শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(x^2=-3y\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত?
এখানে, \(4a=-3\)
\(\therefore a=-\frac{3}{4}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a)\)
\(\therefore \left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left(-\frac{3}{4}, 0\right)\)
গ \(\left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
গ \(\left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
খ \(\left(\frac{3}{4}, 0\right)\)
ঘ \(\left(0, \frac{3}{4}\right)\)
\(x^2=-3y\)ঘ \(\left(0, \frac{3}{4}\right)\)
এখানে, \(4a=-3\)
\(\therefore a=-\frac{3}{4}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a)\)
\(\therefore \left(0, -\frac{3}{4}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
২। \(\cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{3}{2}}\) হলে, \(p=?\)
এখানে, লম্ব \(=1,\) ভূমি \(=p\)
\(\therefore\) অতিভুজ \(=\sqrt{(\text{লম্ব})^2+(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{1^2+p^2}\)
\(=\sqrt{1+p^2}\)
\(\therefore \cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{\sqrt{1+p^2}}{1}}=cosec^{-1}{\sqrt{1+p^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1+p^2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 1+p^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow p^2=\frac{9}{4}-1\)
\(\Rightarrow p^2=\frac{9-4}{4}\)
\(\Rightarrow p^2=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(\therefore p=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
খ \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{3}{2}}\)ঘ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
এখানে, লম্ব \(=1,\) ভূমি \(=p\)
\(\therefore\) অতিভুজ \(=\sqrt{(\text{লম্ব})^2+(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{1^2+p^2}\)
\(=\sqrt{1+p^2}\)
\(\therefore \cot^{-1}{p}= cosec^{-1}{\frac{\sqrt{1+p^2}}{1}}=cosec^{-1}{\sqrt{1+p^2}}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1+p^2}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow 1+p^2=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow p^2=\frac{9}{4}-1\)
\(\Rightarrow p^2=\frac{9-4}{4}\)
\(\Rightarrow p^2=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow p=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(\therefore p=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(12N\) ও \(8N\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল \(15m\) লম্বা একটি হালকা দণ্ডের দুই প্রান্তে ক্রিয়া করলে বৃহত্তম বল হতে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করে?
তাহলে, \(AC.12=BC.8\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{8}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{2}{2+3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{2\times{AB}}{5}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{2\times15}{5}\)
\(\Rightarrow AC=2\times3\)
\(\Rightarrow AC=6\)
\(\therefore AC=6m\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2m\)
গ \(6m\)
গ \(6m\)
খ \(4m\)
ঘ \(8m\)
ধরি, \(AB\) দণ্ডের \(A\) ও \(B\) প্রান্তে \(12N\) ও \(8N\) দুইটি সদৃশ সমান্তরাল বল ক্রিয়া করে এবং লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(C\)ঘ \(8m\)
তাহলে, \(AC.12=BC.8\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{8}{12}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{2}{2+3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{2}{5}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{2\times{AB}}{5}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{2\times15}{5}\)
\(\Rightarrow AC=2\times3\)
\(\Rightarrow AC=6\)
\(\therefore AC=6m\)
উত্তরঃ (গ)
৪। যদি, \(s=t^3+3t^2+6\) হয়, তবে \(2 sec\) পরে এর ত্বরণ কত?
