শিক্ষা বোর্ড ময়মনসিংহ - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \((y-2)^2=4x\) কনিকটির শীর্ষবিন্দু-
কনিকের শীর্ষবিন্দু \((\alpha, \beta)\)
\((y-2)^2=4x\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4.1(x-0)\)
কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((0, 2)\)
গ \((1, 0)\)
গ \((1, 0)\)
খ \((2, 0)\)
ঘ \((0, 1)\)
\((y-\beta)^2=4a(x-\alpha)\)ঘ \((0, 1)\)
কনিকের শীর্ষবিন্দু \((\alpha, \beta)\)
\((y-2)^2=4x\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4.1(x-0)\)
কনিকের শীর্ষবিন্দু \((0, 2)\)
উত্তরঃ (ক)
২। \((x-3)^2=-4(y-4)\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ-
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a+\beta\)
\((x-3)^2=-4(y-4)\)
\(\Rightarrow (x-3)^2=4.(-1).(y-4)\)
এখানে, \(a=-1, \ \alpha=3, \ \beta=4\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=-1+4\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore y-3=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(y+3=0\)
গ \(x+3=0\)
গ \(x+3=0\)
খ \(y-3=0\)
ঘ \(x-3=0\)
\((x-\alpha)^2=4a(y-\beta)\)ঘ \(x-3=0\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a+\beta\)
\((x-3)^2=-4(y-4)\)
\(\Rightarrow (x-3)^2=4.(-1).(y-4)\)
এখানে, \(a=-1, \ \alpha=3, \ \beta=4\)
পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=-1+4\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\therefore y-3=0\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা শূন্য হলে বক্ররেখাটির নাম-
\(\therefore 1-\frac{b^2}{a^2}=0\)
\(\Rightarrow 1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore a^2=b^2\)
এখন, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2\) যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ (খ)
ক উপবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) কনিকটির উৎকেন্দ্রিকতা শূন্যঘ অধিবৃত্ত
\(\therefore 1-\frac{b^2}{a^2}=0\)
\(\Rightarrow 1=\frac{b^2}{a^2}\)
\(\therefore a^2=b^2\)
এখন, \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{a^2}=1\)
\(\therefore x^2+y^2=a^2\) যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ (খ)
৪। \(u\) ও \(a\) ধ্রুবক হলে, \(v^2=u^2+2as\) এর লেখচিত্র হবে-
\(v^2=u^2+2as\) সমীকরণ একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ (খ)
ক সরলরেখা
গ অধিবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
খ পরাবৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
\(u\) ও \(a\) ধ্রুবক হলে, ঘ উপবৃত্ত
\(v^2=u^2+2as\) সমীকরণ একটি পরাবৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তরঃ (খ)
৫। \(3x^2+2y^2=12\) কনিকটির নিয়ামকরেখার সমীকরণ-
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{2y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{6}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{6})^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=\sqrt{6}, \ a\lt{b}\)
এখন, \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{6}}\)
\(=\sqrt{\frac{6-4}{6}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{6}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{3}\times\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow y=\pm3\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2x=\pm\sqrt{3}\)
গ \(y=\pm2\sqrt{3}\)
গ \(y=\pm2\sqrt{3}\)
খ \(x=\pm2\sqrt{3}\)
ঘ \(y=\pm3\sqrt{2}\)
\(3x^2+2y^2=12\)ঘ \(y=\pm3\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{2y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{6}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{6})^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=\sqrt{6}, \ a\lt{b}\)
এখন, \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{6}}\)
\(=\sqrt{\frac{6-4}{6}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{6}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
নিয়ামকরেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{\sqrt{6}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{3}\times\sqrt{6}\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{18}\)
\(\Rightarrow y=\pm3\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৬। \(x^2-8y^2=2\) কনিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য-
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{2}{8}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{2}, \ b=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times\frac{1}{4}}{\sqrt{2}}\right|\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
