শিক্ষা বোর্ড ময়মনসিংহ - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(3x^2+4y^2=12\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব কত?
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=\sqrt{3} \Rightarrow a\gt{b}\)
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=\left|2ae\right|\)
\(=\left|2\times2\times\frac{1}{2}\right|\)
\(=|2|\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\sqrt{3}\)
ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(3x^2+4y^2=12\)ঘ \(\frac{2}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{3x^2}{12}+\frac{4y^2}{12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=2, \ b=\sqrt{3} \Rightarrow a\gt{b}\)
\(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের দূরত্ব \(=\left|2ae\right|\)
\(=\left|2\times2\times\frac{1}{2}\right|\)
\(=|2|\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ক)
২। \(x+y+k=0\) রেখাটি \(y^2=2x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(k\) এর মান কত?
\(y^2=2x\)
এখানে, \(4a=2\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
আবার, \(x+y+k=0 \Rightarrow y=-x-k\)
এখানে, \(m=-1, \ c=-k\)
শর্তমতে, \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow -k=\frac{\frac{1}{2}}{-1}\)
\(\Rightarrow -k=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore k=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
গ \(-\frac{1}{2}\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(-2\)
\(x+y+k=0\) রেখাটি \(y^2=2x\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করে।ঘ \(-2\)
\(y^2=2x\)
এখানে, \(4a=2\)
\(\Rightarrow a=\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=\frac{1}{2}\)
আবার, \(x+y+k=0 \Rightarrow y=-x-k\)
এখানে, \(m=-1, \ c=-k\)
শর্তমতে, \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow -k=\frac{\frac{1}{2}}{-1}\)
\(\Rightarrow -k=-\frac{1}{2}\)
\(\therefore k=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(\frac{(y+2)^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1\) অধিবৃত্তের-
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((-2, 0)\)
\(ii.\) আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{(y+2)^2}{4}-\frac{(x-0)^2}{5}=1\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((0, -2)\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
এখানে, \(a^2=5, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, \ b=2\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|=|2\times2|=|4|=4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times5}{2}\right|\)
\(=|5|=5\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((-2, 0)\)
\(ii.\) আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(4\)
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(5\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{(y+2)^2}{4}-\frac{x^2}{5}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{(y+2)^2}{4}-\frac{(x-0)^2}{5}=1\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((0, -2)\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
এখানে, \(a^2=5, \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=\sqrt{5}, \ b=2\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2b|=|2\times2|=|4|=4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times5}{2}\right|\)
\(=|5|=5\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (গ)
৪। \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\) অধিবৃত্তের অসীমতটের সমীকরণ কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=4\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm\frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(y=\pm\frac{4}{3}x\)
গ \(y=\pm\frac{5}{4}x\)
গ \(y=\pm\frac{5}{4}x\)
খ \(x=\pm\frac{4}{3}y\)
ঘ \(x=\pm\frac{5}{4}y\)
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1\)ঘ \(x=\pm\frac{5}{4}y\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{3^2}-\frac{y^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=4\)
অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\therefore y=\pm\frac{4}{3}x\)
উত্তরঃ (ক)
৫। \(\tan{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\) এর মান কত?
এখানে, ভূমি \(=1,\) অতিভুজ \(=\sqrt{3}\)
লম্ব \(=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}\)
\(=\sqrt{3-1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এখন, \(\tan{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{1}}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(\sqrt{2}\)
গ \(\sqrt{2}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(2\)
\(\tan{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)ঘ \(2\)
এখানে, ভূমি \(=1,\) অতিভুজ \(=\sqrt{3}\)
লম্ব \(=\sqrt{(\sqrt{3})^2-1^2}\)
\(=\sqrt{3-1}\)
\(=\sqrt{2}\)
এখন, \(\tan{\left(\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{1}}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{2}}{1}\)
\(=\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৬। \(\cot^{-1}{2}-\cot^{-1}{5}\) এর মান কোনটি?