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=3t^2+6t\)
\(\therefore \frac{d^2s}{dt^2}=6t+6\)
\(2 sec\) পরে এর ত্বরণ, \(f=\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right)_{t=2}=6\times2+6\)
\(=12+6\)
\(=18\)
\(\therefore f=18 m/sec^2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(6 m/sec^2\)
গ \(18 m/sec^2\)
গ \(18 m/sec^2\)
খ \(12 m/sec^2\)
ঘ \(24 m/sec^2\)
\(s=t^3+3t^2+6\)ঘ \(24 m/sec^2\)
\(\Rightarrow \frac{ds}{dt}=3t^2+6t\)
\(\therefore \frac{d^2s}{dt^2}=6t+6\)
\(2 sec\) পরে এর ত্বরণ, \(f=\left(\frac{d^2s}{dt^2}\right)_{t=2}=6\times2+6\)
\(=12+6\)
\(=18\)
\(\therefore f=18 m/sec^2\)
উত্তরঃ (গ)
৫। \(\tan{3\theta}=1\) সমীকরণের সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{4\times3}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\)
গ \(\frac{3n\pi}{12}\)
গ \(\frac{3n\pi}{12}\)
খ \(\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{6}\)
ঘ \(n\pi\)
\(\tan{3\theta}=1\)ঘ \(n\pi\)
\(\Rightarrow \tan{3\theta}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=n\pi+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{4\times3}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{3}+\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ (ক)
৬।
উদ্দীপকে \(OA=?\)
\(OA=R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{15^2\sin{(2\times45^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{225\sin{90^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{225\times1}{9.8}\)
\(=\frac{225}{9.8}\)
\(=22.96\)
\(\therefore OA=22.96 m\)
উত্তরঃ (গ)
উদ্দীপকে \(OA=?\)
ক \(24.96 m\)
গ \(22.96 m\)
গ \(22.96 m\)
খ \(24 m\)
ঘ \(22 m\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(u=15 m/s, \ \alpha=45^{o}\)ঘ \(22 m\)
\(OA=R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{15^2\sin{(2\times45^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{225\sin{90^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{225\times1}{9.8}\)
\(=\frac{225}{9.8}\)
\(=22.96\)
\(\therefore OA=22.96 m\)
উত্তরঃ (গ)
৭। যদি, \(\sec{\theta}=-2\) এবং \(\frac{\pi}{2}\lt{\theta}\lt{\pi}\) হয়, তবে \(\theta\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{2\pi}{3}\)
গ \(-\pi\)
গ \(-\pi\)
খ \(\frac{2\pi}{3}\)
ঘ \(\pi\)
\(\sec{\theta}=-2\)ঘ \(\pi\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\therefore \theta=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
৮। কি পরিমাণ বল \(33 kg\) ভরের একটি স্থির বস্তুর উপর প্রয়োগ করলে \(5 sec\) এ তার বেগ \(15 m/sec\) হবে?
আমরা জানি, \(F=ma\)
\(=m\frac{v-u}{t}\)
\(=m\frac{v-u}{t}\)
\(=33\times\frac{15-0}{5}\)
\(=33\times3\)
\(=99 N\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(11 N\)
গ \(66 N\)
গ \(66 N\)
খ \(33 N\)
ঘ \(99 N\)
এখানে, \(m=33 kg, \ u=0, \ v=15 m/sec, \ t=5sec\)ঘ \(99 N\)
আমরা জানি, \(F=ma\)
\(=m\frac{v-u}{t}\)
\(=m\frac{v-u}{t}\)
\(=33\times\frac{15-0}{5}\)
\(=33\times3\)
\(=99 N\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৯ ও ১০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(9x^2-16y^2=144\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
৯। অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য কোনটি?\(9x^2-16y^2=144\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(\frac{9}{8}\)
গ \(\frac{32}{5}\)
গ \(\frac{32}{5}\)
খ \(\frac{9}{2}\)
ঘ \(\frac{32}{9}\)
\(9x^2-16y^2=144\)ঘ \(\frac{32}{9}\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2b^2}{a}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times9}{4}\right|\)
\(=\frac{9}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
১০। নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{5}{4}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{4\times4}{5}\)
\(\therefore x=\pm\frac{16}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x=\frac{16}{5}\)
গ \(x=\pm\frac{16}{5}\)
গ \(x=\pm\frac{16}{5}\)
খ \(y=\frac{16}{5}\)
ঘ \(y=\pm\frac{16}{5}\)
\(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)ঘ \(y=\pm\frac{16}{5}\)
\(=\sqrt{1+\frac{9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{16+9}{16}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{16}}\)
\(=\frac{5}{4}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=\pm\frac{a}{e}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{4}{\frac{5}{4}}\)
\(\Rightarrow x=\pm\frac{4\times4}{5}\)
\(\therefore x=\pm\frac{16}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(54\) মিটার উঁচু দালানের ছাদ থেকে একটি পাথর খাড়া নিচে ছেড়ে দিলে ভূমিতে পড়তে কত সময় লাগবে?
