শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\frac{1-\tan^2{(45^{o}+x)}}{1+\tan^2{(45^{o}+x)}}\) এর মান কোনটি?
\(=\cos{\{2(45^{o}+x)\}}\)
\(=\cos{(90^{o}+2x)}\)
\(=-\sin{2x}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\cos{2x}\)
গ \(-\sin{2x}\)
গ \(-\sin{2x}\)
খ \(\sin{2x}\)
ঘ \(\cos{2x}\)
\(\frac{1-\tan^2{(45^{o}+x)}}{1+\tan^2{(45^{o}+x)}}\)ঘ \(\cos{2x}\)
\(=\cos{\{2(45^{o}+x)\}}\)
\(=\cos{(90^{o}+2x)}\)
\(=-\sin{2x}\)
উত্তরঃ (গ)
২। \(4x+3y=a\) রেখাটি \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করলে-
\(i.\) বৃত্তের কেন্দ্র \((2, 0)\)
\(ii.\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(4\)
\(iii.\) \(a\) এর মান \(18\) অথবা \(-2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(2g=-4, \ 2f=0, \ c=0\)
\(\therefore g=-2, \ f=0, \ c=0\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(4x+3y-a=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
ফলে, বৃত্তের কেন্দ্র হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \frac{|4\times2+3\times0-a|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|8+0-a|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|8-a|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|8-a|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |8-a|=10\)
\(\Rightarrow 8-a=\pm10\)
\(\Rightarrow 8\pm10=a\)
\(\Rightarrow a=8\pm10\)
\(\Rightarrow a=8+10, \ 8-10\)
\(\therefore a=18, \ -2\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) বৃত্তের কেন্দ্র \((2, 0)\)
\(ii.\) বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(4\)
\(iii.\) \(a\) এর মান \(18\) অথবা \(-2\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+y^2-4x=0\) সমীকরণের ক্ষেত্রে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2g=-4, \ 2f=0, \ c=0\)
\(\therefore g=-2, \ f=0, \ c=0\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+0^2-0}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(4x+3y-a=0\) রেখাটি \(x^2+y^2-4x=0\) বৃত্তকে স্পর্শ করে।
ফলে, বৃত্তের কেন্দ্র হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে।
\(\therefore \frac{|4\times2+3\times0-a|}{\sqrt{4^2+3^2}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|8+0-a|}{\sqrt{16+9}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|8-a|}{\sqrt{25}}=2\)
\(\Rightarrow \frac{|8-a|}{5}=2\)
\(\Rightarrow |8-a|=10\)
\(\Rightarrow 8-a=\pm10\)
\(\Rightarrow 8\pm10=a\)
\(\Rightarrow a=8\pm10\)
\(\Rightarrow a=8+10, \ 8-10\)
\(\therefore a=18, \ -2\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
৩। \(\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x}}}\) এর মান কোনটি?
\(=\int{\frac{1-(1-x)}{\sqrt{1-x}}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{1-x}{\sqrt{1-x}}\right)dx}\)
\(=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1-x}.\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}\right)dx}\)
\(=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\sqrt{1-x}\right)dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{(1-x)^{-\frac{1}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}\right\}dx}\)
\(=\int{(1-x)^{-\frac{1}{2}}dx}-\int{(1-x)^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\frac{(1-x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}(-1)-\frac{(1-x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}(-1)+c\) ➜ \(\because \int{(x+a)^{n}dx}=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{(1-x)^{\frac{-1+2}{2}}}{\frac{-1+2}{2}}+\frac{(1-x)^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}+c\)
\(=\frac{(1-x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-2(1-x)^{\frac{1}{2}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-2(1-x)^{\frac{1}{2}}+c\)
গ \(\frac{1}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}+c\)
গ \(\frac{1}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}+c\)
খ \(-\frac{2}{3}(\sqrt{1-x})(x+2)+c\)
ঘ \(\frac{2}{3}(\sqrt{1-x})(x+2)+c\)
\(\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x}}}\)ঘ \(\frac{2}{3}(\sqrt{1-x})(x+2)+c\)
\(=\int{\frac{1-(1-x)}{\sqrt{1-x}}dx}\)