\(=\cot^{-1}{\frac{2\times5+1}{5-2}}\)
\(=\cot^{-1}{\frac{10+1}{3}}\)
\(=\cot^{-1}{\frac{11}{3}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\cot^{-1}{3}\)
গ \(\cot^{-1}{\frac{11}{7}}\)
গ \(\cot^{-1}{\frac{11}{7}}\)
খ \(\cot^{-1}{\frac{11}{3}}\)
ঘ \(\cot^{-1}{\frac{9}{3}}\)
\(\cot^{-1}{2}-\cot^{-1}{5}\)ঘ \(\cot^{-1}{\frac{9}{3}}\)
\(=\cot^{-1}{\frac{2\times5+1}{5-2}}\)
\(=\cot^{-1}{\frac{10+1}{3}}\)
\(=\cot^{-1}{\frac{11}{3}}\)
উত্তরঃ (খ)
৭। \(n\) একটি পূর্ণসংখ্যা হলে, \(2\cos{2\theta}-1=0\) সমীকরণের সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{2\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi\pm\frac{\pi}{3\times2}\)
\(\therefore \theta=n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
খ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
\(2\cos{2\theta}-1=0\)ঘ \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow 2\cos{2\theta}=1\)
\(\Rightarrow \cos{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{2\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi\pm\frac{\pi}{3\times2}\)
\(\therefore \theta=n\pi\pm\frac{\pi}{6}\)
উত্তরঃ (গ)
৮। অবান্তর মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে-
\(i.\) সিদ্ধ করে না
\(ii.\) বর্গ করলে পাওয়া যায়
\(iii.\) বর্গমূল করলে পাওয়া যায়
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
বর্গ করলে পাওয়া যায়
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
বর্গমূল করলে পাওয়া যায়
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (গ)
\(i.\) সিদ্ধ করে না
\(ii.\) বর্গ করলে পাওয়া যায়
\(iii.\) বর্গমূল করলে পাওয়া যায়
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
অবান্তর মূল ত্রিকোণমিতিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে না,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
বর্গ করলে পাওয়া যায়
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
বর্গমূল করলে পাওয়া যায়
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (গ)
৯। \(6N\) ও \(8N\) বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ কত হলে, লব্ধি \(2\sqrt{13}N\) হবে?
\(\Rightarrow 6^2+8^2+2.6.8\cos{\alpha}=(2\sqrt{13})^2\)
\(\Rightarrow 36+64+96\cos{\alpha}=52\)
\(\Rightarrow 100+96\cos{\alpha}=52\)
\(\Rightarrow 96\cos{\alpha}=52-100\)
\(\Rightarrow 96\cos{\alpha}=-48\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{48}{96}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(30^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
ধরি, \(6N\) ও \(8N\) বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)ঘ \(120^{o}\)
\(\Rightarrow 6^2+8^2+2.6.8\cos{\alpha}=(2\sqrt{13})^2\)
\(\Rightarrow 36+64+96\cos{\alpha}=52\)
\(\Rightarrow 100+96\cos{\alpha}=52\)
\(\Rightarrow 96\cos{\alpha}=52-100\)
\(\Rightarrow 96\cos{\alpha}=-48\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{48}{96}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থকলে যে কোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের-
\(i.\) সমান
\(ii.\) সমান্তরাল
\(iii.\) বিপরীতমূখী
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
সমান্তরাল
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
বিপরীতমূখী
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) সমান
\(ii.\) সমান্তরাল
\(iii.\) বিপরীতমূখী
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত তিনটি বল সাম্যাবস্থায় থকলে যে কোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমানঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
সমান্তরাল
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
বিপরীতমূখী