খ \(\sqrt{\frac{3}{2}}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(x^2-8y^2=2\)ঘ \(\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{8y^2}{2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{2}{8}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2}-\frac{y^2}{\frac{1}{4}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{2}, \ b=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times\frac{1}{4}}{\sqrt{2}}\right|\)
\(=\frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৭ ও ৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(px^2-16y^2=144\) কনিকটি \((\pm{4}, 0)\) বিন্দুগামী।
৭। \(p\) এর মান-\(px^2-16y^2=144\) কনিকটি \((\pm{4}, 0)\) বিন্দুগামী।
ক \(-9\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(-4\)
ঘ \(9\)
\(px^2-16y^2=144\) কনিকটি \((\pm{4}, 0)\) বিন্দুগামী।ঘ \(9\)
\(\Rightarrow p(\pm{4})^2-16.0^2=144\)
\(\Rightarrow p.16-0=144\)
\(\Rightarrow p.16-0=144\)
\(\therefore p=9\)
উত্তরঃ (ঘ)
৮। উপকেন্দ্রের স্থানাংক-
\(\Rightarrow 9x^2-16y^2=144, \ p=9\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
এখন, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{5}{4}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{4\times\frac{5}{4}}, 0\right)\)
\(\therefore (\pm{5}, 0)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((0, \pm{4})\)
গ \((0, \pm{5})\)
গ \((0, \pm{5})\)
খ \((\pm{4}, 0)\)
ঘ \((\pm{5}, 0)\)
\(px^2-16y^2=144\) ঘ \((\pm{5}, 0)\)
\(\Rightarrow 9x^2-16y^2=144, \ p=9\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
এখন, \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{5}{4}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{4\times\frac{5}{4}}, 0\right)\)
\(\therefore (\pm{5}, 0)\)
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত \(P\) মানের সমান দুইটি বলের লব্ধির মান-
\(R=\sqrt{P^2+P^2+2P.P\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2P^2-P^2}\)
\(=\sqrt{P^2}\)
\(=P\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(P\)
গ \(3P\)
গ \(3P\)
খ \(2P\)
ঘ \(4P\)
\(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত \(P\) মানের সমান দুইটি বলের লব্ধি,ঘ \(4P\)
\(R=\sqrt{P^2+P^2+2P.P\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2P^2-P^2}\)
\(=\sqrt{P^2}\)
\(=P\)
উত্তরঃ (ক)
১০। \(2\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(3N\) ও \(3N\) বলের লব্ধির মান \(\sqrt{37}N\) হলে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের পরিমাণ-
\(\therefore 3^2+4^2+2.3.4\cos{(2\alpha)}=(\sqrt{37})^2\)
\(\Rightarrow 9+16+24\cos{(2\alpha)}=37\)
\(\Rightarrow 25+24\cos{(2\alpha)}=37\)
\(\Rightarrow 24\cos{(2\alpha)}=37-25\)
\(\Rightarrow 24\cos{(2\alpha)}=12\)
\(\Rightarrow \cos{(2\alpha)}=\frac{12}{24}\)
\(\Rightarrow \cos{(2\alpha)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\cos^{-1}{\cos{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=60^{o}\)
\(\therefore 2\alpha=60^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
\(2\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত \(3N\) ও \(4N\) বলের লব্ধির মান \(\sqrt{37}N\)ঘ \(120^{o}\)
\(\therefore 3^2+4^2+2.3.4\cos{(2\alpha)}=(\sqrt{37})^2\)
\(\Rightarrow 9+16+24\cos{(2\alpha)}=37\)
\(\Rightarrow 25+24\cos{(2\alpha)}=37\)
\(\Rightarrow 24\cos{(2\alpha)}=37-25\)
\(\Rightarrow 24\cos{(2\alpha)}=12\)
\(\Rightarrow \cos{(2\alpha)}=\frac{12}{24}\)
\(\Rightarrow \cos{(2\alpha)}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\cos^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\cos^{-1}{\cos{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=60^{o}\)
\(\therefore 2\alpha=60^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(5N\) ও \(7N\) মানের বিসদৃশ সমান্তরাল বল কোনো জড়বস্তুর উপর একই সরলরেখায় দুইটি বিন্দুতে ক্রিয়া করলে উহাদের লব্ধির মান-
তাদের লব্ধির মান \(=7N-5N\)
\(=2N\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(1N\)
গ \(3N\)
গ \(3N\)
খ \(2N\)
ঘ \(5N\)
\(5N\) ও \(7N\) মানের বিসদৃশ সমান্তরাল বল কোনো জড়বস্তুর উপর একই সরলরেখায় দুইটি বিন্দুতে ক্রিয়া করে।ঘ \(5N\)
তাদের লব্ধির মান \(=7N-5N\)
\(=2N\)
উত্তরঃ (খ)
১২। \(5N, \ 7N\) ও \(8N\) তিনটি বল একটি বস্তুর উপর ক্রিয়া করে ভারসাম্য বজায় রাখে \(5N\) ও \(8N\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ-
ধরি, \(5N\) ও \(8N\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) এবং লব্ধির মান \(7N\)
