শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
নিচের তথ্যের আলোকে ১ ও ২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলো।
১। অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য কত? \((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলো।
ক \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
খ \(\frac{5}{4}\)
ঘ \(\frac{5}{2}\)
\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলো।ঘ \(\frac{5}{2}\)
অংকিত লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{|\sqrt{3}\times\sqrt{3}-1+1|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}}\)
\(=\frac{|3-1+1|}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{|3|}{\sqrt{3+1}}\)
\(=\frac{|3|}{\sqrt{4}}\)
\(=\frac{3}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
২। ঐ লম্বটি \(x\) অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?
অংকিত লম্বের সমীকরণ, \(x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}+1\)
লম্বের ঢাল \(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(x\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=180^{o}-30^{o}\)
\(\therefore \theta=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
\((\sqrt{3}, 1)\) বিন্দু হতে \(\sqrt{3}x-y+1=0\) সরলরেখার উপর লম্ব অঙ্কন করা হলো।ঘ \(150^{o}\)
অংকিত লম্বের সমীকরণ, \(x+\sqrt{3}y=\sqrt{3}+1\)
লম্বের ঢাল \(=-\frac{1}{\sqrt{3}}\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) এর ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(x\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ \(\theta\) হলে,
\(\tan{\theta}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=-\tan{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \theta=180^{o}-30^{o}\)
\(\therefore \theta=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \[\lim_{x \rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}=?\]
\[=\lim_{2x \rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\]
\[=e\] যেহেতু \[\lim_{n \rightarrow 0}(1+n)^{\frac{1}{n}}=e\]
উত্তরঃ (গ)
ক \(0\)
গ \(e\)
গ \(e\)
খ \(1\)
ঘ \(e^{2}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\]ঘ \(e^{2}\)
\[=\lim_{2x \rightarrow 0}(1+2x)^{\frac{1}{2x}}\]
\[=e\] যেহেতু \[\lim_{n \rightarrow 0}(1+n)^{\frac{1}{n}}=e\]
উত্তরঃ (গ)
৪। \(\frac{d^{10}}{dx^{10}}(x^{10})\) এর মান কত?
\(=\frac{d^{9}}{dx^{9}}\frac{d}{dx}(x^{10})\)
\(=\frac{d^{9}}{dx^{9}}(10x^{10-1})\)
\(=\frac{d^{8}}{dx^{8}}\frac{d}{dx}(10x^{9})\)
\(=\frac{d^{8}}{dx^{8}}(10.9x^{9-1})\)
\(=\frac{d^{7}}{dx^{7}}\frac{d}{dx}(10.9x^{8})\)
\(=\frac{d^{7}}{dx^{7}}(10.9.8x^{8-1})\)
\(=\frac{d^{7}}{dx^{7}}(10.9.8x^{7})\)
\(---------------------------------\)
\(---------------------------------\)
\(---------------------------------\)
\(=10.9.8........1x^{0}\)
\(=10.9.8........1.1\)
\(=10.9.8........1\)
\(=10!\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(10!\)
গ \(10!.x^2\)
গ \(10!.x^2\)
খ \(10!.x\)
ঘ \(0\)
\(\frac{d^{10}}{dx^{10}}(x^{10})\)ঘ \(0\)
\(=\frac{d^{9}}{dx^{9}}\frac{d}{dx}(x^{10})\)
\(=\frac{d^{9}}{dx^{9}}(10x^{10-1})\)
\(=\frac{d^{8}}{dx^{8}}\frac{d}{dx}(10x^{9})\)
\(=\frac{d^{8}}{dx^{8}}(10.9x^{9-1})\)
\(=\frac{d^{7}}{dx^{7}}\frac{d}{dx}(10.9x^{8})\)
\(=\frac{d^{7}}{dx^{7}}(10.9.8x^{8-1})\)
\(=\frac{d^{7}}{dx^{7}}(10.9.8x^{7})\)
\(---------------------------------\)
\(---------------------------------\)
\(---------------------------------\)
\(=10.9.8........1x^{0}\)
\(=10.9.8........1.1\)
\(=10.9.8........1\)
\(=10!\)
উত্তরঃ (ক)
৫। \(f(x)=\ln{(1-x)}\) হলে, \(f^{\prime\prime}(2)\) এর মান কত?
