শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\left|\begin{array}{c}1 & -2 & \ \ \ 0\\ 2 & \ \ \ 0 & -3 \\ 3 & \ \ \ 0 & \ \ \ 4 \end{array}\right|\) নির্ণায়কটির \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগুণক কোনটি?
নির্ণায়কটির \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}(-8-0)\)
\(=(-1)^{3}(-8)\)
\(=-(-8)\)
\(=8\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-17\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(-8\)
ঘ \(17\)
\(\left|\begin{array}{c}1 & -2 & \ \ \ 0\\ 2 & \ \ \ 0 & -3 \\ 3 & \ \ \ 0 & \ \ \ 4 \end{array}\right|\)ঘ \(17\)
নির্ণায়কটির \((2, 1)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{2+1}(-8-0)\)
\(=(-1)^{3}(-8)\)
\(=-(-8)\)
\(=8\)
উত্তরঃ (গ)
২। \(A=\begin{bmatrix}2 & 4 & 6 \\4 & 6 & 8 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix} 6 \\ 7 \\ 8 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) এর ক্রম কত?
\(B\) এর ক্রম \(3\times1\)
\(AB\) এর ক্রম \(2\times1\)
এই ক্ষেত্রে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্রম \(2\times1\) নেওয়া হয়েছে।
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\times1\)
গ \(3\times1\)
গ \(3\times1\)
খ \(1\times2\)
ঘ \(1\times3\)
\(A\) এর ক্রম \(2\times3\)ঘ \(1\times3\)
\(B\) এর ক্রম \(3\times1\)
\(AB\) এর ক্রম \(2\times1\)
এই ক্ষেত্রে প্রথম ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা নিয়ে গঠিত ক্রম \(2\times1\) নেওয়া হয়েছে।
উত্তরঃ (ক)
৩। \(C=\begin{bmatrix}-1 & \ \ \ 2 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\) হলে, \(C^{-1}=\) কত?
\(\Rightarrow det(C)=\left|\begin{array}{c}-1 & \ \ \ 2 \\ \ \ \ 3 & -4\end{array}\right|\)
\(=4-6\)
\(=-2\)
\(adj(C)=\begin{bmatrix}-4 & -3 \\ -2 & -1\end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}-4 & -2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}\)
এখন, \(C^{-1}=\frac{adj(C)}{det(C)}\)
\(=\frac{1}{det(C)}adj(C)\)
\(=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}-4 & -2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}\)
\(=\frac{-1}{-2}\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix}-4 & \ \ \ 3 \\ \ \ \ 2 & -1 \end{bmatrix}\)
গ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\)
গ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\)
খ \(-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} \ \ \ 4 & -2 \\ -3 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\)
\(C=\begin{bmatrix}-1 & \ \ \ 2 \\ \ \ \ 3 & -4 \end{bmatrix}\)ঘ \(\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 3 \\ 2 & 1\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow det(C)=\left|\begin{array}{c}-1 & \ \ \ 2 \\ \ \ \ 3 & -4\end{array}\right|\)
\(=4-6\)
\(=-2\)
\(adj(C)=\begin{bmatrix}-4 & -3 \\ -2 & -1\end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix}-4 & -2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}\)
এখন, \(C^{-1}=\frac{adj(C)}{det(C)}\)
\(=\frac{1}{det(C)}adj(C)\)
\(=\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}-4 & -2 \\ -3 & -1\end{bmatrix}\)
\(=\frac{-1}{-2}\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{2}\begin{bmatrix}4 & 2 \\ 3 & 1\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
৪। \(\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}\) একটি-
\(i.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
কর্ণ ম্যাট্রিক্স কারণ, এর প্রধান কর্ণের সকল ভুক্তি অশূন্য।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow A^{t}=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}^t\)
\(\Rightarrow A^{t}=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{t}=A\)
\(\therefore \) এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য
আবার, কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্সের অশুন্য ভুক্তিগুলি সমান হলে, ঐ কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) কর্ণ ম্যাট্রিক্স
\(ii.\) প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) স্কেলার ম্যাট্রিক্স
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}\) একটিঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
কর্ণ ম্যাট্রিক্স কারণ, এর প্রধান কর্ণের সকল ভুক্তি অশূন্য।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(A=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow A^{t}=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}^t\)
\(\Rightarrow A^{t}=\begin{bmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 20\end{bmatrix}\)
\(\therefore A^{t}=A\)
\(\therefore \) এটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য
আবার, কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্সের অশুন্য ভুক্তিগুলি সমান হলে, ঐ কর্ণ ম্যাট্রিক্সকে স্কেলার ম্যাট্রিক্স বলা হয়।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
৫। \(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 2 & \ \ \ 3 \\ \ \ \ 4 & 5 & -8 \\ -5 & 6 & \ \ \ x \end{array}\right|\) এর \((1, 2)\) তম অনুরাশি \(8\) হলে, \(x\) এর মান কত?