এখন, \(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow ut+\frac{1}{2}gt^2=h\)
\(\Rightarrow 0.t+\frac{1}{2}\times9.8\times{t^2}=54\)
\(\Rightarrow 4.9\times{t^2}=54\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{54}{4.9}\)
\(\Rightarrow t^2=11.02\)
\(\Rightarrow t=\sqrt{11.02}\)
\(\therefore t=3.32 sec\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3.32 sec\)
গ \(3.36 sec\)
গ \(3.36 sec\)
খ \(3.34 sec\)
ঘ \(3.38 sec\)
এখানে, \(h=54 m, \ u=0, \ g=9.8,\) সময় \(=t\)ঘ \(3.38 sec\)
এখন, \(h=ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(\Rightarrow ut+\frac{1}{2}gt^2=h\)
\(\Rightarrow 0.t+\frac{1}{2}\times9.8\times{t^2}=54\)
\(\Rightarrow 4.9\times{t^2}=54\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{54}{4.9}\)
\(\Rightarrow t^2=11.02\)
\(\Rightarrow t=\sqrt{11.02}\)
\(\therefore t=3.32 sec\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(\tan{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{x}}}}\) এর মান কোনটি?
এখানে, ভূমি \(=x,\) অতিভুজ \(=1\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{1^2-x^2}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
\(=\tan{\cot^{-1}{\tan{\tan^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}}}}\)
\(=\tan{\cot^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}}\)
\(=\tan{\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{1-x^2}\)
গ \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
গ \(\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
খ \(\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
\(\tan{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{x}}}}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)
এখানে, ভূমি \(=x,\) অতিভুজ \(=1\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{1^2-x^2}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
\(=\tan{\cot^{-1}{\tan{\tan^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}}}}\)
\(=\tan{\cot^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}}}\)
\(=\tan{\tan^{-1}{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}}\)
\(=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\)
উত্তরঃ (গ)
১৩। একটি কণা স্থিরাবস্থা হতে \(3 cm/sec^2\) ত্বরণে যাত্রা শুরু করলে \(1\) মিনিট পর তার বেগ কত হবে?
এখন, \(v=u+ft\)
\(=0+3\times60\)
\(=180 cm/sec\)
\(\therefore v=180 cm/sec\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3 cm/sec\)
গ \(120 cm/sec\)
গ \(120 cm/sec\)
খ \(60 cm/sec\)
ঘ \(180 cm/sec\)
এখানে, \(u=0, \ f=3 cm/sec^2, \ t=60 sec\)ঘ \(180 cm/sec\)
এখন, \(v=u+ft\)
\(=0+3\times60\)
\(=180 cm/sec\)
\(\therefore v=180 cm/sec\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। \(x^2-8x+c=0\) এর মূলদ্বয়-
\(i.\) সমান হবে যদি \(c=8\) হয়
\(ii.\) জটিল হবে যদি \(c\gt{16}\) হয়
\(iii.\) বাস্তব হবে যদি \(c\le{16}\) হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(a=1, \ b=-8\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=(-8)^2-4.1.c\)
\(=64-4c\)
মূলদ্বয় সমান হবে যদি \(D=64-4c=0\) হয়
\(\Rightarrow -4c=-64\)
\(\therefore c=16\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
মূলদ্বয় জটিল হবে যদি \(D\lt{0}\) হয়
\(\Rightarrow 64-4c\lt{0}\)
\(\Rightarrow -4c\lt{-64}\)
\(\Rightarrow 4c\gt{64}\)
\(\therefore c\gt{16}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয় বাস্তব হবে যদি \(D\ge{0}\) হয়