\(f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\{\ln{(1-x)}\}\)
\(=\frac{1}{1-x}\times\frac{d}{dx}(-x)\)
\(=\frac{1}{1-x}\times-1\)
\(=-\frac{1}{1-x}\)
\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left\{-\frac{1}{1-x}\right\}\)
\(=-\left\{-\frac{1}{(1-x)^2}\right\}\times\frac{d}{dx}(-x)\)
\(=\frac{1}{(1-x)^2}\times-1\)
\(=-\frac{1}{(1-x)^2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{(1-x)^2}\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(2)=-\frac{1}{(1-2)^2}\)
\(=-\frac{1}{(-1)^2}\)
\(=-\frac{1}{1}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{1}{9}\)
গ \(\frac{1}{9}\)
গ \(\frac{1}{9}\)
খ \(-1\)
ঘ \(1\)
\(f(x)=\ln{(1-x)}\)ঘ \(1\)
\(f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\{\ln{(1-x)}\}\)
\(=\frac{1}{1-x}\times\frac{d}{dx}(-x)\)
\(=\frac{1}{1-x}\times-1\)
\(=-\frac{1}{1-x}\)
\(f^{\prime\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left\{-\frac{1}{1-x}\right\}\)
\(=-\left\{-\frac{1}{(1-x)^2}\right\}\times\frac{d}{dx}(-x)\)
\(=\frac{1}{(1-x)^2}\times-1\)
\(=-\frac{1}{(1-x)^2}\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=-\frac{1}{(1-x)^2}\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(2)=-\frac{1}{(1-2)^2}\)
\(=-\frac{1}{(-1)^2}\)
\(=-\frac{1}{1}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \(\int{\frac{1}{\cos^2{p}\sqrt{\tan{p}}}dp}=?\)
\(=\int{\frac{\sec^2{p}}{\sqrt{\tan{p}}}dp}\)
\(=\int{\frac{d(\tan{p})}{\sqrt{\tan{p}}}}\)
\(=2\sqrt{\tan{p}}+c\) যেহেতু \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{\tan{p}}+c\)
গ \(2\sqrt{\tan{p}}+c\)
গ \(2\sqrt{\tan{p}}+c\)
খ \(\sqrt{\cot{p}}+c\)
ঘ \(2\sqrt{\cot{p}}+c\)
\(\int{\frac{1}{\cos^2{p}\sqrt{\tan{p}}}dp}\)ঘ \(2\sqrt{\cot{p}}+c\)
\(=\int{\frac{\sec^2{p}}{\sqrt{\tan{p}}}dp}\)
\(=\int{\frac{d(\tan{p})}{\sqrt{\tan{p}}}}\)
\(=2\sqrt{\tan{p}}+c\) যেহেতু \(\int{\frac{dx}{\sqrt{x}}}=2\sqrt{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
৭। \(\int_{0}^{1}{\frac{\sin^{-1}{p}}{\sqrt{1-p^2}}dp}\) এর মান কত?
