শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2022
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2022 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\sin^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\) হলে \(x\) এর মান-
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5-4}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{1}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{1}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2+x}{1-2x}}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{1-2x}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{1-2x}=1\)
\(\Rightarrow 2+x=1-2x\)
\(\Rightarrow x+2x=1-2\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\therefore x=-\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
গ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
খ \(-\frac{1}{3}\)
ঘ \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\sin^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)ঘ \(-\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{5-4}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{\sqrt{1}}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\left(\frac{2}{1}\right)}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{2}+\tan^{-1}{x}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{2+x}{1-2x}}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{1-2x}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{2+x}{1-2x}=1\)
\(\Rightarrow 2+x=1-2x\)
\(\Rightarrow x+2x=1-2\)
\(\Rightarrow 3x=-1\)
\(\therefore x=-\frac{1}{3}\)
উত্তরঃ (খ)
২। \(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\) এর মুখ্যমান কত?
\(=\cos^{-1}{\left\{-\cos{\frac{\pi}{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\cos{\frac{\pi}{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{\pi}{3}\)
খ \(-\frac{2\pi}{3}\)
ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(\cos^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\)ঘ \(\frac{2\pi}{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\cos{\frac{\pi}{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{-\cos{\frac{\pi}{3}}\right\}}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\cos{\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}\)
\(=\pi-\frac{\pi}{3}\)
\(=\frac{3\pi-\pi}{3}\)
\(=\frac{2\pi}{3}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। যদি \(12\) এবং \(8\) একক মানের বলদ্বয় একটি বিন্দুতে এমন কোণে ক্রিয়াশীল যেন তাদের লব্ধি তাদের অন্তর্গত কোণের সমদ্বিখন্ডকের সাথে \(45^{o}\) কোণ উৎপন্ন করে, তবে বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণের মান কত?
চিত্রে,
\(\triangle{OAC}\) এ সাইন সূত্র ব্যবহার করে,
\(\frac{8}{\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{12}{\sin{(\alpha+45^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{(\alpha+45^{o})}}{\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{12}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{(\alpha+45^{o})}}{\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{(\alpha+45^{o})}+\sin{(\alpha-45^{o})}}{\sin{(\alpha+45^{o})}-\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{3+2}{3-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2\sin{\alpha}\cos{45^{o}}}{2\cos{\alpha}\sin{45^{o}}}=\frac{5}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\alpha}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}{\cos{\alpha}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}=5\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=5\)
\(\therefore \alpha=\tan^{-1}{5}\)