এর \((1, 2)\) তম অনুরাশি \(8\)
\(\therefore \left|\begin{array}{c} \ \ \ 4 & -8 \\-5 & \ \ \ x \end{array}\right|=8\)
\(\Rightarrow 4x-40=8\)
\(\Rightarrow 4x=40+8\)
\(\Rightarrow 4x=48\)
\(\therefore x=12\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-8\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(-5\)
ঘ \(13\)
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 2 & \ \ \ 3 \\ \ \ \ 4 & 5 & -8 \\ -5 & 6 & \ \ \ x \end{array}\right|\)ঘ \(13\)
এর \((1, 2)\) তম অনুরাশি \(8\)
\(\therefore \left|\begin{array}{c} \ \ \ 4 & -8 \\-5 & \ \ \ x \end{array}\right|=8\)
\(\Rightarrow 4x-40=8\)
\(\Rightarrow 4x=40+8\)
\(\Rightarrow 4x=48\)
\(\therefore x=12\)
উত্তরঃ (গ)
৬। \((\sqrt{2}, -\sqrt{2})\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কত?
\(\therefore x=\sqrt{2} \) এবং \( y=-\sqrt{2}\)
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2+2}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}\)
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \theta=-tan^{-1}{1}\)
\(\therefore \theta=-\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left(4, \frac{7\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(8, \frac{\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(8, \frac{\pi}{4}\right)\)
খ \(\left(6, -\frac{\pi}{4}\right)\)
ঘ \(\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)\)
এখানে, \((x, y)\) \(\Rightarrow (\sqrt{2}, -\sqrt{2})\)ঘ \(\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)\)
\(\therefore x=\sqrt{2} \) এবং \( y=-\sqrt{2}\)
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\) \(\Rightarrow r=\sqrt{(\sqrt{2})^{2}+(-\sqrt{2})^{2}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2+2}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}\)
\(\therefore r=2\)
আবার,
\(\theta=tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=tan^{-1}\frac{-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \theta=-tan^{-1}{1}\)
\(\therefore \theta=-\frac{\pi}{4}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৭ ও ৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(2x-3y+6=0\)
৭। রেখাটির ঢাল কত?\(2x-3y+6=0\)
ক \(-\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(-\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(2x-3y+6=0\)ঘ \(\frac{3}{2}\)
রেখাটির ঢাল \(=-\frac{2}{-3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
৮। রেখাটি \(x\) অক্ষকে যে বিন্দুতে ছেদ করে তার স্থানাংক-
\(\Rightarrow 2x-3y=-6\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{-6}-\frac{3y}{-6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}-\frac{y}{-2}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{2}=1\)
রেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের ছেদবিন্দু \((-3, 0)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((-3, 0)\)
গ \((0, 2)\)
গ \((0, 2)\)
খ \((0, -2)\)
ঘ \((3, 0)\)
\(2x-3y+6=0\)ঘ \((3, 0)\)
\(\Rightarrow 2x-3y=-6\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{-6}-\frac{3y}{-6}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-3}-\frac{y}{-2}=1\)
\(\therefore \frac{x}{-3}+\frac{y}{2}=1\)
রেখাটি দ্বারা \(x\) অক্ষের ছেদবিন্দু \((-3, 0)\)
উত্তরঃ (ক)
৯। \(x+2y=2\) ও \(2x+4y=-8\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত একক?