\(=\int_{0}^{1}{\sin^{-1}{p} \ d(\sin^{-1}{p})}\)
\(=\left[\frac{(\sin^{-1}{p})^2}{2}\right]_{0}^{1}\) যেহেতু \(\int{xdx}=\frac{x^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}[(\sin^{-1}{p})^2]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2}[\{\sin^{-1}(1)\}^2-\{\sin^{-1}{0}\}^2]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi^2}{4}\)
\(=\frac{\pi^2}{8}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi^2}{4}\)
গ \(\frac{\pi^2}{4}\)
খ \(\frac{\pi^2}{2}\)
ঘ \(\frac{\pi^2}{8}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{\sin^{-1}{p}}{\sqrt{1-p^2}}dp}\)ঘ \(\frac{\pi^2}{8}\)
\(=\int_{0}^{1}{\sin^{-1}{p} \ d(\sin^{-1}{p})}\)
\(=\left[\frac{(\sin^{-1}{p})^2}{2}\right]_{0}^{1}\) যেহেতু \(\int{xdx}=\frac{x^2}{2}\)
\(=\frac{1}{2}[(\sin^{-1}{p})^2]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{2}[\{\sin^{-1}(1)\}^2-\{\sin^{-1}{0}\}^2]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{\pi}{2}\right)^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\times\frac{\pi^2}{4}\)
\(=\frac{\pi^2}{8}\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y=3x(x-2)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
৮। বক্ররেখাটির \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কত?\(y=3x(x-2)\) একটি বক্ররেখার সমীকরণ।
ক \(-12\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(-6\)
ঘ \(12\)
\(y=3x(x-2)\)ঘ \(12\)
\(\Rightarrow y=3x^2-6x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x-6\)
\((2, 0)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(2, 0)}=6\times2-6\)
\(=12-6\)
\(=6\)
\(\therefore\) বক্ররেখাটির \((2, 0)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল \(=6\)
উত্তরঃ (গ)
৯। মূলবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow y=3x^2-6x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x-6\)
\((0, 0)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=6\times0-6\)
\(=0-6\)
\(=-6\)
\(\therefore\) বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-0=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}(x-0)\)
\(\Rightarrow y-0=-6(x-0)\)
\(\Rightarrow y=-6x\)
\(\therefore y+6x=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(y+6x=0\)
গ \(x+6y=0\)
গ \(x+6y=0\)
খ \(y-6x=0\)
ঘ \(x-6y=0\)
\(y=3x(x-2)\)ঘ \(x-6y=0\)
\(\Rightarrow y=3x^2-6x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=6x-6\)
\((0, 0)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=6\times0-6\)
\(=0-6\)
\(=-6\)
\(\therefore\) বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ \(y-0=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}(x-0)\)
\(\Rightarrow y-0=-6(x-0)\)
\(\Rightarrow y=-6x\)
\(\therefore y+6x=0\)
উত্তরঃ (ক)
১০। \(\int{e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}-\int{e^x.\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}-\left[e^x\int{\frac{1}{x^2}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(e^x)\int{\frac{1}{x^2}dx}\right\}dx}\right]\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}+\frac{e^x}{x}+\int{\left(e^x\times-\frac{1}{x}\right)dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}+\frac{e^x}{x}-\int{\frac{e^x}{x}dx}\)
\(=\frac{e^x}{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{e^x}{x}+c\)
গ \(\frac{e^x}{x}+c\)
গ \(\frac{e^x}{x}+c\)
খ \(\frac{e^x}{x^2}+c\)
ঘ \(\frac{e^x}{x^2}+c\)
\(\int{e^x\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx}\)ঘ \(\frac{e^x}{x^2}+c\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}-\int{e^x.\frac{1}{x^2}dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}-\left[e^x\int{\frac{1}{x^2}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(e^x)\int{\frac{1}{x^2}dx}\right\}dx}\right]\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}+\frac{e^x}{x}+\int{\left(e^x\times-\frac{1}{x}\right)dx}\)
\(=\int{\frac{e^x}{x}dx}+\frac{e^x}{x}-\int{\frac{e^x}{x}dx}\)
\(=\frac{e^x}{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{x}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{2x}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(1+x^2)}]_{1}^{\sqrt{3}}\) যেহেতু \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{\{1+(\sqrt{3})^2\}}-\ln{\{1+(1)^2\}}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{\{1+3\}}-\ln{\{1+1\}}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{4}-\ln{2}]\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\frac{4}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\ln{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\ln{\frac{1}{2}}\)
