শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\int\frac{5}{1-5x}dx \) এর মান কোনটি?
উত্তরঃ \((\star)\)
ক \(\ln(1-5x)+c\)
গ \(\frac{\ln(1-5x)}{5}\)
গ \(\frac{\ln(1-5x)}{5}\)
খ \(-\ln(1-5x+c)\)
ঘ \(\frac{-\ln(1-5x)}{5}\)
উপরে প্রদত্ত কোনো উত্তর সঠিক নয়।ঘ \(\frac{-\ln(1-5x)}{5}\)
উত্তরঃ \((\star)\)
২। \(\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\sin{2x}\right)=\)?
\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\sin{ax}\right)=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
তাহলে,
\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\sin{2x}\right)=2^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+2x\right)}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(2^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+2x\right)}\)
গ \(2^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}-2x\right)}\)
গ \(2^{n}\sin{\left(\frac{n\pi}{2}-2x\right)}\)
খ \(\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+2x\right)}\)
ঘ \(\sin{\left(\frac{n\pi}{2}-2x\right)}\)
যেহেতু,ঘ \(\sin{\left(\frac{n\pi}{2}-2x\right)}\)
\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\sin{ax}\right)=a^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+ax\right)}\)
তাহলে,
\(\frac{d^{n}}{dx^{n}}\left(\sin{2x}\right)=2^n\sin{\left(\frac{n\pi}{2}+2x\right)}\)
উত্তরঃ ( ক )
৩। \(f(x)=x^2+1\) হলে-
\(i.\) \((1, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল \(-\frac{1}{2}\)
\(ii.\) \(\int_{0}^{1}\frac{2x}{f(x)}dx=\ln2\)
\(iii.\) ফাংশনটির চরম বিন্দুর স্থানাংক \((0, 1)\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে,
\(f^{\prime}(1)=2\times1=2\)
\(\therefore (1, 2)\) বিন্দুতে, স্পর্শকের ঢাল \(2\)
\(\therefore (1, 2)\) বিন্দুতে, অভিলম্বের ঢাল \(-\frac{1}{2}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(f(x)=x^2+1\)
\(\int_{0}^{1} \frac{2x}{f(x)}dx\)
\(=\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1}dx\)
\(=\int_{0}^{1} \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\)
\(=\left[\ln{(x^2+1)}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[\ln{(1^2+1)}-\ln{(0^2+1)}\right]\)
\(=\left[\ln{2}-\ln{1}\right]\)
\(=\left[\ln{2}-0\right]; \ \because \ln{1}=0\)
\(=\ln{2}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x\)
চরম বিন্দুতে, \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow 2x=0\)
\(\therefore x=0\)
এবং \(f(0)=0^2+1=1\)
অতএব, চরম বিন্দুর স্থানাংক \((0, 1)\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \((1, 2)\) বিন্দুতে অভিলম্বের ঢাল \(-\frac{1}{2}\)
\(ii.\) \(\int_{0}^{1}\frac{2x}{f(x)}dx=\ln2\)
\(iii.\) ফাংশনটির চরম বিন্দুর স্থানাংক \((0, 1)\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=x^2+1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x\)
\((1, 2)\) বিন্দুতে,
\(f^{\prime}(1)=2\times1=2\)
\(\therefore (1, 2)\) বিন্দুতে, স্পর্শকের ঢাল \(2\)
\(\therefore (1, 2)\) বিন্দুতে, অভিলম্বের ঢাল \(-\frac{1}{2}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(f(x)=x^2+1\)
\(\int_{0}^{1} \frac{2x}{f(x)}dx\)
\(=\int_{0}^{1} \frac{2x}{x^2+1}dx\)
\(=\int_{0}^{1} \frac{d(x^2+1)}{x^2+1}\)
\(=\left[\ln{(x^2+1)}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[\ln{(1^2+1)}-\ln{(0^2+1)}\right]\)
\(=\left[\ln{2}-\ln{1}\right]\)
\(=\left[\ln{2}-0\right]; \ \because \ln{1}=0\)
\(=\ln{2}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
\(f(x)=x^2+1\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2x\)
চরম বিন্দুতে, \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow 2x=0\)
\(\therefore x=0\)
এবং \(f(0)=0^2+1=1\)
অতএব, চরম বিন্দুর স্থানাংক \((0, 1)\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
৪। \(\cos{15^{o}}\) এর মান কত?
