শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\sin{65^{o}}+\cos{65^{o}}=?\)
\(=\sin{65^{o}}+\cos{(90^{o}-25^{o})}\)
\(=\sin{65^{o}}+\sin{25^{o}}\)
\(=2\sin{\frac{65^{o}+25^{o}}{2}}\cos{\frac{65^{o}-25^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{40^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{45^{o}}\cos{20^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{20^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{20^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos{40^{o}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{40^{o}}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{40^{o}}\)
খ \(\frac{1}{2}\sin{20^{o}}\)
ঘ \(\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
\(\sin{65^{o}}+\cos{65^{o}}\)ঘ \(\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
\(=\sin{65^{o}}+\cos{(90^{o}-25^{o})}\)
\(=\sin{65^{o}}+\sin{25^{o}}\)
\(=2\sin{\frac{65^{o}+25^{o}}{2}}\cos{\frac{65^{o}-25^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{\frac{90^{o}}{2}}\cos{\frac{40^{o}}{2}}\)
\(=2\sin{45^{o}}\cos{20^{o}}\)
\(=2\times\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{20^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\cos{20^{o}}\)
\(=\sqrt{2}\cos{20^{o}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(\tan{\frac{\alpha}{2}}=7\) হলে, \(4\sin{\alpha}-3\cos{\alpha}=?\)
\(\tan{\frac{\alpha}{2}}=7\)
প্রদত্ত রাশি \(=4\sin{\alpha}-3\cos{\alpha}\)
\(=4\times\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}-3\times\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=4\times\frac{2\times7}{1+7^2}-3\times\frac{1-7^2}{1+7^2}\)
\(=4\times\frac{14}{1+49}-3\times\frac{1-49}{1+49}\)
\(=\frac{56}{50}-3\times\frac{-48}{50}\)
\(=\frac{56}{50}+\frac{144}{50}\)
\(=\frac{56+144}{50}\)
\(=\frac{200}{50}\)
\(=4\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(5\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(4\)
ঘ \(6\)
দেওয়া আছে,ঘ \(6\)
\(\tan{\frac{\alpha}{2}}=7\)
প্রদত্ত রাশি \(=4\sin{\alpha}-3\cos{\alpha}\)
\(=4\times\frac{2\tan{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}-3\times\frac{1-\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}{1+\tan^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=4\times\frac{2\times7}{1+7^2}-3\times\frac{1-7^2}{1+7^2}\)
\(=4\times\frac{14}{1+49}-3\times\frac{1-49}{1+49}\)
\(=\frac{56}{50}-3\times\frac{-48}{50}\)
\(=\frac{56}{50}+\frac{144}{50}\)
\(=\frac{56+144}{50}\)
\(=\frac{200}{50}\)
\(=4\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(x\) এর সাপেক্ষে \(e^{\sin^2{x}}\) এর অন্তরজ কোনটি?
\(=\frac{d}{dx}\left(e^{\sin^2{x}}\right)\)
\(=e^{\sin^2{x}}\frac{d}{dx}(\sin^2{x})\)
\(=e^{\sin^2{x}}\times2\sin{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\)
\(=e^{\sin^2{x}}\times2\sin{x}\cos{x}\)
\(=e^{\sin^2{x}}\sin{2x}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(e^{\sin^2{x}}\sin{2x}\)
গ \(-e^{\sin^2{x}}\sin{2x}\)
গ \(-e^{\sin^2{x}}\sin{2x}\)
খ \(2e^{\sin^2{x}}\sin{x}\)
ঘ \(e^{\sin^2{x}}\)
\(e^{\sin^2{x}}\) এর অন্তরজ,ঘ \(e^{\sin^2{x}}\)
\(=\frac{d}{dx}\left(e^{\sin^2{x}}\right)\)
\(=e^{\sin^2{x}}\frac{d}{dx}(\sin^2{x})\)
\(=e^{\sin^2{x}}\times2\sin{x}\frac{d}{dx}(\sin{x})\)
\(=e^{\sin^2{x}}\times2\sin{x}\cos{x}\)
\(=e^{\sin^2{x}}\sin{2x}\)
উত্তরঃ (ক)
৪। \(y=ax(1-x)\) বক্ররেখাটির মূলবিন্দুতে ঢাল কত?