তাহলে, \(5^2+8^2+2.5.8\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 25+64+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 89+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=49-89\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=-40\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{40}{80}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}{\cos{120^{o}}}\)
\(=120^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(60^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(210^{o}\)
কোনো এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল যদি সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে তাহলে, এদের যে কোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান হবে।ঘ \(210^{o}\)
ধরি, \(5N\) ও \(8N\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) এবং লব্ধির মান \(7N\)
তাহলে, \(5^2+8^2+2.5.8\cos{\alpha}=7^2\)
\(\Rightarrow 25+64+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 89+80\cos{\alpha}=49\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=49-89\)
\(\Rightarrow 80\cos{\alpha}=-40\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{40}{80}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\)
\(\Rightarrow \alpha=\cos^{-1}{\cos{120^{o}}}\)
\(=120^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
১৩। \(P\) ও \(Q \ (P\gt{Q})\) দুইটি সমান্তরাল বল-
\(i.\) সদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P+Q\)
\(ii.\) বিসদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P-Q\)
\(iii.\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\) এর দিকের সাথে সমান্তরাল
নিচের কোনটি সঠিক?
সদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P+Q\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
বিসদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P-Q\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\) এর দিকের সাথে সমান্তরাল
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) সদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P+Q\)
\(ii.\) বিসদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P-Q\)
\(iii.\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\) এর দিকের সাথে সমান্তরাল
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(P\) ও \(Q \ (P\gt{Q})\) দুইটি সমান্তরাল বলঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P+Q\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
বিসদৃশ হলে বলদ্বয়ের লব্ধি \(P-Q\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\) এর দিকের সাথে সমান্তরাল
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। \(k\) এর মান কত হলে \(x^2+(2k+4)x+8k+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমান হয়?
এখানে, \(a=1, \ b=2k+4, \ c=8k+1\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=(2k+4)^2-4.1.(8k+1)\)
\(=4k^2+16k+16-32k-4\)
\(=4k^2-16k+12\)
শর্তমতে, \(D=0\)
\(\Rightarrow 4k^2-16k+12=0\)
\(\Rightarrow 4(k^2-4k+3)=0\)
\(\Rightarrow k^2-4k+3=0\)
\(\Rightarrow k^2-3k-k+3=0\)
\(\Rightarrow k(k-3)-1(k-3)=0\)
\(\Rightarrow (k-3)(k-1)=0\)
\(\Rightarrow k-3=0, \ k-1=0\)
\(\Rightarrow k=3, \ k=1\)
\(\therefore k=1, \ 3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-3, \ -1\)
গ \(-1, \ 3\)
গ \(-1, \ 3\)
খ \(0, \ 3\)
ঘ \(1, \ 3\)
\(x^2+(2k+4)x+8k+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় সমানঘ \(1, \ 3\)
এখানে, \(a=1, \ b=2k+4, \ c=8k+1\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=(2k+4)^2-4.1.(8k+1)\)
\(=4k^2+16k+16-32k-4\)
\(=4k^2-16k+12\)
শর্তমতে, \(D=0\)
\(\Rightarrow 4k^2-16k+12=0\)
\(\Rightarrow 4(k^2-4k+3)=0\)
\(\Rightarrow k^2-4k+3=0\)
\(\Rightarrow k^2-3k-k+3=0\)
\(\Rightarrow k(k-3)-1(k-3)=0\)
\(\Rightarrow (k-3)(k-1)=0\)
\(\Rightarrow k-3=0, \ k-1=0\)
\(\Rightarrow k=3, \ k=1\)
\(\therefore k=1, \ 3\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৫। \(x^2-5x+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় ক্রমিক সংখ্যা হলে \(c\) এর মান-
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{-5}{1}\)
\(=5\)
\(=2+3\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{c}{1}\)
\(=c\)
\(\therefore c=2\times3=6\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(5\)
গ \(7\)
গ \(7\)
খ \(6\)
ঘ \(8\)
\(x^2-5x+c=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় ক্রমিক সংখ্যাঘ \(8\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{-5}{1}\)