\(=\cos{(45^{o}-30^{o})}\)
\(=\cos{45^{o}}\cos{30^{o}}+\sin{45^{o}}\sin{30^{o}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(\cos{15^{o}}\)ঘ \(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(=\cos{(45^{o}-30^{o})}\)
\(=\cos{45^{o}}\cos{30^{o}}+\sin{45^{o}}\sin{30^{o}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\times\frac{1}{2}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ ( খ )
৫। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}{2x}}{3x}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}2x}{2x}\times\frac{2}{3}\]
\[=\frac{2}{3}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}2x}{2x}\]
ধরি,
\[\tan^{-1}2x=h \Rightarrow 2x=\tan h \therefore x\rightarrow 0 \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\frac{2}{3}\times\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{\tan h}\]
\[=\frac{2}{3}\]
উত্তরঃ ( গ )
ক \(0\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(1\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}2x}{3x}\]ঘ \(1\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}2x}{2x}\times\frac{2}{3}\]
\[=\frac{2}{3}\times\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\tan^{-1}2x}{2x}\]
ধরি,
\[\tan^{-1}2x=h \Rightarrow 2x=\tan h \therefore x\rightarrow 0 \Rightarrow h\rightarrow 0\]
\[=\frac{2}{3}\times\lim_{h \rightarrow 0}\frac{h}{\tan h}\]
\[=\frac{2}{3}\]
উত্তরঃ ( গ )
৬। \(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) হলে, \(\sec{\theta}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \tan^2{\theta}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow 1+\tan^2{\theta}=1+\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}=\frac{9+16}{9}\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}=\frac{25}{9}\)
\(\therefore \sec{\theta}=\pm\frac{5}{3}\)
\(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) ব্যাবধিতে, অর্থাৎ তৃতীয় চতুর্ভাগে,
\(\sec{\theta}=-\frac{5}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(-\frac{5}{3}\)
গ \(\frac{5}{4}\)
গ \(\frac{5}{4}\)
খ \(-\frac{5}{4}\)
ঘ \(\frac{5}{3}\)
\(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\)ঘ \(\frac{5}{3}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow \tan^2{\theta}=\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow 1+\tan^2{\theta}=1+\frac{16}{9}\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}=\frac{9+16}{9}\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}=\frac{25}{9}\)
\(\therefore \sec{\theta}=\pm\frac{5}{3}\)
\(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) ব্যাবধিতে, অর্থাৎ তৃতীয় চতুর্ভাগে,
\(\sec{\theta}=-\frac{5}{3}\)
উত্তরঃ ( ক )
৭। একটি বৃত্তের কেন্দ্র \((6, -4)\) এবং বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে, বৃত্তটির ব্যাসের মান কত?
তখন, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়।
অর্থাৎ ব্যাসার্ধ \(=|-4|=4\)
ব্যাস \(=2\times4=8\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(12\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(8\)
ঘ \(4\)
বৃত্ত যখন \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে, ঘ \(4\)
তখন, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান হয়।
অর্থাৎ ব্যাসার্ধ \(=|-4|=4\)
ব্যাস \(=2\times4=8\)
উত্তরঃ ( খ )
৮। \((3, -4)\) বিন্দুগামী এবং \(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?
\(x=a\) যা \((3, -4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3=a\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(x=3\)
\(\therefore x-3=0\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(x-3=0\)
গ \(y-4=0\)
গ \(y-4=0\)
খ \(x+3=0\)
ঘ \(y+4=0\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(y+4=0\)
\(x=a\) যা \((3, -4)\) বিন্দুগামী।
\(\therefore 3=a\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(y\) অক্ষের সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,
\(x=3\)
\(\therefore x-3=0\)
উত্তরঃ ( ক )
৯। \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1}x)\) এর মান কোনটি?