\(\Rightarrow y=ax-ax^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=a-2ax\)
মূলবিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=a-2a.0\)
\(=a-0\)
\(=a\)
মূলবিন্দুতে ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=a\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-a\)
গ \(a-2ax\)
গ \(a-2ax\)
খ \(a\)
ঘ \(a+2ax\)
\(y=ax(1-x)\)ঘ \(a+2ax\)
\(\Rightarrow y=ax-ax^2\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=a-2ax\)
মূলবিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}=a-2a.0\)
\(=a-0\)
\(=a\)
মূলবিন্দুতে ঢাল \(\left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0, 0)}=a\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \(\frac{d}{dx}(\log_{10}x)\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{d}{dx}(\log_{10}e\times\log_{e}x)\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_{10}e\times\ln{x})\)
\(=\log_{10}e\frac{d}{dx}(\ln{x})\)
\(=\log_{10}e\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x}\log_{10}e\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{x}\)
গ \(\frac{1}{x}\log_{e}10\)
গ \(\frac{1}{x}\log_{e}10\)
খ \(\frac{1}{x}\log_{10}e\)
ঘ \(\log_{10}e\)
\(\frac{d}{dx}(\log_{10}x)\)ঘ \(\log_{10}e\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_{10}e\times\log_{e}x)\)
\(=\frac{d}{dx}(\log_{10}e\times\ln{x})\)
\(=\log_{10}e\frac{d}{dx}(\ln{x})\)
\(=\log_{10}e\times\frac{1}{x}\)
\(=\frac{1}{x}\log_{10}e\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}=?\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.....-1}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.....}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+.....\right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+.....\right)\]
\[=\frac{1}{1!}+0+0+.....\]
\[=\frac{1}{1}\]
\[=1\]
উত্তরঃ (গ)
ক \(0\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\infty\)
ঘ \(-1\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{e^x-1}{x}\]ঘ \(-1\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.....-1}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+.....}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{x\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+.....\right)}{x}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{1!}+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}+.....\right)\]
\[=\frac{1}{1!}+0+0+.....\]
\[=\frac{1}{1}\]
\[=1\]
উত্তরঃ (গ)
৭। \(I=\int_{1}^{e}{\frac{dx}{x(1+\ln{x})}}\) হলে, \(I\) এর মান কত?
\(=\int_{1}^{e}{\frac{dx}{x(1+\ln{x})}}\)
\(=\int_{1}^{e}{\frac{d(1+\ln{x})}{1+\ln{x}}}\)
\(=[\ln{(1+\ln{x})}]_{1}^{e}\)
\(=\ln{(1+\ln{e})}-\ln{(1+\ln{1})}\)
\(=\ln{(1+1)}-\ln{(1+0)}\)
\(=\ln{2}-\ln{1}\)
\(=\ln{2}-0\)
\(=\ln{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(e\)
গ \(\ln{e}-1\)
গ \(\ln{e}-1\)
খ \(e+1\)
ঘ \(\ln{2}\)
\(I=\int_{1}^{e}{\frac{dx}{x(1+\ln{x})}}\)ঘ \(\ln{2}\)
\(=\int_{1}^{e}{\frac{dx}{x(1+\ln{x})}}\)
\(=\int_{1}^{e}{\frac{d(1+\ln{x})}{1+\ln{x}}}\)
\(=[\ln{(1+\ln{x})}]_{1}^{e}\)
\(=\ln{(1+\ln{e})}-\ln{(1+\ln{1})}\)
\(=\ln{(1+1)}-\ln{(1+0)}\)
\(=\ln{2}-\ln{1}\)
\(=\ln{2}-0\)
\(=\ln{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(f(x)=4x\) হলে-
