উচ্চতর গণিত প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি-2022

শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]

১। \((8, -10)\) বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে বৃত্তের ব্যাস কত একক?

ক \(8\)

গ \(16\)

খ \(10\)

ঘ \(20\)

\((8, -10)\) বিন্দুতে কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্ত \(x\) অক্ষকে স্পর্শ কর,
তাহলে, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান।
ব্যাসার্ধ \(=10\)
ব্যাস \(=10\times2\)
\(=20\) একক
উত্তর ঃ (ঘ)

২। \(x^2+y^2-10x-12y+20=0\) বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য কত একক?

ক \(2\sqrt{5}\)

গ \(8\)

খ \(6\sqrt{5}\)

ঘ \(4\sqrt{14}\)

\(x^2+y^2-10x-12y+20=0\)
এখানে, \(2g=-10, \ 2f=-12, \ c=20\)
\(\Rightarrow g=-5, \ f=-6, \ c=20\)
\(y\) অক্ষের খন্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-6)^2-20}\)
\(=2\sqrt{36-20}\)
\(=2\sqrt{16}\)
\(=2\times4\)
\(=8\) একক
উত্তর ঃ (গ)

নিচের তথ্যের আলোকে ৩ ও ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2-12x+8y+c=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে।

৩। \(c\) এর মান কত?

ক \(-6\)

গ \(16\)

খ \(4\)

ঘ \(36\)

\(x^2+y^2-12x+8y+c=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
এখানে, \(2g=-12, \ 2f=8\)
\(\Rightarrow g=-6, \ f=4\)
কেন্দ্র \((-g, -f) \Rightarrow (6, -4)\)
ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-6)^2+4^2-c}\)
\(=\sqrt{36+16-c}\)
\(=\sqrt{52-c}\)
বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে,
ফলে, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান।
\(\therefore -4=\sqrt{52-c}\)
\(\Rightarrow 16=52-c\)
\(\Rightarrow c=52-16\)
\(\therefore c=36\)
উত্তর ঃ (ঘ)

৪। স্পর্শ বিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

ক \((0, -4)\)

গ \((6, 0)\)

খ \((0, 4)\)

ঘ \((-6, 0)\)

\(x^2+y^2-12x+8y+36=0\) বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে।
তাহলে, স্পর্শ বিন্দুতে \(y=0\)
এখন, \(x^2+0^2-12x+8\times0+36=0\)
\(\Rightarrow x^2-12x+36=0\)
\(\Rightarrow (x-6)^2=0\)
\(\Rightarrow x-6=0\)
\(\therefore x=6\)
স্পর্শ বিন্দু \((6, 0)\)
উত্তর ঃ (গ)

৫। \(\frac{\sin{(45^{o}+A)}+\sin{(45^{o}-A)}}{\cos{(45^{o}-A)}-\cos{(45^{o}+A)}}=\) কত?

ক \(\cot{A}\)

গ \(1\)

খ \(-1\)

ঘ \(\tan{A}\)

\(\frac{\sin{(45^{o}+A)}+\sin{(45^{o}-A)}}{\cos{(45^{o}-A)}-\cos{(45^{o}+A)}}\)
\(=\frac{2\sin{45^{o}}\cos{A}}{2\sin{45^{o}}\sin{A}}\)
\(=\frac{\cos{A}}{\sin{A}}\)
\(=\cot{A}\)
উত্তর ঃ (ক)

৬। \(A+B=\frac{\pi}{2}\) হলে, \(\cos^2{A}-\cos^2{B}=\) কত?

ক \(\sin{(A-B)}\)

গ \(\cos{(A-B)}\)

খ \(\sin{(B-A)}\)

ঘ \(0\)

\(A+B=\frac{\pi}{2}\)
এখন, \(\cos^2{A}-\cos^2{B}\)
\(=(\cos{A}+\cos{B})(\cos{A}-\cos{B})\)
\(=2\cos{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A-B}{2}}\times2\sin{\frac{A+B}{2}}\sin{\frac{B-A}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{A+B}{2}}\cos{\frac{A+B}{2}}\times2\sin{\frac{B-A}{2}}\cos{\frac{B-A}{2}}\)
\(=\sin{(A+B)}\sin{(B-A)}\)
\(=\sin{\frac{\pi}{2}}\sin{(B-A)}\)
\(=1.\sin{(B-A)}\)
\(=\sin{(B-A)}\)
উত্তর ঃ (খ)

৭। ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\cos{4A}=\frac{1-\tan^2{2A}}{1+\tan^2{2A}}\)
\(ii.\) \(\sin{6A}=2\sin{3A}\cos{3A}\)
\(iii.\) \(\tan{8\alpha}=\frac{2\tan^2{4\alpha}}{1-\tan^2{4\alpha}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?