অর্থাৎ \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1}x)=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
গ \(\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
গ \(\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
খ \(\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
ঘ \(\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
\(x\) এর সাপেক্ষে \(cosec^{-1}x\) এর অন্তরীকরণ,ঘ \(\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
অর্থাৎ \(\frac{d}{dx}(cosec^{-1}x)=\frac{-1}{x\sqrt{x^2-1}}\)
উত্তরঃ ( খ )
১০। \(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 &-2&5\\ \ \ \ 4 & \ \ \ 0 & 6 \\ -1 & \ \ \ 7 &10\end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((2, 3)\) তম ভুক্তির সহগুণক কত?
\(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 &-2\\-1 & \ \ \ 7\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(21-2)\)
\(=-19\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(114\)
গ \(-19\)
গ \(-19\)
খ \(19\)
ঘ \(-114\)
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 &-2&5\\ \ \ \ 4 & \ \ \ 0 & 6 \\ -1 & \ \ \ 7 &10\end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((2, 3)\) তম ভুক্তির সহগুণক,ঘ \(-114\)
\(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 &-2\\-1 & \ \ \ 7\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(21-2)\)
\(=-19\)
উত্তরঃ ( গ )
১১। \((-3\sqrt{3}, 3)\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কোনটি?
এখানে, \((x, y)\Rightarrow (-3\sqrt{3}, 3)\)
\(\therefore x=-3\sqrt{3} \) এবং \( y=3\)
মনে করি,
\((-3\sqrt{3}, 3)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\); যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-3\sqrt{3})^{2}+(3)^{2}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{27+9}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{36}\)
\(\therefore r=6\)
আবার,
\(\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\frac{3}{-3\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\frac{1}{-\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{6\pi\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(6, \frac{5\pi}{6}\right)\) উত্তরঃ ( খ )
ক \(\left(6, \frac{11\pi}{6}\right)\)
গ \(\left(6, \frac{5\pi}{3}\right)\)
গ \(\left(6, \frac{5\pi}{3}\right)\)
খ \(\left(6, \frac{5\pi}{6}\right)\)
ঘ \(\left(6, \frac{2\pi}{3}\right)\)
\((x, y)\Rightarrow (-3\sqrt{3}, 3)\)ঘ \(\left(6, \frac{2\pi}{3}\right)\)
এখানে, \((x, y)\Rightarrow (-3\sqrt{3}, 3)\)
\(\therefore x=-3\sqrt{3} \) এবং \( y=3\)
মনে করি,
\((-3\sqrt{3}, 3)\) বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \((r, \theta)\); যেখানে,
\(r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-3\sqrt{3})^{2}+(3)^{2}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{27+9}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{36}\)
\(\therefore r=6\)
আবার,
\(\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\frac{3}{-3\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}\frac{1}{-\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\tan^{-1}\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{6\pi\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{5\pi}{6}\)
\(\therefore\) প্রদত্ত বিন্দুর পোলার স্থানাঙ্ক \(\left(6, \frac{5\pi}{6}\right)\) উত্তরঃ ( খ )
১২। \(f(x)=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\) এবং \(g(x)=\sin^{-1}{(\sin{\sqrt{x}})}\) হলে-
\(i.\) \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{1+x^2}\)
\(ii.\) \(g^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(iii.\) \(f(1)=\frac{\pi}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow f(x)=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(g(x)=\sin^{-1}{(\sin{\sqrt{x}})}\)
\(\Rightarrow g(x)=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(f(x)=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)
\(\Rightarrow f(x)=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow f(1)=2\tan^{-1}{1}\)
\(=2\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=2\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(f^{\prime}(x)=\frac{2}{1+x^2}\)
\(ii.\) \(g^{\prime}(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}\)
\(iii.\) \(f(1)=\frac{\pi}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow f(x)=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+x^2}\)
\(=\frac{2}{1+x^2}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(g(x)=\sin^{-1}{(\sin{\sqrt{x}})}\)
\(\Rightarrow g(x)=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}\left(\sqrt{x}\right)\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(f(x)=\tan^{-1}{\left(\frac{2x}{1-x^2}\right)}\)
\(\Rightarrow f(x)=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow f(1)=2\tan^{-1}{1}\)
\(=2\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=2\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
১৩। \(cosec (-330^{o})\) এর মান কত?