\(\Rightarrow 64-4c\ge{0}\)
\(\Rightarrow -4c\ge{-64}\)
\(\Rightarrow 4c\le{64}\)
\(\therefore c\le{16}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) সমান হবে যদি \(c=8\) হয়
\(ii.\) জটিল হবে যদি \(c\gt{16}\) হয়
\(iii.\) বাস্তব হবে যদি \(c\le{16}\) হয়
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2-8x+c=0\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(a=1, \ b=-8\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=(-8)^2-4.1.c\)
\(=64-4c\)
মূলদ্বয় সমান হবে যদি \(D=64-4c=0\) হয়
\(\Rightarrow -4c=-64\)
\(\therefore c=16\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
মূলদ্বয় জটিল হবে যদি \(D\lt{0}\) হয়
\(\Rightarrow 64-4c\lt{0}\)
\(\Rightarrow -4c\lt{-64}\)
\(\Rightarrow 4c\gt{64}\)
\(\therefore c\gt{16}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
মূলদ্বয় বাস্তব হবে যদি \(D\ge{0}\) হয়
\(\Rightarrow 64-4c\ge{0}\)
\(\Rightarrow -4c\ge{-64}\)
\(\Rightarrow 4c\le{64}\)
\(\therefore c\le{16}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(z=3i\)
১৫। \(\overline{z}\) দ্বারা গঠিত বিন্দু কোনটি?\(z=3i\)
ক \((0, -3)\)
গ \((-3, 0)\)
গ \((-3, 0)\)
খ \((0, 3)\)
ঘ \((3, 0)\)
\(z=0+3i\)ঘ \((3, 0)\)
এখন, \(\overline{z}\)
\(=\overline{0+3i}\)
\(=0-3i\)
এখানে, \(x=0, \ y=-3\)
বিন্দু, \((0, -3)\)
উত্তরঃ (ক)
১৬। \(\overline{z}\) এর সাধারণ আর্গুমেন্ট কত?
এখন, \(\overline{z}\)
\(=\overline{0+3i}\)
\(=0-3i\)
এখানে, \(x=0, \ y=-3\)
আর্গুমেন্ট, \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-3}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\infty}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
সাধারণ আর্গুমেন্ট \(=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2n\pi+\frac{\pi}{2}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{2}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{2}\)
খ \(2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(n\pi-\frac{\pi}{2}\)
\(z=0+3i\)ঘ \(n\pi-\frac{\pi}{2}\)
এখন, \(\overline{z}\)
\(=\overline{0+3i}\)
\(=0-3i\)
এখানে, \(x=0, \ y=-3\)
আর্গুমেন্ট, \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-3}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\infty}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
সাধারণ আর্গুমেন্ট \(=2n\pi-\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(9x^2-24xy+12y^2-48x-24y+36=0\) সমীকরণটি কি নির্দেশ করে?
এখানে, \(a=9, \ 2h=-24, \ b=12, \ 2g=-48, \ 2f=-24, \ c=36,\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(\therefore a=9, \ h=-12, \ b=12, \ g=-24, \ f=-12, \ c=36\)
এখন, \(ab-h^2=9\times12-(-12)^2\)
\(=108-144\)
\(=-36\lt{0}\)
\(\therefore ab-h^2\lt{0}\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত।
উত্তরঃ (ঘ)
ক বৃত্ত
গ উপবৃত্ত
গ উপবৃত্ত
খ পরাবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\(9x^2-24xy+12y^2-48x-24y+36=0\)ঘ অধিবৃত্ত
এখানে, \(a=9, \ 2h=-24, \ b=12, \ 2g=-48, \ 2f=-24, \ c=36,\) \(ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
\(\therefore a=9, \ h=-12, \ b=12, \ g=-24, \ f=-12, \ c=36\)
এখন, \(ab-h^2=9\times12-(-12)^2\)
\(=108-144\)
\(=-36\lt{0}\)
\(\therefore ab-h^2\lt{0}\)
\(\therefore \) সমীকরণটি একটি অধিবৃত্ত।
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(\sqrt{-3}\times\sqrt{-1}\) এর মান কোনটি?
