শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(-1+i\) এর আর্গুমেন্ট কত?
এখানে, \(x=-1, \ y=1\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{3\pi}{4}\)
খ \(-\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{5\pi}{4}\)
\(-1+i\)ঘ \(\frac{5\pi}{4}\)
এখানে, \(x=-1, \ y=1\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{1}{-1}}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{1}\)
\(=\pi-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{4}\)
\(=\frac{4\pi-\pi}{4}\)
\(=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তর ঃ (গ)
২। \(x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\) এবং \(y=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\) হলে, \(1-x-y+xy\) এর মান কত?
প্রদত্ত রাশি \(1-x-y+xy\)
\(=1-\omega-\omega^2+\omega\times\omega^2\)
\(=1-\omega-\omega^2+\omega^3\)
\(=1-\omega-\omega^2+1\)
\(=2-\omega-\omega^2\)
\(=3-1-\omega-\omega^2\)
\(=3-(1+\omega+\omega^2)\)
\(=3-(0)\)
\(=3\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(-2\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(2\)
ঘ \(-3\)
\(x=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})=\omega\) এবং \(y=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})=\omega^2\)ঘ \(-3\)
প্রদত্ত রাশি \(1-x-y+xy\)
\(=1-\omega-\omega^2+\omega\times\omega^2\)
\(=1-\omega-\omega^2+\omega^3\)
\(=1-\omega-\omega^2+1\)
\(=2-\omega-\omega^2\)
\(=3-1-\omega-\omega^2\)
\(=3-(1+\omega+\omega^2)\)
\(=3-(0)\)
\(=3\)
উত্তর ঃ (গ)
৩। \(8+4\sqrt{5}i\) এর বর্গমূল কোনটি?
\(=\pm\sqrt{8+4\sqrt{5}i}\)
\(=\pm\sqrt{10+4\sqrt{5}i-2}\)
\(=\pm\sqrt{10+4\sqrt{5}i+2i^2}\)
\(=\pm\sqrt{(\sqrt{10})^2+2.\sqrt{10}.\sqrt{2}i+(\sqrt{2}i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2}i)^2}\)
\(=\pm(\sqrt{10}+\sqrt{2}i)\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(\pm(3-2i)\)
গ \(\pm(\sqrt{10}+\sqrt{2}i)\)
গ \(\pm(\sqrt{10}+\sqrt{2}i)\)
খ \(\pm(\sqrt{10}-\sqrt{2}i)\)
ঘ \(\pm(3+2i)\)
\(8+4\sqrt{5}i\) এর বর্গমূল,ঘ \(\pm(3+2i)\)
\(=\pm\sqrt{8+4\sqrt{5}i}\)
\(=\pm\sqrt{10+4\sqrt{5}i-2}\)
\(=\pm\sqrt{10+4\sqrt{5}i+2i^2}\)
\(=\pm\sqrt{(\sqrt{10})^2+2.\sqrt{10}.\sqrt{2}i+(\sqrt{2}i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{(\sqrt{10}+\sqrt{2}i)^2}\)
\(=\pm(\sqrt{10}+\sqrt{2}i)\)
উত্তর ঃ (গ)
৪। \((\sqrt{-5}-1)\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নিচের কোনটি?
দ্বিঘাত সমীকরণ, \(x^2-(\sqrt{-5}-1-\sqrt{-5}-1)x+(\sqrt{-5}-1)(-\sqrt{-5}-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-2)x+(-1+\sqrt{-5})(-1-\sqrt{-5})=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+\{(-1)^2-(\sqrt{-5})^2\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+\{1-(-5)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+\{1+5\}=0\)
\(\therefore x^2+2x+6=0\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(x^2+2x+6=0\)
গ \(x^2+2x-6=0\)
গ \(x^2+2x-6=0\)
খ \(x^2+x+3=0\)
ঘ \(x^2+x-3=0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \((\sqrt{-5}-1)\) হলে, অপর মূলটি হবে \((-\sqrt{-5}-1)\)ঘ \(x^2+x-3=0\)
দ্বিঘাত সমীকরণ, \(x^2-(\sqrt{-5}-1-\sqrt{-5}-1)x+(\sqrt{-5}-1)(-\sqrt{-5}-1)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-2)x+(-1+\sqrt{-5})(-1-\sqrt{-5})=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+\{(-1)^2-(\sqrt{-5})^2\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+\{1-(-5)\}=0\)
\(\Rightarrow x^2+2x+\{1+5\}=0\)
\(\therefore x^2+2x+6=0\)
উত্তর ঃ (ক)
৫। \(p\) এর কীরূপ মানের জন্য \(x^2+px+1=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে?