\(=-cosec (330^{o})\)
\(=-cosec (90^{o}\times4-30^{o})\)
\(=cosec (30^{o})\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-2\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
খ \(-\frac{2}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(2\)
দেওয়া আছে, \(cosec (-330^{o})\)ঘ \(2\)
\(=-cosec (330^{o})\)
\(=-cosec (90^{o}\times4-30^{o})\)
\(=cosec (30^{o})\)
\(=2\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৪। \(\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?
অতএব,\(\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{(-1)\times1-0\times-\frac{1}{2}}\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{-1-0}\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=-1\times\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( ক )
ক \(\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}-1 & -\frac{1}{2} \\ \ \ \ 0 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}-1 & -\frac{1}{2} \\ \ \ \ 0 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & \ \ \ 0 \\ -\frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
আমরা জানি,\(\begin{bmatrix}a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} \ \ d & -b \\ -c & \ \ a \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\)
অতএব,\(\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স \(=\frac{1}{(-1)\times1-0\times-\frac{1}{2}}\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\frac{1}{-1-0}\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=-1\times\begin{bmatrix}1 & \ \ 0 \\ \frac{1}{2} & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ -\frac{1}{2} & 1 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৫। \(f(x)=\frac{x}{3}\) এবং \(g(x)=x^2\) হলে-
\(i.\) \(\int f(x)dx=\frac{x^2}{6}+c\)
\(ii.\) \(\int \frac{-1}{1+g(x)}dx=-\cot{x}+c\)
\(iii.\) \(g^{\prime\prime}(0)=2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{3}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{xdx}\)
\(=\frac{1}{3}\times\frac{x^2}{2}+c\)
\(=\frac{x^2}{6}+c\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(g(x)=x^2\)
\(\Rightarrow \int{\frac{-1}{1+g(x)}dx}=\int{\frac{-1}{1+x^2}dx}\)
\(=\cot^{-1}{x}+c\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(g(x)=x^2\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=2x\)
\(\Rightarrow g^{\prime\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x)\)
\(=2\times1\)
\(=2\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) \(\int f(x)dx=\frac{x^2}{6}+c\)
\(ii.\) \(\int \frac{-1}{1+g(x)}dx=-\cot{x}+c\)
\(iii.\) \(g^{\prime\prime}(0)=2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\frac{x}{3}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \int{f(x)dx}=\int{\frac{x}{3}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\int{xdx}\)
\(=\frac{1}{3}\times\frac{x^2}{2}+c\)
\(=\frac{x^2}{6}+c\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(g(x)=x^2\)
\(\Rightarrow \int{\frac{-1}{1+g(x)}dx}=\int{\frac{-1}{1+x^2}dx}\)
\(=\cot^{-1}{x}+c\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(g(x)=x^2\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(x^2)\)
\(\Rightarrow g^{\prime}(x)=2x\)
\(\Rightarrow g^{\prime\prime}(x)=2\frac{d}{dx}(x)\)
\(=2\times1\)
\(=2\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
১৬। \((-2, 3)\) বিন্দুতে কেন্দ্র এবং \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে এরূপ বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
এখানে,
\(2g=4, 2f=-6, \ c=9\)
\(\Rightarrow g=2, f=-3, \ c=9\)
কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-g,-f)\Rightarrow (-2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2-9}\)
\(=\sqrt{4+9-9}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\) যা কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংকের সংখ্যা মানের সমান।
\(\therefore\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ ( ক )
ক \(x^2+y^2+4x-6y+9=0\)
গ \(x^2+y^2+4x-6y+4=0\)
গ \(x^2+y^2+4x-6y+4=0\)
খ \(x^2+y^2-4x+6y+9=0\)
ঘ \(x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
\(x^2+y^2+4x-6y+9=0\) ঘ \(x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
এখানে,
\(2g=4, 2f=-6, \ c=9\)
\(\Rightarrow g=2, f=-3, \ c=9\)
কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-g,-f)\Rightarrow (-2, 3)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{2^2+(-3)^2-9}\)
\(=\sqrt{4+9-9}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\) যা কেন্দ্রের \(x\) স্থানাংকের সংখ্যা মানের সমান।
\(\therefore\) বৃত্তটি \(y\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(2x-ky+1=0\) এবং \(3x+2y-6=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
১৭। দ্বিতীয় রেখাটির লম্বরেখার ঢাল কত?\(2x-ky+1=0\) এবং \(3x+2y-6=0\) দুইটি সরলরেখার সমীকরণ।
ক \(\frac{3}{2}\)
গ \(-\frac{2}{3}\)
গ \(-\frac{2}{3}\)
খ \(\frac{2}{3}\)
ঘ \(-\frac{3}{2}\)
\(3x+2y-6=0\) এর ঢাল \(=-\frac{3}{2}\)ঘ \(-\frac{3}{2}\)
\(3x+2y-6=0\) এর লম্বরেখার ঢাল \(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৮। রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হলে \(k\) এর মান কত হবে?