\(\Rightarrow x+2y-2=0) ও \(2(x+2y)=-8\)
\(\Rightarrow x+2y-2=0) ও \(x+2y=-4\)
\(\therefore x+2y-2=0) ও \(x+2y+4=0\)
সমান্তরাল রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|-2-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(=\frac{|-6|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{5}}\) একক
উত্তরঃ (গ)
ক \(-6\)
গ \(\frac{6}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{6}{\sqrt{5}}\)
খ \(-\frac{6}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(6\)
\(x+2y=2\) ও \(2x+4y=-8\)ঘ \(6\)
\(\Rightarrow x+2y-2=0) ও \(2(x+2y)=-8\)
\(\Rightarrow x+2y-2=0) ও \(x+2y=-4\)
\(\therefore x+2y-2=0) ও \(x+2y+4=0\)
সমান্তরাল রেখদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|-2-4|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(=\frac{|-6|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{5}}\) একক
উত্তরঃ (গ)
১০। \((1, 1)\) বিন্দু হতে \(4x+3y=22\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব কত একক?
\(=\frac{|4\times1+3\times1-22|}{\sqrt{4^2+3^2}}\)
\(=\frac{|4+3-22|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|7-22|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-15|}{5}\)
\(=\frac{15}{5}\)
\(=3\) একক
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-3\)
গ \(\frac{3}{5}\)
গ \(\frac{3}{5}\)
খ \(-\frac{3}{5}\)
ঘ \(3\)
\((1, 1)\) বিন্দু হতে \(4x+3y=22\) সরলরেখার লম্ব দূরত্বঘ \(3\)
\(=\frac{|4\times1+3\times1-22|}{\sqrt{4^2+3^2}}\)
\(=\frac{|4+3-22|}{\sqrt{16+9}}\)
\(=\frac{|7-22|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{|-15|}{5}\)
\(=\frac{15}{5}\)
\(=3\) একক
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(k\) এর মান কত হলে, \(kx+3y+1=0\) এবং \(y=3x+5\) রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে?
\(\Rightarrow kx+3y+1=0\) এবং \(-3x+y-5=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল
\(\Rightarrow \frac{k}{-3}=\frac{3}{1}\) শর্তমতে, \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি সমানুপাতিক হবে।
\(\Rightarrow k=3\times-3\)
\(\therefore k=-9\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-9\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(9\)
\(kx+3y+1=0\) এবং \(y=3x+5\) রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরালঘ \(9\)
\(\Rightarrow kx+3y+1=0\) এবং \(-3x+y-5=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল
\(\Rightarrow \frac{k}{-3}=\frac{3}{1}\) শর্তমতে, \(x\) ও \(y\) এর সহগগুলি সমানুপাতিক হবে।
\(\Rightarrow k=3\times-3\)
\(\therefore k=-9\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(\frac{2}{3}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((-1. 0)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
\(-\frac{3}{2}\) ঢালবিশিষ্ট এবং \((-1. 0)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-\frac{3}{2}(x+1)\)
\(\Rightarrow y=\frac{-3x-3}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=-3x-3\)
\(\therefore 3x+2y+3=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3x-2y+3=0\)
গ \(3x-2y+2=0\)
গ \(3x-2y+2=0\)
খ \(3x+2y+3=0\)
ঘ \(3x-2y-2=0\)
\(\frac{2}{3}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার উপর লম্ব সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{3}{2}\)ঘ \(3x-2y-2=0\)
\(-\frac{3}{2}\) ঢালবিশিষ্ট এবং \((-1. 0)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=-\frac{3}{2}(x+1)\)
\(\Rightarrow y=\frac{-3x-3}{2}\)
\(\Rightarrow 2y=-3x-3\)
\(\therefore 3x+2y+3=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2+3x+4}}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x}{x\sqrt{\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-1}{\sqrt{\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}}\]
\[=\frac{-1}{\sqrt{\left(1+0+0\right)}}\]
\(=\frac{-1}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{-1}{1}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\infty\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(4\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2+3x+4}}\]ঘ \(4\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x}{\sqrt{x^2\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-x}{x\sqrt{\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{-1}{\sqrt{\left(1+\frac{3}{x}+\frac{4}{x^2}\right)}}\]
\[=\frac{-1}{\sqrt{\left(1+0+0\right)}}\]
\(=\frac{-1}{\sqrt{1}}\)
\(=\frac{-1}{1}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
১৪। \[\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{2x}}{\cos{x}}=\] কত?
