শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2021
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2021 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(y^2=12ax\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামী হলে, পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কত?
\(\therefore (-2)^2=12a.3\)
\(\Rightarrow 4=36a\)
\(\Rightarrow 36a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{36}\)
\(\ a=\frac{1}{9}\)
তাহলে, পরাবৃত্তটি \(y^2=12\times\frac{1}{9}x\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4}{3}x\)
এখানে, \(4a=\frac{4}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=\left|\frac{4}{3}\right|\)
\(=\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{4}{3}\)
গ \(\frac{4}{9}\)
গ \(\frac{4}{9}\)
খ \(\frac{9}{4}\)
ঘ \(\frac{2}{3}\)
(y^2=12ax\) পরাবৃত্তটি \((3, -2)\) বিন্দুগামীঘ \(\frac{2}{3}\)
\(\therefore (-2)^2=12a.3\)
\(\Rightarrow 4=36a\)
\(\Rightarrow 36a=4\)
\(\Rightarrow a=\frac{4}{36}\)
\(\ a=\frac{1}{9}\)
তাহলে, পরাবৃত্তটি \(y^2=12\times\frac{1}{9}x\)
\(\Rightarrow y^2=\frac{4}{3}x\)
এখানে, \(4a=\frac{4}{3}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=\left|\frac{4}{3}\right|\)
\(=\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ২ ও ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(16y^2-25x^2=400\) একটি কণিকের সমীকরণ।
২। কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা কোনটি?\(16y^2-25x^2=400\) একটি কণিকের সমীকরণ।
ক \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{\sqrt{41}}{4}\)
গ \(\frac{\sqrt{41}}{4}\)
খ \(\frac{3}{5}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{41}}{5}\)
\(16y^2-25x^2=400\)ঘ \(\frac{\sqrt{41}}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{400}-\frac{25x^2}{400}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{25}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=5\)
কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+25}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{41}{25}}\)
\(=\frac{\sqrt{41}}{5}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। কণিকটির উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ কত?
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{400}-\frac{25y^2}{400}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=5, \ b=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{16+25}\)
\(\therefore y=\pm\sqrt{41}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x=\pm\sqrt{41}\)
গ \(x=\pm3\)
গ \(x=\pm3\)
খ \(y=\pm\sqrt{41}\)
ঘ \(y=\pm3\)
\(16x^2-25y^2=400\)ঘ \(y=\pm3\)
\(\Rightarrow \frac{16x^2}{400}-\frac{25y^2}{400}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{5^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=5, \ b=4\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=\pm\sqrt{a^2+b^2}\)
\(\Rightarrow y=\pm\sqrt{16+25}\)
\(\therefore y=\pm\sqrt{41}\)
উত্তরঃ (খ)
৪। \([0^{o}, 180^{o}]\) ব্যবধিতে, \(\sqrt{3}\tan{x}+1=0\) সমীকরণের সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \sqrt{3}\tan{x}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{x}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=-\tan{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{150^{o}}\)
\(\therefore x=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
\(\sqrt{3}\tan{x}+1=0\) ঘ \(150^{o}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\tan{x}=-1\)
\(\Rightarrow \tan{x}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=-\tan{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{150^{o}}\)
\(\therefore x=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(\sin^3{\theta}+\sin{\theta}\cos^2{\theta}=-1\) হলে, নিচের কোনটি সত্য?
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}+\sin{\theta}(1-\sin^2{\theta})=-1\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}+\sin{\theta}-\sin^3{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\theta=n\pi\)
গ \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
গ \(\theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
খ \(\theta=(2n+1)\pi\)
ঘ \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin^3{\theta}+\sin{\theta}\cos^2{\theta}=-1\)ঘ \(\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}+\sin{\theta}(1-\sin^2{\theta})=-1\)
\(\Rightarrow \sin^3{\theta}+\sin{\theta}-\sin^3{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=-1\)
\(\Rightarrow \theta=(4n-1)\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৬। কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(\sqrt{2}P\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(R, \ P\) বলের উপর লম্ব হলে তাদের অন্তর্গত কোণ কত?