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (খ)
১১। \(T_{1}, \ T_{2}\) ও \(5N\) বলত্রয় ভারসাম্যে রাখা হলে, \(T_{1}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\sin{(T_{2}^\wedge{5})}}=\frac{T_{2}}{\sin{(T_{1}^\wedge{5})}}=\frac{5}{\sin{(T_{1}^\wedge{T_{2}})}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\sin{(90^{o}+60^{o})}}=\frac{T_{2}}{\sin{(90^{o})}}=\frac{5}{\sin{(180^{o}-60^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\cos{60^{o}}}=\frac{T_{2}}{1}=\frac{5}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\cos{60^{o}}}=\frac{5}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow 2T_{1}=\frac{5\times2}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore T_{1}=\frac{5}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{5}{\sqrt{3}}\)
গ \(5\sqrt{3}\)
গ \(5\sqrt{3}\)
খ \(\frac{20}{\sqrt{3}}\)
ঘ \(20\sqrt{3}\)
\(T_{1}, \ T_{2}\) ও \(5N\) বলত্রয় ভারসাম্যে আছেঘ \(20\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\sin{(T_{2}^\wedge{5})}}=\frac{T_{2}}{\sin{(T_{1}^\wedge{5})}}=\frac{5}{\sin{(T_{1}^\wedge{T_{2}})}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\sin{(90^{o}+60^{o})}}=\frac{T_{2}}{\sin{(90^{o})}}=\frac{5}{\sin{(180^{o}-60^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\cos{60^{o}}}=\frac{T_{2}}{1}=\frac{5}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\cos{60^{o}}}=\frac{5}{\sin{60^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{T_{1}}{\frac{1}{2}}=\frac{5}{\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(\Rightarrow 2T_{1}=\frac{5\times2}{\sqrt{3}}\)
\(\therefore T_{1}=\frac{5}{\sqrt{3}}\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(45N\) ও \(15N\) বিসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।
\(AC=5m\) হলে, \(AB=\) কত?
\(C\) বিন্দুতে লব্ধি \(=(45-15)N=30N\)
\(\Rightarrow AC.45=BC.15\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{15}{45}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{1}{3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AB=10\)
\(\therefore AB=10m\)
উত্তরঃ (খ)
\(AC=5m\) হলে, \(AB=\) কত?
ক \(5m\)
গ \(15m\)
গ \(15m\)
খ \(10m\)
ঘ \(20m\)
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(45N\) ও \(15N\) বিসদৃশ সমান্তরাল বলের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।ঘ \(20m\)
\(C\) বিন্দুতে লব্ধি \(=(45-15)N=30N\)
\(\Rightarrow AC.45=BC.15\) \(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{15}{45}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{1}{3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{5}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AB=10\)
\(\therefore AB=10m\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। এক ব্যক্তি \(450\) মিটার চওড়া একটি স্রোতহীন নদী সাঁতার দিয়ে ঠিক সোজাসুজিভাবে \(15\) মিনিটে পার হলে, সাঁতারুর বেগ কত কি.মি./ঘন্টা?
সাঁতারুর বেগ \(=\frac{450}{15}\) মি./মিনিট
\(=\frac{\frac{450}{1000}}{\frac{15}{60}}\) কি.মি./ঘন্টা
\(=\frac{450}{1000}\times\frac{60}{15}\)
\(=\frac{9}{5}\) কি.মি./ঘন্টা
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(\frac{9}{5}\)
ঘ \(\frac{9}{2}\)
এক ব্যক্তি \(450\) মিটার চওড়া একটি স্রোতহীন নদী সাঁতার দিয়ে ঠিক সোজাসুজিভাবে \(15\) মিনিটে পার হয়।ঘ \(\frac{9}{2}\)
সাঁতারুর বেগ \(=\frac{450}{15}\) মি./মিনিট
\(=\frac{\frac{450}{1000}}{\frac{15}{60}}\) কি.মি./ঘন্টা
\(=\frac{450}{1000}\times\frac{60}{15}\)
\(=\frac{9}{5}\) কি.মি./ঘন্টা
উত্তরঃ (খ)
১৪। এক বস্তু উপর থেকে মুক্তভাবে \(5\) সেকেন্ডে পড়ল। বস্তুটি শেষের \(3\) সেকেন্ডে কত ফুট পড়েছিল?