\(i.\) \(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\frac{1}{4}\ln{x}+c\)
\(ii.\) \(\int{e^{f(x)}dx}=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{2}{f(x)dx}=8\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\int{\frac{dx}{4x}}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{dx}{x}}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{x}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{e^{f(x)}dx}\)
\(=\int{e^{4x}dx}\)
\(=\frac{e^{4x}}{\frac{d}{dx}(4x)}+c\)
\(=\frac{e^{4x}}{4}+c\)
\(=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{2}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{2}{4xdx}\)
\(=4\int_{0}^{2}{xdx}\)
\(=4\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}\)
\(=2\left[x^2\right]_{0}^{2}\)
\(=2\left[2^2-0^2\right]\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\frac{1}{4}\ln{x}+c\)
\(ii.\) \(\int{e^{f(x)}dx}=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{2}{f(x)dx}=8\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\int{\frac{dx}{f(x)}}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=\int{\frac{dx}{4x}}\)
\(=\frac{1}{4}\int{\frac{dx}{x}}\)
\(=\frac{1}{4}\ln{x}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{e^{f(x)}dx}\)
\(=\int{e^{4x}dx}\)
\(=\frac{e^{4x}}{\frac{d}{dx}(4x)}+c\)
\(=\frac{e^{4x}}{4}+c\)
\(=\frac{1}{4}e^{4x}+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{2}{f(x)dx}\)
\(=\int_{0}^{2}{4xdx}\)
\(=4\int_{0}^{2}{xdx}\)
\(=4\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{2}\)
\(=2\left[x^2\right]_{0}^{2}\)
\(=2\left[2^2-0^2\right]\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(-\int_{2}^{1}{\ln{x}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=-[x\ln{x}-x]_{2}^{1}\)
\(=-[(1\ln{1}-1)-(2\ln{2}-2)]\)
\(=-[0-1-2\ln{2}+2]\)
\(=-[1-2\ln{2}]\)
\(=2\ln{2}-1\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\ln{2}-1\)
গ \(2\ln{2}\)
গ \(2\ln{2}\)
খ \(2\ln{2}+1\)
ঘ \(\ln{2}\)
\(-\int_{2}^{1}{\ln{x}dx}\)ঘ \(\ln{2}\)
\(=-[x\ln{x}-x]_{2}^{1}\)
\(=-[(1\ln{1}-1)-(2\ln{2}-2)]\)
\(=-[0-1-2\ln{2}+2]\)
\(=-[1-2\ln{2}]\)
\(=2\ln{2}-1\)
উত্তরঃ (ক)
১০। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec{\theta}d\theta}=?\)
\(=[\ln{|\sec{\theta}+\tan{\theta}|}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\ln{|\sec{\frac{\pi}{4}}+\tan{\frac{\pi}{4}}|}-\ln{|\sec{0}+\tan{0}|}\)
\(=\ln{|\sqrt{2}+1|}-\ln{|1+0|}\)
\(=\ln{(\sqrt{2}+1)}-\ln{1}\)
\(=\ln{(\sqrt{2}+1)}-0\)
\(=\ln{(\sqrt{2}+1)}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{2}\ln{2}\)
গ \(\ln{(\sqrt{2}+1)}\)
গ \(\ln{(\sqrt{2}+1)}\)
খ \(\frac{1}{2}\ln{(\sqrt{2}+1)}\)
ঘ \(\ln{(\sqrt{2}-1)}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\sec{\theta}d\theta}\) ঘ \(\ln{(\sqrt{2}-1)}\)
\(=[\ln{|\sec{\theta}+\tan{\theta}|}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\ln{|\sec{\frac{\pi}{4}}+\tan{\frac{\pi}{4}}|}-\ln{|\sec{0}+\tan{0}|}\)
\(=\ln{|\sqrt{2}+1|}-\ln{|1+0|}\)
\(=\ln{(\sqrt{2}+1)}-\ln{1}\)
\(=\ln{(\sqrt{2}+1)}-0\)
\(=\ln{(\sqrt{2}+1)}\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(A, \ B\) ও \(C\) ম্যাট্রিক্সগুলোর মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) ও \(7\times4\) হলে, \((B+A^T).C^T\) ম্যাট্রিক্সের মাত্রা কত?