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{\sqrt{2}P\sin{\alpha}}{P+\sqrt{2}P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{\sqrt{2}P\sin{\alpha}}{P+\sqrt{2}P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow P+\sqrt{2}P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}P\cos{\alpha}=-P\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{135^{o}}\)
\(\therefore \alpha=135^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(45^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(135^{o}\)
ধরি, বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\)ঘ \(135^{o}\)
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{\sqrt{2}P\sin{\alpha}}{P+\sqrt{2}P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{\sqrt{2}P\sin{\alpha}}{P+\sqrt{2}P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow P+\sqrt{2}P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{2}P\cos{\alpha}=-P\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{45^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-45^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{135^{o}}\)
\(\therefore \alpha=135^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। \(6\) মিটার দীর্ঘ্য একটি হালকা দন্ডের দুই প্রান্তে \(8N\) ও \(4N\) মানের দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়ারত হলে, বৃহত্তর বল থেকে লব্ধি কত মিটার দূরে ক্রিয়া করে?
শর্তমতে, \(AB=6\)
এবং \(8.AC=4.BC\)
\(\Rightarrow 8.AC=4.(AB-AC)\)
\(\Rightarrow 8.AC=4.AB-4.AC\)
\(\Rightarrow 8.AC+4.AC=4.AB\)
\(\Rightarrow 12.AC=4\times6\)
\(\Rightarrow 12.AC=24\)
\(\therefore AC=2\) মিটার
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(4\)
ঘ \(8\)
ধরি,\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(8N\) ও \(4N\) যাদের লব্ধি \(AB\) রেখার উপরোস্থ \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।ঘ \(8\)
শর্তমতে, \(AB=6\)এবং \(8.AC=4.BC\)
\(\Rightarrow 8.AC=4.(AB-AC)\)
\(\Rightarrow 8.AC=4.AB-4.AC\)
\(\Rightarrow 8.AC+4.AC=4.AB\)
\(\Rightarrow 12.AC=4\times6\)
\(\Rightarrow 12.AC=24\)
\(\therefore AC=2\) মিটার
উত্তরঃ (ক)
৮। কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুতে তিনটি সমান সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি-
\(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(2P, \ BC\) এর উপরোস্থ \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।
তাহলে, \(P.BD=P.DC\)
\(\Rightarrow BD=DC\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\)।
আবার, \(A\) ও \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(2P\) এর লব্ধি \(3P, \ AD\) এর উপরোস্থ \(G\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।
তাহলে, \(P.AG=2P.GD\)
\(\Rightarrow AG=2GD\)
\(\Rightarrow \frac{AG}{GD}=2\)
\(\Rightarrow AG:GD=2:1\)
\(\therefore G, \ ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
উত্তরঃ (ক)
ক লম্বকেন্দ্র গামী
গ পরিকেন্দ্র গামী
গ পরিকেন্দ্র গামী
খ অন্তঃকেন্দ্র গামী
ঘ ভরকেন্দ্র গামী
ধরি, \(P\) মানের তিনটি সমান সদৃশ সমান্তরাল বল যথাক্রমে \(ABC\) ত্রিভুজের শীর্ষত্রয় \(A, \ B, \ C\) এ ক্রিয়ারত।ঘ ভরকেন্দ্র গামী
\(B\) ও \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(2P, \ BC\) এর উপরোস্থ \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।
তাহলে, \(P.BD=P.DC\)\(\Rightarrow BD=DC\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(D\)।
আবার, \(A\) ও \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয় যথাক্রমে \(P\) ও \(2P\) এর লব্ধি \(3P, \ AD\) এর উপরোস্থ \(G\) বিন্দুতে ক্রিয়া করবে।
তাহলে, \(P.AG=2P.GD\)
\(\Rightarrow AG=2GD\)
\(\Rightarrow \frac{AG}{GD}=2\)
\(\Rightarrow AG:GD=2:1\)
\(\therefore G, \ ABC\) ত্রিভুজের ভরকেন্দ্র।
উত্তরঃ (ক)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৯ ও ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(4x^2+kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2\)
৯। \(k\) এর মান কত?\(4x^2+kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2\)
ক \(-5\)
গ \(-9\)
গ \(-9\)
খ \(-18\)
ঘ \(-10\)
\(4x^2+kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2\)ঘ \(-10\)
শর্তমতে, \(x=2\)
\(\Rightarrow 4.2^2+k.2+2=0\)
\(\Rightarrow 16+2k+2=0\)
\(\Rightarrow 18+2k=0\)
\(\Rightarrow 2k=-18\)
\(\therefore k=-9\)
উত্তরঃ (গ)
১০। সমীকরণটির মূলদ্বয়-
এখানে, \(a=4, \ b=-9, \ c=2\)
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-9)^2-4.4.2\)
\(=81-32\)
\(=59\gt{0}\)
\(\therefore D\gt{0}\)
সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
উত্তরঃ (খ)
ক বাস্তব ও সমান
গ জটিল
গ জটিল
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ মূলদ
\(4x^2-9x+2=0\) যেহেতু \(k=-9\)ঘ মূলদ
এখানে, \(a=4, \ b=-9, \ c=2\)
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-9)^2-4.4.2\)
\(=81-32\)
\(=59\gt{0}\)
\(\therefore D\gt{0}\)
সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব ও অসমান।
উত্তরঃ (খ)
১১। \(6x^3+3x^2+2=0\) ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলত্রয় \(a, \ b\) ও \(c\) হলে \(\sum{a^2b^2}\) এর মান কোনটি?