অতএব, রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore -\frac{2}{-k}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{k}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\frac{4}{3}\)
গ \(-\frac{3}{4}\)
গ \(-\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(-\frac{4}{3}\)
\(2x-ky+1=0\) এবং \(3x+2y-6=0\) রেখাদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল।ঘ \(-\frac{4}{3}\)
অতএব, রেখাদ্বয়ের ঢালদ্বয় সমান হবে।
\(\therefore -\frac{2}{-k}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{k}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{k}{2}=-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow k=-\frac{4}{3}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 5 & -3 \\-5 & 0 & \ \ \ y \\ \ \ \ x & 4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}\) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে, \((x, y)=?\)
\(\therefore \begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 5 & -3 \\-5 & 0 & \ \ \ y \\ \ \ \ x & 4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}^T=-\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 5 & -3 \\-5 & 0 & \ \ \ y \\ \ \ \ x & 4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -5 & x \\ \ \ \ 5 & 0 & 4 \\ -3 & y & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -5 & \ \ \ 3 \\ \ \ \ 5 & \ \ \ 0 & -y \\-x & -4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow -3=-x, \ y=-4\)
\(\Rightarrow x=3, \ y=-4\)
\(\therefore (x, y)=(3, -4)\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \((-3, -4)\)
গ \((3, -4)\)
গ \((3, -4)\)
খ \((-3, 4)\)
ঘ \((3, 4)\)
\(A\) বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স হলে, \(A^T=-A\) হয়।ঘ \((3, 4)\)
\(\therefore \begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 5 & -3 \\-5 & 0 & \ \ \ y \\ \ \ \ x & 4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}^T=-\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & 5 & -3 \\-5 & 0 & \ \ \ y \\ \ \ \ x & 4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -5 & x \\ \ \ \ 5 & 0 & 4 \\ -3 & y & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \ \ \ 0 & -5 & \ \ \ 3 \\ \ \ \ 5 & \ \ \ 0 & -y \\-x & -4 & \ \ \ 0\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow -3=-x, \ y=-4\)
\(\Rightarrow x=3, \ y=-4\)
\(\therefore (x, y)=(3, -4)\)
উত্তরঃ ( গ )
২০। \(f(x)=2x^2-x+3\) হলে-
\(i.\) \((1, 4)\) বিন্দুতে ফাংশনটির স্পর্শকের ঢাল \(3\)
\(ii.\) \(x\lt{\frac{1}{4}}\) এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান
\(iii.\) \(x=\frac{1}{4}\) এর জন্য ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=4x-1\)
\((1, 4)\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(1)=4\times1-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
\(\therefore (1, 4)\) বিন্দুতে ফাংশনটির স্পর্শকের ঢাল \(3\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(f(x)=2x^2-x+3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=4x-1\)
ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান হবে যদি,
\(f^{\prime}(x)\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow 4x-1\lt{0}\)
\(\Rightarrow 4x\lt{1}\)
\(\therefore x\lt{\frac{1}{4}}\)
ফলে, \(x\lt{\frac{1}{4}}\) এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(f(x)=2x^2-x+3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=4x-1\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=4\)
কোনো ফাংশনের চরম মানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow 4x-1=0\)
\(\Rightarrow 4x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{4}\)
\(x=\frac{1}{4}\) এর জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=4\gt{0}\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)\gt{0}\)