অন্তর্গত কোণ \(2\alpha\)
\(=2\tan^{-1}{5}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\tan^{-1}{10}\)
গ \(\tan^{-1}{5}\)
গ \(\tan^{-1}{5}\)
খ \(2\tan^{-1}{5}\)
ঘ \(2\tan^{-1}{2}\)
ধরি, \(12\) এবং \(8\) একক মানের বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(2\alpha\)ঘ \(2\tan^{-1}{2}\)
চিত্রে,
\(\triangle{OAC}\) এ সাইন সূত্র ব্যবহার করে,
\(\frac{8}{\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{12}{\sin{(\alpha+45^{o})}}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{(\alpha+45^{o})}}{\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{12}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{(\alpha+45^{o})}}{\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{(\alpha+45^{o})}+\sin{(\alpha-45^{o})}}{\sin{(\alpha+45^{o})}-\sin{(\alpha-45^{o})}}=\frac{3+2}{3-2}\)
\(\Rightarrow \frac{2\sin{\alpha}\cos{45^{o}}}{2\cos{\alpha}\sin{45^{o}}}=\frac{5}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\alpha}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}{\cos{\alpha}\times\frac{1}{\sqrt{2}}}=5\)
\(\Rightarrow \tan{\alpha}=5\)
\(\therefore \alpha=\tan^{-1}{5}\)
অন্তর্গত কোণ \(2\alpha\)
\(=2\tan^{-1}{5}\)
উত্তরঃ (খ)
৪।
বৃহত্তম বল হতে বলদ্বয়ের লব্ধির দূরত্ব হবে-
তাহলে, \(6.AC=2.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{2}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{1}{3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{36}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{36}{2}\)
\(\therefore AC=18 cm\)
উত্তরঃ (ঘ)
বৃহত্তম বল হতে বলদ্বয়ের লব্ধির দূরত্ব হবে-
ক \(54 cm\)
গ \(27 cm\)
গ \(27 cm\)
খ \(36 cm\)
ঘ \(18 cm\)
ধরি, লব্ধির ক্রিয়াবিন্দ \(C\)ঘ \(18 cm\)
তাহলে, \(6.AC=2.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{2}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{1}{3-1}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{36}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{36}{2}\)
\(\therefore AC=18 cm\)
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৫। প্রক্ষেপকটির বিচরণকাল-
ক \(\frac{5}{2}\) সেকেন্ড
গ \(10\) সেকেন্ড
গ \(10\) সেকেন্ড
খ \(5\) সেকেন্ড
ঘ \(\frac{245}{8}\) সেকেন্ড
চিত্রে দেওয়া আছে,ঘ \(\frac{245}{8}\) সেকেন্ড
\(u=49 m/s, \ \alpha=30^{o}\)
বিচরণকাল, \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times49\times\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{2\times49\times\frac{1}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{49}{9.8}\)
\(=5\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (গ)
৬। প্রক্ষেপকটির সর্বাধিক উচ্চতা-
\(u=49 m/s, \ \alpha=30^{o}\)
সর্বাধিক উচ্চতা, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(49)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{2401\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{19.6}\)
\(=\frac{2401\times\frac{1}{4}}{19.6}\)
\(=\frac{2401}{19.6\times4}\)
\(=\frac{2401}{78.4}\)
\(=\frac{245}{8}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{245}{8}\) মিটার
গ \(5\) মিটার
গ \(5\) মিটার
খ \(\frac{245}{4}\) মিটার
ঘ \(10\) মিটার
চিত্রে দেওয়া আছে,ঘ \(10\) মিটার
\(u=49 m/s, \ \alpha=30^{o}\)
সর্বাধিক উচ্চতা, \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(49)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{2401\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{19.6}\)
\(=\frac{2401\times\frac{1}{4}}{19.6}\)
\(=\frac{2401}{19.6\times4}\)
\(=\frac{2401}{78.4}\)
\(=\frac{245}{8}\)
উত্তরঃ (ক)
৭। একটি তীর একটি দেওয়ালের ভিতর \(3\) ইঞ্চি ঢুকার পর তার অর্ধেক বেগ হারায়। তীরটির বেগ শূন্য হওয়ার পূর্বে দেওয়ালের ভিতর আর কত ইঞ্চি ঢুকবে?