তাহলে, \(a+b+c=-\frac{3}{6}, \ ab+bc+ca=\frac{0}{6}, \ abc=-\frac{2}{6}\)
\(\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}, \ ab+bc+ca=0, \ abc=-\frac{1}{3}\)
এখন, \(\sum{a^2b^2}\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2(ab^2c+bc^2a+ca^2b)\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2abc(b+c+a)\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)\)
\(=(0)^2-2\times-\frac{1}{3}\times-\frac{1}{2}\)
\(=0-\frac{1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
খ \(3\)
ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(6x^3+3x^2+2=0 \Rightarrow 6x^3+3x^2+0.x+2=0 \) ত্রিঘাত সমীকরণটির মূলত্রয় \(a, \ b\) ও \(c\)ঘ \(\frac{3}{4}\)
তাহলে, \(a+b+c=-\frac{3}{6}, \ ab+bc+ca=\frac{0}{6}, \ abc=-\frac{2}{6}\)
\(\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}, \ ab+bc+ca=0, \ abc=-\frac{1}{3}\)
এখন, \(\sum{a^2b^2}\)
\(=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
\(=(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2(ab.bc+bc.ca+ca.ab)\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2(ab^2c+bc^2a+ca^2b)\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2abc(b+c+a)\)
\(=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)\)
\(=(0)^2-2\times-\frac{1}{3}\times-\frac{1}{2}\)
\(=0-\frac{1}{3}\)
\(=-\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\) হলে, \(x=?\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+x}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}x}\right)}=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+x}{1-\frac{x}{\sqrt{3}}}=\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+x}{1-\frac{x}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{x}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{3}}=-1\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\sqrt{3}\)
গ \(\sqrt{3}\)
খ \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(-\sqrt{3}\)
\(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)ঘ \(-\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+x}{1-\frac{1}{\sqrt{3}}x}\right)}=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+x}{1-\frac{x}{\sqrt{3}}}=\tan{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{\frac{1}{\sqrt{3}}+x}{1-\frac{x}{\sqrt{3}}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{x}{\sqrt{3}}=0\)
\(\Rightarrow -\frac{x}{\sqrt{3}}=-1\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
১৩। \(-2(\cos^2{x}-\sin^2{x})=1\) সমীকরণের সমাধান নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow \cos^2{x}-\sin^2{x}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{2x}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 2x=2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow 2x=2\left(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\therefore x=n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
খ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
ঘ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
\(-2(\cos^2{x}-\sin^2{x})=1\)ঘ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}-\sin^2{x}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{2x}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 2x=2n\pi\pm\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow 2x=2\left(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\right)\)
\(\therefore x=n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \((x-2)^2=16(y+3)\) পরাবৃত্তের-
\(i.\) উপকেন্দ্র \((2, 1)\)
\(ii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(y-7=0\)
\(iii.\) অক্ষরেখার সমীকরণ \(x-2=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow X^2=16Y\) যেখানে, \(X=x-2, \ Y=y+3\)
এখানে, \(4a=16\)
\(\Rightarrow a=4\)
উপকেন্দ্রে \(X=0, \ Y=a\)
\(\Rightarrow x-2=0, \ y+3=4\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=4-3\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=1\)
উপকেন্দ্র \((2, 1)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(Y=-a\)
\(\Rightarrow y+3=-4\)
\(\Rightarrow y+3+4=0\)
\(\Rightarrow y+7=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
অক্ষরেখার সমীকরণ \(X=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) উপকেন্দ্র \((2, 1)\)
\(ii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(y-7=0\)
\(iii.\) অক্ষরেখার সমীকরণ \(x-2=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((x-2)^2=16(y+3)\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow X^2=16Y\) যেখানে, \(X=x-2, \ Y=y+3\)