\(=5\)
\(=2+3\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{c}{1}\)
\(=c\)
\(\therefore c=2\times3=6\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। \(x^2-3x+5=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে \(\frac{1}{\alpha}\) ও \(\frac{1}{\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণটি-
মূলদ্বয়ের যোগফল \(\alpha+\beta=-\frac{-3}{1}=3\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(\alpha\beta=\frac{5}{1}=5\)
নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{3}{5}\)
নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল \(\frac{1}{\alpha}\times\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{1}{5}\)
নির্ণেয় সমীকরণ \(x^2-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}=0\)
\(\therefore 5x^2-3x+1=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(6x^2-3x+1=0\)
গ \(5x^2-3x+1=0\)
গ \(5x^2-3x+1=0\)
খ \(5x^2+3x-1=0\)
ঘ \(3x^2-5x+1=0\)
\(x^2-3x+5=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)ঘ \(3x^2-5x+1=0\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(\alpha+\beta=-\frac{-3}{1}=3\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(\alpha\beta=\frac{5}{1}=5\)
নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের যোগফল \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{3}{5}\)
নির্ণেয় সমীকরণের মূলদ্বয়ের গুণফল \(\frac{1}{\alpha}\times\frac{1}{\beta}=\frac{1}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{1}{5}\)
নির্ণেয় সমীকরণ \(x^2-\frac{3}{5}x+\frac{1}{5}=0\)
\(\therefore 5x^2-3x+1=0\)
উত্তরঃ (গ)
১৭। \(1-\sqrt{-1}\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণটি-
\(\Rightarrow x-1=-\sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=(-\sqrt{-1})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=-1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+1=0\)
\(\therefore x^2-2x+2=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x^2-2x+2=0\)
গ \(x^2-2x-2=0\)
গ \(x^2-2x-2=0\)
খ \(x^2+2x-2=0\)
ঘ \(x^2+2x+2=0\)
ধরি, \(x=1-\sqrt{-1}\)ঘ \(x^2+2x+2=0\)
\(\Rightarrow x-1=-\sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=(-\sqrt{-1})^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=-1\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+1=0\)
\(\therefore x^2-2x+2=0\)
উত্তরঃ (ক)
১৮। \(x^3+2x+3=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, \ b, \ c\) হলে, \(\sum{a}\) এর মান-
\(\Rightarrow x^3+0.x^2+2x+3=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, \ b, \ c\)
মূলত্রয়ের যোগফল \(\sum{a}=a+b+c=-\frac{0}{1}=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(3\)
\(x^3+2x+3=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, \ b, \ c\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow x^3+0.x^2+2x+3=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(a, \ b, \ c\)
মূলত্রয়ের যোগফল \(\sum{a}=a+b+c=-\frac{0}{1}=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(x^2+4x+16=0\) সমীকরণের-
\(i.\) মূলদ্বয় জটিল
\(ii.\) মূলদ্বয়ের যোগফল \(-4\)
\(iii.\) মূলদ্বয়ের গুণগফল \(16\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(a=1, \ b=4, \ c=16\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=4^2-4.1.16\)
\(=16-64\)
\(=-48\lt{0}\)
\(\therefore\) মূলদ্বয় জটিল
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয়ের গুণগফল \(=\frac{c}{a}=\frac{16}{1}=16\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) মূলদ্বয় জটিল
\(ii.\) মূলদ্বয়ের যোগফল \(-4\)
\(iii.\) মূলদ্বয়ের গুণগফল \(16\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+4x+16=0\) সমীকরণেরঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(a=1, \ b=4, \ c=16\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=4^2-4.1.16\)
\(=16-64\)
\(=-48\lt{0}\)
\(\therefore\) মূলদ্বয় জটিল
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{b}{a}=-\frac{4}{1}=-4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয়ের গুণগফল \(=\frac{c}{a}=\frac{16}{1}=16\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(f(\theta)=\cos{\theta}, \ f(\theta)=f(\alpha)\) এবং \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে, \(\theta\) এর মান-
\(\Rightarrow f(\alpha)=\cos{\alpha}\)
আবার, \(f(\theta)=f(\alpha)\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\alpha}\) যখন \(n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2n\pi\pm{\alpha}\)