এখানে, \(a=1, \ b=p, \ c=1\) সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক, \(D=b^2-4ac\)
\(=p^2-4.1.1\)
\(=p^2-4\)
সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে যদি, \(D\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow p^2-4\lt{0}\)
\(\Rightarrow p^2-2^2\lt{0}\)
\(\Rightarrow (p+2)(p-2)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{p}\lt{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(-2\le{p}\le{2}\)
গ \(-2\lt{p}\lt{2}\)
গ \(-2\lt{p}\lt{2}\)
খ \(-4\lt{p}\le{4}\)
ঘ \(-4\le{p}\lt{4}\)
\(x^2+px+1=0\)ঘ \(-4\le{p}\lt{4}\)
এখানে, \(a=1, \ b=p, \ c=1\) সমীকরণটিকে \(ax^2+bx+c=0\) এর সাথে তুলুনা করে।
নিশ্চায়ক, \(D=b^2-4ac\)
\(=p^2-4.1.1\)
\(=p^2-4\)
সমীকরণের মূলদ্বয় জটিল হবে যদি, \(D\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow p^2-4\lt{0}\)
\(\Rightarrow p^2-2^2\lt{0}\)
\(\Rightarrow (p+2)(p-2)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{p}\lt{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
৬। \(3x^3-1=0\) সমীকরণের মূলগুলি \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\) এর মান কত?
তাহলে, \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{0}{3}, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{-1}{3}\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=0, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=0, \ \alpha\beta\gamma=\frac{1}{3}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)
\(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+3\alpha\beta\gamma\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\alpha\gamma)+3\alpha\beta\gamma\)
\(=0.(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\alpha\gamma)+3\times\frac{1}{3}\)
\(=0+1\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(-1\)
গ \(-3\)
গ \(-3\)
খ \(1\)
ঘ \(3\)
\(3x^3-1=0 \Rightarrow 3x^3+0.x^2+0.x-1=0\) সমীকরণের মূলগুলি \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)ঘ \(3\)
তাহলে, \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{0}{3}, \ \alpha\beta\gamma=-\frac{-1}{3}\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=0, \ \alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=0, \ \alpha\beta\gamma=\frac{1}{3}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)
\(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+3\alpha\beta\gamma\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\alpha\gamma)+3\alpha\beta\gamma\)
\(=0.(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-\alpha\beta-\beta\gamma-\alpha\gamma)+3\times\frac{1}{3}\)
\(=0+1\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (খ)
৭। \(x^2-2x+4=0\) সমীকরণটির-
\(i.\) মূলদ্বয়ের যোগফল \(=3\)
\(ii.\) মূলদ্বয়ের গুণফল \(=4\)
\(iii.\) মূলগূলো জটিল সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{-2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
মূলদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{4}{1}\)
\(=4\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\) হয়
\(=(-2)^2-4.1.4\)
\(=4-16\)
\(=-12\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore \) মূলগূলো জটিল সংখ্যা
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (খ)
\(i.\) মূলদ্বয়ের যোগফল \(=3\)
\(ii.\) মূলদ্বয়ের গুণফল \(=4\)
\(iii.\) মূলগূলো জটিল সংখ্যা
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2-2x+4=0\) সমীকরণটিরঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
মূলদ্বয়ের যোগফল \(=-\frac{-2}{1}\)
\(=2\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
মূলদ্বয়ের গুণফল \(=\frac{4}{1}\)
\(=4\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\) হয়
\(=(-2)^2-4.1.4\)
\(=4-16\)
\(=-12\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore \) মূলগূলো জটিল সংখ্যা
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (খ)
৮। \(\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\) এর মান কত?
