শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(2\tan^{-1}{\sqrt{2}}=\theta\) হলে-
\(i.\) \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}\)
\(ii.\) \(\cot{\theta}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(iii.\) \(\sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\sqrt{2}}=\frac{\theta}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}=\tan{\frac{\theta}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(2\tan^{-1}{\sqrt{2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2})^2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1-2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{-1}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{(-2\sqrt{2})}=\theta\)
\(\Rightarrow -2\sqrt{2}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow -2\sqrt{2}=\frac{1}{\cot{\theta}}\)
\(\Rightarrow \cot{\theta}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(2\tan^{-1}{\sqrt{2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1+(\sqrt{2})^2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1+2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\theta\)
\(\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{3}=\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}\)
\(ii.\) \(\cot{\theta}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(iii.\) \(\sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2\tan^{-1}{\sqrt{2}}=\theta\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\sqrt{2}}=\frac{\theta}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}=\tan{\frac{\theta}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{\theta}{2}}=\sqrt{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(2\tan^{-1}{\sqrt{2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1-(\sqrt{2})^2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1-2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{-1}}=\theta\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{(-2\sqrt{2})}=\theta\)
\(\Rightarrow -2\sqrt{2}=\tan{\theta}\)
\(\Rightarrow -2\sqrt{2}=\frac{1}{\cot{\theta}}\)
\(\Rightarrow \cot{\theta}=-\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(2\tan^{-1}{\sqrt{2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1+(\sqrt{2})^2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{1+2}}=\theta\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\theta\)
\(\Rightarrow \frac{2\sqrt{2}}{3}=\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(5N\) ও \(7N\) মানের দুইটি বল পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল। এদের লব্ধি কোন দিকে ক্রিয়া করবে?
\(\therefore\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(180^{o}\)
লব্ধি \((7-5) N\) যা বৃহত্তর বল \(7N\) এর ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল বরাবর ক্রিয়া করবে
উত্তরঃ (খ)
ক \(7N\) বলের ক্রিয়ারেখার সাথে লম্ব বরাবর
গ \(5N\) বলের ক্রিয়ারেখার সাথে লম্ব বরাবর
গ \(5N\) বলের ক্রিয়ারেখার সাথে লম্ব বরাবর
খ \(7N\) বলের ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল বরাবর
ঘ \(5N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর
\(5N\) ও \(7N\) মানের দুইটি বল পরস্পর বিপরীত দিকে ক্রিয়াশীল।ঘ \(5N\) বলের ক্রিয়ারেখা বরাবর
\(\therefore\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(180^{o}\)
লব্ধি \((7-5) N\) যা বৃহত্তর বল \(7N\) এর ক্রিয়ারেখার সমান্তরাল বরাবর ক্রিয়া করবে
উত্তরঃ (খ)
৩। \(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ-
\(\Rightarrow \frac{y^2}{2^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(e=\sqrt{1+\frac{16}{4}}\)
\(e=\sqrt{\frac{4+16}{4}}\)
\(e=\sqrt{\frac{20}{4}}\)
\(e=\sqrt{5}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore \sqrt{5}y=\pm2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{5}x=\pm4\)
গ \(\sqrt{5}y=\pm2\)
গ \(\sqrt{5}y=\pm2\)
খ \(\sqrt{5}x=\pm2\)
ঘ \(\sqrt{5}y=\pm4\)
\(\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{16}=1\)ঘ \(\sqrt{5}y=\pm4\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{2^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(e=\sqrt{1+\frac{16}{4}}\)
\(e=\sqrt{\frac{4+16}{4}}\)
\(e=\sqrt{\frac{20}{4}}\)
\(e=\sqrt{5}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore \sqrt{5}y=\pm2\)
উত্তরঃ (গ)
৪। \(x=\sin{\cos^{-1}{y}}\) হলে, \(x^2+y^2\) এর মান হবে-
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\cos^{-1}{y}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{\sqrt{1-y^2}}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\)
\(\Rightarrow x^2=1-y^2\)
\(\therefore x^2+y^2=1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\pi\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(1\)
ঘ \(0\)
\(x=\sin{\cos^{-1}{y}}\) ঘ \(0\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\cos^{-1}{y}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{\sqrt{1-y^2}}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{1-y^2}\)