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ত্বরণ \(g=32\) ফুট/বর্গ সেকেন্ডে
\(5\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=\frac{1}{2}gt^2\) ফুট
\(=\frac{1}{2}\times32\times5^2\) ফুট
\(=16\times25\) ফুট
\(=400\) ফুট
প্রথম \(2\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=\frac{1}{2}\times32\times2^2\) ফুট
\(=16\times4\) ফুট
\(=64\) ফুট
শেষ \(3\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=400-64\) ফুট
\(=336\) ফুট
উত্তরঃ (ক)
ক \(336\)
গ \(192\)
গ \(192\)
খ \(256\)
ঘ \(128\)
এক বস্তু উপর থেকে মুক্তভাবে \(5\) সেকেন্ডে পড়ল।ঘ \(128\)
মুক্তভাবে পড়ন্ত বস্তুর ত্বরণ \(g=32\) ফুট/বর্গ সেকেন্ডে
\(5\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=\frac{1}{2}gt^2\) ফুট
\(=\frac{1}{2}\times32\times5^2\) ফুট
\(=16\times25\) ফুট
\(=400\) ফুট
প্রথম \(2\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=\frac{1}{2}\times32\times2^2\) ফুট
\(=16\times4\) ফুট
\(=64\) ফুট
শেষ \(3\) সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(=400-64\) ফুট
\(=336\) ফুট
উত্তরঃ (ক)
১৫। ভূমি হতে \(3\) মিটার/সেকেন্ড আদিবেগে একটি বস্তু উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে বস্তুটি সর্বাধিক কত মিটার উপরে উঠবে।
খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2}{2g}\) মিটার।
\(=\frac{3^2}{2g}\) মিটার।
\(=\frac{9}{2g}\) মিটার।
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{6}{g}\)
গ \(\frac{9}{2g}\)
গ \(\frac{9}{2g}\)
খ \(\frac{3}{g}\)
ঘ \(\frac{9}{g}\)
ভূমি হতে \(3\) মিটার/সেকেন্ড আদিবেগে একটি বস্তু উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করলেঘ \(\frac{9}{g}\)
খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত বস্তুর সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2}{2g}\) মিটার।
\(=\frac{3^2}{2g}\) মিটার।
\(=\frac{9}{2g}\) মিটার।
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তু প্রক্ষিপ্ত হলে-
\(i.\) বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(ii.\) বৃহত্তম পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(iii.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
বৃহত্তম পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(ii.\) বৃহত্তম পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(iii.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তু প্রক্ষিপ্ত হলেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
বৃহত্তম পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য ।
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। \(i^{-64}\) এর মান কত?
\(=\frac{1}{(i^2)^{32}.i}\)
\(=\frac{1}{(-1)^{32}.i}\)
\(=\frac{1}{1.i}\)
\(=\frac{1}{i}\)
\(=\frac{i}{i^2}\)
\(=\frac{i}{-1}\)
\(=-i\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-1\)
গ \(-i\)
গ \(-i\)
খ \(1\)
ঘ \(i\)
\(i^{-64}\)ঘ \(i\)
\(=\frac{1}{(i^2)^{32}.i}\)
\(=\frac{1}{(-1)^{32}.i}\)
\(=\frac{1}{1.i}\)
\(=\frac{1}{i}\)
\(=\frac{i}{i^2}\)
\(=\frac{i}{-1}\)
\(=-i\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(-3-\sqrt{3}i\) জটিল সংখ্যাটির আর্গুমেন্ট কত?