\[=\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos{x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}}(2\sin{x})\]
\(=2\times\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(=2\times-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(=2\times-1\)
\(=-2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-2\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(0\)
ঘ \(\infty\)
\[\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}}\frac{\sin{2x}}{\cos{x}}\]ঘ \(\infty\)
\[=\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}}\frac{2\sin{x}\cos{x}}{\cos{x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow -\frac{\pi}{2}}(2\sin{x})\]
\(=2\times\sin{\left(-\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(=2\times-\sin{\left(\frac{\pi}{2}\right)}\)
\(=2\times-1\)
\(=-2\)
উত্তরঃ (ক)
১৫। \(\frac{d}{dx}(x^{-9})=\) কত?
\(=-9x^{-9-1}\)
\(=-9x^{-10}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-9x^{-8}\)
গ \(-9x^{-10}\)
গ \(-9x^{-10}\)
খ \(-\frac{1}{9}x^{-10}\)
ঘ \(-\frac{1}{8}x^{-8}\)
\(\frac{d}{dx}(x^{-9})\)ঘ \(-\frac{1}{8}x^{-8}\)
\(=-9x^{-9-1}\)
\(=-9x^{-10}\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(\frac{d}{dx}\{\cot{(2\sqrt{x})}\}=\) কত?
\(=-cosec^2{(2\sqrt{x})}\times2\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=-cosec^2{(2\sqrt{x})}\times2\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{cosec^2{(2\sqrt{x})}}{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{cosec^2{(2\sqrt{x})}}{2\sqrt{x}}\)
গ \(-cosec^2{(2\sqrt{x})}\)
গ \(-cosec^2{(2\sqrt{x})}\)
খ \(-\frac{cosec^2{(2\sqrt{x})}}{\sqrt{x}}\)
ঘ \(\frac{cosec^2{(2\sqrt{x})}}{2\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}\{\cot{(2\sqrt{x})}\}\)ঘ \(\frac{cosec^2{(2\sqrt{x})}}{2\sqrt{x}}\)
\(=-cosec^2{(2\sqrt{x})}\times2\frac{d}{dx}(\sqrt{x})\)
\(=-cosec^2{(2\sqrt{x})}\times2\times\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=-\frac{cosec^2{(2\sqrt{x})}}{\sqrt{x}}\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(\frac{d}{dx}(\log_5x)=\) কত?
\(=\frac{d}{dx}\{\log_ex\times\log_5e\}\)
\(=\log(_5e)\frac{d}{dx}(\log_ex)\)
\(=\frac{1}{\ln{5}}\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{x}\)
গ \(\frac{1}{5\ln{x}}\)
গ \(\frac{1}{5\ln{x}}\)
খ \(\frac{1}{x}\log_e5\)
ঘ \(\frac{1}{x\ln{5}}\)
\(\frac{d}{dx}(\log_5x)\)ঘ \(\frac{1}{x\ln{5}}\)
\(=\frac{d}{dx}\{\log_ex\times\log_5e\}\)
\(=\log(_5e)\frac{d}{dx}(\log_ex)\)
\(=\frac{1}{\ln{5}}\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x\ln{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(\int{\sin{\left(10-\frac{x}{5}\right)}dx}=\) কত?