ক \(i.\) ও \(ii.\)

গ \(ii.\) ও \(iii.\)

খ \(i.\) ও \(iii.\)

ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)

ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে,
\(\cos{4A}\)
\(=\cos{2.2A}\)
\(=\frac{1-\tan^2{2A}}{1+\tan^2{2A}}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\sin{6A}\)
\(=\sin{2.3A}\)
\(=2\sin{3A}\cos{3A}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\tan{8\alpha}\)
\(=\tan{2.4\alpha}\)
\(=\frac{2\tan^2{4\alpha}}{1-\tan^2{4\alpha}}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)

৮। \(\frac{d}{dx}\left(\cos{\frac{x}{5}}\right)=\) কত?

ক \(-\sin{\frac{x}{5}}\)

গ \(-\frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}\)

খ \(\sin{\frac{x}{5}}\)

ঘ \(\frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}\)

\(\frac{d}{dx}\left(\cos{\frac{x}{5}}\right)\)
\(=-\sin{\frac{x}{5}}\times\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{5}\right)\)
\(=-\sin{\frac{x}{5}}\times\frac{1}{5}\)
\(=-\frac{1}{5}\sin{\frac{x}{5}}\)
উত্তর ঃ (গ)

৯। \(\int{e^{10x}\left[10\ln{|x|}+\frac{1}{x}\right]dx}=\) কত?

ক \(e^{10x}\ln{|x|}+c\)

গ \(10e^{x}\ln{|x|}+c\)

খ \(e^{10x}.10\ln{|x|}+c\)

ঘ \(\frac{1}{10}e^{10x}\ln{|x|}+c\)

\(\int{e^{10x}\left[10\ln{|x|}+\frac{1}{x}\right]dx}\)
\(=\int{10\ln{|x|}e^{10x}dx}+\int{e^{10x}\frac{1}{x}dx}\)
\(=\int{10\ln{|x|}e^{10x}dx}+e^{10x}\int{\frac{1}{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(e^{10x})\int{\frac{1}{x}dx}\right\}dx}\)
\(=\int{10\ln{|x|}e^{10x}dx}+e^{10x}\ln{|x|}-\int{\left\{e^{10x}\times10\ln{|x|}\right\}dx}\)
\(=\int{10\ln{|x|}e^{10x}dx}+e^{10x}\ln{|x|}-\int{10\ln{|x|}e^{10x}dx}\)
\(=e^{10x}\ln{|x|}+c\)
উত্তর ঃ (ক)

১০। \(\int{10^{5x}dx}=\) কত?

ক \(\frac{10^{5x}}{\ln{10}}+c\)

গ \(5.10^{5x}\ln{10}+c\)

খ \(\frac{10^{5x}}{5\ln{10}}+c\)

ঘ \(10^{5x}\ln{10}+c\)

\(\int{10^{5x}dx}\)
\(=\frac{10^{5x}}{\frac{d}{dx}(5x)\ln{10}}+c\) যেহেতু \(\int{a^{x}dx}=\frac{a^{x}}{\ln{a}}+c\)
\(=\frac{10^{5x}}{5\ln{10}}+c\)
উত্তর ঃ (খ)

১১। \(\int{x^{-9}dx}=\) কত?

ক \(-9x^{-8}+c\)

গ \(-\frac{1}{10}x^{-10}+c\)

খ \(-9x^{-10}+c\)

ঘ \(-\frac{x^{-8}}{8}+c\)

\(\int{x^{-9}dx}\)
\(=\frac{x^{-9+1}}{-9+1}+c\)
\(=\frac{x^{-8}}{-8}+c\)
\(=-\frac{x^{-8}}{8}+c\)
উত্তর ঃ (ঘ)

১২। \(y=\frac{2}{3x}\) হলে, \(y_{3}=\) কত?

