শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(i^7+i^9+i^{11}+i^{13}\) এর মান কত?
\(=(i^2)^3.i+(i^2)^4.i+(i^2)^5.i+(i^2)^6.i\)
\(=(-1)^3.i+(-1)^4.i+(-1)^5.i+(-1)^6.i\)
\(=-i+i-i+i\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-1\)
গ \(-i\)
গ \(-i\)
খ \(1\)
ঘ \(0\)
\(i^7+i^9+i^{11}+i^{13}\) ঘ \(0\)
\(=(i^2)^3.i+(i^2)^4.i+(i^2)^5.i+(i^2)^6.i\)
\(=(-1)^3.i+(-1)^4.i+(-1)^5.i+(-1)^6.i\)
\(=-i+i-i+i\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( ঘ )
নিচের তথ্যের আলোকে ২ এবং ৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x=\sqrt[3]{1}\) একটি সমীকরণ
২। সমীকরণের মূলগুলোর যোগফল-\(x=\sqrt[3]{1}\) একটি সমীকরণ
ক \(\omega\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(\omega^2\)
ঘ \(1\)
\(x=\sqrt[3]{1}\) ঘ \(1\)
\(\Rightarrow x^3=1\)
\(\Rightarrow x^3-1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ x^2+x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm{\sqrt{1^2-4.1.1}}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm{\sqrt{1-4}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm{\sqrt{-3}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
মূলত্রয়ের সমষ্টি \(1+\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}+\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=1+\frac{-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=1+\frac{-2}{2}\)
\(=1-1\)
\(=0\)
উত্তরঃ ( গ )
৩। সমীকরণের মূলগুলোর গুণফল-
\(\Rightarrow x^3=1\)
\(\Rightarrow x^3-1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ x^2+x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm{\sqrt{1^2-4.1.1}}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm{\sqrt{1-4}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm{\sqrt{-3}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
মূলত্রয়ের গুণফল \(1\times\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\times\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{(-1)^2-(\sqrt{-3})^2}{4}\)
\(=\frac{1-(-3)}{4}\)
\(=\frac{1+3}{4}\)
\(=\frac{4}{4}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(-1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(1+i\)
\(x=\sqrt[3]{1}\) ঘ \(1+i\)
\(\Rightarrow x^3=1\)
\(\Rightarrow x^3-1=0\)
\(\Rightarrow (x-1)(x^2+x+1)=0\)
\(\Rightarrow x-1=0, \ x^2+x+1=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ x=\frac{-1\pm{\sqrt{1^2-4.1.1}}}{2.1}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm{\sqrt{1-4}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1\pm{\sqrt{-3}}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}, \ \frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
মূলত্রয়ের গুণফল \(1\times\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}\times\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}\)
\(=\frac{(-1)^2-(\sqrt{-3})^2}{4}\)
\(=\frac{1-(-3)}{4}\)
\(=\frac{1+3}{4}\)
\(=\frac{4}{4}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( গ )
৪। \(Z_{1}=1+i\) এবং \(Z_{2}=2+i\) হলে, \(Z_{1}\overline{Z_{2}}\) এর মডুলাস-
\(\Rightarrow \overline{Z_{2}}=\overline{2+i}\)
\(=2-i\)
\(Z_{1}\overline{Z_{2}}=(1+i)(2-i)\)
\(=2-i+2i-i^2\)
\(=2+i+1\)
\(=3+i\)
\(|Z_{1}\overline{Z_{2}}|=|3+i|\)
\(=\sqrt{3^2+1^2}\)
\(=\sqrt{9+1}\)
\(=\sqrt{10}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(\tan^{-1}2\)
গ \(5\sqrt{2}\)
গ \(5\sqrt{2}\)
খ \(2\sqrt{5}\)
ঘ \(\sqrt{10}\)
\(Z_{2}=2+i\)ঘ \(\sqrt{10}\)
\(\Rightarrow \overline{Z_{2}}=\overline{2+i}\)
\(=2-i\)
\(Z_{1}\overline{Z_{2}}=(1+i)(2-i)\)
\(=2-i+2i-i^2\)
\(=2+i+1\)
\(=3+i\)
\(|Z_{1}\overline{Z_{2}}|=|3+i|\)
\(=\sqrt{3^2+1^2}\)
\(=\sqrt{9+1}\)
\(=\sqrt{10}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
৫। নিচের কোনটি বহুপদী রাশি?