\(B+A^{T}\) এর মাত্রা \(3\times4\)
এখন, \((3\times4).(7\times4)\) গুণফলের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3\times4\)
গ \(4\times3\)
গ \(4\times3\)
খ \(3\times7\)
ঘ \(4\times7\)
দেওয়া আছে, \(A, \ B\) এবং \(C\) ম্যাটিক্সগুলির মাত্রা যথাক্রমে \(4\times3, \ 3\times4\) এবং \(7\times4\)ঘ \(4\times7\)
\(B+A^{T}\) এর মাত্রা \(3\times4\)
এখন, \((3\times4).(7\times4)\) গুণফলের মাত্রা \(3\times7\)
উত্তরঃ (খ)
১২। \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\5 & -3 \end{bmatrix}\) হলে, \(A^{-1} ?\)
\(|A|=\left|\begin{array}{c}2 & -1 \\5 & -3\end{array}\right|\)
\(=-6+5\)
\(=-1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}-3 & -5 \\ \ \ \ 1 & \ \ \ 2\end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -5 & 2\end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{|A|}\)
\(=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -5 & 2\end{bmatrix}\)
\(=-\begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -5 & 2\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3 & -1 \\ 5 & -2\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\begin{bmatrix}2 & -1 \\5 & -3 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}3 & -1 \\ 5 & -2\end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}3 & -1 \\ 5 & -2\end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}-3 & -1 \\-5 & -2 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & 1 \\-5 & 2 \end{bmatrix}\)
ধরি, \(A=\begin{bmatrix}2 & -1 \\5 & -3 \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & 1 \\-5 & 2 \end{bmatrix}\)
\(|A|=\left|\begin{array}{c}2 & -1 \\5 & -3\end{array}\right|\)
\(=-6+5\)
\(=-1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix}-3 & -5 \\ \ \ \ 1 & \ \ \ 2\end{bmatrix}^T\)
\(=\begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -5 & 2\end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{adj(A)}{|A|}\)
\(=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -5 & 2\end{bmatrix}\)
\(=-\begin{bmatrix}-3 & 1 \\ -5 & 2\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}3 & -1 \\ 5 & -2\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
১৩। \(\begin{bmatrix}a-3 & -1 \\-8 & a+4 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, \(a=?\)
তাহলে, \(\left|\begin{array}{c}a-3 & -1 \\-8 & a+4 \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow (a-3)(a+4)-8=0\)
\(\Rightarrow a^2-3a+4a-12-8=0\)
\(\Rightarrow a^2+a-20=0\)
\(\Rightarrow a^2+5a-4a-20=0\)
\(\Rightarrow a(a+5)-4(a+5)=0\)
\(\Rightarrow (a+5)(a-4)=0\)
\(\Rightarrow a+5=0, \ a-4=0\)
\(\Rightarrow a=-5, \ a=4\)
\(\therefore a=4, \ -5\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(4, \ -5\)
গ \(-4, \ -5\)
গ \(-4, \ -5\)
খ \(-4, \ 5\)
ঘ \(4, \ 5\)
\(\begin{bmatrix}a-3 & -1 \\-8 & a+4 \end{bmatrix}\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্সঘ \(4, \ 5\)
তাহলে, \(\left|\begin{array}{c}a-3 & -1 \\-8 & a+4 \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow (a-3)(a+4)-8=0\)
\(\Rightarrow a^2-3a+4a-12-8=0\)
\(\Rightarrow a^2+a-20=0\)
\(\Rightarrow a^2+5a-4a-20=0\)
\(\Rightarrow a(a+5)-4(a+5)=0\)
\(\Rightarrow (a+5)(a-4)=0\)
\(\Rightarrow a+5=0, \ a-4=0\)
\(\Rightarrow a=-5, \ a=4\)
\(\therefore a=4, \ -5\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2+6x+7}{3x^2-4x+3}\] এর মান-
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2\left(2+\frac{6}{x}+\frac{7}{x^2}\right)}{x^2\left(3-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2+\frac{6}{x}+\frac{7}{x^2}}{3-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}\]
\[=\frac{2+0+0}{3-0+0}\]
\[=\frac{2}{3}\]
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{5}{6}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(-\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{5}\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2+6x+7}{3x^2-4x+3}\]ঘ \(\frac{3}{5}\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2\left(2+\frac{6}{x}+\frac{7}{x^2}\right)}{x^2\left(3-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2+\frac{6}{x}+\frac{7}{x^2}}{3-\frac{4}{x}+\frac{3}{x^2}}\]
\[=\frac{2+0+0}{3-0+0}\]
\[=\frac{2}{3}\]
উত্তরঃ (গ)
১৫। \((1, 150^{o})\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক নিচের কোনটি?
এখানে, \(r=1, \ \theta=150^{o}\)
আমরা জানি, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=1\cos{150^{o}}, \ y=1\sin{150^{o}}\)
\(\Rightarrow x=\cos{(180^{o}-30^{o})}, \ y=\sin{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow x=-\cos{30^{o}}, \ y=\sin{30^{o}}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \ y=\frac{1}{2}\)
বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
খ \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
\((1, 150^{o})\)ঘ \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}\right)\)
এখানে, \(r=1, \ \theta=150^{o}\)
আমরা জানি, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=1\cos{150^{o}}, \ y=1\sin{150^{o}}\)
\(\Rightarrow x=\cos{(180^{o}-30^{o})}, \ y=\sin{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow x=-\cos{30^{o}}, \ y=\sin{30^{o}}\)
\(\Rightarrow x=-\frac{\sqrt{3}}{2}, \ y=\frac{1}{2}\)
বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাংক \(\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৬ ও ১৭ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৬। \(AB\) এর ঢাল কত?