দেওয়ালের ভিতর \(3\) ইঞ্চি ঢুকার পর তার বেগ \(=u-\frac{u}{2}\)
\(=\frac{2u-u}{2}\)
\(=\frac{u}{2}\)
এখন, \(\left(\frac{u}{2}\right)^2=u^2-2.a.3\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{4}=u^2-6a\)
\(\Rightarrow 6a=u^2-\frac{u^2}{4}\)
\(\Rightarrow 6a=\frac{4u^2-u^2}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3u^2}{24}\)
\(\therefore a=\frac{u^2}{8}\)
ধরি, তীরটির বেগ শূন্য হওয়ার পূর্বে দেওয়ালের ভিতর \(x\) ইঞ্চি ঢুকবে
তাহলে, \(0^2=\left(\frac{u}{2}\right)^2-2xa\)
\(\Rightarrow 2xa=\frac{u^2}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{u^2}{8a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{u^2}{8\times\frac{u^2}{8}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{u^2}{u^2}\)
\(\therefore x=1\) ইঞ্চি
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(\frac{1}{3}\)
ঘ \(1\)
ধরি তীরটির আদিবেগ \(u\) এবং দেওয়ালের প্রতিরোধ মন্দন \(a\)ঘ \(1\)
দেওয়ালের ভিতর \(3\) ইঞ্চি ঢুকার পর তার বেগ \(=u-\frac{u}{2}\)
\(=\frac{2u-u}{2}\)
\(=\frac{u}{2}\)
এখন, \(\left(\frac{u}{2}\right)^2=u^2-2.a.3\)
\(\Rightarrow \frac{u^2}{4}=u^2-6a\)
\(\Rightarrow 6a=u^2-\frac{u^2}{4}\)
\(\Rightarrow 6a=\frac{4u^2-u^2}{4}\)
\(\Rightarrow a=\frac{3u^2}{24}\)
\(\therefore a=\frac{u^2}{8}\)
ধরি, তীরটির বেগ শূন্য হওয়ার পূর্বে দেওয়ালের ভিতর \(x\) ইঞ্চি ঢুকবে
তাহলে, \(0^2=\left(\frac{u}{2}\right)^2-2xa\)
\(\Rightarrow 2xa=\frac{u^2}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{u^2}{8a}\)
\(\Rightarrow x=\frac{u^2}{8\times\frac{u^2}{8}}\)
\(\Rightarrow x=\frac{u^2}{u^2}\)
\(\therefore x=1\) ইঞ্চি
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(20 m/sec\) বেগে খাড়া উর্ধবগামী একটি বেলুন হতে একখণ্ড পাথর ফেলে দেওয়া হলো। পাথরটি \(10\) সেকেন্ডে ভূমিতে পতিত হয়। পাথরটি যখন ফেলা হয়েছিল, তখন বেলুনের উচ্চতা কত মিটার ছিল?
ধরি, উচ্চতা \(=h\) মিটার
তাহলে, \(h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(=-20\times10+\frac{1}{2}\times9.8\times10^2\)
\(=-200+4.9\times100\)
\(=-200+490\)
\(=290\) মিটার
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(780\)
গ \(580\)
গ \(580\)
খ \(690\)
ঘ \(290\)
এখানে, \(u=20 m/sec, \ t=10 sec\)ঘ \(290\)
ধরি, উচ্চতা \(=h\) মিটার
তাহলে, \(h=-ut+\frac{1}{2}gt^2\)
\(=-20\times10+\frac{1}{2}\times9.8\times10^2\)
\(=-200+4.9\times100\)
\(=-200+490\)
\(=290\) মিটার
উত্তরঃ (ঘ)
৯। \(z_{1}=1+2i\) এবং \(z_{2}=3+i\) হলে, \(\overline{z_{1}}-z_{2}\) এর মডুলাস হলো-
\(\overline{z_{1}}-z_{2}\)
\(=\overline{1+2i}-(3+i)\)
\(=1-2i-3-i\)
\(=-2-3i\)
\(\therefore \overline{z_{1}}-z_{2}=-2-3i\)
\(\therefore -2-3i\) এর মডুলাস \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+9}\)
\(=\sqrt{13}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{5}\)
গ \(\sqrt{25}\)
গ \(\sqrt{25}\)
খ \(\sqrt{13}\)
ঘ \(5\sqrt{2}\)
\(z_{1}=1+2i\) এবং \(z_{2}=3+i\) হলে,ঘ \(5\sqrt{2}\)
\(\overline{z_{1}}-z_{2}\)
\(=\overline{1+2i}-(3+i)\)
\(=1-2i-3-i\)
\(=-2-3i\)
\(\therefore \overline{z_{1}}-z_{2}=-2-3i\)
\(\therefore -2-3i\) এর মডুলাস \(=\sqrt{(-2)^2+(-3)^2}\)
\(=\sqrt{4+9}\)
\(=\sqrt{13}\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \(z=1-i\) হলে, \(z-\overline{z}\) এর বর্গমূল কত?