এখানে, \(x\) এর ঘাত \(1\) যা স্বাভাবিক সংখ্যা।
\(\therefore x\) একটি বহুপদী।
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(x^{-2}+x^{-3}\)
গ \(x^{\frac{1}{4}}\)
গ \(x^{\frac{1}{4}}\)
খ \(\sqrt[3]{x^2}+\sqrt{x^3}\)
ঘ \(x\)
বহপদীঃ এক বা একাধিক চলকবিশিষ্ট বীজগাণিতিক রাশির চলকের ঘাত শুন্য বা স্বাভাবিক সংখ্যা হলে সেটিকে বহুপদী বলে। ঘ \(x\)
এখানে, \(x\) এর ঘাত \(1\) যা স্বাভাবিক সংখ্যা।
\(\therefore x\) একটি বহুপদী।
উত্তরঃ ( ঘ )
৬। কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান হলে পৃথায়ক হবে-
\(i.\) পূর্ণবর্গ
\(ii.\) ধনাত্মক সংখ্যা
\(iii.\) ঋনাত্মক সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠীক?
উত্তরঃ ( ক )
\(i.\) পূর্ণবর্গ
\(ii.\) ধনাত্মক সংখ্যা
\(iii.\) ঋনাত্মক সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এ ক্ষেত্রে \(i.\) ও \(ii.\) বাক্যদ্বয় সত্য।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
উত্তরঃ ( ক )
নিচের তথ্যের আলোকে ৩ এবং ৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(3x^2-5x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
৭। \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\) এর মান কত?\(3x^2-5x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)
ক \(\frac{5}{3}\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(-\frac{5}{3}\)
ঘ \(-5\)
\(3x^2-5x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) ।ঘ \(-5\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{3}, \ \alpha\beta=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{5}{3}, \ \alpha\beta=\frac{1}{3}\)
এখন, \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\)
\(=\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}\)
\(=\frac{\frac{5}{3}}{\frac{1}{3}}\)
\(=\frac{5}{3}\times\frac{3}{1}\)
\(=5\)
উত্তরঃ ( গ )
৮। \(\alpha^2\) ও \(\beta^2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ-
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{3}, \ \alpha\beta=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{5}{3}, \ \alpha\beta=\frac{1}{3}\)
এখন, \(\alpha^2\) ও \(\beta^2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha^2+\beta^2)x+\alpha^2\beta^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}x+(\alpha\beta)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left\{\left(\frac{5}{3}\right)^2-2\times\frac{1}{3}\right\}x+\left(\frac{1}{3}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left\{\frac{25}{9}-\frac{2}{3}\right\}x+\frac{1}{9}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{25-6}{9}x+\frac{1}{9}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{19}{9}x+\frac{1}{9}=0\)
\(\therefore 9x^2-19x+1=0\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(9x^2+19x+1=0\)
গ \(9x^2+19x-1=0\)
গ \(9x^2+19x-1=0\)
খ \(9x^2-19x+1=0\)
ঘ \(9x^2-19x-1=0\)
\(3x^2-5x+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) ।ঘ \(9x^2-19x-1=0\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-5}{3}, \ \alpha\beta=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=\frac{5}{3}, \ \alpha\beta=\frac{1}{3}\)
এখন, \(\alpha^2\) ও \(\beta^2\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,
\(x^2-(\alpha^2+\beta^2)x+\alpha^2\beta^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\{(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\}x+(\alpha\beta)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left\{\left(\frac{5}{3}\right)^2-2\times\frac{1}{3}\right\}x+\left(\frac{1}{3}\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-\left\{\frac{25}{9}-\frac{2}{3}\right\}x+\frac{1}{9}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{25-6}{9}x+\frac{1}{9}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{19}{9}x+\frac{1}{9}=0\)
\(\therefore 9x^2-19x+1=0\)
উত্তরঃ ( খ )
৯। \(3x^3-1=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta\) ও \(\gamma\) হলে \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\) এর মান-
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=-\frac{-1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=0\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=\frac{1}{3}\)
এখন, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)+\gamma^3\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma-\gamma)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta+\gamma-\gamma)+\gamma^3\)
\(=(0-\gamma)^3-3\alpha\beta(0-\gamma)+\gamma^3\)
\(=-\gamma^3+3\alpha\beta\gamma+\gamma^3\)
\(=3\alpha\beta\gamma\)
\(=3\times\frac{1}{3}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(-1\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(0\)