\(=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{1-x}{\sqrt{1-x}}\right)dx}\)
\(=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1-x}.\sqrt{1-x}}{\sqrt{1-x}}\right)dx}\)
\(=\int{\left(\frac{1}{\sqrt{1-x}}-\sqrt{1-x}\right)dx}\)
\(=\int{\left\{\frac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}\right\}dx}\)
\(=\int{\left\{(1-x)^{-\frac{1}{2}}-(1-x)^{\frac{1}{2}}\right\}dx}\)
\(=\int{(1-x)^{-\frac{1}{2}}dx}-\int{(1-x)^{\frac{1}{2}}dx}\)
\(=\frac{(1-x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}(-1)-\frac{(1-x)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}(-1)+c\) ➜ \(\because \int{(x+a)^{n}dx}=\frac{(x+a)^{n+1}}{n+1}\) এবং \(c\) যোগজীকরণ ধ্রুবক।
\(=-\frac{(1-x)^{\frac{-1+2}{2}}}{\frac{-1+2}{2}}+\frac{(1-x)^{\frac{1+2}{2}}}{\frac{1+2}{2}}+c\)
\(=\frac{(1-x)^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{(1-x)^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}+c\)
\(=\frac{2}{3}(1-x)^{\frac{3}{2}}-2(1-x)^{\frac{1}{2}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
৪। \(A, \ B\) এবং \(C\) ম্যাট্রিক্সগুলোর আকার যথাক্রমে \(m\times{n}, \ n\times{m}\) এবং \(m\times{s}\) হলে,
\((A^{T}+B)C\) ম্যাট্রিক্সের আকার হবে-
\(A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{m}\)
\(B\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{m}\)
\(A^{T}+B\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{m}\)
\(C\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(m\times{s}\)
\((A^{T}+B)C\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{s}\)
উত্তরঃ (ঘ)
\((A^{T}+B)C\) ম্যাট্রিক্সের আকার হবে-
ক \(m\times{s}\)
গ \(n\times{m}\)
গ \(n\times{m}\)
খ \(s\times{n}\)
ঘ \(n\times{s}\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(m\times{n}\)ঘ \(n\times{s}\)
\(A^{T}\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{m}\)
\(B\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{m}\)
\(A^{T}+B\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{m}\)
\(C\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(m\times{s}\)
\((A^{T}+B)C\) ম্যাট্রিক্সের আকার \(n\times{s}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৫।
\(AB\) রেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(AB\) রেখার সমীকরণ \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\)
\(\Rightarrow x\cos{60^{o}}+y\sin{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
\(\therefore x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
\(AB\) রেখার সমীকরণ নিচের কোনটি?
ক \(\sqrt{3}x-y=2\sqrt{3}\)
গ \(x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
গ \(x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
খ \(\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}\)
ঘ \(x-\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
চিত্রে, দেওয়া আছে \(\alpha=60^{o}\) এবং \(p=\sqrt{3}\)ঘ \(x-\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
\(AB\) রেখার সমীকরণ \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\)
\(\Rightarrow x\cos{60^{o}}+y\sin{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
\(\therefore x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৬ ও ৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\begin{bmatrix}x+4 & 8 \\2 & x-2 \end{bmatrix}\) একটি ম্যাট্রিক্স।
৬। যদি \(A\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হয়, তবে \(x\) এর মান নিচের কোনটি? \(A=\begin{bmatrix}x+4 & 8 \\2 & x-2 \end{bmatrix}\) একটি ম্যাট্রিক্স।
ক \(-4, \ 2\)
গ \(-4, \ 6\)
গ \(-4, \ 6\)
খ \(-2, \ 4\)
ঘ \(-6, \ 4\)
\(A\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমীঘ \(-6, \ 4\)
\(\therefore |A|=0\)
\(\Rightarrow \left|\begin{array}{c}x+4 & 8 \\2 & x-2\end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow (x+4)(x-2)-16=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x-2x-8-16=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x-24=0\)
\(\Rightarrow x^2+6x-4x-24=0\)
\(\Rightarrow x(x+6)-4(x+6)=0\)
\(\Rightarrow (x+6)(x-4)=0\)
\(\Rightarrow x+6=0, \ x-4=0\)
\(\therefore x=-6, \ x=4\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সে \(x=3\) হলে, \(A^2\) নিচের কোনটি?