গ \(\frac{1}{2}\ln{\frac{1}{2}}\)
খ \(\ln{\frac{1}{2}}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\ln{2}\)
\(\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{x}{1+x^2}dx}\)ঘ \(\frac{1}{2}\ln{2}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{2x}{1+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{1}^{\sqrt{3}}{\frac{d(1+x^2)}{1+x^2}}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{(1+x^2)}]_{1}^{\sqrt{3}}\) যেহেতু \(\int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{\{1+(\sqrt{3})^2\}}-\ln{\{1+(1)^2\}}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{\{1+3\}}-\ln{\{1+1\}}]\)
\(=\frac{1}{2}[\ln{4}-\ln{2}]\)
\(=\frac{1}{2}\ln{\frac{4}{2}}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(f(x)=2x\) হলে-
\(i.\) \(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\frac{1}{2}\ln{x}+c\)
\(ii.\) \(\int{e^{f(x)}dx}=\frac{1}{2}e^{2x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{1}{f(x)dx}=1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখন, \(\int{\frac{dx}{f(x)}}\)
\(=\int{\frac{dx}{2x}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{x}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\int{e^{f(x)}dx}\)
\(=\int{e^{2x}dx}\)
\(=\frac{e^{2x}}{2}+c\)
\(=\frac{1}{2}e^{2x}+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\int_{0}^{1}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{2xdx}\)
\(=2\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=1^2-0^2\)
\(=1-0\)
\(=1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\frac{1}{2}\ln{x}+c\)
\(ii.\) \(\int{e^{f(x)}dx}=\frac{1}{2}e^{2x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{1}{f(x)dx}=1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=2x\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখন, \(\int{\frac{dx}{f(x)}}\)
\(=\int{\frac{dx}{2x}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{x}}\)
\(=\frac{1}{2}\ln{x}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\int{e^{f(x)}dx}\)
\(=\int{e^{2x}dx}\)
\(=\frac{e^{2x}}{2}+c\)
\(=\frac{1}{2}e^{2x}+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\int_{0}^{1}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{2xdx}\)
\(=2\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=2\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=1^2-0^2\)
\(=1-0\)
\(=1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(4x-3y+8=0\) এবং \(8x-6y+4=0\) রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব নিম্নের কোনটি?
\(\Rightarrow 4x-3y+8=0\) এবং \(2(4x-3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y+8=0\) এবং \(4x-3y+2=0\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব \(=\frac{|8-2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{6}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{2}{5}\)
গ \(\frac{6}{5}\)
গ \(\frac{6}{5}\)
খ \(\frac{4}{5}\)
ঘ \(\frac{3}{5}\)
\(4x-3y+8=0\) এবং \(8x-6y+4=0\)ঘ \(\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow 4x-3y+8=0\) এবং \(2(4x-3y+2)=0\)
\(\Rightarrow 4x-3y+8=0\) এবং \(4x-3y+2=0\)
রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী লম্বদূরত্ব \(=\frac{|8-2|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{6}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(A, \ B\) এবং \(C\) ম্যাট্রিক্সগুলোর মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) এবং \(7\times4\) হলে \((B+A^{T})C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা কত?
\(A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(B+A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(4\times7\)
\((B+A^{T})C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3\times4\)
গ \(3\times3\)
গ \(3\times3\)
খ \(3\times7\)
ঘ \(4\times4\)
\(A, \ B\) এবং \(C\) ম্যাট্রিক্সগুলোর মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) এবং \(7\times4\)ঘ \(4\times4\)
\(A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(B+A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times4\)
\(C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(4\times7\)
\((B+A^{T})C^{T}\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(\left|\begin{array}{c}-2 & \ \ \ 0 & 1\\ -1 & -3 & 0\\ \ \ \ 2 & \ \ \ 1 & 3\end{array}\right|\) নির্ণায়কটির \((2, 2)\) তম সহগুণক কোনটি?