\(=-\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}\times\frac{1}{\frac{d}{dx}\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
\(=-\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}\times\frac{1}{0-\frac{1}{5}}+c\)
\(=-\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}\times-5+c\)
\(=5\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(5\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
গ \(-\frac{1}{5}\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
গ \(-\frac{1}{5}\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
খ \(-5\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
ঘ \(\frac{1}{5}\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
\(\int{\sin{\left(10-\frac{x}{5}\right)}dx}\)ঘ \(\frac{1}{5}\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
\(=-\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}\times\frac{1}{\frac{d}{dx}\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
\(=-\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}\times\frac{1}{0-\frac{1}{5}}+c\)
\(=-\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}\times-5+c\)
\(=5\cos{\left(10-\frac{x}{5}\right)}+c\)
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(\frac{d}{dx}(10^x)=\) কত?
\(=10^x\ln{10}\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln{a}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x10^{x-1}\)
গ \(10^x\ln{10^x}\)
গ \(10^x\ln{10^x}\)
খ \(10^x\ln{10}\)
ঘ \(x\ln{10^x}\)
\(\frac{d}{dx}(10^x)\)ঘ \(x\ln{10^x}\)
\(=10^x\ln{10}\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(a^x)=a^x\ln{a}\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x}dx}\) এর মান কত?
\(=\left[\frac{\sin{2x}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}[\sin{2\frac{\pi}{4}}-\sin{0}]\)
\(=\frac{1}{2}[\sin{\frac{\pi}{2}}-0]\)
\(=\frac{1}{2}\times1\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-1\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(1\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos{2x}dx}\)ঘ \(1\)
\(=\left[\frac{\sin{2x}}{2}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}[\sin{2\frac{\pi}{4}}-\sin{0}]\)
\(=\frac{1}{2}[\sin{\frac{\pi}{2}}-0]\)
\(=\frac{1}{2}\times1\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
২১। \(\int_{0}^{1}{e^{-2x}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\left[\frac{e^{-2x}}{-2}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}\left[e^{-2\times1}-e^{-2\times0}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}[e^{-2}-e^0]\)
\(=-\frac{1}{2}(e^{-2}-1)\)
\(=\frac{1}{2}(1-e^{-2})\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2(1-e^{-2})\)
গ \(\frac{1}{2}(e^{-2}-1)\)
গ \(\frac{1}{2}(e^{-2}-1)\)
খ \(2(e^{-2}-1)\)
ঘ \(\frac{1}{2}(1-e^{-2})\)
\(\int_{0}^{1}{e^{-2x}dx}\)ঘ \(\frac{1}{2}(1-e^{-2})\)
\(=\left[\frac{e^{-2x}}{-2}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}\left[e^{-2\times1}-e^{-2\times0}\right]_{0}^{1}\)
\(=-\frac{1}{2}[e^{-2}-e^0]\)
\(=-\frac{1}{2}(e^{-2}-1)\)
\(=\frac{1}{2}(1-e^{-2})\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\) উপবৃত্তটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
এখানে, \(a=4, \ b=5\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
ক্ষেত্রফল \(=4\int_{0}^{4}{\frac{5}{4}\sqrt{4^2-x^2}}\)
\(=5\int_{0}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}}\)
\(=5\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\frac{x}{4}}\right]_{0}^{4}\)
\(=5\left[\frac{4\sqrt{4^2-4^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{4}}-0\right]\)
\(=5\left[\frac{0}{2}+8\sin^{-1}{1}\right]\)
\(=40\times\frac{\pi}{2}\)
\(=20\pi\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(16\pi\)
গ \(25\pi\)
গ \(25\pi\)
খ \(20\pi\)
ঘ \(400\pi\)
\(\frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)ঘ \(400\pi\)
এখানে, \(a=4, \ b=5\) উপবৃত্তটির কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)
ক্ষেত্রফল \(=4\int_{0}^{4}{\frac{5}{4}\sqrt{4^2-x^2}}\)
\(=5\int_{0}^{4}{\sqrt{4^2-x^2}}\)
\(=5\left[\frac{x\sqrt{4^2-x^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\frac{x}{4}}\right]_{0}^{4}\)
\(=5\left[\frac{4\sqrt{4^2-4^2}}{2}+\frac{4^2}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{4}}-0\right]\)
\(=5\left[\frac{0}{2}+8\sin^{-1}{1}\right]\)
\(=40\times\frac{\pi}{2}\)
\(=20\pi\)
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(\int{\frac{dx}{\sqrt{3-4x^2}}}=\) কত?