\(=\tan{\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\right)}\right\}}\)
\(=\left(\frac{\frac{2+3}{6}}{1-\frac{1}{6}}\right)\)
\(=\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right)\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(2\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(1\)
ঘ \(5\)
\(\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{3}}+\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}\)ঘ \(5\)
\(=\tan{\left\{\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{1}{3}+\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}}\right)}\right\}}\)
\(=\left(\frac{\frac{2+3}{6}}{1-\frac{1}{6}}\right)\)
\(=\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right)\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (খ)
৯। \(\tan{(\cos^{-1}{x})}=\sin{(\tan^{-1}{2})}\) হলে, \(x\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \tan{(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}})}=\sin{(\sin^{-1}{\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2}}})}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=\frac{2}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{1-x^2}{x^2}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 4x^2=5-5x^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+5x^2=5\)
\(\Rightarrow 9x^2=5\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{5}{9}\)
\(\therefore x=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\tan{(\cos^{-1}{x})}=\sin{(\tan^{-1}{2})}\)ঘ \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \tan{(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{1-x^2}}{x}})}=\sin{(\sin^{-1}{\frac{2}{\sqrt{2^2+1^2}}})}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=\frac{2}{\sqrt{4+1}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{1-x^2}}{x}=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{1-x^2}{x^2}=\frac{4}{5}\)
\(\Rightarrow 4x^2=5-5x^2\)
\(\Rightarrow 4x^2+5x^2=5\)
\(\Rightarrow 9x^2=5\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{5}{9}\)
\(\therefore x=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
উত্তর ঃ (ক)
১০। \(arc\tan{\left\{\sin{\left(arc\cos{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}}\) এর মান কত?
\(=\tan^{-1}{\left\{\sin{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\sin{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3-2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\frac{\pi}{6}}\right\}}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{\pi}{6}\)
\(arc\tan{\left\{\sin{\left(arc\cos{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}}\)ঘ \(\frac{\pi}{6}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\sin{\left(\cos^{-1}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\sin{\left(\sin^{-1}{\frac{\sqrt{3-2}}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\frac{1}{\sqrt{3}}\right\}}\)
\(=\tan^{-1}{\left\{\tan{\frac{\pi}{6}}\right\}}\)
\(=\frac{\pi}{6}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
১১। \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে, \(\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেহেতু \(\cos{\theta}=\cos{\alpha} \Rightarrow \theta=2n\pi\pm\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{3\times3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(\frac{2}{3}n\pi-\frac{\pi}{9}\)
গ \(n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
গ \(n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
খ \(\frac{2}{3}n\pi+\frac{\pi}{9}\)
ঘ \(\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
\(\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\)ঘ \(\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\) যেহেতু \(\cos{\theta}=\cos{\alpha} \Rightarrow \theta=2n\pi\pm\alpha\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{3\times3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
১২। \(cosec \ {\theta}+\cot{\theta}=\sqrt{3}\) হলে, \(\theta\) এর মান কত?
\((0\lt{\theta}\lt{2\pi})\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1+\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\theta}=\sqrt{3}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}=-1\)
উভয় পার্শ্বে \(\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2\) ভাগ করে,
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\cos{\theta}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{\theta}\sin{\frac{\pi}{3}}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \theta+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2\pi-\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\)
উত্তর ঃ (গ)
\((0\lt{\theta}\lt{2\pi})\)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{\pi}{6}\)
\(cosec \ {\theta}+\cot{\theta}=\sqrt{3}\)ঘ \(\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sin{\theta}}+\frac{\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{1+\cos{\theta}}{\sin{\theta}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\theta}=\sqrt{3}\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\sqrt{3}\sin{\theta}=-1\)
উভয় পার্শ্বে \(\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}=\sqrt{4}=2\) ভাগ করে,
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\cos{\theta}-\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\theta}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}\cos{\frac{\pi}{3}}-\sin{\theta}\sin{\frac{\pi}{3}}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\theta+\frac{\pi}{3}\right)}=\cos{\frac{2\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow \theta+\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2\pi-\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{3}\)
উত্তর ঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৩ ও ১৪ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=\tan{x}\) এবং \(g(x)=\sin^{-1}{x}\)
১৩। \(g(y)+g(\sqrt{1-y^2})\) এর মান নিচের কোনটি?\(f(x)=\tan{x}\) এবং \(g(x)=\sin^{-1}{x}\)
ক \(\pi\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(2\pi\)
ঘ \(\frac{\pi}{3}\)
\(g(x)=\sin^{-1}{x}\)ঘ \(\frac{\pi}{3}\)
প্রদত্ত রাশি, \(g(y)+g(\sqrt{1-y^2})\)
\(=\sin^{-1}{y}+\sin^{-1}{\sqrt{1-y^2}}\)
\(=\sin^{-1}{y}+\cos^{-1}{y}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
১৪। \(f(x)f(2x)=1\) হলে, \(x\) এর মান কত?