ঘ \(1\)
\(3x^3-1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) ও \(\gamma\)ঘ \(1\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=-\frac{-1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=0\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=\frac{1}{3}\)
এখন, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)
\(=(\alpha+\beta)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta)+\gamma^3\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma-\gamma)^3-3\alpha\beta(\alpha+\beta+\gamma-\gamma)+\gamma^3\)
\(=(0-\gamma)^3-3\alpha\beta(0-\gamma)+\gamma^3\)
\(=-\gamma^3+3\alpha\beta\gamma+\gamma^3\)
\(=3\alpha\beta\gamma\)
\(=3\times\frac{1}{3}\)
\(=1\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১০। যদি \(\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}x\right)}=\)কত?
\(=\cos{\left(\cos^{-1}x\right)}\)
\(=x\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sin{x}\)
গ \(1-x\)
গ \(1-x\)
খ \(x\)
ঘ \(1+x\)
\(\sin{\left(\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}x\right)}\)ঘ \(1+x\)
\(=\cos{\left(\cos^{-1}x\right)}\)
\(=x\)
উত্তরঃ ( খ )
১১। \(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}y\) সমীকরণে \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে \(y\) এর মান কত?
\(\Rightarrow 2\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow 2\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{3}}}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow 2\times\frac{\pi}{3}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow \frac{2\pi}{3}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow \sin{\frac{2\pi}{3}}=y\)
\(\Rightarrow \sin{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=y\)
\(\Rightarrow \sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=y\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=y\)
\(\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(1\)
\(2\sin^{-1}{x}=\sin^{-1}y\) সমীকরণে \(x=\frac{\sqrt{3}}{2}\)ঘ \(1\)
\(\Rightarrow 2\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow 2\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{3}}}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow 2\times\frac{\pi}{3}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow \frac{2\pi}{3}=\sin^{-1}y\)
\(\Rightarrow \sin{\frac{2\pi}{3}}=y\)
\(\Rightarrow \sin{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}=y\)
\(\Rightarrow \sin{\left(\frac{\pi}{3}\right)}=y\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2}=y\)
\(\therefore y=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ ( গ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১২ এবং ১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\cot{\theta}=k\) সমীকরণটির সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
১২। \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে, \(\alpha=\) কত?\(\cot{\theta}=k\) সমীকরণটির সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\)
ক \(\frac{\pi}{6}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\cot{\theta}=k\) সমীকরণটির সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\) এবং \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \cot{\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cot{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow n\pi+\alpha=n\pi+\frac{\pi}{3}, \ \because \theta=n\pi+\alpha\)
\(\therefore \alpha=\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ ( গ )
১৩। \(k=1\) এবং \(\frac{\pi}{4}\lt{\theta}\lt{2\pi}\) হলে, \(\theta\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \cot{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cot{\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\) যখন, \(n=1\)
\(\therefore \theta=\frac{5\pi}{4}\) যখন সীমা, \(\frac{\pi}{4}\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\frac{2\pi}{3}\)
গ \(\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{3\pi}{4}\)
খ \(\frac{5\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\cot{\theta}=k\) সমীকরণটির সমাধান \(\theta=n\pi+\alpha\) এবং \(k=\frac{1}{\sqrt{3}}\)ঘ \(\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \cot{\theta}=1\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cot{\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\pi+\frac{\pi}{4}\) যখন, \(n=1\)
\(\therefore \theta=\frac{5\pi}{4}\) যখন সীমা, \(\frac{\pi}{4}\lt{\theta}\lt{2\pi}\)
উত্তরঃ ( খ )
১৪। \(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ নিচের কোনটি?