\(z-\overline{z}\)
\(=1-i-\overline{1-i}\)
\(=1-i-(1+i)\)
\(=1-i-1-i\)
\(=-2i\)
\(\therefore z-\overline{z}=-2i\)
\(\therefore-2i\) এর বর্গমূল \(=\pm\sqrt{-2i}\)
\(=\pm\sqrt{1-2i-1}\)
\(=\pm\sqrt{1^2-2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\sqrt{(1-i)^2}\)
\(=\pm(1-i)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-1-i\)
গ \(\pm(1-i)\)
গ \(\pm(1-i)\)
খ \(\pm(1+i)\)
ঘ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
\(z=1-i\) হলে,ঘ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
\(z-\overline{z}\)
\(=1-i-\overline{1-i}\)
\(=1-i-(1+i)\)
\(=1-i-1-i\)
\(=-2i\)
\(\therefore z-\overline{z}=-2i\)
\(\therefore-2i\) এর বর্গমূল \(=\pm\sqrt{-2i}\)
\(=\pm\sqrt{1-2i-1}\)
\(=\pm\sqrt{1^2-2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\sqrt{(1-i)^2}\)
\(=\pm(1-i)\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(1-\sqrt{3}i\) এর মুখ্য আর্গুমেন্ট কত?
এখানে, \(x=1, \ y=-\sqrt{3}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{1}}\)
\(=-\tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(\therefore \theta=-\frac{\pi}{3}\)
যেহেতু \(-\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\)
\(\therefore\) মুখ্য আর্গুমেন্ট \(-\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{2\pi}{3}\)
গ \(-\frac{\pi}{3}\)
গ \(-\frac{\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(-\frac{2\pi}{3}\)
\(1-\sqrt{3}i\)ঘ \(-\frac{2\pi}{3}\)
এখানে, \(x=1, \ y=-\sqrt{3}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{1}}\)
\(=-\tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{3}}}\)
\(\therefore \theta=-\frac{\pi}{3}\)
যেহেতু \(-\pi\lt{\theta}\lt{\pi}\)
\(\therefore\) মুখ্য আর্গুমেন্ট \(-\frac{\pi}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
১২। \(\sqrt[4]{-49}\) এর মান কোনটি?
\(=\sqrt[4]{49i^2}\)
\(=\sqrt[4]{(7i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{\pm7i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}\times\pm2i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{\pm2i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{1\pm2i-1}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{1^2\pm2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{(1\pm{i})^2}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}(1\pm{i})\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\pm\sqrt{7}i\)
গ \(\pm\frac{7}{2}(1\pm{i})\)
গ \(\pm\frac{7}{2}(1\pm{i})\)
খ \(\pm\sqrt{\frac{7}{2}}(1\pm{i})\)
ঘ \(\frac{7}{\sqrt{2}}(1\pm{i})\)
\(\sqrt[4]{-49}\)ঘ \(\frac{7}{\sqrt{2}}(1\pm{i})\)
\(=\sqrt[4]{49i^2}\)
\(=\sqrt[4]{(7i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{\pm7i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}\times\pm2i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{\pm2i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{1\pm2i-1}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{1^2\pm2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}\times\sqrt{(1\pm{i})^2}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{7}{2}}(1\pm{i})\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(3x^3-1=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\alpha^3+\beta^3+\gamma^3=?\)
তাহলে, \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{0}{3}\)
এবং\(\alpha\beta\gamma=-\frac{-1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=0\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=0\)
এবং\(\alpha\beta\gamma=\frac{1}{3}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)
\(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+3\alpha\beta\gamma\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma)\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)\}+3\alpha\beta\gamma\)
\(=0.\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(0)\}+3\times\frac{1}{3}\)
\(=0+1\)
