-\frac{1}{7}\right)\)
গ \(-\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
গ \(-\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
খ \(\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
ঘ \(\tan^{-1}\left(7\right)\)
\(y=2x+3\) এবং \(3x-y+5=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ,ঘ \(\tan^{-1}\left(7\right)\)
\(y=2x+3\) এর ঢাল \(m_{1}=2\)
\(3x-y+5=0\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{3}{-1}=3\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী
\(=\tan^{-1}\left(\pm\frac{m_{1}-m_{2}}{1+m_{1}m_{2}}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\pm\frac{2-3}{1+2\times3}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\pm\frac{-1}{1+6}\right)\)
\(=\tan^{-1}\left(\mp\frac{1}{7}\right)\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী সূক্ষ্ণকোণ,
\(=\tan^{-1}\left(\frac{1}{7}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(y=x\ln{x}\) বক্ররেখার যে বিন্দুতে স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল
তার ভুজ কত?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x\frac{d}{dx}\ln{x}+\ln{x}\frac{d}{dx}x\)
\(=x\frac{1}{x}+\ln{x}.1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1+\ln{x}\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে,
\(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 1+\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=e^{-1}\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\)
\(\therefore\) ভুজ \(=\frac{1}{e}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(e\)
গ \(\frac{1}{e}\)
গ \(\frac{1}{e}\)
খ \(-e\)
ঘ \(-\frac{1}{e}\)
দেওয়া আছে, \(y=x\ln{x}\)ঘ \(-\frac{1}{e}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x\frac{d}{dx}\ln{x}+\ln{x}\frac{d}{dx}x\)
\(=x\frac{1}{x}+\ln{x}.1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1+\ln{x}\)
স্পর্শক \(x\) অক্ষের সমান্তরাল হলে,
\(\frac{dy}{dx}=0\)
\(\Rightarrow 1+\ln{x}=0\)
\(\Rightarrow \ln{x}=-1\)
\(\Rightarrow x=e^{-1}\)
\(\therefore x=\frac{1}{e}\)
\(\therefore\) ভুজ \(=\frac{1}{e}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৪। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin{x^{o}}}\] এর মান নিচের
কোনটি?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin{\left(\frac{x\pi}{180}\right)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x\pi}{180}}{\sin{\left(\frac{x\pi}{180}\right)}}\times\frac{180}{\pi}\]
\[=1\times\frac{180}{\pi}, \ \because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta}{\sin{\theta}}=1\]
\[=\frac{180}{\pi}\]
উত্তরঃ ( খ )
ক \(0\)
গ \(\frac{\pi}{180}\)
গ \(\frac{\pi}{180}\)
খ \(\frac{180}{\pi}\)
ঘ \(1\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin{x^{o}}}\]ঘ \(1\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x}{\sin{\left(\frac{x\pi}{180}\right)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x\pi}{180}}{\sin{\left(\frac{x\pi}{180}\right)}}\times\frac{180}{\pi}\]
\[=1\times\frac{180}{\pi}, \ \because \lim_{\theta \rightarrow 0}\frac{\theta}{\sin{\theta}}=1\]
\[=\frac{180}{\pi}\]
উত্তরঃ ( খ )
১৫। \(\int{\frac{4x^3}{1+x^8}dx}=f(x)+c\) হলে, \(f(x)\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \int{\frac{4x^3}{1+(x^4)^2}dx}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \int{\frac{dt}{1+t^2}}=f(x)+c, \ x^4=t\) হলে,
\(\Rightarrow \tan^{-1}t+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}x^4=f(x)\)
\(\therefore f(x)=\tan^{-1}x^4\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{1+x^2}\)
গ \(\tan^{-1}x^4\)
গ \(\tan^{-1}x^4\)
খ \(\sin^{-1}x^3\)
ঘ \(\tan^{-1}x^3\)
\(\int{\frac{4x^3}{1+x^8}dx}=f(x)+c\)ঘ \(\tan^{-1}x^3\)
\(\Rightarrow \int{\frac{4x^3}{1+(x^4)^2}dx}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \int{\frac{dt}{1+t^2}}=f(x)+c, \ x^4=t\) হলে,
\(\Rightarrow \tan^{-1}t+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}x^4=f(x)\)
\(\therefore f(x)=\tan^{-1}x^4\)
উত্তরঃ ( গ )
১৬। \((-\sqrt{3}, -1)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক কত?