\(\therefore A^2=A\times{A}\)
\(=\begin{bmatrix}7 & 8 \\2 & 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}7 & 8 \\2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}7\times7+8\times2 & 7\times8+8\times1 \\2\times7+1\times2 & 2\times8+1\times1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}49+16 & 56+8 \\14+2 & 16+1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}65 & 64 \\16 & 17 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^2=\begin{bmatrix}65 & 64 \\16 & 17 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\begin{bmatrix}65 & 64 \\16 & 17 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}40 & 48 \\52 & 64 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}40 & 48 \\52 & 64 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}49 & 46 \\41 & 43 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 64 & 49 \\-2 & 4 \end{bmatrix}\)
\(x=3\) হলে, \(A=\begin{bmatrix}7 & 8 \\2 & 1 \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 64 & 49 \\-2 & 4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^2=A\times{A}\)
\(=\begin{bmatrix}7 & 8 \\2 & 1 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}7 & 8 \\2 & 1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}7\times7+8\times2 & 7\times8+8\times1 \\2\times7+1\times2 & 2\times8+1\times1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}49+16 & 56+8 \\14+2 & 16+1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}65 & 64 \\16 & 17 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A^2=\begin{bmatrix}65 & 64 \\16 & 17 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ক)
৮। \(\int_{1}^{e}{\ln{x}dx}\) এর মান নিচের কোনটি?
\(=\int_{1}^{e}{\ln{|x|}.1dx}\)
\(=\left[\ln{|x|}.x\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|x|})\int{1dx}\right\}dx}\)
\(=\left[\ln{(e)}.e-\ln{(1)}.1\right]-\int_{1}^{e}{\frac{1}{x}.xdx}\)
\(=1.e-0.1-\int_{1}^{e}{1dx}\)
\(=e-0-\left[x\right]_{1}^{e}\)
\(=e-\left[e-1\right]\)
\(=e-e+1\)
\(=1\) উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-1\)
গ \(\frac{1}{e}\)
গ \(\frac{1}{e}\)
খ \(0\)
ঘ \(1\)
\(\int_{1}^{e}{\ln{|x|}dx}\)ঘ \(1\)
\(=\int_{1}^{e}{\ln{|x|}.1dx}\)
\(=\left[\ln{|x|}.x\right]_{1}^{e}-\int_{1}^{e}{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{|x|})\int{1dx}\right\}dx}\)
\(=\left[\ln{(e)}.e-\ln{(1)}.1\right]-\int_{1}^{e}{\frac{1}{x}.xdx}\)
\(=1.e-0.1-\int_{1}^{e}{1dx}\)
\(=e-0-\left[x\right]_{1}^{e}\)
\(=e-\left[e-1\right]\)
\(=e-e+1\)
\(=1\) উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৯ ও ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x+y=3\) এবং \(x-y=3\) দুইটি রেখার সমীকরণ।
৯। রেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত? \(x+y=3\) এবং \(x-y=3\) দুইটি রেখার সমীকরণ।
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
\(x+y=3\) এবং \(x-y=3\) রেখা দুইটি পরস্পর লম্ব,ঘ \(90^{o}\)
ফলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(90^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। রেখাদ্বয় \(y\) অক্ষের সাথে যে ত্রিভুজ উৎপন্ন করে তার ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(\Rightarrow 0+y=3\)
\(\therefore y=3\)
ছেদবিন্দু \(P(0, 3)\)
\(x-y=3\) রেখা যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\Rightarrow 0-y=3\)
\(\therefore y=-3\)
ছেদবিন্দু \(Q(0, -3)\)
\(x+y=3\) এবং \(x-y=3\) রেখা দুইটি পরস্পরকে
\(R(3, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন, \(\triangle{PQR}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 & \ \ \ 0 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 0 & 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0-0)+(0+9)+(9-0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+9+9\}\)
\(=\frac{1}{2}\{18\}\)
\(=9\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (খ)
ক \(6\)
গ \(12\)
গ \(12\)
খ \(9\)
ঘ \(18\)
\(x+y=3\) রেখা যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\) ঘ \(18\)
\(\Rightarrow 0+y=3\)
\(\therefore y=3\)
ছেদবিন্দু \(P(0, 3)\)
\(x-y=3\) রেখা যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে তখন \(x=0\)
\(\Rightarrow 0-y=3\)
\(\therefore y=-3\)
ছেদবিন্দু \(Q(0, -3)\)
\(x+y=3\) এবং \(x-y=3\) রেখা দুইটি পরস্পরকে
\(R(3, 0)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
এখন, \(\triangle{PQR}=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}0 & \ \ \ 0 & 3 & 0\\ 3 & -3 & 0 & 3\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0-0)+(0+9)+(9-0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{0+9+9\}\)
\(=\frac{1}{2}\{18\}\)
\(=9\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (খ)
১১। \(x^2+y^2-4x-6y=7\) বৃত্তের \(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত?