\(=\sqrt{3}i\times{i}\) যেহেতু \(\sqrt{-1}=i\)
\(=\sqrt{3}i^2\)
\(=\sqrt{3}\times-1\) যেহেতু \(i^2=-1\)
\(=-\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{3}i\)
গ \(-\sqrt{3}\)
গ \(-\sqrt{3}\)
খ \(\pm\sqrt{3}\)
ঘ \(\sqrt{3}\)
\(\sqrt{-3}\times\sqrt{-1}\)ঘ \(\sqrt{3}\)
\(=\sqrt{3}i\times{i}\) যেহেতু \(\sqrt{-1}=i\)
\(=\sqrt{3}i^2\)
\(=\sqrt{3}\times-1\) যেহেতু \(i^2=-1\)
\(=-\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। দুইটি বলের লব্ধি বৃহত্তম হলে, তাদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
বলদ্বয়ের লব্ধি বৃহত্তম হবে যদি, \(\cos{\alpha}\) এর মান বৃহত্তম হয়।
\(\cos{\alpha}\) এর মান বৃহত্তম মান \(1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{0^{o}}\)
\(\therefore \alpha=0^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(180^{o}\)
গ \(-180^{o}\)
গ \(-180^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(0^{o}\)
ধরি, বলদ্বয় \(P, \ Q\) মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)ঘ \(0^{o}\)
বলদ্বয়ের লব্ধি বৃহত্তম হবে যদি, \(\cos{\alpha}\) এর মান বৃহত্তম হয়।
\(\cos{\alpha}\) এর মান বৃহত্তম মান \(1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{0^{o}}\)
\(\therefore \alpha=0^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২০। \(x+iy=(i)^{-2021}+2(\omega)^{-2019}\) হলে, \(\frac{y}{x}=?\)
\(=\frac{1}{(i)^{2021}}+2\frac{1}{(\omega)^{2019}}\)
\(=\frac{1}{(i^2)^{1010}\times{i}}+2\frac{1}{(\omega^3)^{673}}\)
\(=\frac{1}{(-1)^{1010}\times{i}}+2\frac{1}{(1)^{673}},\) যেহেতু \(i^2=-1, \ \omega^3=1\)
\(=\frac{1}{i}+2\)
\(=\frac{i}{i^2}+2\)
\(=\frac{i}{-1}+2\)
\(=-i+2\)
\(\therefore x+iy=2-i\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=-1\)
\(\therefore \frac{y}{x}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(-2\)
\(x+iy=(i)^{-2021}+2(\omega)^{-2019}\)ঘ \(-2\)
\(=\frac{1}{(i)^{2021}}+2\frac{1}{(\omega)^{2019}}\)
\(=\frac{1}{(i^2)^{1010}\times{i}}+2\frac{1}{(\omega^3)^{673}}\)
\(=\frac{1}{(-1)^{1010}\times{i}}+2\frac{1}{(1)^{673}},\) যেহেতু \(i^2=-1, \ \omega^3=1\)
\(=\frac{1}{i}+2\)
\(=\frac{i}{i^2}+2\)
\(=\frac{i}{-1}+2\)
\(=-i+2\)
\(\therefore x+iy=2-i\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=-1\)
\(\therefore \frac{y}{x}=\frac{-1}{2}=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
২১। \(x^2+mx+n=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2+i\) হলে, \(m, \ n\) এর মান কত?