ক \(-\frac{4}{x^4}\)

গ \(4x^4\)

খ \(\frac{4}{x^4}\)

ঘ \(-4x^4\)

\(y=\frac{2}{3x}\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{2}{3}\times-\frac{1}{x^2}\)
\(=-\frac{2}{3}x^{-2}\)
\(\Rightarrow y_{2}=-\frac{2}{3}\times-2\times x^{-2-1}\)
\(=\frac{4}{3}x^{-3}\)
\(\Rightarrow y_{3}=\frac{4}{3}\times-3\times x^{-3-1}\)
\(=-4x^{-4}\)
\(=-\frac{4}{x^4}\)
\(\therefore y_{3}=-\frac{4}{x^4}\)
উত্তর ঃ (ক)

১৩। \(\int{\frac{1}{\sqrt{18-2x^2}}dx}=\) কত?

ক \(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin^{-1}{\frac{x}{3}}+c\)

গ \(\frac{1}{6\sqrt{2}}\ln{\left|\frac{3+x}{3-x}\right|}+c\)

খ \(\frac{1}{3\sqrt{2}}\tan^{-1}{\frac{x}{3}}+c\)

ঘ \(\frac{1}{6\sqrt{2}}\ln{\left|\frac{x-3}{x+3}\right|}+c\)

\(\int{\frac{1}{\sqrt{18-2x^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{1}{\sqrt{9-x^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\int{\frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}}dx}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin^{-1}{\frac{x}{3}}+c\)
উত্তর ঃ (ক)

১৪। \(A=\begin{bmatrix}8 & -5 \\7 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\) হলে, \(adj{A}=\) কোনটি?

ক \(\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & \ \ \ 5 \\-7 & -8 \end{bmatrix}\)

গ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 8 & 7 \\-5 & 2 \end{bmatrix}\)

খ \(\begin{bmatrix}-5 & 2 \\-7 & 8 \end{bmatrix}\)

ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & 5 \\-7 & 8 \end{bmatrix}\)

\(A=\begin{bmatrix}8 & -5 \\7 & \ \ \ 2 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow adj{A}=\begin{bmatrix}2 & -7 \\5 & \ \ \ 8 \end{bmatrix}^{T}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 2 & 5 \\-7 & 8 \end{bmatrix}\)
উত্তর ঃ (ঘ)

১৫। \(\left|\begin{array}{c}2 & 3 & 5\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 4\end{array}\right|\) নির্ণায়কটির \((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণক কোনটি?

ক \(-18\)

গ \(12\)

খ \(-12\)

ঘ \(18\)

\(\left|\begin{array}{c}2 & 3 & 5\\ 5 & 0 & 1\\ 2 & 0 & 4\end{array}\right|\)
\((1, 2)\) তম ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+2}\left|\begin{array}{c}5 & 1\\ 2 & 4\end{array}\right|\)
\(=(-1)^{3}(20-2)\)
\(=-18\)
উত্তর ঃ (ক)

১৬। \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}7 \\8 \\ 9 \end{bmatrix}\) হলে, \(AB\) এর ক্রম কত?

ক \(2\times1\)

গ \(3\times1\)

খ \(1\times2\)

ঘ \(2\times3\)

\(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\4 & 5 & 6 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}7 \\8 \\ 9 \end{bmatrix}\)
প্রথম \((A)\) ম্যাটিক্সের সারি সংখ্যা \(2\)
দ্বিতীয় \((B)\) ম্যাটিক্সের কলাম সংখ্যা \(1\)
\(AB\) এর ক্রম \(2\times1\)
উত্তর ঃ (ক)

১৭। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}=\] কত?

ক \(-1\)

গ \(1\)

খ \(0\)

ঘ \(\frac{1}{2}\)

\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^{2x}-1}{2x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+......-1}{2x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x+\frac{(2x)^2}{2!}+\frac{(2x)^3}{3!}+......}{2x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2x\left(1+\frac{2x}{2!}+\frac{(2x)^2}{3!}+......\right)}{2x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{2x}{2!}+\frac{(2x)^2}{3!}+......\right)\]
\[=1+\frac{0}{2!}+\frac{0}{3!}+......\]
\[=1\]
উত্তর ঃ (গ)

১৮। \(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 5 & -6\\ 2 & 4 & \ \ \ 6 \end{bmatrix}\) হলে, \(Det(A)\) এর মান কত?

ক \(-48\)

গ \(48\)

খ \(0\)

ঘ \(60\)

\(A=\begin{bmatrix}1 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 5 & -6\\ 2 & 4 & \ \ \ 6 \end{bmatrix}\)
এখানে, \(Det(A)=\left|\begin{array}{c}1 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 5 & -6\\ 2 & 4 & \ \ \ 6\end{array}\right|\)
\(=2\left|\begin{array}{c}1 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 5 & -6\\ 1 & 2 & \ \ \ 3\end{array}\right|\)
\(=2\times0\) যেহেতু \(\left|\begin{array}{c}1 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 5 & -6\\ 1 & 2 & \ \ \ 3\end{array}\right|=0\)
\(=0\)
উত্তর ঃ (খ)

১৯। \(y=\sqrt{\sec{2x}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) কোনটি?