এখানে,
\(x=-\sqrt{3}, y=-1\)
পোলার স্থানাঙ্ক
\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{3+1}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \theta=\tan^{-1}{(\tan{\frac{\pi}{6}})}\)
\(\Rightarrow r=2, \theta=\tan^{-1}{\tan{\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)}};\) যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\Rightarrow r=2, \theta=\frac{6\pi+\pi}{6}\)
\(\therefore r=2, \theta=\frac{7\pi}{6}\)
বিন্দুটি \(\left(2, \frac{7\pi}{6}\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\left(2, \frac{7\pi}{6}\right)\)
গ \(\left(4, \frac{\pi}{6}\right)\)
গ \(\left(4, \frac{\pi}{6}\right)\)
খ \(\left(2, \frac{\pi}{6}\right)\)
ঘ \(\left(4, \frac{7\pi}{6}\right)\)
\((-\sqrt{3}, -1)\) ঘ \(\left(4, \frac{7\pi}{6}\right)\)
এখানে,
\(x=-\sqrt{3}, y=-1\)
পোলার স্থানাঙ্ক
\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{y}{x}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+(-1)^2}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{3+1}, \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \theta=\tan^{-1}{(\tan{\frac{\pi}{6}})}\)
\(\Rightarrow r=2, \theta=\tan^{-1}{\tan{\left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)}};\) যেহেতু বিন্দুটি তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত।
\(\Rightarrow r=2, \theta=\frac{6\pi+\pi}{6}\)
\(\therefore r=2, \theta=\frac{7\pi}{6}\)
বিন্দুটি \(\left(2, \frac{7\pi}{6}\right)\)
উত্তরঃ ( ক )
১৭। \(p=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\0 & 0 &
5\end{bmatrix}\) হলে, \(|p|\) এর মান কত?
\(\therefore |p|=\left|\begin{array}{c}3 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 5\end{array}\right|\)
\(=3\times4\times5\) যেহেতু \(\left|\begin{array}{c}a & 0 & 0 \\0 & b & 0 \\0 & 0 & c\end{array}\right|=abc\)
\(=60\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(12\)
গ \(60\)
গ \(60\)
খ \(20\)
ঘ \(120\)
\(p=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\0 & 0 &
5\end{bmatrix}\)ঘ \(120\)
\(\therefore |p|=\left|\begin{array}{c}3 & 0 & 0 \\0 & 4 & 0 \\0 & 0 & 5\end{array}\right|\)
\(=3\times4\times5\) যেহেতু \(\left|\begin{array}{c}a & 0 & 0 \\0 & b & 0 \\0 & 0 & c\end{array}\right|=abc\)
\(=60\)
উত্তরঃ ( গ )
১৮। \(y=2x+3\) রেখাটির ঢাল কত?
\(m=2\)
\(\therefore\) রেখাটির ঢাল \(=2\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(2\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-2\)
ঘ \(-\frac{1}{2}\)
\(y=2x+3\) কে \(y=mx+c\) এর সাথে তুলুনা করে,ঘ \(-\frac{1}{2}\)
\(m=2\)
\(\therefore\) রেখাটির ঢাল \(=2\)
উত্তরঃ ( ক )
১৯। \(p=\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\0 & \ \ \ 3\end{array}\right)\)
হলে, \(p^2-2I\) এর মান কত?