\((0\lt{\theta}\lt{2\pi})\)
এখন, \(f(x)f(2x)=1\)
\(\Rightarrow \tan{x}\tan{2x}=1\)
\(\Rightarrow \tan{x}\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2\tan^2{x}}{1-\tan^2{x}}=1\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{x}=1-\tan^2{x}\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{x}+\tan^2{x}=1\)
\(\Rightarrow 3\tan^2{x}=1\)
\(\Rightarrow \tan^2{x}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\pm\frac{\pi}{6}}\)
\(\therefore x=n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তর ঃ (ক)
\((0\lt{\theta}\lt{2\pi})\)
ক \(n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(n\pi\pm\frac{\pi}{3}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(f(x)=\tan{x} \Rightarrow f(2x)=\tan{2x}\)ঘ \(2n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
এখন, \(f(x)f(2x)=1\)
\(\Rightarrow \tan{x}\tan{2x}=1\)
\(\Rightarrow \tan{x}\frac{2\tan{x}}{1-\tan^2{x}}=1\)
\(\Rightarrow \frac{2\tan^2{x}}{1-\tan^2{x}}=1\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{x}=1-\tan^2{x}\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{x}+\tan^2{x}=1\)
\(\Rightarrow 3\tan^2{x}=1\)
\(\Rightarrow \tan^2{x}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{x}=\tan{\pm\frac{\pi}{6}}\)
\(\therefore x=n\pi\pm\frac{\pi}{6}, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তর ঃ (ক)
১৫। \((x-4)^2=-4(y-5)\) পরাবৃত্তের নিয়ামকের সমীকরণ নিচের কোনটি?
এখন, \(4a=-4\)
\(\therefore a=-1\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y-5=-a\)
\(\Rightarrow y-5=-(-1)\)
\(\Rightarrow y=1+5\)
\(\therefore y=6\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(x=4\)
গ \(x=5\)
গ \(x=5\)
খ \(y=6\)
ঘ \(y=5\)
\((x-4)^2=-4(y-5)\)ঘ \(y=5\)
এখন, \(4a=-4\)
\(\therefore a=-1\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y-5=-a\)
\(\Rightarrow y-5=-(-1)\)
\(\Rightarrow y=1+5\)
\(\therefore y=6\)
উত্তর ঃ (খ)
১৬। \(y^2=-12x\) পরাবৃত্তের-
\(i.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=16\) একক
\(ii.\) অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
\(iii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(x=3\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখন, \(4a=-12\)
\(\therefore a=-3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times-3|\)
\(=|-12|\)
\(=12\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-(-3)\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (খ)
\(i.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=16\) একক
\(ii.\) অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
\(iii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(x=3\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(y^2=-12x\) পরাবৃত্তেরঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখন, \(4a=-12\)
\(\therefore a=-3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times-3|\)
\(=|-12|\)
\(=12\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
অক্ষের সমীকরণ \(y=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-(-3)\)
\(\therefore x=3\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(8x^2+3y^2=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
১৭। উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য নিচের কোনটি?\(8x^2+3y^2=1\) একটি উপবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
গ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
গ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(8x^2+3y^2=1\)ঘ \(\frac{\sqrt{3}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\left|\frac{2a^2}{b}\right|\)
\(=\left|\frac{2\times\frac{1}{8}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right|\)
\(=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\)
\(=\frac{1}{4}\times\frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{4}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
১৮। উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \(\left(0, \pm{b}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(\left(0, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
গ \(\left(0, \pm\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
গ \(\left(0, \pm\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\)
খ \(\left(\pm\frac{1}{\sqrt{3}}, 0\right)\)
ঘ \(\left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}, 0\right)\)
\(8x^2+3y^2=1\)ঘ \(\left(\pm\frac{2}{\sqrt{3}}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{\frac{1}{8}}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{\left(\frac{1}{2\sqrt{2}}\right)^2}+\frac{y^2}{\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2}=1\)
এখানে, \(a=\frac{1}{2\sqrt{2}}, \ b=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
উপবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \(\left(0, \pm{b}\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\)
উত্তর ঃ (ক)
১৯। \(x^2-y^2=18\) অধিবৃত্তের ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(3\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{(3\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=3\sqrt{2}, \ b=3\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{18}{18}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times3\sqrt{2}\times\sqrt{2}|\)
\(=12\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(6\)
গ \(16\)
গ \(16\)
খ \(12\)
ঘ \(18\)
\(x^2-y^2=18\)ঘ \(18\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(3\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{(3\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=3\sqrt{2}, \ b=3\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{18}{18}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times3\sqrt{2}\times\sqrt{2}|\)
\(=12\)
উত্তর ঃ (খ)
২০। \(3P\) ও \(5P\) মানের দুইটি বল পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করে। তাদের লব্ধির মান কত?