এখানে, \(4a=16\)
\(\Rightarrow a=4\)
উপকেন্দ্রে \(X=0, \ Y=a\)
\(\Rightarrow x-2=0, \ y+3=4\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=4-3\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=1\)
উপকেন্দ্র \((2, 1)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(Y=-a\)
\(\Rightarrow y+3=-4\)
\(\Rightarrow y+3+4=0\)
\(\Rightarrow y+7=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
অক্ষরেখার সমীকরণ \(X=0\)
\(\Rightarrow x-2=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(3x^2+y^2=4\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{4}{3}}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}, \ b=2; \ a\lt{b}\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{4}{3}}{4}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{4\times3}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\sqrt{\frac{2}{3}}\)
গ \(2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
গ \(2\sqrt{\frac{2}{3}}\)
খ \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
ঘ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(3x^2+y^2=4\)ঘ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{4}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{4}{3}}+\frac{y^2}{4}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2}+\frac{y^2}{2^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{2}{\sqrt{3}}, \ b=2; \ a\lt{b}\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{\frac{4}{3}}{4}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{4\times3}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{3-1}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{3}}\)
উত্তরঃ (ক)
১৬। কোনো বিন্দুতে \(120^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত দুইটি সমান বলকে একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(9N\) বলের সাহায্যে ভারসাম্য রাখা হয়েছে। সমান বলদ্বয় কত?
শর্তমতে, \(9N\) হবে লব্ধি
তাহলে, \(P^2+P^2+2.P.P\cos{120^{o}}=9^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\times-\frac{1}{2}=81\)
\(\Rightarrow 2P^2-P^2=81\)
\(\Rightarrow P^2=81\)
\(\Rightarrow P=9\)
সমান বলদ্বয়ের মান \(9N\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(9\sqrt{3}N\)
গ \(3\sqrt{3}N\)
গ \(3\sqrt{3}N\)
খ \(9N\)
ঘ \(3N\)
ধরি, সমান বলদ্বয়ের মান \(P\)ঘ \(3N\)
শর্তমতে, \(9N\) হবে লব্ধি
তাহলে, \(P^2+P^2+2.P.P\cos{120^{o}}=9^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\times-\frac{1}{2}=81\)
\(\Rightarrow 2P^2-P^2=81\)
\(\Rightarrow P^2=81\)
\(\Rightarrow P=9\)
সমান বলদ্বয়ের মান \(9N\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(25y^2+7x^2-175=0\) কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক কোনটি?
\(\Rightarrow 25y^2+7x^2=175\)
\(\Rightarrow \frac{25y^2}{175}+\frac{7x^2}{175}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{7}+\frac{x^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{7})^2}=1\)
এখানে, \(a=5, \ b=\sqrt{7}; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{7}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-7}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{18}{25}}\)
\(=\frac{\sqrt{18}}{5}\)
\(=\frac{3\sqrt{2}}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((\pm{ae}, 0)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{5\times\frac{3\sqrt{2}}{5}}, 0\right)\)
\(\therefore (\pm3\sqrt{2}, 0)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \((0, \pm4\sqrt{2})\)
গ \((0, \pm3\sqrt{2})\)
গ \((0, \pm3\sqrt{2})\)
খ \((\pm4\sqrt{2}, 0)\)
ঘ \((\pm3\sqrt{2}, 0)\)
\(25y^2+7x^2-175=0\)ঘ \((\pm3\sqrt{2}, 0)\)
\(\Rightarrow 25y^2+7x^2=175\)
\(\Rightarrow \frac{25y^2}{175}+\frac{7x^2}{175}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{7}+\frac{x^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{5^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{7})^2}=1\)
এখানে, \(a=5, \ b=\sqrt{7}; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{7}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-7}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{18}{25}}\)
\(=\frac{\sqrt{18}}{5}\)
\(=\frac{3\sqrt{2}}{5}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((\pm{ae}, 0)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{5\times\frac{3\sqrt{2}}{5}}, 0\right)\)
\(\therefore (\pm3\sqrt{2}, 0)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(k\) এর মান কত হলে \(2y-4x-k=0\) রেখাটি \(y^2=10x\) পরাবৃত্তের স্পর্শক হবে?