\(=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-1\)
গ \(\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{1}{3}\)
খ \(0\)
ঘ \(1\)
\(3x^3-1=0\) সমীকরণের মূলত্রয় \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)ঘ \(1\)
তাহলে, \(\alpha+\beta+\gamma=-\frac{0}{3}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{0}{3}\)
এবং\(\alpha\beta\gamma=-\frac{-1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=0\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=0\)
এবং\(\alpha\beta\gamma=\frac{1}{3}\)
প্রদত্ত রাশি \(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3\)
\(=\alpha^3+\beta^3+\gamma^3-3\alpha\beta\gamma+3\alpha\beta\gamma\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma)\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)\}+3\alpha\beta\gamma\)
\(=0.\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+2(0)\}+3\times\frac{1}{3}\)
\(=0+1\)
\(=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। কোনো দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{2+i}\) হলে সমীকরণটি হবে-
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2+i}\)
\(\Rightarrow 2x+ix=1\)
\(\Rightarrow 2x-1=-ix\)
\(\Rightarrow (2x-1)^2=(-ix)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=i^2x^2\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=-x^2\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1+x^2=0\)
\(\therefore 5x^2-4x+1=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(9x^2-12x+5=0\)
গ \(5x^2+4x+1=0\)
গ \(5x^2+4x+1=0\)
খ \(5x^2-4x+1=0\)
ঘ \(25x^2-20x+3=0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\frac{1}{2+i}\)ঘ \(25x^2-20x+3=0\)
\(\Rightarrow x=\frac{1}{2+i}\)
\(\Rightarrow 2x+ix=1\)
\(\Rightarrow 2x-1=-ix\)
\(\Rightarrow (2x-1)^2=(-ix)^2\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=i^2x^2\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1=-x^2\)
\(\Rightarrow 4x^2-4x+1+x^2=0\)
\(\therefore 5x^2-4x+1=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(x^2-kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\) হলে-
\(i.\) অপর মূল \(\frac{2}{3}\)
\(ii.\) \(k\) এর মান \(\frac{11}{3}\)
\(iii.\) প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চায়ক \(=7\)
নিচের কোনটি সঠিক?
অপর মূল \(\alpha\) হলে,
\(\alpha\times3=\frac{2}{1}\)
\(\therefore \alpha=\frac{2}{3}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2-kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\)
\(\Rightarrow 3^2-k.3+2=0\)
\(\Rightarrow 9-3k+2=0\)
\(\Rightarrow 11-3k=0\)
\(\Rightarrow -3k=-11\)
\(\Rightarrow k=\frac{11}{3}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-k)^2-4.1.2\)
\(=k^2-8\)
\(=\left(\frac{11}{3}\right)^2-8\)
\(=\frac{121}{9}-8\)
\(=\frac{121-72}{9}\)
\(=\frac{49}{9}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) অপর মূল \(\frac{2}{3}\)
\(ii.\) \(k\) এর মান \(\frac{11}{3}\)
\(iii.\) প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চায়ক \(=7\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2-kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
অপর মূল \(\alpha\) হলে,
\(\alpha\times3=\frac{2}{1}\)
\(\therefore \alpha=\frac{2}{3}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(x^2-kx+2=0\) সমীকরণের একটি মূল \(3\)
\(\Rightarrow 3^2-k.3+2=0\)
\(\Rightarrow 9-3k+2=0\)
\(\Rightarrow 11-3k=0\)
\(\Rightarrow -3k=-11\)
\(\Rightarrow k=\frac{11}{3}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
প্রদত্ত সমীকরণের নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-k)^2-4.1.2\)
\(=k^2-8\)
\(=\left(\frac{11}{3}\right)^2-8\)
\(=\frac{121}{9}-8\)
\(=\frac{121-72}{9}\)
\(=\frac{49}{9}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
১৬। \((p^2-4)x^2+4px+(4p+1)=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় পরস্পর গৌণিক বিপরীত হলে \(p\) এর মান কত?