ক \(-\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{3}{4}\)
গ \(-\frac{3}{4}\)
খ \(\frac{3}{4}\)
ঘ \(-\frac{4}{3}\)
চিত্রে, দেওয়া আছে, \(A(-6, 0), \ B(0, -3)\)ঘ \(-\frac{4}{3}\)
\(AB\) এর ঢাল \(=\frac{0+3}{-6-0}\)
\(=\frac{3}{-6}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
১৭। মূলবিন্দু থেকে \(AB\) এর লম্বদূরত্ব কত?
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x+6}{-6-0}=\frac{y-0}{0+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+6}{-6}=\frac{y}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+6}{-2}=y\)
\(\Rightarrow x+6=-2y\)
\(\therefore x+2y+6=0\)
মূলবিন্দু থেকে \(AB\) এর লম্বদূরত্ব \(=\frac{|0+2.0+6|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(4\) একক
গ \(\frac{6}{\sqrt{5}}\) একক
গ \(\frac{6}{\sqrt{5}}\) একক
খ \(3\) একক
ঘ \(\frac{12}{25}\) একক
চিত্রে, দেওয়া আছে, \(A(-6, 0), \ B(0, -3)\)ঘ \(\frac{12}{25}\) একক
\(AB\) এর সমীকরণ \(\frac{x+6}{-6-0}=\frac{y-0}{0+3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+6}{-6}=\frac{y}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{x+6}{-2}=y\)
\(\Rightarrow x+6=-2y\)
\(\therefore x+2y+6=0\)
মূলবিন্দু থেকে \(AB\) এর লম্বদূরত্ব \(=\frac{|0+2.0+6|}{\sqrt{1^2+2^2}}\)
\(=\frac{|6|}{\sqrt{1+4}}\)
\(=\frac{6}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(x+y-2=0\) রেখাটির-
\(i.\) সমান্তরাল রেখা \(2x+2y+3=0\)
\(ii.\) মূলবিন্দু হতে লম্বদূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক
\(iii.\) উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(2\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
১ম রেখার ঢাল \(=-\frac{1}{1}=-1\)
২য় রেখার ঢাল \(=-\frac{2}{2}=-1\)
\(\therefore \) অক্ষদ্বয় সমান্তরাল
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
মূলবিন্দু হতে লম্বদূরত্ব \(=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=\frac{|-2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(x+y-2=0\)
\(\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\)
\(\therefore\) উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times2\times2\)
\(=2\) বর্গ একক
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) সমান্তরাল রেখা \(2x+2y+3=0\)
\(ii.\) মূলবিন্দু হতে লম্বদূরত্ব \(\sqrt{2}\) একক
\(iii.\) উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(2\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x+y-2=0\) এবং \(2x+2y+3=0\) রেখাদ্বয়ের ক্ষেত্রে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
১ম রেখার ঢাল \(=-\frac{1}{1}=-1\)
২য় রেখার ঢাল \(=-\frac{2}{2}=-1\)
\(\therefore \) অক্ষদ্বয় সমান্তরাল
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
মূলবিন্দু হতে লম্বদূরত্ব \(=\frac{|0+0-2|}{\sqrt{1^2+1^2}}\)
\(=\frac{|-2|}{\sqrt{1+1}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(x+y-2=0\)
\(\Rightarrow x+y=2\)
\(\Rightarrow \frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1\)
\(\therefore\) উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\times2\times2\)
\(=2\) বর্গ একক
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(4y=3(x-4)\) ও \(4y=3(x-1)\) রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
\(\Rightarrow 4y=3x-12\) ও \(4y=3x-3\)
\(\Rightarrow 3x-12=4y\) ও \(3x-3=4y\)
\(\Rightarrow 3x-4y-12=0\) ও \(3x-4y-3=0\)
রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|-12+3|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{|-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{9}{5}\) একক
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{9}{4}\) একক
গ \(\frac{9}{5}\) একক
গ \(\frac{9}{5}\) একক
খ \(\frac{15}{9}\) একক
ঘ কোনটিই নয়
\(4y=3(x-4)\) ও \(4y=3(x-1)\)ঘ কোনটিই নয়
\(\Rightarrow 4y=3x-12\) ও \(4y=3x-3\)
\(\Rightarrow 3x-12=4y\) ও \(3x-3=4y\)
\(\Rightarrow 3x-4y-12=0\) ও \(3x-4y-3=0\)
রেখা দুইটির মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{|-12+3|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{|-9|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{9}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{9}{5}\) একক
উত্তরঃ (গ)
২০। \(x^2+y^2=9\) এবং \(x^2+y^2+6x+8y+c=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ করলে \(c\) এর মান কত?