\(x=-3, \ y=-\sqrt{3}\) উভয়ে ঋণাত্মক।
আর্গুমেন্ট \(=-\pi+\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{6}}}\)
\(=\frac{-6\pi+\pi}{6}\)
\(=-\frac{5\pi}{6}\)
\(=2\pi-\frac{5\pi}{6}\) ধনাত্মক মান গ্রহণের ক্ষেত্রে।
\(=\frac{12\pi-5\pi}{6}\)
\(=\frac{7\pi}{6}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{4\pi}{3}\)
গ \(\frac{4\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{7\pi}{6}\)
\(-3-\sqrt{3}i\) জটিল সংখ্যাটির ক্ষেত্রে,ঘ \(\frac{7\pi}{6}\)
\(x=-3, \ y=-\sqrt{3}\) উভয়ে ঋণাত্মক।
আর্গুমেন্ট \(=-\pi+\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}.\sqrt{3}}}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(=-\pi+\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{6}}}\)
\(=\frac{-6\pi+\pi}{6}\)
\(=-\frac{5\pi}{6}\)
\(=2\pi-\frac{5\pi}{6}\) ধনাত্মক মান গ্রহণের ক্ষেত্রে।
\(=\frac{12\pi-5\pi}{6}\)
\(=\frac{7\pi}{6}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(z=x+iy\) হলে-
\(i.\) \(|z|=|\overline{z}|\)
\(ii.\) \(z.\overline{z}=|z|^2\)
\(iii.\) \(arg(\overline{z})=arg(z)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(|z|=|\overline{z}|\)
\(\Rightarrow |x+iy|=|\overline{x+iy}|\)
\(\Rightarrow |x+iy|=|x-iy|\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(-y)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(z.\overline{z}=|z|^2\)
\(\Rightarrow (x+iy)\overline{x+iy}=|x+iy|^2\)
\(\Rightarrow (x+iy)(x-iy)=|x+iy|^2\)
\(\Rightarrow \{x^2-(-iy)^2\}=|x+iy|^2\)
\(\Rightarrow (x^2-i^2y^2)=\{\sqrt{x^2+y^2}\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2)=(x^2+y^2)\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(arg(\overline{z})=arg(z)\)
\(\Rightarrow arg(\overline{x+iy})=arg(x+iy)\)
\(\Rightarrow arg(x-iy)=arg(x+iy)\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{-y}{x}}=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow -\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\ne\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(|z|=|\overline{z}|\)
\(ii.\) \(z.\overline{z}=|z|^2\)
\(iii.\) \(arg(\overline{z})=arg(z)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=x+iy\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(|z|=|\overline{z}|\)
\(\Rightarrow |x+iy|=|\overline{x+iy}|\)
\(\Rightarrow |x+iy|=|x-iy|\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+(-y)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(z.\overline{z}=|z|^2\)
\(\Rightarrow (x+iy)\overline{x+iy}=|x+iy|^2\)
\(\Rightarrow (x+iy)(x-iy)=|x+iy|^2\)
\(\Rightarrow \{x^2-(-iy)^2\}=|x+iy|^2\)
\(\Rightarrow (x^2-i^2y^2)=\{\sqrt{x^2+y^2}\}^2\)
\(\Rightarrow (x^2+y^2)=(x^2+y^2)\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(arg(\overline{z})=arg(z)\)
\(\Rightarrow arg(\overline{x+iy})=arg(x+iy)\)
\(\Rightarrow arg(x-iy)=arg(x+iy)\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{-y}{x}}=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow -\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\ne\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২০। \(x=1+\sqrt{2}i\) হলে, \(2x^3-3x^2+4x+1\) এর মান কত?
\(\Rightarrow x-1=\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=(\sqrt{2}i)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=2i^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=-2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+2=0\)
\(\therefore x^2-2x+3=0\)
প্রদত্ত রাশি \(=2x^3-3x^2+4x+1\)
\(=2x^3-4x^2+6x+x^2-2x+3-2\)
\(=2x(x^2-2x+3)+1(x^2-2x+3)-2\)
\(=2x(0)+1(0)-2\)
\(=0+0-2\)
\(=-2\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(2\)
ঘ \(-2\)
\(x=1+\sqrt{2}i\)ঘ \(-2\)
\(\Rightarrow x-1=\sqrt{2}i\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=(\sqrt{2}i)^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=2i^2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=-2\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+2=0\)
\(\therefore x^2-2x+3=0\)
প্রদত্ত রাশি \(=2x^3-3x^2+4x+1\)
\(=2x^3-4x^2+6x+x^2-2x+3-2\)
\(=2x(x^2-2x+3)+1(x^2-2x+3)-2\)
\(=2x(0)+1(0)-2\)
\(=0+0-2\)
\(=-2\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(x^2+x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\sum{\alpha^2}\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{1}{1}\) এবং \(\alpha\beta=\frac{1}{1}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-1 .....(1)\) এবং \(\alpha\beta=1 .....(2)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sum{\alpha^2}\)
\(=\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=(-1)^2-2\times1\)
\(=1-2\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-3\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(-1\)
ঘ \(1\)
\(x^2+x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)ঘ \(1\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{1}{1}\) এবং \(\alpha\beta=\frac{1}{1}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-1 .....(1)\) এবং \(\alpha\beta=1 .....(2)\)
প্রদত্ত রাশি \(=\sum{\alpha^2}\)
\(=\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=(-1)^2-2\times1\)
\(=1-2\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
২২। দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\) হলে, অপর মূল কোনটি?