নির্ণায়কটির \((2, 2)\) তম সহগুণক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c}-2 & 1\\ \ \ \ 2 & 3\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-6-2)\)
\(=-8\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(8\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(-8\)
ঘ \(-4\)
\(\left|\begin{array}{c}-2 & \ \ \ 0 & 1\\ -1 & -3 & 0\\ \ \ \ 2 & \ \ \ 1 & 3\end{array}\right|\)ঘ \(-4\)
নির্ণায়কটির \((2, 2)\) তম সহগুণক \(=(-1)^{2+2}\left|\begin{array}{c}-2 & 1\\ \ \ \ 2 & 3\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{4}(-6-2)\)
\(=-8\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)
১৬। \(A\) ম্যাট্রিক্সটি হল-\(A=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)
\(i.\) বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) সমঘাতি ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সটির সারি ও কলাম সংখ্যা সমান
\(\therefore A\) ম্যাট্রিক্সটি বর্গ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(A\) ম্যাট্রিক্সটি বর্গ ম্যাট্রিক্স এবং প্রধান কর্ণের ভুক্তি ব্যতীত অপর সকল ভুক্তি শূন্য।
\(\therefore A\) ম্যাট্রিক্সটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(A\) ম্যাট্রিক্সটি বর্গ ম্যাট্রিক্স কিন্তু \(A^2\ne{A}\)
\(\therefore A\) ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি ম্যাট্রিক্স নয়।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১৭। \(|A|\) এর মান কত?
এখন, \(|A|\)
\(=\left|\begin{array}{c}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right|\)
\(=3\times3\times3\)
\(=27\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(0\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(3\)
ঘ \(27\)
\(A=\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}\)ঘ \(27\)
এখন, \(|A|\)
\(=\left|\begin{array}{c}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{array}\right|\)
\(=3\times3\times3\)
\(=27\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। নিচের কোনটি অব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স?
এখানে, \(\begin{bmatrix}4 & 1 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=12-2\)
\(=10\ne{0}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\begin{bmatrix}3 & 6 \\2 & 4 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}4 & 1 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}4 & 1 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}4 & 1 \\8 & 2 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}4 & 10 \\2 & 5 \end{bmatrix}\)
যে বর্গ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান শূন্য নয়, তাকে অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।ঘ \(\begin{bmatrix}4 & 10 \\2 & 5 \end{bmatrix}\)
এখানে, \(\begin{bmatrix}4 & 1 \\2 & 3 \end{bmatrix}\)
\(=12-2\)
\(=10\ne{0}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(\left(-\frac{1}{2}\right)\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((2, -3)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=2\)
এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(y+3=2(x-2)\)
\(\Rightarrow y+3=2x-4\)
\(\Rightarrow 2x-4=y+3\)
\(\Rightarrow 2x-4-y-3=0\)
\(\therefore 2x-y-7=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2x+y-7=0\)
গ \(2x-y+7=0\)
গ \(2x-y+7=0\)
খ \(2x-y-7=0\)
ঘ \(2x-y-1=0\)
\(\left(-\frac{1}{2}\right)\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার উপর লম্বঘ \(2x-y-1=0\)
এরূপ সরলরেখার ঢাল \(=2\)
এরূপ সরলরেখার সমীকরণ, \(y+3=2(x-2)\)
\(\Rightarrow y+3=2x-4\)
\(\Rightarrow 2x-4=y+3\)
\(\Rightarrow 2x-4-y-3=0\)
\(\therefore 2x-y-7=0\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২০ ও ২১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
২০। তথ্যের আলোকে-\(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
\(i.\) \(|A|=0\)
\(ii.\) \(AB\) এর ক্রম \(3\times1\)
\(iii.\) \(BA\) নির্ণয়যোগ্য
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(|A|=\left|\begin{array}{c}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8\end{array}\right|\)
\(=1(32-36)-3(16-24)+5(12-16)\)
\(=-4+24-20\)
\(=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(A\) এর ক্রম \(3\times3\)
\(B\) এর ক্রম \(3\times1\)
\(\therefore AB\) এর ক্রম \(3\times1\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(B\) এর ক্রম \(3\times1\)
\(A\) এর ক্রম \(3\times3\)
\(\therefore BA\) নির্ণয়যোগ্য নয়। (প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান নয়।)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২১। \(AB\) ম্যাট্রিক্সটি হবে-
এখন, \(AB\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1+6+15 \\ 2+8+18 \\ 4+12+24 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}22 \\ 28 \\ 40 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\begin{bmatrix}28 \\ 22 \\ 40 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}22 & 28 & 40 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}22 & 28 & 40 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}22 \\ 28 \\ 40 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}28 & 22 & 40 \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix}28 & 22 & 40 \end{bmatrix}\)
এখন, \(AB\)
\(=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5\\ 2 & 4 & 6\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 1+6+15 \\ 2+8+18 \\ 4+12+24 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}22 \\ 28 \\ 40 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(x-y=0\) এবং \(x+y=0\) রেখাদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ কত?