১ম বৃত্তের কেন্দ্র \(C_{1}(0 ,0),\) ব্যসার্ধ \(r_{1}=3\)
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রে, \(2g=6, \ 2f=8\)
\(\Rightarrow g=3, \ f=4\)
২য় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_{2}(-3 ,-4),\) ব্যসার্ধ \(r_{2}=\sqrt{3^2+4^2-c}\)=\(\sqrt{25-c}\)
শর্তমতে, \(C_{1}C_{2}=r_{1}+r_{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(0+3)^2+(0+4)^2}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{9+16}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 5=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 5-3=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 2=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 2^2=25-c\)
\(\Rightarrow 4=25-c\)
\(\Rightarrow c=25-4\)
\(\therefore c=21\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-39\)
গ \(39\)
গ \(39\)
খ \(-21\)
ঘ \(21\)
\(x^2+y^2=9\) এবং \(x^2+y^2+6x+8y+c=0\) বৃত্ত দুইটি পরস্পরকে বহিঃস্থভাবে স্পর্শ কর,ঘ \(21\)
১ম বৃত্তের কেন্দ্র \(C_{1}(0 ,0),\) ব্যসার্ধ \(r_{1}=3\)
২য় বৃত্তের ক্ষেত্রে, \(2g=6, \ 2f=8\)
\(\Rightarrow g=3, \ f=4\)
২য় বৃত্তের কেন্দ্র \(C_{2}(-3 ,-4),\) ব্যসার্ধ \(r_{2}=\sqrt{3^2+4^2-c}\)=\(\sqrt{25-c}\)
শর্তমতে, \(C_{1}C_{2}=r_{1}+r_{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(0+3)^2+(0+4)^2}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{9+16}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow \sqrt{25}=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 5=3+\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 5-3=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 2=\sqrt{25-c}\)
\(\Rightarrow 2^2=25-c\)
\(\Rightarrow 4=25-c\)
\(\Rightarrow c=25-4\)
\(\therefore c=21\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তটি-
\(i.\) মূলবিন্দুগামী
\(ii.\) \(x\) অক্ষ থেকে \(4\) একক অংশ খন্ডন করে
\(iii.\) \(y\) অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে
নিচের কোনটি সঠিক?
মূলবিন্দুগামী কারণ, এখানে, \(c=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2+y^2-4x-6y=0\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-6, \ c=0\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-3, \ c=0\)
\(x\) অক্ষ থেকে খন্ডিত অংশ \(=2\sqrt{(-2)^2-c}\)
\(=2\sqrt{4-0}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times2\)
\(=4\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তটি যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে \(x=0\)
\(\Rightarrow 0^2+y^2-4.0-6y=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y=0\)
\(\Rightarrow y(y-6)=0\)
\(\Rightarrow y-6=0\)
\(\Rightarrow y=6\)
\(\therefore y\) অক্ষকে \((0, 6)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) মূলবিন্দুগামী
\(ii.\) \(x\) অক্ষ থেকে \(4\) একক অংশ খন্ডন করে
\(iii.\) \(y\) অক্ষকে \((0, -6)\) বিন্দুতে ছেদ করে
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তটিঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
মূলবিন্দুগামী কারণ, এখানে, \(c=0\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2+y^2-4x-6y=0\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-6, \ c=0\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-3, \ c=0\)
\(x\) অক্ষ থেকে খন্ডিত অংশ \(=2\sqrt{(-2)^2-c}\)
\(=2\sqrt{4-0}\)
\(=2\sqrt{4}\)
\(=2\times2\)
\(=4\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2+y^2-4x-6y=0\) বৃত্তটি যখন \(y\) অক্ষকে ছেদ করে \(x=0\)
\(\Rightarrow 0^2+y^2-4.0-6y=0\)
\(\Rightarrow y^2-6y=0\)
\(\Rightarrow y(y-6)=0\)
\(\Rightarrow y-6=0\)
\(\Rightarrow y=6\)
\(\therefore y\) অক্ষকে \((0, 6)\) বিন্দুতে ছেদ করে
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ২২ ও ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
২২। দ্বিতীয় বৃত্ত দ্বারা \(x\) অক্ষের ছেদিত অংশের দৈর্ঘ্য কত?\(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\) দুইটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \(2\sqrt{2}\) একক
গ \(\sqrt{2}\) একক
গ \(\sqrt{2}\) একক
খ \(\sqrt{13}\) একক
ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) একক
\(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\)ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\) একক
\(\Rightarrow 3(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-2x-3y-1=0\)