\(\therefore R=\sqrt{(3P)^2+(5P)^2+2.3P.5P\cos{90^{o}}}\)
\(=\sqrt{9P^2+25P^2+30P^2\times0}\)
\(=\sqrt{34P^2+0}\)
\(=\sqrt{34}P\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(3P\)
গ \(\sqrt{34}P\)
গ \(\sqrt{34}P\)
খ \(2\sqrt{2}P\)
ঘ \(\sqrt{43}P\)
\(3P\) ও \(5P\) মানের দুইটি বল পরস্পর লম্বভাবে ক্রিয়া করে। ধরি, তাদের লব্ধি \(R\)ঘ \(\sqrt{43}P\)
\(\therefore R=\sqrt{(3P)^2+(5P)^2+2.3P.5P\cos{90^{o}}}\)
\(=\sqrt{9P^2+25P^2+30P^2\times0}\)
\(=\sqrt{34P^2+0}\)
\(=\sqrt{34}P\)
উত্তর ঃ (গ)
২১। যদি \(\sqrt{5}\) এককের দুইটি সমান বল \(120^{o}\) কোণে এক বিন্দুতে কাজ করে, তাহলে-
\(i.\) তাদের লব্ধি \(\sqrt{5}\) একক
\(ii.\) \(\sqrt{5}\) একক বলের সাথে লব্ধি \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(iii.\) লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ছোট
নিচের কোনটি সঠিক?
ধরি, তাদের লব্ধি \(R\)
\(\therefore R=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2+2.\sqrt{5}.\sqrt{5}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{5+5+10\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{10-5}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\sqrt{5}\) একক বলের সাথে লব্ধি \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}\sin{120^{o}}}{\sqrt{5}+\sqrt{5}\cos{120^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{5}\times-\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\sqrt{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\tan{60^{o}}\right)}\)
\(=60^{o}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বলদ্বয়ের যোগফল \(=2\sqrt{5},\) লব্ধি \(\sqrt{5}\)
\(\therefore\) লব্ধি \(\lt\) বলদ্বয়ের যোগফল
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)
\(i.\) তাদের লব্ধি \(\sqrt{5}\) একক
\(ii.\) \(\sqrt{5}\) একক বলের সাথে লব্ধি \(60^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(iii.\) লব্ধি বলদ্বয়ের যোগফল অপেক্ষা ছোট
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\sqrt{5}\) এককের দুইটি সমান বল \(120^{o}\) কোণে এক বিন্দুতে কাজ করে।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ধরি, তাদের লব্ধি \(R\)
\(\therefore R=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2+2.\sqrt{5}.\sqrt{5}\cos{120^{o}}}\)
\(=\sqrt{5+5+10\times-\frac{1}{2}}\)
\(=\sqrt{10-5}\)
\(=\sqrt{5}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\sqrt{5}\) একক বলের সাথে লব্ধি \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করে।
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}\sin{120^{o}}}{\sqrt{5}+\sqrt{5}\cos{120^{o}}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{5}\times-\frac{1}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{5}-\frac{\sqrt{5}}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\frac{\sqrt{5}\times\sqrt{3}}{2}\times\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\sqrt{3}\right)}\)
\(=\tan^{-1}{\left(\tan{60^{o}}\right)}\)
\(=60^{o}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বলদ্বয়ের যোগফল \(=2\sqrt{5},\) লব্ধি \(\sqrt{5}\)
\(\therefore\) লব্ধি \(\lt\) বলদ্বয়ের যোগফল
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)
২২। \(P, \ \sqrt{3}P, \ P\) বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে। \(P\) ও \(\sqrt{3}P\) বলের মধ্যবর্তী কোণ কত?