\(\therefore\) এদের অন্তর্গত কোণ \(90^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
\(x-y=0\) এবং \(x+y=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব,ঘ \(90^{o}\)
\(\therefore\) এদের অন্তর্গত কোণ \(90^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(r=3\cos{\theta}\) এর কার্তেসীয় সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow r^2=3r\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=3x\) যেহেতু \(r^2=x^2+y^2, \ r\cos{\theta}=x\)
\(\therefore x^2+y^2-3x=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x^2+y^2-3x=0\)
গ \(x^2+y^2-3y=0\)
গ \(x^2+y^2-3y=0\)
খ \(x^2+y^2+3x=0\)
ঘ \(x^2+y^2+3y=0\)
\(r=3\cos{\theta}\)ঘ \(x^2+y^2+3y=0\)
\(\Rightarrow r^2=3r\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=3x\) যেহেতু \(r^2=x^2+y^2, \ r\cos{\theta}=x\)
\(\therefore x^2+y^2-3x=0\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(2x-3y-1=0\) সরলরেখার-
\(i.\) ঢাল \(=\frac{2}{3}\)
\(ii.\) \(x\) অক্ষকে \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(iii.\) সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(3x+2y+7=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ঢাল \(=-\frac{2}{-3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
রেখাটি, \(x\) অক্ষকে \(\left(x, 0\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\Rightarrow 2x-3.0-1=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(2x-3y-1=0\) সরলরেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(2x-3y+k=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) ঢাল \(=\frac{2}{3}\)
\(ii.\) \(x\) অক্ষকে \(\left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(iii.\) সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(3x+2y+7=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2x-3y-1=0\) সরলরেখার-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ঢাল \(=-\frac{2}{-3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
রেখাটি, \(x\) অক্ষকে \(\left(x, 0\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\Rightarrow 2x-3.0-1=0\)
\(\Rightarrow 2x-1=0\)
\(\therefore x=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \left(\frac{1}{2}, 0\right)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(2x-3y-1=0\) সরলরেখার সমান্তরাল রেখার সমীকরণ \(2x-3y+k=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২৫। \((-1, -1)\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কোনটি?
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
এখন,\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-1}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{5\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=5\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির পোলার স্থানাংক \(\left(\sqrt{2}, 5\frac{\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\left(\sqrt{2}, 3\frac{\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(2, 3\frac{\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(2, 3\frac{\pi}{4}\right)\)
খ \(\left(\sqrt{2}, 5\frac{\pi}{4}\right)\)
ঘ \(\left(2, 5\frac{\pi}{4}\right)\)
\((-1, -1)\)ঘ \(\left(2, 5\frac{\pi}{4}\right)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
এখন,\(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-1}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+1}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=\frac{5\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2}, \ \theta=5\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore \) বিন্দুটির পোলার স্থানাংক \(\left(\sqrt{2}, 5\frac{\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004