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-6y-7=0\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-6, \ c=-7\)
\(\therefore g=-2, \ f=-3, \ c=-7\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-(-7)}\)
\(=2\sqrt{4+7}\)
\(=2\sqrt{11}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\sqrt{11}\)
গ \(11\)
গ \(11\)
খ \(\sqrt{22}\)
ঘ \(22\)
\(x^2+y^2-4x-6y=7\)ঘ \(22\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-6y-7=0\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-6, \ c=-7\)
\(\therefore g=-2, \ f=-3, \ c=-7\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-(-7)}\)
\(=2\sqrt{4+7}\)
\(=2\sqrt{11}\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \((-2, 4)\) এবং \((8, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \(2:3\) অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক কোনটি?
\(\left(\frac{2\times8-3\times-2}{2-3}, \frac{2\times-10-3\times4}{2-3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{16+6}{-1}, \frac{-20-12}{-1}\right)\)
\(\therefore (-22, 32)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \((-22, 8)\)
গ \((-22, 32)\)
গ \((-22, 32)\)
খ \((22, -8)\)
ঘ \((22, -32)\)
\((-2, 4)\) এবং \((8, -10)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \(2:3\) অনুপাতে বহির্বিভক্তকারী বিন্দুর স্থানাংক,ঘ \((22, -32)\)
\(\left(\frac{2\times8-3\times-2}{2-3}, \frac{2\times-10-3\times4}{2-3}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{16+6}{-1}, \frac{-20-12}{-1}\right)\)
\(\therefore (-22, 32)\)
উত্তরঃ (গ)
১৩। মুলবিন্দুতে \(y=\sin^{-1}{\frac{x}{3}}\) এর স্পর্শকের সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow \sin{y}=\frac{x}{3}\)
\(\Rightarrow \cos{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3\cos{y}}\)
মুলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{1}{3\cos{0}}\)
মুলবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(y-0=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}(x-0)\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=x\)
\(\Rightarrow x=3y\)
\(\therefore x-3y=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x-3y=0\)
গ \(3x+y=0\)
গ \(3x+y=0\)
খ \(x+3y=0\)
ঘ \(3x-y=0\)
\(y=\sin^{-1}{\frac{x}{3}}\)ঘ \(3x-y=0\)
\(\Rightarrow \sin{y}=\frac{x}{3}\)
\(\Rightarrow \cos{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}, \ x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{3\cos{y}}\)
মুলবিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=\frac{1}{3\cos{0}}\)
মুলবিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ, \(y-0=\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}(x-0)\)
\(\Rightarrow y=\frac{1}{3}x\)
\(\Rightarrow 3y=x\)
\(\Rightarrow x=3y\)
\(\therefore x-3y=0\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(x^y=y^x\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=?\)
\(\Rightarrow x^y\left(\frac{y}{x}\frac{dx}{dx}+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}\frac{dx}{dx}\right)\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(\Rightarrow y^x\left(\frac{y}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}\)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\ln{x}-\frac{x}{y}\right)=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\times\frac{y\ln{x}-x}{y}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\times\frac{y}{y\ln{x}-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{x(y\ln{y}-y)}{y(x\ln{y}-x)}\)
গ \(\frac{y(x\ln{y}+y)}{x(y\ln{x}+x)}\)
গ \(\frac{y(x\ln{y}+y)}{x(y\ln{x}+x)}\)
খ \(\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
ঘ \(\frac{x(y\ln{x}-y)}{y(x\ln{y}-x)}\)
\(x^y=y^x\)ঘ \(\frac{x(y\ln{x}-y)}{y(x\ln{y}-x)}\)
\(\Rightarrow x^y\left(\frac{y}{x}\frac{dx}{dx}+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}\frac{dx}{dx}\right)\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(u^v)=u^v\left(\frac{v}{u}\frac{du}{dx}+\ln{u}\frac{dv}{dx}\right)\)
\(\Rightarrow y^x\left(\frac{y}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}\right)=y^x\left(\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{y}{x}+\ln{x}\frac{dy}{dx}=\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}+\ln{y}\)
\(\Rightarrow \ln{x}\frac{dy}{dx}-\frac{x}{y}\frac{dy}{dx}=\ln{y}-\frac{y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\left(\ln{x}-\frac{x}{y}\right)=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}\times\frac{y\ln{x}-x}{y}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{x\ln{y}-y}{x}\times\frac{y}{y\ln{x}-x}\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{y(x\ln{y}-y)}{x(y\ln{x}-x)}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \((1, 2)\) বিন্দুগামী \(2x-3y-9=0\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(3x+2y=3\times1+2\times2\)