\(\therefore p^2=\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\0 & \ \ \ 3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\0 & \ \ \ 3\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1\times1-1\times0 & 1\times-1-1\times3 \\0\times1+3\times0 & 0\times-1+3\times3\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1-0 & -1-3 \\0+0 & 0+9\end{array}\right)\)
\(\therefore p^2=\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)\)
এখন,
\(p^2-2I=\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2 & 0 \\0 & 2\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1-2 & -4-0 \\0-0 & \ \ \ 9-2\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}-1 & -4 \\0 & \ \ \ 7\end{array}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 &
\ \ \ 7\end{array}\right)\)
গ \(\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)\)
গ \(\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)\)
খ \(\left(\begin{array}{c}-1 & -4 \\ \
\ \ 0 & \ \ \ 7\end{array}\right)\)
ঘ \(\left(\begin{array}{c}0 & -4 \\0 & \ \ \ 8\end{array}\right)\)
\(p=\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\0 & \ \ \
3\end{array}\right)\)ঘ \(\left(\begin{array}{c}0 & -4 \\0 & \ \ \ 8\end{array}\right)\)
\(\therefore p^2=\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\0 & \ \ \ 3\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1 & -1 \\0 & \ \ \ 3\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1\times1-1\times0 & 1\times-1-1\times3 \\0\times1+3\times0 & 0\times-1+3\times3\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1-0 & -1-3 \\0+0 & 0+9\end{array}\right)\)
\(\therefore p^2=\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)\)
এখন,
\(p^2-2I=\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}1 & 0 \\0 & 1\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1 & -4 \\0 & \ \ \ 9\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2 & 0 \\0 & 2\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1-2 & -4-0 \\0-0 & \ \ \ 9-2\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}-1 & -4 \\0 & \ \ \ 7\end{array}\right)\)
উত্তরঃ ( খ )
২০। \(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}}dx=\) কত?
\(=\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}\) ধরি, \(t=f(x)\)
\(=\int{t^{-\frac{1}{2}}dt}\)
\(\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c)
\(=\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=2t^{\frac{1}{2}}+c\)
\(=2\sqrt{t}+c\)
\(=2\sqrt{f(x)}+c\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\ln{f(x)}+c\)
গ \(f^{\prime}(x)+c\)
গ \(f^{\prime}(x)+c\)
খ \(2\sqrt{f(x)}+c\)
ঘ \(f(x)+c\)
\(\int{\frac{f^{\prime}(x)}{\sqrt{f(x)}}}dx\)ঘ \(f(x)+c\)
\(=\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}\) ধরি, \(t=f(x)\)
\(=\int{t^{-\frac{1}{2}}dt}\)
\(\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c)
\(=\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=2t^{\frac{1}{2}}+c\)
\(=2\sqrt{t}+c\)
\(=2\sqrt{f(x)}+c\)
উত্তরঃ ( খ )
২১। \(A=\left(\begin{array}{c}2 & 3 \\4 & 5\end{array}\right)\) এবং
\(B=\left(\begin{array}{c}2 & 3 & 1 \\4 & 5 & 1\end{array}\right)\)
হলে-
\(i.\) \(A-B=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(ii.\) \(A^{T}B\) এর মাত্রা \(2\times3\)
\(iii.\) \(AB\) নির্ণয়যোগ্য
নিচের কোনটি সঠীক?