তাহলে, \(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ হবে \(x=0\) অর্থাৎ \(y-\)অক্ষ।
উত্তরঃ ( খ )
ক \(x-\)অক্ষ
গ \(x-\)অক্ষের সমান্তরাল
গ \(x-\)অক্ষের সমান্তরাল
খ \(y-\)অক্ষ
ঘ \(y-\)অক্ষের সমান্তরাল
যেহেতু \(\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ \(x=0\) অর্থাৎ \(y-\)অক্ষ।ঘ \(y-\)অক্ষের সমান্তরাল
তাহলে, \(\frac{y^2}{16}-\frac{x^2}{25}=1\) অধিবৃত্তের আড় অক্ষ হবে \(x=0\) অর্থাৎ \(y-\)অক্ষ।
উত্তরঃ ( খ )
১৫। \(x^2=16y\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
তাহলে, \(x^2=16y\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)।
উত্তরঃ ( ক )
ক \(e=1\)
গ \(e\gt{1}\)
গ \(e\gt{1}\)
খ \(e=0\)
ঘ \(0\lt{e}\lt{1}\)
যেহেতু \(x^2=4ay\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)।ঘ \(0\lt{e}\lt{1}\)
তাহলে, \(x^2=16y\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=1\)।
উত্তরঃ ( ক )
১৬। \(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\) উপবৃত্তটির
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{4}{5}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক \(\equiv\left(0, \pm{\frac{24}{5}}\right)\)
\(iii.\) নিয়ামক দুইটির দূরত্ব \(=25\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\)
\(\Rightarrow a=10, \ b=6\)
\(\Rightarrow a\gt{b}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{100-36}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{100}}\)
\(=\frac{8}{10}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore (i.)\) বাক্যটি সত্য
আবার, উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{8}, 0\right) \)
\(\therefore (ii.)\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
\(=|\frac{2\times10}{\frac{4}{5}}|\)
\(=|20\times\frac{5}{4}|\)
\(=25\)
\(\therefore (iii.)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{4}{5}\)
\(ii.\) উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাংক \(\equiv\left(0, \pm{\frac{24}{5}}\right)\)
\(iii.\) নিয়ামক দুইটির দূরত্ব \(=25\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{10^2}+\frac{y^2}{6^2}=1\)
\(\Rightarrow a=10, \ b=6\)
\(\Rightarrow a\gt{b}\)
\(\therefore e=\sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{\frac{100-36}{100}}\)
\(=\sqrt{\frac{64}{100}}\)
\(=\frac{8}{10}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\therefore (i.)\) বাক্যটি সত্য
আবার, উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(\pm{ae}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{8}, 0\right) \)
\(\therefore (ii.)\) বাক্যটি সত্য নয়।
আবার, নিয়ামকদ্বয়ের দূরত্ব \(=|\frac{2a}{e}|\)
\(=|\frac{2\times10}{\frac{4}{5}}|\)
\(=|20\times\frac{5}{4}|\)
\(=25\)
\(\therefore (iii.)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( খ )
নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ এবং ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
স্থানাংকের অক্ষদ্বয়কে উপবৃত্তের অক্ষ ধরে ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
১৭। বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য কত একক?স্থানাংকের অক্ষদ্বয়কে উপবৃত্তের অক্ষ ধরে ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ক \(\sqrt{5}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