মূলদ্বয়ের গুণফল \(a\times\frac{1}{a}=\frac{4p+1}{p^2-4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4p+1}{p^2-4}\)
\(\Rightarrow p^2-4=4p+1\)
\(\Rightarrow p^2-4-4p-1=0\)
\(\Rightarrow p^2-4p-5=0\)
\(\Rightarrow p^2-5p+p-5=0\)
\(\Rightarrow p(p-5)+1(p-5)=0\)
\(\Rightarrow (p-5)(p+1)=0\)
\(\Rightarrow p-5=0, \ p+1=0\)
\(\Rightarrow p=5, \ p=-1\)
\(\therefore p=-1, \ 5\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-1, \ 5\)
গ \(-2, \ -2\)
গ \(-2, \ -2\)
খ \(1, \ 5\)
ঘ \(-3, \ 1\)
শর্তমতে, সমীকরণের মূলদ্বয় \(a, \ \frac{1}{a}\)ঘ \(-3, \ 1\)
মূলদ্বয়ের গুণফল \(a\times\frac{1}{a}=\frac{4p+1}{p^2-4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{4p+1}{p^2-4}\)
\(\Rightarrow p^2-4=4p+1\)
\(\Rightarrow p^2-4-4p-1=0\)
\(\Rightarrow p^2-4p-5=0\)
\(\Rightarrow p^2-5p+p-5=0\)
\(\Rightarrow p(p-5)+1(p-5)=0\)
\(\Rightarrow (p-5)(p+1)=0\)
\(\Rightarrow p-5=0, \ p+1=0\)
\(\Rightarrow p=5, \ p=-1\)
\(\therefore p=-1, \ 5\)
উত্তরঃ (ক)
১৭। \(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-p}=\frac{1}{q}\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে-
\(i.\) \(\alpha+\beta=p\)
\(ii.\) \(\alpha\beta=pq\)
\(iii.\) \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{1}{q}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{x-p-x}{x(x-p)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{-p}{x^2-px}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow x^2-px=-pq\)
\(\therefore x^2-px+pq=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-p}{1}=p\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\therefore x^2-px+pq=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
\(\therefore \alpha\beta=\frac{pq}{1}=pq\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{p}{pq}\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha}{\alpha\beta}+\frac{\beta}{\alpha\beta}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{1}{q}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\alpha+\beta=p\)
\(ii.\) \(\alpha\beta=pq\)
\(iii.\) \(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{1}{q}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{1}{x}-\frac{1}{x-p}=\frac{1}{q}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{x-p-x}{x(x-p)}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{-p}{x^2-px}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow x^2-px=-pq\)
\(\therefore x^2-px+pq=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{-p}{1}=p\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\therefore x^2-px+pq=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)
\(\therefore \alpha\beta=\frac{pq}{1}=pq\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=\frac{p}{pq}\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha}{\alpha\beta}+\frac{\beta}{\alpha\beta}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\beta}+\frac{1}{\alpha}=\frac{1}{q}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=\frac{1}{q}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৮। \(y^2+4x+2y-8=0\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র হবে-
\(\Rightarrow y^2+2y+1+4x-9=0\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-4x+9\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-4\left(x-\frac{9}{4}\right)\)
এখানে, \(4a=-4\)
\(\Rightarrow a=-1\)
পরাবৃত্তেটির উপকেন্দ্রে \(x-\frac{9}{4}=a, \ y+1=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{9}{4}=-1, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}-1, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{9-4}{4}, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{4}, \ y=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \(\left(\frac{5}{4}, -1\right)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left(\frac{9}{4}, -1\right)\)
গ \(\left(\frac{5}{4}, -1\right)\)
গ \(\left(\frac{5}{4}, -1\right)\)
খ \(\left(\frac{9}{4}, -2\right)\)
ঘ \(\left(\frac{13}{4}, -1\right)\)
\(y^2+4x+2y-8=0\)ঘ \(\left(\frac{13}{4}, -1\right)\)
\(\Rightarrow y^2+2y+1+4x-9=0\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-4x+9\)
\(\Rightarrow (y+1)^2=-4\left(x-\frac{9}{4}\right)\)
এখানে, \(4a=-4\)
\(\Rightarrow a=-1\)
পরাবৃত্তেটির উপকেন্দ্রে \(x-\frac{9}{4}=a, \ y+1=0\)
\(\Rightarrow x-\frac{9}{4}=-1, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{9}{4}-1, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{9-4}{4}, \ y=-1\)
\(\Rightarrow x=\frac{5}{4}, \ y=-1\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \(\left(\frac{5}{4}, -1\right)\)
উত্তরঃ (গ)
১৯। স্থানাংকের অক্ষদ্বয়কে উপবৃত্তের অক্ষ বিবেচনা করে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(12\) একক এবং উৎকেন্দ্রিকতা \(=\frac{1}{3}\) হলে, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য কত?