\(\Rightarrow x^2=1-y^2\)
\(\therefore x^2+y^2=1\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৫ ও ৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(7x^2-5x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)।
৫। \(\sum{\alpha^2}\) এর মান কোনটি?\(7x^2-5x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)।
ক \(\frac{67}{49}\)
গ \(-\frac{59}{49}\)
গ \(-\frac{59}{49}\)
খ \(\frac{11}{7}\)
ঘ \(-\frac{17}{49}\)
\(7x^2-5x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(-\frac{17}{49}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-5}{7}, \ \alpha\beta=\frac{-3}{7}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{5}{7}, \ \alpha\beta=-\frac{3}{7}\)
প্রদত্ত রাশি \(\sum{\alpha^2}\)
\(=\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=\left(\frac{5}{7}\right)^2-2\times-\frac{3}{7}\)
\(=\frac{25}{49}+\frac{6}{7}\)
\(=\frac{25+42}{49}\)
\(=\frac{67}{49}\)
উত্তরঃ (ক)
৬। \(\alpha+\beta\) ও \(\alpha\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-5}{7}, \ \alpha\beta=\frac{-3}{7}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{5}{7}, \ \alpha\beta=-\frac{3}{7}\)
\(\alpha+\beta\) ও \(\alpha\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+\beta+\alpha\beta)x+(\alpha+\beta)(\alpha\beta)=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{7}\right)x+\frac{5}{7}\times-\frac{3}{7}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{5-3}{7}x-\frac{15}{49}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{7}x-\frac{15}{49}=0\)
\(\therefore 49x^2-14x-15=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(49x^2-56x-15=0\)
গ \(49x^2-14x-15=0\)
গ \(49x^2-14x-15=0\)
খ \(49x^2-56x+15=0\)
ঘ \(49x^2-14x+15=0\)
\(7x^2-5x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(49x^2-14x+15=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-5}{7}, \ \alpha\beta=\frac{-3}{7}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{5}{7}, \ \alpha\beta=-\frac{3}{7}\)
\(\alpha+\beta\) ও \(\alpha\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha+\beta+\alpha\beta)x+(\alpha+\beta)(\alpha\beta)=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left(\frac{5}{7}-\frac{3}{7}\right)x+\frac{5}{7}\times-\frac{3}{7}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{5-3}{7}x-\frac{15}{49}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{2}{7}x-\frac{15}{49}=0\)
\(\therefore 49x^2-14x-15=0\)
উত্তরঃ (গ)
৭। সমমানের দুইটি বলের লব্ধির বর্গ, বলদ্বয়ের গুণফলের সমান হলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
শর্তমতে, \(P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=P\times{P}\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\therefore \alpha=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(-\frac{2\pi}{3}\)
গ \(-\frac{2\pi}{3}\)
খ \(\frac{2\pi}{3}\)
ঘ \(-\frac{\pi}{3}\)
ধরি, বলদ্বয়ের মান \(P\) এবং মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)ঘ \(-\frac{\pi}{3}\)
শর্তমতে, \(P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}=P\times{P}\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\therefore \alpha=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
৮। \(y^2=-x\) এর দিকাক্ষের সমীকরণ কোনটি?
এখানে, \(4a=-1\)
\(\therefore a=-\frac{1}{4}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\left(-\frac{1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=1\)
\(\therefore 4x-1=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(4x-1=0\)
গ \(4y-1=0\)
গ \(4y-1=0\)
খ \(4x+1=0\)
ঘ \(4y+1=0\)
\(y^2=-x\)ঘ \(4y+1=0\)
এখানে, \(4a=-1\)
\(\therefore a=-\frac{1}{4}\)
দিকাক্ষের সমীকরণ \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-\left(-\frac{1}{4}\right)\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow 4x=1\)
\(\therefore 4x-1=0\)
উত্তরঃ (ক)
৯। কোনো বিন্দুতে \(60^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলকে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(9N\) বলের সাহায্যে সাম্যাবস্থায় রাখলে সমান বল কত?
শর্তমতে, \(P^2+P^2+2.P.P\cos{60^{o}}=9^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\times\frac{1}{2}=81\)
\(\Rightarrow 2P^2+P^2=81\)
\(\Rightarrow 3P^2=81\)
\(\Rightarrow P^2=27\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{27}\)
\(\therefore P=3\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{3}N\)
গ \(3N\)
গ \(3N\)
খ \(3\sqrt{3}N\)
ঘ \(9N\)
ধরি, সমান বল \(=P\)ঘ \(9N\)
শর্তমতে, \(P^2+P^2+2.P.P\cos{60^{o}}=9^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\times\frac{1}{2}=81\)
\(\Rightarrow 2P^2+P^2=81\)
\(\Rightarrow 3P^2=81\)
\(\Rightarrow P^2=27\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{27}\)
\(\therefore P=3\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(\frac{1}{2} \ cosec^{-1}{\left(\frac{1+x^2}{2x}\right)}\) এর মান কোনটি?