খ \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow 2b=2, \ e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow b=1, \ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2-1}{a^2}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5a^2-5=a^2\)
\(\Rightarrow 5a^2-a^2=5\)
\(\Rightarrow 4a^2=5\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{5}{4}\)
\(\therefore a=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
এখন, বৃহদাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
\(=\left|2\times\frac{\sqrt{5}}{2}\right|\)
\(=\sqrt{5}\)
উত্তরঃ ( ক )
১৮। উপবৃত্তের সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow 2b=2, \ e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow b=1, \ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2-1}{a^2}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5a^2-5=a^2\)
\(\Rightarrow 5a^2-a^2=5\)
\(\Rightarrow 4a^2=5\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{5}{4}\)
\(\therefore a=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
এখন, উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{5}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{5}+y^2=1\)
\(\therefore 4x^2+5y^2=5\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(3x^2+5y^2=5\)
গ \(2x^2+3y^2=5\)
গ \(2x^2+3y^2=5\)
খ \(4x^2+3y^2=5\)
ঘ \(4x^2+5y^2=5\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(2\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)ঘ \(4x^2+5y^2=5\)
\(\Rightarrow 2b=2, \ e=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow b=1, \ \sqrt{\frac{a^2-b^2}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{\frac{a^2-1}{a^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{a^2-1}{a^2}=\frac{1}{5}\)
\(\Rightarrow 5a^2-5=a^2\)
\(\Rightarrow 5a^2-a^2=5\)
\(\Rightarrow 4a^2=5\)
\(\Rightarrow a^2=\frac{5}{4}\)
\(\therefore a=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
এখন, উপবৃত্তের সমীকরণ \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{5}{4}}+\frac{y^2}{1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{4x^2}{5}+y^2=1\)
\(\therefore 4x^2+5y^2=5\)
উত্তরঃ ( ঘ )
১৯। \(P\) মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি \(P\) হলে, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
\(\therefore P^2+P^2+2\times P \times P\cos{\alpha}=P^2; \ \because P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=R^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
ক \(0^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(30^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
\(P\) মানের দুইটি সমান বলের লব্ধি \(P\) ঘ \(120^{o}\)
ধরি, বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
\(\therefore P^2+P^2+2\times P \times P\cos{\alpha}=P^2; \ \because P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}=R^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ ( ঘ )
২০। \(120^{o}\) কোণে আনত \(\sqrt{7}\) এককের দুইটি সমান বল একই বিন্দু হতে ক্রিয়ারত-
\(i.\) লব্ধির মান \(\sqrt{7}\) একক
\(ii.\) লব্ধি \(\sqrt{7}\) একক বলের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(iii.\) লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর
নিচের কোনটি সঠীক?