\(\Rightarrow 3x+2y=3+4\)
\(\Rightarrow 3x+2y=7\)
\(\therefore 3x+2y-7=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3x+2y+7=0\)
গ \(2x-3y+4=0\)
গ \(2x-3y+4=0\)
খ \(3x+2y-7=0\)
ঘ \(2x-3y-4=0\)
\((1, 2)\) বিন্দুগামী \(2x-3y-9=0\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ,ঘ \(2x-3y-4=0\)
\(3x+2y=3\times1+2\times2\)
\(\Rightarrow 3x+2y=3+4\)
\(\Rightarrow 3x+2y=7\)
\(\therefore 3x+2y-7=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5^{n+1}+7^{n+1}}{5^n-7^n}\] এর মান নিচের কোনটি?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5\times5^{n}+7\times7^{n}}{5^n-7^n}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5\times\frac{5^{n}}{7^{n}}+7}{\frac{5^{n}}{7^{n}}-1}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5\times\left(\frac{5}{7}\right)^{n}+7}{\left(\frac{5}{7}\right)^{n}-1}\]
\[=\frac{5\times0+7}{0-1},\] যেহেতু \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}=0\]
\[=\frac{7}{-1}\]
\[=-7\]
উত্তরঃ (ক)
ক \(-7\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(-5\)
ঘ \(7\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5^{n+1}+7^{n+1}}{5^n-7^n}\]ঘ \(7\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5\times5^{n}+7\times7^{n}}{5^n-7^n}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5\times\frac{5^{n}}{7^{n}}+7}{\frac{5^{n}}{7^{n}}-1}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{5\times\left(\frac{5}{7}\right)^{n}+7}{\left(\frac{5}{7}\right)^{n}-1}\]
\[=\frac{5\times0+7}{0-1},\] যেহেতু \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(\frac{5}{7}\right)^{n}=0\]
\[=\frac{7}{-1}\]
\[=-7\]
উত্তরঃ (ক)
১৭। \((1, 1)\) বিন্দু হতে \(2x^2+2y^2-x+3y+1=0\) বৃত্তের উপর অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
\(\Rightarrow 2\left(x^2+y^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0\)
\((1, 1)\) বিন্দু হতে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{1^2+1^2-\frac{1}{2}.1+\frac{3}{2}.1+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{1+1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2+\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{7}{2}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{\frac{1}{2}}\)
গ \(\sqrt{\frac{7}{2}}\)
গ \(\sqrt{\frac{7}{2}}\)
খ \(\sqrt{7}\)
ঘ \(\sqrt{2}\)
\(2x^2+2y^2-x+3y+1=0\)ঘ \(\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow 2\left(x^2+y^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}y+\frac{1}{2}=0\)
\((1, 1)\) বিন্দু হতে স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{1^2+1^2-\frac{1}{2}.1+\frac{3}{2}.1+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{1+1-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{2+\frac{3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{4+3}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{7}{2}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \((-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কোনটি?
এখানে, \(x=-\sqrt{2}, \ y=-\sqrt{2}\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2+2}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \ \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore r=2, \ \theta=\frac{5\pi}{4}\)
বিন্দুটির পোলার স্থানাংক \(\left(2, \frac{5\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left(2, -\frac{3\pi}{2}\right)\)
গ \(\left(2, -\frac{5\pi}{4}\right)\)
গ \(\left(2, -\frac{5\pi}{4}\right)\)
খ \(\left(2, \frac{3\pi}{2}\right)\)
ঘ \(\left(2, \frac{5\pi}{4}\right)\)
\((-\sqrt{2}, -\sqrt{2})\)ঘ \(\left(2, \frac{5\pi}{4}\right)\)
এখানে, \(x=-\sqrt{2}, \ y=-\sqrt{2}\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-\sqrt{2})^2+(-\sqrt{2})^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{2}}{-\sqrt{2}}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{2+2}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{1}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \ \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=\frac{4\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore r=2, \ \theta=\frac{5\pi}{4}\)
বিন্দুটির পোলার স্থানাংক \(\left(2, \frac{5\pi}{4}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(\begin{bmatrix}7 & 6 \\8 & 7 \end{bmatrix}\) এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স কোনটি?