ধরি, \(\tan{\theta}=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{x}\)
প্রদত্ত রাশি,\(=\frac{1}{2} \ cosec^{-1}{\left(\frac{1+\tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\sin{2\theta}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\theta\)
\(=\theta\)
\(=\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\tan^{-1}{x}\)
গ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\)
গ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{x}\)
খ \(\tan^{-1}{x}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}\)
\(\frac{1}{2} \ cosec^{-1}{\left(\frac{1+x^2}{2x}\right)}\)ঘ \(\frac{1}{2}\tan^{-1}{x}\)
ধরি, \(\tan{\theta}=x\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{x}\)
প্রদত্ত রাশি,\(=\frac{1}{2} \ cosec^{-1}{\left(\frac{1+\tan^2{\theta}}{2\tan{\theta}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left(\sin{2\theta}\right)}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\theta\)
\(=\theta\)
\(=\tan^{-1}{x}\)
উত্তরঃ (খ)
১১। \((2, 4)\) বিন্দুতে \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
এখানে, \(4a=8\)
\(\Rightarrow a=2\)
\((2, 4)\) বিন্দুতে \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y.4=2a(x+2)\)
\(\Rightarrow 4y=2.2(x+2)\)
\(\Rightarrow 4y=4(x+2)\)
\(\Rightarrow y=x+2\)
\(\Rightarrow x+2=y\)
\(\therefore x-y+2=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x+y-2=0\)
গ \(x-y+2=0\)
গ \(x-y+2=0\)
খ \(x-y-2=0\)
ঘ \(x=0\)
\(y^2=8x\)ঘ \(x=0\)
এখানে, \(4a=8\)
\(\Rightarrow a=2\)
\((2, 4)\) বিন্দুতে \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ,
\(y.4=2a(x+2)\)
\(\Rightarrow 4y=2.2(x+2)\)
\(\Rightarrow 4y=4(x+2)\)
\(\Rightarrow y=x+2\)
\(\Rightarrow x+2=y\)
\(\therefore x-y+2=0\)
উত্তরঃ (গ)
১২। দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে, মূলগুলো হবে-
বাস্তব ও মূলদ
উত্তরঃ (খ)
ক অবাস্তব ও মূলদ
গ বাস্তব ও অমূলদ
গ বাস্তব ও অমূলদ
খ বাস্তব ও মূলদ
ঘ অবাস্তব ও অমূলদ
দ্বিঘাত সমীকরণের নিশ্চায়ক ধনাত্মক পূর্ণবর্গ সংখ্যা হলে, মূলগুলো হবেঘ অবাস্তব ও অমূলদ
বাস্তব ও মূলদ
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(x^2+x+1=0\) সমীকরণের মূলগুলোর প্রকৃতি-
অবাস্তব ও অসমান
উত্তরঃ (গ)
ক বাস্তব ও সমান
গ অবাস্তব ও অসমান
গ অবাস্তব ও অসমান
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ অবাস্তব ও সমান
\(x^2+x+1=0\) সমীকরণের মূলগুলোর প্রকৃতিঘ অবাস্তব ও সমান
অবাস্তব ও অসমান
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য কোনটি?
\(\therefore \frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{x^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
\(=|2\times\sqrt{2}|\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(6\)
গ \(2\sqrt{3}\)
গ \(2\sqrt{3}\)
খ \(4\)
ঘ \(2\sqrt{2}\)
\(\frac{y^2}{2}-\frac{x^2}{3}=1\)ঘ \(2\sqrt{2}\)
\(\therefore \frac{y^2}{(\sqrt{2})^2}-\frac{x^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{3}, \ b=\sqrt{2}\)
অধিবৃত্তের আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
\(=|2\times\sqrt{2}|\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৫। \(p, \ \sqrt{3}p, \ p\) বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রথম বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত?