\(=\int{\frac{dx}{2\sqrt{\frac{3}{4}-x^2}}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-x^2}}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\sin^{-1}{\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}+c\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}+c\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sin^{-1}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}+c\)
গ \(2\sin^{-1}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}+c\)
গ \(2\sin^{-1}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}+c\)
খ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}+c\)
ঘ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3x}}{2}}+c\)
\(\int{\frac{dx}{\sqrt{3-4x^2}}}\)ঘ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3x}}{2}}+c\)
\(=\int{\frac{dx}{2\sqrt{\frac{3}{4}-x^2}}}\)
\(=\frac{1}{2}\int{\frac{dx}{\sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-x^2}}}\)
\(=\frac{1}{2}\times\sin^{-1}{\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}}+c\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{2x}{\sqrt{3}}}+c\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=\cot{x}, \ g(x)=cosec^2{x}\)
২৪। \(\int{f(x)dx}=\) কত?\(f(x)=\cot{x}, \ g(x)=cosec^2{x}\)
ক \(cosec^2{x}+c\)
গ \(\ln|cosec \ {x}|+c\)
গ \(\ln|cosec \ {x}|+c\)
খ \(-cosec^2{x}+c\)
ঘ \(\ln{(\sin{x})}+c\)
\(\int{f(x)dx}\)ঘ \(\ln{(\sin{x})}+c\)
\(=\int{\cot{x}dx}\)
\(=\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}dx}\)
\(=\int{\frac{d(\sin{x})}{\sin{x}}}\)
\(=\ln{(\sin{x})}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫।
\(i.\) \(\int{g\left(\frac{x}{2}\right)dx}=-2\cot{\frac{x}{2}}+c\)
\(ii.\) \(\frac{d}{dx}\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\right\}=2\sec^2{2x}\)
\(iii.\) \(\int{f(x)g(x)dx}=-\frac{1}{2}\cot^2{x}+c\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\int{cosec^2 {\left(\frac{x}{2}\right)}dx}\)
\(=-\cot{\frac{x}{2}}\times\frac{1}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=-2\cot{\frac{x}{2}}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\frac{d}{dx}\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\right\}\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{\cot{\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}\right\}\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{\tan{2x}\right\}\)
\(=\sec^2{2x}\times\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\sec^2{2x}\times2\)
\(=2\sec^2{2x}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য
\(\int{f(x)g(x)dx}\)
\(=\int{\cot{x} \ cosec^2{x}dx}\)
\(=-\int{\cot{x}d(\cot{x})}\)
\(=-\frac{\cot^2{x}}{2}+c\)
\(=-\frac{1}{2}\cot^2{x}+c\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\int{g\left(\frac{x}{2}\right)dx}=-2\cot{\frac{x}{2}}+c\)
\(ii.\) \(\frac{d}{dx}\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\right\}=2\sec^2{2x}\)
\(iii.\) \(\int{f(x)g(x)dx}=-\frac{1}{2}\cot^2{x}+c\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\int{g\left(\frac{x}{2}\right)dx}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\int{cosec^2 {\left(\frac{x}{2}\right)}dx}\)
\(=-\cot{\frac{x}{2}}\times\frac{1}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=-2\cot{\frac{x}{2}}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\frac{d}{dx}\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)\right\}\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{\cot{\left(\frac{\pi}{2}-2x\right)}\right\}\)
\(=\frac{d}{dx}\left\{\tan{2x}\right\}\)
\(=\sec^2{2x}\times\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\sec^2{2x}\times2\)
\(=2\sec^2{2x}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য
\(\int{f(x)g(x)dx}\)
\(=\int{\cot{x} \ cosec^2{x}dx}\)
\(=-\int{\cot{x}d(\cot{x})}\)
\(=-\frac{\cot^2{x}}{2}+c\)
\(=-\frac{1}{2}\cot^2{x}+c\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005