\(\Rightarrow 2y=4x+k\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{2}x+\frac{k}{2}\)
এখানে, \(m=\frac{4}{2}, \ c=\frac{k}{2}\)
আবার, \(y^2=10x\)
এখানে, \(4a=10\)
\(\Rightarrow a=\frac{10}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{2}\)
স্পর্শ করার শর্ত, \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{4}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{5}{2}\times\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow k=\frac{5\times2}{4}\)
\(\therefore k=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{5}{4}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
খ \(\frac{4}{5}\)
ঘ \(\frac{2}{5}\)
\(2y-4x-k=0\) রেখাটি \(y^2=10x\) পরাবৃত্তের স্পর্শকঘ \(\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow 2y=4x+k\)
\(\Rightarrow y=\frac{4}{2}x+\frac{k}{2}\)
এখানে, \(m=\frac{4}{2}, \ c=\frac{k}{2}\)
আবার, \(y^2=10x\)
এখানে, \(4a=10\)
\(\Rightarrow a=\frac{10}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{5}{2}\)
স্পর্শ করার শর্ত, \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{\frac{5}{2}}{\frac{4}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{5}{2}\times\frac{2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow k=\frac{5\times2}{4}\)
\(\therefore k=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। \(8N\) ও \(6N\) মানের দুইটি বল কোনো বিন্দুতে \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারত থাকলে-
\(i.\) লব্ধির বৃহত্তম মান \(=14N\)
\(ii.\) লব্ধির ক্ষুদ্রতম মান \(=2N\)
\(iii.\) \(\alpha=\frac{\pi}{2}\) হলে লব্ধির মান \(=10N\)
নিচের কোনটি সঠিক?
লব্ধির বৃহত্তম মান \(=(8N+6N)\)
\(=14N\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধির বৃহত্তম মান \(=(8N-6N)\)
\(=2N\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha=\frac{\pi}{2}\) হলে লব্ধির মান \(=\sqrt{8^2+6^2+2.8.6\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\sqrt{64+36+96\times0}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=10\)
\(=10N\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) লব্ধির বৃহত্তম মান \(=14N\)
\(ii.\) লব্ধির ক্ষুদ্রতম মান \(=2N\)
\(iii.\) \(\alpha=\frac{\pi}{2}\) হলে লব্ধির মান \(=10N\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(8N\) ও \(6N\) মানের দুইটি বল কোনো বিন্দুতে \(\alpha\) কোণে ক্রিয়ারতঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
লব্ধির বৃহত্তম মান \(=(8N+6N)\)
\(=14N\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধির বৃহত্তম মান \(=(8N-6N)\)
\(=2N\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha=\frac{\pi}{2}\) হলে লব্ধির মান \(=\sqrt{8^2+6^2+2.8.6\cos{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\sqrt{64+36+96\times0}\)
\(=\sqrt{100}\)
\(=10\)
\(=10N\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(2x^2-3x+1=0\) সমীকরণের দুইটি মূল \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\alpha^{-1}+\beta^{-1}=\) কত?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-3}{2}, \ \alpha\beta=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{3}{2}, \ \alpha\beta=\frac{1}{2}\)
এখন, \(\alpha^{-1}+\beta^{-1}\)
\(=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{2}{1}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
খ \(3\)
ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(2x^2-3x+1=0\) সমীকরণের দুইটি মূল \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-3}{2}, \ \alpha\beta=\frac{1}{2}\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{3}{2}, \ \alpha\beta=\frac{1}{2}\)
এখন, \(\alpha^{-1}+\beta^{-1}\)
\(=\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{3}{2}\times\frac{2}{1}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (খ)
২১। \(mx^2-x+n=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি কত? যেখানে \(m\ne{0}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-1}{m}, \ \alpha\beta=\frac{n}{m}\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{1}{m}, \ \alpha\beta=\frac{n}{m}\)
এখন, মূলদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি \(=\alpha^{2}+\beta^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=\left(\frac{1}{m}\right)^2-2\times\frac{n}{m}\)
\(=\frac{1}{m^2}-\frac{2n}{m}\)