অপর মূলটি হবে \(=\frac{1}{-\sqrt{2}+1}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{(-\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}-1)}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{(-\sqrt{2})^2-(-1)^2}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{2-1}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{1}\)
\(=-\sqrt{2}-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{2}+1\)
গ \(\sqrt{2}-1\)
গ \(\sqrt{2}-1\)
খ \(-\sqrt{2}-1\)
ঘ \(-\sqrt{2}+1\)
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{\sqrt{2}+1}\)ঘ \(-\sqrt{2}+1\)
অপর মূলটি হবে \(=\frac{1}{-\sqrt{2}+1}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{(-\sqrt{2}+1)(-\sqrt{2}-1)}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{(-\sqrt{2})^2-(-1)^2}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{2-1}\)
\(=\frac{-\sqrt{2}-1}{1}\)
\(=-\sqrt{2}-1\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(2x-x^2+k=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
২৩। সমীকরণটির একটি উৎপাদক \((x+3)\) হলে, \(k\) এর মান কত?\(2x-x^2+k=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ।
ক \(-15\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(-3\)
ঘ \(15\)
\(2x-x^2+k=0\) এর একটি উৎপাদক \((x+3)\)ঘ \(15\)
ধরি, \(x+3=0\)
\(\therefore x=-3\)
\(x\) এর এই মান সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে,
\(\Rightarrow 2(-3)-(-3)^2+k=0\)
\(\Rightarrow -6-9+k=0\)
\(\Rightarrow -15+k=0\)
\(\therefore k=15\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব হলে-
\(\Rightarrow -(x^2-2x-k)=0\)
\(\therefore x^2-2x-k=0\)
এখানে, \(a=1, \ b=-2, \ c=-k\)
সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব হবে যদি, \(D\ge{0}\) হয়।
\(\Rightarrow b^2-4ac\ge{0}\)
\(\Rightarrow (-2)^2-4.1(-k)\ge{0}\)
\(\Rightarrow 4+4k\ge{0}\)
\(\Rightarrow 4k\ge{-4}\)
\(\Rightarrow k\ge{-\frac{4}{4}}\)
\(\therefore k\ge{-1}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(k\le{-1}\)
গ \(k\lt{-1}\)
গ \(k\lt{-1}\)
খ \(k\ge{-1}\)
ঘ \(k\gt{-1}\)
\(2x-x^2+k=0\) ঘ \(k\gt{-1}\)
\(\Rightarrow -(x^2-2x-k)=0\)
\(\therefore x^2-2x-k=0\)
এখানে, \(a=1, \ b=-2, \ c=-k\)
সমীকরণটির মূলদ্বয় বাস্তব হবে যদি, \(D\ge{0}\) হয়।
\(\Rightarrow b^2-4ac\ge{0}\)
\(\Rightarrow (-2)^2-4.1(-k)\ge{0}\)
\(\Rightarrow 4+4k\ge{0}\)
\(\Rightarrow 4k\ge{-4}\)
\(\Rightarrow k\ge{-\frac{4}{4}}\)
\(\therefore k\ge{-1}\)
উত্তরঃ (খ)
২৫। \(x^2=2y\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
ফলে, উৎকেন্দ্রিকতা হবে \(1\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(0\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(2\)
\(x^2=2y\) ইহা একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ,ঘ \(2\)
ফলে, উৎকেন্দ্রিকতা হবে \(1\)
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004