গ \(n\pi+(-1)^n\alpha\)
গ \(n\pi+(-1)^n\alpha\)
খ \(n\pi\pm{\alpha}\)
ঘ \(n\pi-(-1)^n\alpha\)
\(f(\theta)=\cos{\theta}, \ f(\theta)=f(\alpha)\) এবং \(n\in{\mathbb{Z}}\)ঘ \(n\pi-(-1)^n\alpha\)
\(\Rightarrow f(\alpha)=\cos{\alpha}\)
আবার, \(f(\theta)=f(\alpha)\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\alpha}\)
\(\therefore \theta=2n\pi\pm{\alpha}\) যখন \(n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ক)
২১। \(2\sin{2\theta}=1\) সমীকরণের সমাধান-
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(n\pi-(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(\frac{n\pi}{2}-(-1)^n\frac{\pi}{12}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(\frac{n\pi}{2}-(-1)^n\frac{\pi}{12}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(2\sin{2\theta}=1\)ঘ \(\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+(-1)^n\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+(-1)^n\frac{\pi}{12}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। \(\sin{\left(2\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)}\) এর মান-
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{2\times\frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{1}{\frac{4-1}{4}}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{1}{\frac{3}{4}}\right\}}\)
\(=\sin{\left(\tan^{-1}\frac{4}{3}\right)}\)
এখানে, লম্ব \(=4,\) ভূমি \(=3\)
অতিভুজ \(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=\sin{\left(\sin^{-1}\frac{4}{5}\right)}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{\sqrt{3}}{5}\)
গ \(\frac{4}{5}\)
গ \(\frac{4}{5}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
ঘ \(\frac{5}{4}\)
\(\sin{\left(2\tan^{-1}\frac{1}{2}\right)}\)ঘ \(\frac{5}{4}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{2\times\frac{1}{2}}{1-\left(\frac{1}{2}\right)^2}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{1}{\frac{4-1}{4}}\right\}}\)
\(=\sin{\left\{\tan^{-1}\frac{1}{\frac{3}{4}}\right\}}\)
\(=\sin{\left(\tan^{-1}\frac{4}{3}\right)}\)
এখানে, লম্ব \(=4,\) ভূমি \(=3\)
অতিভুজ \(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(=\sin{\left(\sin^{-1}\frac{4}{5}\right)}\)
\(=\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তটির পরামিতিক স্থানাংক-
\(\Rightarrow \frac{\left(a\cos{\theta}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(b\sin{\theta}\right)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\cos^2{\theta}}{a^2}+\frac{b^2\sin^2{\theta}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 1=1\)
\(\therefore (a\cos{\theta}, b\sin{\theta})\) বিন্দুটি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ (গ)
ক \((a\sec{\theta}, b \ cosec \ \theta)\)
গ \((a\cos{\theta}, b\sin{\theta})\)
গ \((a\cos{\theta}, b\sin{\theta})\)
খ \((b\sec{\theta}, a \ cosec \ \theta)\)
ঘ \((b\cos{\theta}, a\sin{\theta})\)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)ঘ \((b\cos{\theta}, a\sin{\theta})\)
\(\Rightarrow \frac{\left(a\cos{\theta}\right)^2}{a^2}+\frac{\left(b\sin{\theta}\right)^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{a^2\cos^2{\theta}}{a^2}+\frac{b^2\sin^2{\theta}}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 1=1\)
\(\therefore (a\cos{\theta}, b\sin{\theta})\) বিন্দুটি \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ (গ)
২৪। \(f(x)=\cos^{-1}{x}\) এর ডোমেন-
উত্তরঃ (ক)
ক \([-1, 1]\)
গ \((-1, 1)\)
গ \((-1, 1)\)
খ \((-1, 1]\)
ঘ \([-1, 1)\)
\(f(x)=\cos^{-1}{x}\) এর ডোমেন \([-1, 1]\)ঘ \([-1, 1)\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। বিপরীত বৃতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(ii.\) \(2\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}\)
\(iii.\) \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(2\tan^{-1}{x}\ne{\cos^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(ii.\) \(2\tan^{-1}{x}=\cos^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}\)
\(iii.\) \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বিপরীত বৃতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{y}=\cos^{-1}{\{xy-\sqrt{(1-x^2)(1-y^2)}\}}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(2\tan^{-1}{x}\ne{\cos^{-1}{\frac{2x}{1-x^2}}}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004