\(|A|=\left|\begin{array}{c}7 & 6 \\8 & 7\end{array}\right|\)
\(=49-48\)
\(=1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\-8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\-8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\ -8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\begin{bmatrix}-7 & \ \ \ 8 \\ \ \ \ 6 & -7 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -8 \\ -6 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -8 \\ -6 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\ -8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}-7 & \ \ \ 6 \\ \ \ \ 8 & -7 \end{bmatrix}\)
ধরি, \(A=\begin{bmatrix}7 & 6 \\8 & 7 \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix}-7 & \ \ \ 6 \\ \ \ \ 8 & -7 \end{bmatrix}\)
\(|A|=\left|\begin{array}{c}7 & 6 \\8 & 7\end{array}\right|\)
\(=49-48\)
\(=1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\-8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\-8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 7 & -6 \\ -8 & \ \ \ 7 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(y=x^3-8x^2+7\) বক্ররেখার \((1, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-16x\)
\((1, 1)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 1)}=3\times1^1-16\times1\)
\(=3-16\)
\(=-13\)
\((1, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 1)}(y-1)+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow -13(y-1)+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow -13y+13+x-1=0\)
\(\therefore x-13y+12=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(13x-y+12=0\)
গ \(x+13y+12=0\)
গ \(x+13y+12=0\)
খ \(13x+y+12=0\)
ঘ \(x-13y+12=0\)
\(y=x^3-8x^2+7\)ঘ \(x-13y+12=0\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=3x^2-16x\)
\((1, 1)\) বিন্দুতে \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 1)}=3\times1^1-16\times1\)
\(=3-16\)
\(=-13\)
\((1, 1)\) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(1, 1)}(y-1)+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow -13(y-1)+(x-1)=0\)
\(\Rightarrow -13y+13+x-1=0\)
\(\therefore x-13y+12=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}, \ \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=?\)
ধরি, \(\tan{\theta}=t\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{t}\)
তাহলে, \(\tan{y}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}, \ \sin{x}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\tan{2t}, \ \sin{x}=\sin{2t}\)
\(\Rightarrow y=2t, \ x=2t\)
\(\Rightarrow y=x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(\sqrt{2}\)
ঘ \(1\)
\(\tan{y}=\frac{2t}{1-t^2}, \ \sin{x}=\frac{2t}{1+t^2}\)ঘ \(1\)
ধরি, \(\tan{\theta}=t\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{t}\)
তাহলে, \(\tan{y}=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}, \ \sin{x}=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(\Rightarrow \tan{y}=\tan{2t}, \ \sin{x}=\sin{2t}\)
\(\Rightarrow y=2t, \ x=2t\)
\(\Rightarrow y=x\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
২২। একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(3, \ 5 \ 7\) একক হলে-
\(i.\) ত্রিভুজের পরিসীমা \(15\) একক
\(ii.\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{15}{2}\sqrt{3}\) বর্গ একক
\(iii.\) ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ \(120^{o}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ত্রিভুজের পরিসীমা \(=3+5+7\)
\(=15\) একক
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(s=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{\frac{15}{2}\left(\frac{15}{2}-3\right)\left(\frac{15}{2}-5\right)\left(\frac{15}{2}-7\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{15-6}{2}\times\frac{15-10}{2}\times\frac{15-14}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{9}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{15}{4}\sqrt{3}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ \(C\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\times3\times5}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{9+25-49}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{34-49}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{-15}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore C=120^{o}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) ত্রিভুজের পরিসীমা \(15\) একক
\(ii.\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\frac{15}{2}\sqrt{3}\) বর্গ একক
\(iii.\) ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ \(120^{o}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(3, \ 5 \ 7\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ত্রিভুজের পরিসীমা \(=3+5+7\)
\(=15\) একক
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ত্রিভুজের অর্ধ পরিসীমা \(s=\frac{3+5+7}{2}=\frac{15}{2}\)