এবং \(B\) এর মাত্রা \(2\times3\)
\(\therefore A-B\) নির্ণয়যোগ্য নয়।
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(A^{T}\) এর মাত্রা \(2\times2\)
এবং \(B\) এর মাত্রা \(2\times3\)
\(\therefore A^{T}B\) এর মাত্রা হবে \(2\times3\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(A\) এর কলাম সংখ্যা \(2\)
এবং \(B\) এর সারি সংখ্যা \(2\) অর্থাৎ সমান।
\(\therefore AB\) নির্ণয়যোগ্য
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) \(A-B=\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 1 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
\(ii.\) \(A^{T}B\) এর মাত্রা \(2\times3\)
\(iii.\) \(AB\) নির্ণয়যোগ্য
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A\) এর মাত্রা \(2\times2\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এবং \(B\) এর মাত্রা \(2\times3\)
\(\therefore A-B\) নির্ণয়যোগ্য নয়।
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(A^{T}\) এর মাত্রা \(2\times2\)
এবং \(B\) এর মাত্রা \(2\times3\)
\(\therefore A^{T}B\) এর মাত্রা হবে \(2\times3\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(A\) এর কলাম সংখ্যা \(2\)
এবং \(B\) এর সারি সংখ্যা \(2\) অর্থাৎ সমান।
\(\therefore AB\) নির্ণয়যোগ্য
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
২২। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+1}{5x^2-6}=\] কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(5-\frac{6}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{5-\frac{6}{x^2}}\]
\[=\frac{0+0}{5-0}\]
\[=\frac{0}{5}\]
\[=0\]
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{1}{5}\)
গ \(-\frac{1}{6}\)
গ \(-\frac{1}{6}\)
খ \(\frac{2}{5}\)
ঘ \(0\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x+1}{5x^2-6}\] ঘ \(0\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2\left(\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(5-\frac{6}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}{5-\frac{6}{x^2}}\]
\[=\frac{0+0}{5-0}\]
\[=\frac{0}{5}\]
\[=0\]
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪ নং প্রশ্নের
উত্তর দাওঃ
\(2x+5y+1=0\) এবং \(-kx+10y-3=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
২৩। রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হলে \(k\)-এর মাণ কোনটি?\(2x+5y+1=0\) এবং \(-kx+10y-3=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
ক \(-4\)
গ \(21\)
গ \(21\)
খ \(-3\)
ঘ \(25\)
\(2x+5y+1=0\) এর ঢাল \(m_{1}=-\frac{2}{5}\)ঘ \(25\)
\(-kx+10y-3=0\) এর ঢাল \(m_{2}=-\frac{-k}{10}=\frac{k}{10}\)
রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব ফলে,
\(m_{1}\times{m_{2}}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{2}{5}\times\frac{k}{10}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2}{5}\times\frac{k}{10}=1\)
\(\Rightarrow \frac{k}{25}=1\)
\(\therefore k=25\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৪। \((1, 0)\) বিন্দুগামী প্রথম রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(2x+5y+k=0\) যা \((1, 0)\) বিন্দুগামী
\(\therefore 2\times1+5\times0+k=0\)
\(\Rightarrow 2+0+k=0\)
\(\therefore k=-2\)
\(\therefore (1, 0)\) বিন্দুগামী প্রথম রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,
\(2x+5y-2=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(2x+5y-2=0\)
গ \(2x-5y-5=0\)
গ \(2x-5y-5=0\)
খ \(2x+5y+2=0\)
ঘ \(2x-5y+2=0\)
\(2x+5y+1=0\) এর সমান্তরাল যে কোনো সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(2x-5y+2=0\)
\(2x+5y+k=0\) যা \((1, 0)\) বিন্দুগামী
\(\therefore 2\times1+5\times0+k=0\)
\(\Rightarrow 2+0+k=0\)
\(\therefore k=-2\)
\(\therefore (1, 0)\) বিন্দুগামী প্রথম রেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ,
\(2x+5y-2=0\)
উত্তরঃ ( ক )
২৫। \(\frac{d^7}{dx^7}(5x^6)\)-এর মাণ কোনটি?
\(=5\frac{d^7}{dx^7}(x^6)\)
\(=5\times0\) যেহেতু অন্তরীকরণের ঘাত \(x\) এর ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(6!\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(7!\)
ঘ \(30\)
\(\frac{d^7}{dx^7}(5x^6)\)ঘ \(30\)
\(=5\frac{d^7}{dx^7}(x^6)\)
\(=5\times0\) যেহেতু অন্তরীকরণের ঘাত \(x\) এর ঘাত অপেক্ষা বৃহত্তর।
\(=0\)
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002