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{6^2}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{36}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{1}{9}=\frac{b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{9-1}{9}=\frac{b^2}{36}\)
\(\Rightarrow 8=\frac{b^2}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=32\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{32}\)
\(\Rightarrow b=4\sqrt{2}\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times4\sqrt{2}\)
\(=8\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(4\sqrt{2}\)
গ \(9\sqrt{2}\)
গ \(9\sqrt{2}\)
খ \(8\sqrt{2}\)
ঘ \(4\sqrt{6}\)
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(2a=12 \Rightarrow a=6\)ঘ \(4\sqrt{6}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{a^2}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{6^2}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{b^2}{36}=\frac{1}{9}\)
\(\Rightarrow 1-\frac{1}{9}=\frac{b^2}{36}\)
\(\Rightarrow \frac{9-1}{9}=\frac{b^2}{36}\)
\(\Rightarrow 8=\frac{b^2}{4}\)
\(\Rightarrow b^2=32\)
\(\Rightarrow b=\sqrt{32}\)
\(\Rightarrow b=4\sqrt{2}\)
ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times4\sqrt{2}\)
\(=8\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(y^2=6x\) পরাবৃত্তটি \(y=mx+c\) রেখাকে স্পর্শ করলে-
\(i.\) \(c=\frac{3}{2m}\)
\(ii.\) পরাবৃত্ত ও সরলরেখার সমীকরণ উভয়ই মূলবিন্দুগামী।
\(iii.\) স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{3}{2m^2}, \frac{3}{m}\right)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(4a=6 \Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
স্পর্শ করার শর্ত, \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow c=\frac{\frac{3}{2}}{m}\)
\(\therefore c=\frac{3}{2m}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী নয়। \(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{3}{2}}{m^2}, \frac{2\times\frac{3}{2}}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2m^2}, \frac{3}{m}\right)\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(c=\frac{3}{2m}\)
\(ii.\) পরাবৃত্ত ও সরলরেখার সমীকরণ উভয়ই মূলবিন্দুগামী।
\(iii.\) স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{3}{2m^2}, \frac{3}{m}\right)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(y^2=6x\) পরাবৃত্তটি \(y=mx+c\) রেখাকে স্পর্শ করেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(4a=6 \Rightarrow a=\frac{3}{2}\)
স্পর্শ করার শর্ত, \(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow c=\frac{\frac{3}{2}}{m}\)
\(\therefore c=\frac{3}{2m}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
সরলরেখাটি মূলবিন্দুগামী নয়। \(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{\frac{3}{2}}{m^2}, \frac{2\times\frac{3}{2}}{m}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{3}{2m^2}, \frac{3}{m}\right)\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(16y^2-9x^2=144\)
২১। কণিকটির উৎকেন্দ্রিকতা কত?\(16y^2-9x^2=144\)
ক \(\frac{5}{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{7}}{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{7}}{3}\)
খ \(\frac{5}{4}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
\(16y^2-9x^2=144\)ঘ \(\frac{\sqrt{7}}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{144}-\frac{9x^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{3^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a^2=4^2, \ b^2=3^2\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4^2}{3^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
২২। কণিকটির-
\(i.\) অসীমতট রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(ii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(5y\pm9=0\)
\(iii.\) পরামিতিক সমীকরণ \(x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{144}-\frac{9x^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{3^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a^2=4^2, \ b^2=3^2\)
\(\Rightarrow a=4, \ b=3\)
অসীমতট রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \( a=4, \ b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4^2}{3^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5y=\pm9\)
\(\Rightarrow 5y\pm9=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(16y^2-9x^2\)