অপর মূলটি হবে, \(2-i\)
সমীকরণ, \(x^2-(2+i+2-i)x+(2+i)(2-i)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=0\)
\(\therefore x^2-4x+5=0\)
এখন, \(x^2+mx+n=x^2-4x+5=0\)
\(\therefore m=-4, \ n=5\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(m=4, \ n=5\)
গ \(m=-4, \ n=-5\)
গ \(m=-4, \ n=-5\)
খ \(m=-4, \ n=5\)
ঘ \(m=4, \ n=-5\)
\(x^2+mx+n=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2+i\)ঘ \(m=4, \ n=-5\)
অপর মূলটি হবে, \(2-i\)
সমীকরণ, \(x^2-(2+i+2-i)x+(2+i)(2-i)=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+2^2-i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+1=0\)
\(\therefore x^2-4x+5=0\)
এখন, \(x^2+mx+n=x^2-4x+5=0\)
\(\therefore m=-4, \ n=5\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(9x^2+7y^2=63\) কণিকের ক্ষেত্রফল কত?
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{63}+\frac{7y^2}{63}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{7})^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{7}, \ b=3,\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) এর সাথে তুলুনা করে।
ক্ষেত্রফল, \(=ab\pi\)
\(=\sqrt{7}\times3\pi\)
\(=3\sqrt{7}\pi\) উত্তরঃ (ঘ)
ক \(7\pi\)
গ \(7\sqrt{3}\pi\)
গ \(7\sqrt{3}\pi\)
খ \(9\pi\)
ঘ \(3\sqrt{7}\pi\)
\(9x^2+7y^2=63\)ঘ \(3\sqrt{7}\pi\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{63}+\frac{7y^2}{63}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{7}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(\sqrt{7})^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{7}, \ b=3,\) \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) এর সাথে তুলুনা করে।
ক্ষেত্রফল, \(=ab\pi\)
\(=\sqrt{7}\times3\pi\)
\(=3\sqrt{7}\pi\) উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(\tan^{-1}{2}+\cot^{-1}{\frac{1}{3}}\) এর মান কত?
\(=\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{2+3}{1-2\times3}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{1-6}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{-5}}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\tan{\frac{\pi}{4}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{5\pi}{4}\)
গ \(\frac{5\pi}{4}\)
খ \(\frac{3\pi}{4}\)
ঘ \(-\frac{\pi}{4}\)
\(\tan^{-1}{2}+\cot^{-1}{\frac{1}{3}}\)ঘ \(-\frac{\pi}{4}\)
\(=\tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{3}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{2+3}{1-2\times3}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{1-6}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{-5}}\)
\(=\tan^{-1}{(-1)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(-\tan{\frac{\pi}{4}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(-1-i\sqrt{3}\) এর অনুবন্ধী রাশির আর্গুমেন্ট কত?
\(=\overline{-1-i\sqrt{3}}\)
\(=-1+i\sqrt{3}\)
এখানে, \(x=-1, \ y=\sqrt{3}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{\pi}{3}\)
গ \(-\frac{2\pi}{3}\)
গ \(-\frac{2\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(-1-i\sqrt{3}\) এর অনুবন্ধী রাশি,ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(=\overline{-1-i\sqrt{3}}\)
\(=-1+i\sqrt{3}\)
এখানে, \(x=-1, \ y=\sqrt{3}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(3x^2-6x+4=0\) সমীকরণের মূলদ্বয়-
এখানে, \(a=3, \ b=-6, \ c=4\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=(-6)^2-4.3.4\)
\(=36-48\)
\(=-12\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।
উত্তরঃ (ঘ)
ক বাস্তব ও সমান
গ জটিল ও সমান
গ জটিল ও সমান
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ জটিল ও অসমান
\(3x^2-6x+4=0\)ঘ জটিল ও অসমান
এখানে, \(a=3, \ b=-6, \ c=4\)
\(D=b^2-4ac\)
\(=(-6)^2-4.3.4\)
\(=36-48\)
\(=-12\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল ও অসমান।
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000006