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=-3, \ c=-1\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=-\frac{3}{2}, \ c=-1\)
\(x\) অক্ষ থেকে খন্ডিত অংশ \(=2\sqrt{(-1)^2-(-1)}\)
\(=2\sqrt{1+1}\)
\(=2\sqrt{2}\) একক
উত্তরঃ (ক)
২৩। বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(x^2+y^2-2x-3y-1=0\)
বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2-3x-4y+5-(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5-x^2-y^2+2x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow -x-y+6=0\)
\(\Rightarrow -(x+y-6)=0\)
\(\therefore x+y-6=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x-y-6=0\)
গ \(x+y-6=0\)
গ \(x+y-6=0\)
খ \(x+y+6=0\)
ঘ \(x-y+6=0\)
\(x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^2+3y^2-6x-9y-3=0\)ঘ \(x-y+6=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(3(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5=0\) এবং \(x^2+y^2-2x-3y-1=0\)
বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(x^2+y^2-3x-4y+5-(x^2+y^2-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-3x-4y+5-x^2-y^2+2x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow -x-y+6=0\)
\(\Rightarrow -(x+y-6)=0\)
\(\therefore x+y-6=0\)
উত্তরঃ (গ)
২৪। \(\triangle{ABC}\) এর পরিব্যাসার্ধ \(10\) একক। যদি \(c=10\sqrt{3}\) একক হয়, \(C\) কোণের মান নিচের কোনটি?
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{10\sqrt{3}}{\sin{C}}=2\times10\)
\(\Rightarrow \frac{10\sqrt{3}}{\sin{C}}=20\)
\(\Rightarrow 20\sin{C}=10\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{10\sqrt{3}}{20}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{60^{o}}\)
\(\therefore C=60^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(60^{o}\)
গ \(30^{o}\)
গ \(30^{o}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
\(\triangle{ABC}\) এর পরিব্যাসার্ধ \(R=10\) একক।ঘ \(90^{o}\)
ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে, \(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\Rightarrow \frac{10\sqrt{3}}{\sin{C}}=2\times10\)
\(\Rightarrow \frac{10\sqrt{3}}{\sin{C}}=20\)
\(\Rightarrow 20\sin{C}=10\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{10\sqrt{3}}{20}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{C}=\sin{60^{o}}\)
\(\therefore C=60^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(\tan{\theta}=\sqrt{3}\) হলে-
\(i.\) \(\sin{2\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(ii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(iii.\) \(\tan{2\theta}=-\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\sin{2\theta}\)
\(=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3})^2}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1+3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2\theta}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-(\sqrt{3})^2}{1+(\sqrt{3})^2}\)
\(=\frac{1-3}{1+3}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\tan{2\theta}\)
\(=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3})^2}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{-2}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(\sin{2\theta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(ii.\) \(\cos{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(iii.\) \(\tan{2\theta}=-\sqrt{3}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\tan{\theta}=\sqrt{3}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\sin{2\theta}\)
\(=\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{3}}{1+(\sqrt{3})^2}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1+3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{4}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos{2\theta}\)
\(=\frac{1-\tan^2{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{1-(\sqrt{3})^2}{1+(\sqrt{3})^2}\)
\(=\frac{1-3}{1+3}\)
\(=\frac{-2}{4}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\tan{2\theta}\)
\(=\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
\(=\frac{2\times\sqrt{3}}{1-(\sqrt{3})^2}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{1-3}\)
\(=\frac{2\sqrt{3}}{-2}\)
\(=-\sqrt{3}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000009