\(\Rightarrow R=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{7}.\sqrt{7}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{7+7+2.7\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{14-7}\)
\(=\sqrt{7}\)
\(\therefore (i.)\) বাক্যটি সত্য
আবার, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{7}\sin{120^{o}}}{\sqrt{7}+\sqrt{7}\cos{120^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{7}\sin{120^{o}}}{\sqrt{7}(1+\cos{120^{o})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{1}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\sqrt{3}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{60^{o}}\right\}}\)
\(=60^{o}\)
\(\therefore (ii.)\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\Rightarrow R=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{7}.\sqrt{7}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{7+7+2.7\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{14-7}\)
\(=\sqrt{7}\)
\(\therefore R=\sqrt{7}\)
\(\therefore R\lt{2\sqrt{7}}\)
\(\therefore (iii.)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) লব্ধির মান \(\sqrt{7}\) একক
\(ii.\) লব্ধি \(\sqrt{7}\) একক বলের সাথে \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(iii.\) লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ক্ষুদ্রতর
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(120^{o}\) কোণে আনত \(\sqrt{7}\) এককের দুইটি সমান বল একই বিন্দু হতে ক্রিয়ারতঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow R=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{7}.\sqrt{7}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{7+7+2.7\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{14-7}\)
\(=\sqrt{7}\)
\(\therefore (i.)\) বাক্যটি সত্য
আবার, \(\theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{7}\sin{120^{o}}}{\sqrt{7}+\sqrt{7}\cos{120^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{7}\sin{120^{o}}}{\sqrt{7}(1+\cos{120^{o})}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{1-\frac{1}{2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{1}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\sqrt{3}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{60^{o}}\right\}}\)
\(=60^{o}\)
\(\therefore (ii.)\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\Rightarrow R=\sqrt{(\sqrt{7})^2+(\sqrt{7})^2+2\sqrt{7}.\sqrt{7}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{7+7+2.7\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{14-7}\)
\(=\sqrt{7}\)
\(\therefore R=\sqrt{7}\)
\(\therefore R\lt{2\sqrt{7}}\)
\(\therefore (iii.)\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
২১। \(8\) ও \(6\) একক মানের দুইটি সমমুখী সমান্তরাল বল \(21\) একক দূরত্বে একটি অনড় বস্তুর উপর ক্রিয়ারত। বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু কত একক দূরে সরে যাবে?
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(8\) ও \(6\) যাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(\therefore AC.8=BC.6\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{6}{6+8}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{6}{14}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{21}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3}{7}\times21\)
\(\Rightarrow AC=9\)
\(\therefore AC=9\) একক
আবার, বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(6\) ও \(8\) যাদের লব্ধি \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(\therefore AD.6=BD.8\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{8}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AD+BD}=\frac{8}{8+6}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{8}{14}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{21}=\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow AD=\frac{4}{7}\times21\)
\(\Rightarrow AD=12\)
\(\therefore AD=12\) একক
লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর সরণ \(CD=AD-AC\)
\(=12-9\)
\(=3\) একক
উত্তরঃ ( গ )
ক \(1\) একক
গ \(3\) একক
গ \(3\) একক
খ \(2\) একক
ঘ \(4\) একক
ধরি, \(AB=21\)ঘ \(4\) একক
\(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(8\) ও \(6\) যাদের লব্ধি \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(\therefore AC.8=BC.6\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{6}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{6}{6+8}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{6}{14}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{21}=\frac{3}{7}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3}{7}\times21\)
\(\Rightarrow AC=9\)
\(\therefore AC=9\) একক
আবার, বলদ্বয় অবস্থান বিনিময় করলে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় \(6\) ও \(8\) যাদের লব্ধি \(D\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত।
\(\therefore AD.6=BD.8\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{BD}=\frac{8}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AD+BD}=\frac{8}{8+6}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{AB}=\frac{8}{14}\)
\(\Rightarrow \frac{AD}{21}=\frac{4}{7}\)
\(\Rightarrow AD=\frac{4}{7}\times21\)
\(\Rightarrow AD=12\)
\(\therefore AD=12\) একক
লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর সরণ \(CD=AD-AC\)
\(=12-9\)
\(=3\) একক
উত্তরঃ ( গ )
২২। একটি ট্রেন \(30 \text{মি.}/\text{সে.}\) বেগে চলা অবস্থায় ব্রেক করে \(5 \text{মি.}/\text{সে.}^2\) মন্দন সৃষ্টি করা হলো। চতুর্থ সেকেন্ডে এটি কত দূরত্ব অতিক্রম করবে?
\(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{t}=u-\frac{1}{2}f(2t-1)\)
চতুর্থ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{4}=30-\frac{1}{2}\times5(2\times4-1)\)
\(=30-\frac{5}{2}(8-1)\)
\(=30-\frac{5}{2}\times7\)
\(=30-\frac{35}{2}\)
\(=\frac{60-35}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12.5\) মি.
উত্তরঃ ( ক )
ক \(12.5\) মি.
গ \(16.5\) মি.
গ \(16.5\) মি.