ক \(y\tan{2x}\)

গ \(\frac{\tan{2x}}{2}\)

খ \(2\tan{2x}\)

ঘ \(y\cot{2x}\)

\(y=\sqrt{\sec{2x}}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}(\sqrt{\sec{2x}})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sec{2x}}}\times\frac{d}{dx}(\sec{2x})\)
\(=\frac{1}{2\sqrt{\sec{2x}}}\times\sec{2x}\tan{2x}\times2\)
\(=\sqrt{\sec{2x}}\tan{2x}\)
\(=y\tan{2x}\) যেহেতু \(\sqrt{\sec{2x}}=y\)
উত্তর ঃ (ক)

২০। \((-4, 4\sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কোনটি?

ক \(\left(4\sqrt{2}, \frac{\pi}{3}\right)\)

গ \(\left(8, \frac{2\pi}{3}\right)\)

খ \(\left(4\sqrt{2}, -\frac{\pi}{3}\right)\)

ঘ \(\left(8, \frac{4\pi}{3}\right)\)

\((-4, 4\sqrt{3})\)
এখানে, \(x=-4, \ y=4\sqrt{3}\)
আমরা জানি, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-4)^2+(4\sqrt{3})^2}\)
\(=\sqrt{16+48}\)
\(=\sqrt{64}\)
\(=8\)
\(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{4\sqrt{3}}{-4}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
পোলার স্থানাংক \(\left(8, \frac{2\pi}{3}\right)\)
উত্তর ঃ (গ)

২১। \(4x-8y+23=0\) রেখার ঢাল কত?

ক \(-\frac{1}{2}\)

গ \(-2\)

খ \(\frac{1}{2}\)

ঘ \(2\)

\(4x-8y+23=0\)
রেখার ঢাল \(=-\frac{4}{-8}\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তর ঃ (খ)

২২। \(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ কোনটি?

ক \(4x-3y=0\)

গ \(3x+4y=0\)

খ \(4x+3y=0\)

ঘ \(3x-4y=0\)

\(3x-4y+5=0\) রেখার উপর লম্ব এবং মূলবিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,
\(4x+3y=4\times0+3\times0\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) রেখার উপর লম্ব এবং \((x_{1}, y_{1})\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, \(bx-ay=b\times{x_{1}}-a\times{y_{1}}\)
\(\Rightarrow 4x+3y=0+0\)
\(\therefore 4x+3y=0\)
উত্তর ঃ (খ)

২৩। যে সরলরেখা \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে এবং মূলবিন্দু দিয়ে যায় তার সমীকরণ কোনটি?

ক \(x=\sqrt{3}y\)

গ \(y+\sqrt{3}x=0\)

খ \(y=\sqrt{3}x\)

ঘ \(\sqrt{3}y+x=0\)

যে সরলরেখা \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে তার ঢাল \(=\tan{60^{o}}=\sqrt{3}\)
মূলবিন্দুগামী এবং \(\sqrt{3}\) ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,
\(y-0=\sqrt{3}(x-0)\)
\(\therefore y=\sqrt{3}x\)
উত্তর ঃ (খ)

২৪। \(3x+\sqrt{3}y-10=0\) রেখাটি \(x\) অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে?

ক \(\frac{\pi}{3}\)

গ \(\frac{\pi}{6}\)

খ \(\frac{2\pi}{3}\)

ঘ \(\frac{5\pi}{6}\)

\(3x+\sqrt{3}y-10=0\)
রেখার ঢাল \(\tan{\theta}=-\frac{3}{\sqrt{3}}\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(=-\tan{\frac{\pi}{3}}\)
\(=\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তর ঃ (খ)

২৫। \((3, 1)\) বিন্দু হতে \(2x^2+2y^2=18\) বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত একক?

ক \(1\)

গ \(\sqrt{19}\)

খ \(\sqrt{2}\)

ঘ \(\sqrt{38}\)

\(2x^2+2y^2=18\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)=18\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=9\)
\(\therefore x^2+y^2-9=0\)
\((3, 1)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2-9=0\) বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য,
\(=\sqrt{3^2+1^2-9}\)
\(=\sqrt{9+1-9}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (ক)

Post List

Multiple Choise

Ctagory