ধরি, প্রথম বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(p^2+(\sqrt{3}p)^2+2.p.\sqrt{3}p\cos{\alpha}=p^2\)
\(\Rightarrow p^2+3p^2+2\sqrt{3}p^2\cos{\alpha}=p^2\)
\(\Rightarrow 4p^2+2\sqrt{3}p^2\cos{\alpha}=p^2\)
\(\Rightarrow 2p^2(2+\sqrt{3}\cos{\alpha})=p^2\)
\(\Rightarrow 2+\sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{p^2}{2p^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{1}{2}-2\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{1-4}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{\left(180^{o}-30^{o}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(60^{o}\)
গ \(150^{o}\)
গ \(150^{o}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(210^{o}\)
\(p, \ \sqrt{3}p, \ p\) বলত্রয় সাম্যাবস্থায় থাকলে, প্রত্যেকটি বল অপর বলদ্বয়ের লব্ধির সমান হবে।ঘ \(210^{o}\)
ধরি, প্রথম বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(p^2+(\sqrt{3}p)^2+2.p.\sqrt{3}p\cos{\alpha}=p^2\)
\(\Rightarrow p^2+3p^2+2\sqrt{3}p^2\cos{\alpha}=p^2\)
\(\Rightarrow 4p^2+2\sqrt{3}p^2\cos{\alpha}=p^2\)
\(\Rightarrow 2p^2(2+\sqrt{3}\cos{\alpha})=p^2\)
\(\Rightarrow 2+\sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{p^2}{2p^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{1}{2}-2\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{1-4}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{\left(180^{o}-30^{o}\right)}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। নিচের কোন বলত্রয় ত্রিভুজের বাহু দ্বারা দিকে মানে ও একই ক্রমে প্রকাশ করলে স্থিতাবস্থায় থাকবে?
'খ' এ প্রকাশিত বলত্রয় উক্ত শর্ত সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ (খ)
ক \(1N, \ 2N, \ 3N\)
গ \(10N, \ 20N, \ 50N\)
গ \(10N, \ 20N, \ 50N\)
খ \(3N, \ 4N, \ 5N\)
ঘ \(5N, \ 20N, \ 40N\)
ত্রিভুজের ধর্ম হতে, ত্রিভুজের যে কোনো দুই বাহুর যোগফল এর তৃতীয় বাহু অপেক্ষা বৃহত্তর।ঘ \(5N, \ 20N, \ 40N\)
'খ' এ প্রকাশিত বলত্রয় উক্ত শর্ত সিদ্ধ করে।
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(\tan{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\) এর মান কত?
এখানে, লম্ব \(=1,\) অতিভুজ \(=2\)
ভূমি, \(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore \sin^{-1}{\frac{1}{2}}=\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{3}\)
গ \(-\sqrt{3}\)
গ \(-\sqrt{3}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\tan{\left(\sin^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)ঘ \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
এখানে, লম্ব \(=1,\) অতিভুজ \(=2\)
ভূমি, \(=\sqrt{2^2-1^2}\)
\(=\sqrt{4-1}\)
\(=\sqrt{3}\)
\(\therefore \sin^{-1}{\frac{1}{2}}=\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৮ ও ১৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(25x^2+y^2=25\)
১৮। \(25x^2+y^2=25\)
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((0, 0)\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(\frac{5}{2}\)
\(iii.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(10\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(25x^2+y^2=25\) ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((0, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(25x^2+y^2=25\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{25}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
এখানে, \(a=1, \ b=5, \ a\lt{b}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times1}{5}\)
\(=\frac{2}{5}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|\)
\(=|2\times5|\)
\(=10\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
১৯। উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{25}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
এখানে, \(a=1, \ b=5, \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-1}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{24}{25}}\)
\(=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, \pm{be}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{5\times\frac{2\sqrt{6}}{5}}\right)\)
\(\therefore (0, \pm2\sqrt{6})\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((0, \pm2\sqrt{6})\)
গ \(\left(\pm\frac{\sqrt{26}}{5}, 0\right)\)
গ \(\left(\pm\frac{\sqrt{26}}{5}, 0\right)\)
খ \(\left(\pm\frac{2\sqrt{6}}{5}, 0\right)\)
ঘ \((0, \pm\sqrt{26})\)
\(25x^2+y^2=25\) ঘ \((0, \pm\sqrt{26})\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{25}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{1^2}+\frac{y^2}{5^2}=1\)
এখানে, \(a=1, \ b=5, \ a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-1}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{24}{25}}\)
\(=\frac{2\sqrt{6}}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(0, \pm{be}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm{5\times\frac{2\sqrt{6}}{5}}\right)\)
\(\therefore (0, \pm2\sqrt{6})\)
উত্তরঃ (ক)
২০। \(-i+2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow x-2=-i\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=(-i)^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=i^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-1\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=0\)
\(\therefore x^2-4x+5=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x^2-4x+3=0\)
গ \(x^2+4x+5=0\)
গ \(x^2+4x+5=0\)
খ \(x^2+4x+3=0\)
ঘ \(x^2-4x+5=0\)
ধরি, \(x=-i+2\)ঘ \(x^2-4x+5=0\)
\(\Rightarrow x-2=-i\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=(-i)^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=i^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4=-1\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=0\)
\(\therefore x^2-4x+5=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\) হবে যখন-
\(\cos{\theta}=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\cos{\theta}=0\)
গ \(\cos{\theta}=1\)
গ \(\cos{\theta}=1\)
খ \(\sin{\theta}=0\)
ঘ \(\sin{\theta}=1\)
\(\theta=(2n+1)\frac{\pi}{2}, \ n\in{\mathbb{Z}}\) হবে যখনঘ \(\sin{\theta}=1\)
\(\cos{\theta}=0\)
উত্তরঃ (ক)
২২। এক বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(Q\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R\) এর উভয় দিকে যথাক্রমে \(30^{o}\) ও \(60^{o}\) কোণে আনত হলে, \(P:Q\) কত?