খ \(14.5\) মি.
ঘ \(18.5\) মি.
এখানে, আদিবেগ \(u=30 \text{মি.}/\text{সে.}\) মন্দন \(f=5 \text{মি.}/\text{সে.}^2\)ঘ \(18.5\) মি.
\(t\) তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{t}=u-\frac{1}{2}f(2t-1)\)
চতুর্থ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব \(S_{4}=30-\frac{1}{2}\times5(2\times4-1)\)
\(=30-\frac{5}{2}(8-1)\)
\(=30-\frac{5}{2}\times7\)
\(=30-\frac{35}{2}\)
\(=\frac{60-35}{2}\)
\(=\frac{25}{2}\)
\(=12.5\) মি.
উত্তরঃ ( ক )
২৩। \(u\) বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত একটি বস্তু \(h\) উচ্চতায় আসার দুটি সময়ের পার্থক্য কত?
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow 2h=2ut-gt^2\)
\(\Rightarrow gt^2-2ut+2h=0\)
\(\Rightarrow t=\frac{-(-2u)\pm{\sqrt{(-2u)^2-4.g.2h}}}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{2u\pm{\sqrt{4u^2-8gh}}}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{2u\pm{2\sqrt{u^2-2gh}}}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{2(u\pm{\sqrt{u^2-2gh}})}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{u\pm{\sqrt{u^2-2gh}}}{g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{u+\sqrt{u^2-2gh}}{g}, \ \frac{u-\sqrt{u^2-2gh}}{g}; \ t\) এর এই মান দুইটি \(h\) উচ্চতায় আসার দুটি সময় নির্দেশ করে।
সময়ের পার্থক্য \(=\frac{u+\sqrt{u^2-2gh}}{g}-\frac{u-\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{u+\sqrt{u^2-2gh}-u+\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{2\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(\sqrt{u^2-2gh}\)
গ \(\frac{g}{2}\sqrt{u^2-2gh}\)
গ \(\frac{g}{2}\sqrt{u^2-2gh}\)
খ \(\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
ঘ \(g\sqrt{u^2-2gh}\)
\(u\) বেগে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষিপ্ত কোনো বস্তুর উচ্চতা \(h\) এবং উত্থানকাল \(t\) হলে,ঘ \(g\sqrt{u^2-2gh}\)
\(h=ut-\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow 2h=2ut-gt^2\)
\(\Rightarrow gt^2-2ut+2h=0\)
\(\Rightarrow t=\frac{-(-2u)\pm{\sqrt{(-2u)^2-4.g.2h}}}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{2u\pm{\sqrt{4u^2-8gh}}}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{2u\pm{2\sqrt{u^2-2gh}}}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{2(u\pm{\sqrt{u^2-2gh}})}{2g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{u\pm{\sqrt{u^2-2gh}}}{g}\)
\(\Rightarrow t=\frac{u+\sqrt{u^2-2gh}}{g}, \ \frac{u-\sqrt{u^2-2gh}}{g}; \ t\) এর এই মান দুইটি \(h\) উচ্চতায় আসার দুটি সময় নির্দেশ করে।
সময়ের পার্থক্য \(=\frac{u+\sqrt{u^2-2gh}}{g}-\frac{u-\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{u+\sqrt{u^2-2gh}-u+\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{2\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(=\frac{2}{g}\sqrt{u^2-2gh}\)
উত্তরঃ ( খ )
২৪। কোনো প্রক্ষেপকের অনুভূমিক পাল্লা \(R,\) বিচরণকাল \(T,\) সর্বাধিক উচ্চতা \(H\) এবং প্রক্ষেপ কোণ \(\alpha\) হলে-
\(i.\) \(R=4H\cot{\alpha}\)
\(ii.\) \(H=\frac{gT^2}{8}\)
\(iii.\) \(\alpha=\tan^{-1}{\left(\frac{gT^2}{2R}\right)}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
\(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}, \ H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}, \ T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
এখন, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u^2.2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\)