তাহলে, \(x=\frac{1}{4}\) এর জন্য ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) \((1, 4)\) বিন্দুতে ফাংশনটির স্পর্শকের ঢাল \(3\)
\(ii.\) \(x\lt{\frac{1}{4}}\) এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান
\(iii.\) \(x=\frac{1}{4}\) এর জন্য ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান বিদ্যমান
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=2x^2-x+3\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=4x-1\)
\((1, 4)\) বিন্দুতে \(f^{\prime}(1)=4\times1-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
\(\therefore (1, 4)\) বিন্দুতে ফাংশনটির স্পর্শকের ঢাল \(3\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(f(x)=2x^2-x+3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=4x-1\)
ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান হবে যদি,
\(f^{\prime}(x)\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow 4x-1\lt{0}\)
\(\Rightarrow 4x\lt{1}\)
\(\therefore x\lt{\frac{1}{4}}\)
ফলে, \(x\lt{\frac{1}{4}}\) এর জন্য ফাংশনটি ক্রমহ্রাসমান
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(f(x)=2x^2-x+3\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=4x-1\)
\(\Rightarrow f^{\prime\prime}(x)=4\)
কোনো ফাংশনের চরম মানের জন্য \(f^{\prime}(x)=0\)
\(\Rightarrow 4x-1=0\)
\(\Rightarrow 4x=1\)
\(\therefore x=\frac{1}{4}\)
\(x=\frac{1}{4}\) এর জন্য \(f^{\prime\prime}(x)=4\gt{0}\)
\(\therefore f^{\prime\prime}(x)\gt{0}\)
তাহলে, \(x=\frac{1}{4}\) এর জন্য ফাংশনটির সর্বনিম্ন মান বিদ্যমান।
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ ( ক )
২১। \(\left|\begin{array}{c}1 & \ \ \ 4 & -3\\ 2 & -1 & \ \ \ x\\ 6 & \ \ \ \ 2 & \ \ \ 8\end{array}\right|\) এর \((1, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(-4\) হলে \(x\) এর মান কত?
তাহলে, \(-8-2x=-4\)
\(\Rightarrow 8+2x=4\)
\(\Rightarrow 2x=4-8\)
\(\Rightarrow 2x=-4\)
\(\therefore x=-2\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(6\)
গ \(-2\)
গ \(-2\)
খ \(2\)
ঘ \(-6\)
প্রদত্ত নির্ণায়কের \((1, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=-8-2x\)ঘ \(-6\)
তাহলে, \(-8-2x=-4\)
\(\Rightarrow 8+2x=4\)
\(\Rightarrow 2x=4-8\)
\(\Rightarrow 2x=-4\)
\(\therefore x=-2\)
উত্তরঃ ( গ )
২২। \(x^2+y^2=13\) বৃত্তের \((-2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
\(x.(-2)+y.(3)-13=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y-13=0\)
\(\therefore 2x-3y+13=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2x+3y+13=0\)
গ \(2x-3y-13=0\)
গ \(2x-3y-13=0\)
খ \(2x+3y-13=0\)
ঘ \(2x-3y+13=0\)
\(x^2+y^2=13\) বৃত্তের \((-2, 3)\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঘ \(2x-3y+13=0\)
\(x.(-2)+y.(3)-13=0\)
\(\Rightarrow -2x+3y-13=0\)
\(\therefore 2x-3y+13=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x^2+3y^2-6x+4y-1=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-6y-1=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
২৩। প্রথম বৃত্তের কেন্দ্র কোনটি?\(3x^2+3y^2-6x+4y-1=0\) এবং \(x^2+y^2+4x-6y-1=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \(\left(1, \frac{2}{3}\right)\)
গ \(\left(1, -\frac{2}{3}\right)\)
গ \(\left(1, -\frac{2}{3}\right)\)
খ \(\left(-1, \frac{2}{3}\right)\)
ঘ \(\left(-1, -\frac{2}{3}\right)\)
\(3x^2+3y^2-6x+4y-1=0\)ঘ \(\left(-1, -\frac{2}{3}\right)\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x+\frac{4}{3}y-\frac{1}{3}=0\)
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=\frac{2}{3}\)
কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow \left(1, \ -\frac{2}{3}\right)\)
উত্তরঃ ( গ )
২৪। দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত?