\(P\cos{0^{o}}+Q\cos{(30^{o}+60^{o})}=R\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow P+Q\cos{(90^{o})}=R\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow P+Q.0=R\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore P=\frac{\sqrt{3}R}{2}\)
\(Q\) বরাবর বিশ্লেষণ করে,
\(P\cos{(30^{o}+60^{o})}+Q\cos{0^{o}}=R\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow P\cos{(90^{o})}+Q=R\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow P.0+Q=R\times\frac{1}{2}\)
\(\therefore Q=\frac{R}{2}\)
এখন, \(P:Q=\frac{\sqrt{3}R}{2}:\frac{R}{2}\)
\(\therefore P:Q=\sqrt{3}:1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2:\sqrt{3}\)
গ \(1:\sqrt{2}\)
গ \(1:\sqrt{2}\)
খ \(\sqrt{3}:1\)
ঘ \(1:\sqrt{3}\)
\(P\) বরাবর বিশ্লেষণ করে,ঘ \(1:\sqrt{3}\)
\(P\cos{0^{o}}+Q\cos{(30^{o}+60^{o})}=R\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow P+Q\cos{(90^{o})}=R\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow P+Q.0=R\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore P=\frac{\sqrt{3}R}{2}\)
\(Q\) বরাবর বিশ্লেষণ করে,
\(P\cos{(30^{o}+60^{o})}+Q\cos{0^{o}}=R\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow P\cos{(90^{o})}+Q=R\cos{60^{o}}\)
\(\Rightarrow P.0+Q=R\times\frac{1}{2}\)
\(\therefore Q=\frac{R}{2}\)
এখন, \(P:Q=\frac{\sqrt{3}R}{2}:\frac{R}{2}\)
\(\therefore P:Q=\sqrt{3}:1\)
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(9x^2+4y^2=36\) এর উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{36}+\frac{4y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=3, \ a\lt{b}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3\)
গ \(\frac{3}{8}\)
গ \(\frac{3}{8}\)
খ \(9\)
ঘ \(\frac{8}{3}\)
\(9x^2+4y^2=36\) ঘ \(\frac{8}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{36}+\frac{4y^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=3, \ a\lt{b}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times4}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। \(\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\) এর মান কত?
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\frac{2+3}{1-2\times3}}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\frac{5}{1-6}}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\frac{5}{-5}}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\frac{\pi}{4}-\tan^{-1}{(1)}\)
\(=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(0\)
\(\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)ঘ \(0\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\frac{2+3}{1-2\times3}}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\frac{5}{1-6}}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{\frac{5}{-5}}\)
\(=\frac{\pi}{4}+\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\frac{\pi}{4}-\tan^{-1}{(1)}\)
\(=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{4}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(x^2-4x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\) হলে, অন্যটি-
ধরি, অন্যটি \(\alpha\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(\alpha+3=-\frac{-4}{1}\)
\(\Rightarrow \alpha+3=4\)
\(\Rightarrow \alpha=4-3\)
\(\therefore \alpha=1\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(1\)
গ \(-3\)
গ \(-3\)
খ \(3\)
ঘ \(-4\)
\(x^2-4x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\)ঘ \(-4\)
ধরি, অন্যটি \(\alpha\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(\alpha+3=-\frac{-4}{1}\)
\(\Rightarrow \alpha+3=4\)
\(\Rightarrow \alpha=4-3\)
\(\therefore \alpha=1\)
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003