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\sqrt{\frac{15}{2}\left(\frac{15}{2}-3\right)\left(\frac{15}{2}-5\right)\left(\frac{15}{2}-7\right)}\)
\(=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{15-6}{2}\times\frac{15-10}{2}\times\frac{15-14}{2}}\)
\(=\sqrt{\frac{15}{2}\times\frac{9}{2}\times\frac{5}{2}\times\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{15}{4}\sqrt{3}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
ত্রিভুজের বৃহত্তম কোণ \(C\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\times3\times5}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{9+25-49}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{34-49}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\frac{-15}{30}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{C}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore C=120^{o}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(\int_{0}^{1}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=2\int_{0}^{1}{e^{\sqrt{x}}d(\sqrt{x})}\)
\(=2\left[e^{\sqrt{x}}\right]_{0}^{1}\)
\(=2\left[e^{\sqrt{1}}-e^{\sqrt{0}}\right]\)
\(=2\left[e^{1}-e^{0}\right]\)
\(=2(e-1)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2e^{-1}\)
গ \(\frac{2}{e}-1\)
গ \(\frac{2}{e}-1\)
খ \(2(e-1)\)
ঘ \(1-\frac{1}{e}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}\)ঘ \(1-\frac{1}{e}\)
\(=2\int_{0}^{1}{e^{\sqrt{x}}d(\sqrt{x})}\)
\(=2\left[e^{\sqrt{x}}\right]_{0}^{1}\)
\(=2\left[e^{\sqrt{1}}-e^{\sqrt{0}}\right]\)
\(=2\left[e^{1}-e^{0}\right]\)
\(=2(e-1)\)
উত্তরঃ (খ)
২৪।
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(y=x^2 ........(1)\)
\(y=x ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x^2=x\)
\(\Rightarrow x^2-x=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=1\)
\(\therefore x=0, 1\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(1\) পর্যন্ত।
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{1}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{(x^2-x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{x^2dx}-\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\left[x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{3}\left[1^3-0^3\right]-\frac{1}{2}\left[1^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[1-0\right]-\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{2-3}{6}\)
\(=\frac{-1}{6}\)
\(=-\frac{1}{6}\)
\(=\frac{1}{6}\) বর্গ একক। যেহেতু, ক্ষেত্রফল \(\ne{-ve}\)
উত্তরঃ (গ)
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ক \(\frac{5}{6}\)
গ \(\frac{1}{6}\)
গ \(\frac{1}{6}\)
খ \(\frac{1}{5}\)
ঘ \(\frac{6}{5}\)
ধরি,ঘ \(\frac{6}{5}\)
\(y=x^2 ........(1)\)
\(y=x ........(2)\)
\((1)\) ও \((2)\) নং সমীকরণ সমাধান করি।
\(x^2=x\)
\(\Rightarrow x^2-x=0\)
\(\Rightarrow x(x-1)=0\)
\(\Rightarrow x=0, x-1=0\)
\(\Rightarrow x=0, x=1\)
\(\therefore x=0, 1\)
তাহলে, \((1)\) পরাবৃত্ত ও \((2)\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রে \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(1\) পর্যন্ত।
নির্ণেয় ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{1}{(y_{1}-y_{2})dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{(x^2-x)dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{x^2dx}-\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}-\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{3}\left[x^3\right]_{0}^{1}-\frac{1}{2}\left[x^2\right]_{0}^{1}\)
\(=\frac{1}{3}\left[1^3-0^3\right]-\frac{1}{2}\left[1^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{3}\left[1-0\right]-\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{2-3}{6}\)
\(=\frac{-1}{6}\)
\(=-\frac{1}{6}\)
\(=\frac{1}{6}\) বর্গ একক। যেহেতু, ক্ষেত্রফল \(\ne{-ve}\)
উত্তরঃ (গ)
২৫। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2\cos^2{x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}.\frac{1}{\cos^2{x}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^2{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\tan{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}\) উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(2\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{1+\cos{2x}}dx}\)ঘ \(2\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2\cos^2{x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{2}.\frac{1}{\cos^2{x}}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec^2{x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{x}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\tan{\left(\frac{\pi}{4}\right)}-\tan{0}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[1-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}\) উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000008