ফলে, \(P\) ও \(\sqrt{3}P\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\)
ধরি, মধ্যবর্তী কোণ \(alpha\)
\(\Rightarrow P^2+(\sqrt{3}P)^2+2.P.\sqrt{3}P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow P^2+3P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2-4P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=-3P^2\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3P^2}{2\sqrt{3}P^2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(90^{o}\)
গ \(130^{o}\)
গ \(130^{o}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(150^{o}\)
\(P, \ \sqrt{3}P, \ P\) বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে।ঘ \(150^{o}\)
ফলে, \(P\) ও \(\sqrt{3}P\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\)
ধরি, মধ্যবর্তী কোণ \(alpha\)
\(\Rightarrow P^2+(\sqrt{3}P)^2+2.P.\sqrt{3}P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow P^2+3P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2-4P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=-3P^2\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{3P^2}{2\sqrt{3}P^2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২৩। একজন ক্রিকেটার একটি ক্রিকেট বলকে আনুভূমিকের সাথে \(60^{o}\) কোণে \(20\) মিটার/সে. বেগে আঘাত করলে বলটির বিচরণকাল কত?
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times20\times\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{40\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{g}\)
\(=\frac{20\sqrt{3}}{g}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(\frac{10}{g}\) সে.
গ \(\frac{20}{g}\) সে.
গ \(\frac{20}{g}\) সে.
খ \(\frac{10\sqrt{3}}{g}\) সে.
ঘ \(\frac{20\sqrt{3}}{g}\) সে.
এখানে, \(\alpha=60^{o},\) \(u=20\) মিটার/সে.ঘ \(\frac{20\sqrt{3}}{g}\) সে.
বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times20\times\sin{60^{o}}}{g}\)
\(=\frac{40\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{g}\)
\(=\frac{20\sqrt{3}}{g}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২৪। \(19.6\) মিটার/সে. আদিবেগে ভূমির সাথে \(45^{o}\) কোণে একটি বস্তুকণা শূন্যে নিক্ষেপ করা হলে সর্বাধিক কত মিটার উচ্চতায় উঠবে?
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(19.6)^2\sin^2{45^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{(19.6)^2\times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{19.6}\)
\(=19.6\times\frac{1}{2}\)
\(=9.8\) মিটার
উত্তর ঃ (ক)
ক \(9.8\) মিটার
গ \(10\) মিটার
গ \(10\) মিটার
খ \(11.025\) মিটার
ঘ \(12\) মিটার
এখানে, \(\alpha=45^{o},\) \(u=19.6\) মিটার/সে.ঘ \(12\) মিটার
সর্বাধিক উচ্চতা \(=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(19.6)^2\sin^2{45^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{(19.6)^2\times\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2}{19.6}\)
\(=19.6\times\frac{1}{2}\)
\(=9.8\) মিটার
উত্তর ঃ (ক)
২৫। \(30\) মিটার/সে. বেগে নিক্ষিপ্ত প্রক্ষেপকের পাল্লা \(60\) মিটার হলে, নিক্ষেপণ কোণ কত হবে?
ধরি, নিক্ষেপণ কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}=R\)
\(\Rightarrow \frac{(30)^2\sin{2\alpha}}{9.8}=60\)
\(\Rightarrow \frac{900\sin{2\alpha}}{9.8}=60\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=60\times\frac{9.8}{900}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\sin^{-1}{\frac{9.8}{15}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=40.78^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{40.78^{o}}{2}\)
\(\therefore \alpha=20.39^{o}\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(20.39^{o}\)
গ \(30^{o}\)
গ \(30^{o}\)
খ \(25^{o}\)
ঘ \(32.35^{o}\)
এখানে, \(u=30\) মিটার/সে. পাল্লা \(R=60\) মিটার.ঘ \(32.35^{o}\)
ধরি, নিক্ষেপণ কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}=R\)
\(\Rightarrow \frac{(30)^2\sin{2\alpha}}{9.8}=60\)
\(\Rightarrow \frac{900\sin{2\alpha}}{9.8}=60\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=60\times\frac{9.8}{900}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=\sin^{-1}{\frac{9.8}{15}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=40.78^{o}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{40.78^{o}}{2}\)
\(\therefore \alpha=20.39^{o}\)
উত্তর ঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001