এখানে, \(2g=4, \ 2f=-6, \ c=-1\)
\(\Rightarrow g=2, \ f=-3, \ c=-1\)
দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-3)^2+1}\)
\(=2\sqrt{9+1}\)
\(=2\sqrt{10}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(2\sqrt{3}\)
গ \(2\sqrt{8}\)
গ \(2\sqrt{8}\)
খ \(2\sqrt{5}\)
ঘ \(2\sqrt{10}\)
দ্বিতীয় বৃত্ত \(x^2+y^2+4x-6y-1=0\)ঘ \(2\sqrt{10}\)
এখানে, \(2g=4, \ 2f=-6, \ c=-1\)
\(\Rightarrow g=2, \ f=-3, \ c=-1\)
দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-3)^2+1}\)
\(=2\sqrt{9+1}\)
\(=2\sqrt{10}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২৫। \(\triangle{ABC}\)-এর \(a=5, \ b=4\) এবং \(c=3\) হলে-
\(i.\) \(A\) কোণের মান \(60^{o}\)
\(ii.\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক
\(iii.\) ত্রিভুজটি সমকোণী
নিচের কোনটি সঠিক?
\(A=\cos^{-1}{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{4^2+3^2-5^2}{2\times4\times3}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{16+9-25}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{25-25}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(0\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\cos{90^{o}}\right)}\)
\(=90^{o}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(\triangle{ABC}\)-এর \(a=5, \ b=4\) এবং \(c=3\) হলে,
\(s=\frac{a+b+c}{2}\)
\(=\frac{5+4+3}{2}\)
\(=\frac{12}{2}\)
\(=6\)
ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
\(=\sqrt{6\times1\times2\times3}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\) বর্গ একক
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\triangle{ABC}\)-এর \(a=5, \ b=4\) এবং \(c=3\) হলে,
\(b^2+c^2=4^2+3^2\)
\(=16+9\)
\(=25\)
\(=5^2\)
\(=a^2\)
\(\therefore b^2+c^2=a^2\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটি সমকোণী
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
\(i.\) \(A\) কোণের মান \(60^{o}\)
\(ii.\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(6\) বর্গ একক
\(iii.\) ত্রিভুজটি সমকোণী
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\triangle{ABC}\)-এর \(a=5, \ b=4\) এবং \(c=3\) হলে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A=\cos^{-1}{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{4^2+3^2-5^2}{2\times4\times3}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{16+9-25}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{25-25}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\frac{0}{24}\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(0\right)}\)
\(=\cos^{-1}{\left(\cos{90^{o}}\right)}\)
\(=90^{o}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
আবার,
\(\triangle{ABC}\)-এর \(a=5, \ b=4\) এবং \(c=3\) হলে,
\(s=\frac{a+b+c}{2}\)
\(=\frac{5+4+3}{2}\)
\(=\frac{12}{2}\)
\(=6\)
ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)
\(=\sqrt{6(6-5)(6-4)(6-3)}\)
\(=\sqrt{6\times1\times2\times3}\)
\(=\sqrt{36}\)
\(=6\) বর্গ একক
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার,
\(\triangle{ABC}\)-এর \(a=5, \ b=4\) এবং \(c=3\) হলে,
\(b^2+c^2=4^2+3^2\)
\(=16+9\)
\(=25\)
\(=5^2\)
\(=a^2\)
\(\therefore b^2+c^2=a^2\)
\(\therefore\) ত্রিভুজটি সমকোণী
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( গ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007