\(=4\times\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\times\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)
\(=4H\cot{\alpha}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{g}{8}\times\frac{4u^2\sin^2{\alpha}}{g^2}\)
\(=\frac{g}{8}\times\left(\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\right)^2\)
\(=\frac{g}{8}T^2\)
\(=\frac{gT^2}{8}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(R=4H\cot{\alpha}\)
\(\Rightarrow 4H\cot{\alpha}=R\)
\(\Rightarrow \cot{\alpha}=\frac{R}{4H}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{4H}{R}\)
\(=\frac{4}{R}\times H\)
\(=\frac{4}{R}\times\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{2u^2\sin^2{\alpha}}{Rg}\)
\(=\frac{g}{2R}\times\frac{4u^2\sin^2{\alpha}}{g^2}\)
\(=\frac{g}{2R}\times\left(\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\right)^2\)
\(=\frac{g}{2R}\times T^2\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{gT^2}{2R}\)
\(\therefore \alpha=\tan^{-1}{\left(\frac{gT^2}{2R}\right)}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
\(i.\) \(R=4H\cot{\alpha}\)
\(ii.\) \(H=\frac{gT^2}{8}\)
\(iii.\) \(\alpha=\tan^{-1}{\left(\frac{gT^2}{2R}\right)}\)
নিচের কোনটি সঠীক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
প্রক্ষেপ কোণ \(u\) হলে-ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}, \ H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}, \ T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
এখন, \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{u^2.2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}{g}\)
\(=4\times\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\times\frac{\cos{\alpha}}{\sin{\alpha}}\)
\(=4H\cot{\alpha}\)
\(\therefore (i.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{g}{8}\times\frac{4u^2\sin^2{\alpha}}{g^2}\)
\(=\frac{g}{8}\times\left(\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\right)^2\)
\(=\frac{g}{8}T^2\)
\(=\frac{gT^2}{8}\)
\(\therefore (ii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(R=4H\cot{\alpha}\)
\(\Rightarrow 4H\cot{\alpha}=R\)
\(\Rightarrow \cot{\alpha}=\frac{R}{4H}\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{4H}{R}\)
\(=\frac{4}{R}\times H\)
\(=\frac{4}{R}\times\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{2u^2\sin^2{\alpha}}{Rg}\)
\(=\frac{g}{2R}\times\frac{4u^2\sin^2{\alpha}}{g^2}\)
\(=\frac{g}{2R}\times\left(\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\right)^2\)
\(=\frac{g}{2R}\times T^2\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=\frac{gT^2}{2R}\)
\(\therefore \alpha=\tan^{-1}{\left(\frac{gT^2}{2R}\right)}\)
\(\therefore (iii.)\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ ( ঘ )
২৫। একটি পাথরকে ভূমি থেকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে এটি \(5\) সেকেন্ড পরে নিক্ষেপণ বিন্দুতে ফিরে আসে। পাথরটির ভূমিতে পতন বেগ কত?
\(\therefore t=2.5\) সেকেন্ড
ভূমিতে পতন বেগ \(v=gt\)
\(\Rightarrow v=9.8\times2.5\)
\(\Rightarrow v=24.5\)
\(\therefore v=24.5 ms^{-1}\)
উত্তরঃ ( খ )
ক \(18.56 ms^{-1}\)
গ \(25.57 ms^{-1}\)
গ \(25.57 ms^{-1}\)
খ \(24.5 ms^{-1}\)
ঘ \(22.40 ms^{-1}\)
এখানে, \(2t=5\) সেকেন্ড ঘ \(22.40 ms^{-1}\)
\(\therefore t=2.5\) সেকেন্ড
ভূমিতে পতন বেগ \(v=gt\)
\(\Rightarrow v=9.8\times2.5\)
\(\Rightarrow v=24.5\)
\(\therefore v=24.5 ms^{-1}\)
উত্তরঃ ( খ )
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002