\(=16\times16\tan^2{\theta}-9\times9\sec^2{\theta}\)
\(=256\tan^2{\theta}-81\sec^2{\theta}\ne{144}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) অসীমতট রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(ii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(5y\pm9=0\)
\(iii.\) পরামিতিক সমীকরণ \(x=3\sec{\theta}, \ y=4\tan{\theta}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(16y^2-9x^2=144\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{16y^2}{144}-\frac{9x^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{3^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a^2=4^2, \ b^2=3^2\)
\(\Rightarrow a=4, \ b=3\)
অসীমতট রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
এখানে, \( a=4, \ b=3\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{4^2}{3^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{9+16}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{9}}\)
\(=\frac{5}{3}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3}{\frac{5}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 5y=\pm9\)
\(\Rightarrow 5y\pm9=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(16y^2-9x^2\)
\(=16\times16\tan^2{\theta}-9\times9\sec^2{\theta}\)
\(=256\tan^2{\theta}-81\sec^2{\theta}\ne{144}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২৩। \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{\frac{3}{4}}}}}=\)কত?
\(=\sin{\cot^{-1}{\tan{\tan^{-1}{\frac{\sqrt{4^2-3^2}}{3}}}}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\frac{\sqrt{16-9}}{3}}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\frac{\sqrt{7}}{3}}}\)
\(=\sin{\sin^{-1}{\frac{3}{\sqrt{(\sqrt{7})^2+3^2}}}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{7+9}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{16}}\)
\(=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{3}{4}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
গ \(\frac{4}{3}\)
খ \(\frac{5}{4}\)
ঘ \(-\frac{3}{\sqrt{7}}\)
\(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{\frac{3}{4}}}}}\)ঘ \(-\frac{3}{\sqrt{7}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\tan{\tan^{-1}{\frac{\sqrt{4^2-3^2}}{3}}}}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\frac{\sqrt{16-9}}{3}}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\frac{\sqrt{7}}{3}}}\)
\(=\sin{\sin^{-1}{\frac{3}{\sqrt{(\sqrt{7})^2+3^2}}}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{7+9}}\)
\(=\frac{3}{\sqrt{16}}\)
\(=\frac{3}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(n\) একটি পূর্ণ সংখ্যা হলে \(\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \((6n-1)\frac{\pi}{9}\)
গ \(\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
গ \(\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
খ \(\frac{2n\pi}{3}+\frac{\pi}{3}\)
ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{6}\)
\(\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\)ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{6}\)
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2n\pi}{3}\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তরঃ (গ)
২৫। \(\sec{x}=\sec{(x+\pi)}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{x}}=\frac{1}{\cos{(x+\pi)}}\)
\(\Rightarrow \cos{(x+\pi)}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi+x)}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\cos{x}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\cos{x}-\cos{x}=0\)
\(\Rightarrow -2\cos{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0\)
\(\therefore x=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\)
গ \(n\pi+\frac{\pi}{4}\)
খ \((4n+1)\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(n\pi+\frac{3\pi}{4}\)
\(\sec{x}=\sec{(x+\pi)}\)ঘ \(n\pi+\frac{3\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\cos{x}}=\frac{1}{\cos{(x+\pi)}}\)
\(\Rightarrow \cos{(x+\pi)}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow \cos{(\pi+x)}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\cos{x}=\cos{x}\)
\(\Rightarrow -\cos{x}-\cos{x}=0\)
\(\Rightarrow -2\cos{x}=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=0\)
\(\therefore x=(2n+1)\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004