\(=\frac{1-2mn}{m^2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{2mn-1}{m^2}\)
গ \(\frac{2n-1}{m^2}\)
গ \(\frac{2n-1}{m^2}\)
খ \(\frac{1-2mn}{m^2}\)
ঘ \(\frac{1-2n}{m^2}\)
ধরি, \(mx^2-x+n=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(\frac{1-2n}{m^2}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-1}{m}, \ \alpha\beta=\frac{n}{m}\)
\(\therefore \alpha+\beta=\frac{1}{m}, \ \alpha\beta=\frac{n}{m}\)
এখন, মূলদ্বয়ের বর্গের সমষ্টি \(=\alpha^{2}+\beta^{2}\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=\left(\frac{1}{m}\right)^2-2\times\frac{n}{m}\)
\(=\frac{1}{m^2}-\frac{2n}{m}\)
\(=\frac{1-2mn}{m^2}\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(2x^2-5x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় হতে \(1\) কম মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow x=a+1\)
এখন, \(2x^2-5x-3=0\)
\(\Rightarrow 2(a+1)^2-5(a+1)-3=0\)
\(\Rightarrow 2(a^2+2a+1)-5a-5-3=0\)
\(\Rightarrow 2a^2+4a+2-5a-5-3=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-a-6=0\)
\(\therefore 2x^2-x-6=0; \ a\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে।
উত্তরঃ (গ)
ক \(2x^2-x+4=0\)
গ \(2x^2-x-6=0\)
গ \(2x^2-x-6=0\)
খ \(2x^2+x+6=0\)
ঘ \(2x^2+9x+4=0\)
\(1\) কম মূল অর্থাৎ \(x-1=a\)ঘ \(2x^2+9x+4=0\)
\(\Rightarrow x=a+1\)
এখন, \(2x^2-5x-3=0\)
\(\Rightarrow 2(a+1)^2-5(a+1)-3=0\)
\(\Rightarrow 2(a^2+2a+1)-5a-5-3=0\)
\(\Rightarrow 2a^2+4a+2-5a-5-3=0\)
\(\Rightarrow 2a^2-a-6=0\)
\(\therefore 2x^2-x-6=0; \ a\) এর স্থানে \(x\) বসিয়ে।
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\) হয় তবে-
\(i.\) \(x\le{-1}\)
\(ii.\) \(x=0\)
\(iii.\) \(x\gt{0}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2}\)
\(x\le{-1}\) হলে সমীকরণটির বাম পক্ষ ঋনাত্মক এবং ডানপক্ষ ধনাত্মক হয় যা অসম্ভব।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(x=0\) হলে
\(L.S=\tan^{-1}{0}+\tan^{-1}{\frac{1}{0}}\)
\(=0+\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(x\gt{0}\) সকল বাস্তব মান দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) \(x\le{-1}\)
\(ii.\) \(x=0\)
\(iii.\) \(x\gt{0}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{\frac{1}{x}}=\frac{\pi}{2}\)
\(x\le{-1}\) হলে সমীকরণটির বাম পক্ষ ঋনাত্মক এবং ডানপক্ষ ধনাত্মক হয় যা অসম্ভব।
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(x=0\) হলে
\(L.S=\tan^{-1}{0}+\tan^{-1}{\frac{1}{0}}\)
\(=0+\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(=R.S\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(x\gt{0}\) সকল বাস্তব মান দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
২৪। \(\tan^2{(\sec^{-1}{2})}\) এর মান কোনটি?
\(=\sec^2{(\sec^{-1}{2})}-1\)
\(=\{\sec{(\sec^{-1}{2})}\}^2-1\)
\(=\{2\}^2-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{3}{4}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(3\)
\(\tan^2{(\sec^{-1}{2})}\)ঘ \(3\)
\(=\sec^2{(\sec^{-1}{2})}-1\)
\(=\{\sec{(\sec^{-1}{2})}\}^2-1\)
\(=\{2\}^2-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(\cot^{-1}{3}=\) কত?
\(=\frac{1}{2}\times2\cot^{-1}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2\times\frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9+1}{9}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\sin^{-1}{\frac{3}{\sqrt{10}}}\)
গ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{3}}\)
গ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{5}{3}}\)
খ \(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{10}}}\)
ঘ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
\(\cot^{-1}{3}\)ঘ \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\cot^{-1}{3}\)
\(=\frac{1}{2}\times2\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2\times\frac{1}{3}}{1+\left(\frac{1}{3}\right)^2}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{\frac{2}{3}}{1+\frac{1}{9}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{9+1}{9}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{\frac{2}{3}}{\frac{10}{9}}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\left\{\frac{2}{3}\times\frac{9}{10}\right\}}\)
\(=\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{3}{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003