১। \(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}=0\) সমীকরণের উভয় মূলই সাধারণ হওয়ার শর্ত-
উত্তর সমাধান \(a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=0\) এবং \(a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}=0\) সমীকরণের উভয় মূলই সাধারণ হওয়ার শর্ত
\(\frac{a_{1}}{a_{2}}=\frac{b_{1}}{b_{2}}=\frac{c_{1}}{c_{2}}\)
উত্তরঃ (ঘ)

২। \(y=mx+c\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে ম্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক-
উত্তর সমাধান \(y=mx+c\) রেখাটি \(y^{2}=4ax\) পরাবৃত্তকে ম্পর্শ করলে স্পর্শ বিন্দুর স্থানাংক
\(\left(\frac{m^{2}}{a}, \frac{2a}{m}\right)\)
উত্তরঃ (ক)

৩। \(x^{2}=-12y\) পরাবৃত্তের-
\(i.\) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0,-3)\)
\(ii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(y-3=0\)
\(iii.\) উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y+3=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান \(x^{2}=-12y\)
এখানে, \(4a=-12\)
\(\Rightarrow a=-3\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a)\)
\(\Rightarrow (0, -3)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=-(-3)\)
\(\Rightarrow y=3\)
\(\Rightarrow y-3=0\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ \(y=a\)
\(\Rightarrow y=-3\)
\(\Rightarrow y+3=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)

৪। অধিবৃত্তটির আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে-
উত্তর সমাধান \(25x^{2}-16y^{2}+400=0\)
\(\Rightarrow 25x^{2}-16y^{2}=-400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{-400}-\frac{16y^2}{-400}=1\)
\(\Rightarrow -\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{5^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=5\)
আড় অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2b\)
\(=2\times5\)
\(=10\)
অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=2a\)
\(=2\times4\)
\(=8\)
আড় অক্ষ ও অনুবন্ধী অক্ষের দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(10, 8\)
উত্তরঃ (ক)

৫। নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি?
উত্তর সমাধান \(25x^{2}-16y^{2}+400=0\)
\(\Rightarrow 25x^{2}-16y^{2}=-400\)
\(\Rightarrow \frac{25x^2}{-400}-\frac{16y^2}{-400}=1\)
\(\Rightarrow -\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1\)
\(\therefore \frac{y^2}{5^2}-\frac{x^2}{4^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=5\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1+\frac{a^2}{b^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25+16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{41}{25}}\)
\(=\frac{\sqrt{41}}{5}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ, \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{5}{\frac{\sqrt{41}}{5}}\)
\(\therefore y=\pm\frac{25}{\sqrt{41}}\)
উত্তরঃ (গ)

৬। \(3x^{2}+5y^{2}=15\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা হবে-
উত্তর সমাধান \(3x^{2}+5y^{2}=15\)
\(\Rightarrow 3x^{2}+5y^{2}=15\)
\(\Rightarrow \frac{3x^{2}}{15}+\frac{5y^{2}}{15}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{5}+\frac{y^{2}}{3}=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{\sqrt{5}}+\frac{y^{2}}{\sqrt{3}}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{5}, \ b=\sqrt{3}; \ a\gt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-3}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{2}{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)

৭। তিনটি বল \(P, \ \sqrt{3}P, \ P\) সাম্যাবস্থায় থাকলে প্রথম দুইটি বলের মধ্যবর্তী কোণের মান কত?
উত্তর সমাধান শর্তমতে, \(P, \ \sqrt{3}P\) বলদ্বয়ের লব্ধি \(P\) এবং তাদের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \(P^2+(\sqrt{3}P)^2+2.P.\sqrt{3}P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow P^2+3P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 4P^2+2\sqrt{3}P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(2+\sqrt{3}\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 2+\sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{1}{2}-2\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=\frac{1-4}{2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}\cos{\alpha}=-\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\cos{30^{o}}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{(180^{o}-30^{o})}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{150^{o}}\)
\(\therefore \alpha=150^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)

৮।
\(6N\) বলের অংশকদ্বয় \(P_{1}\) ও \(P_{1}\) হলে, \(P_{1}\) এর মান নিচের কোনটি?
উত্তর সমাধান চিত্রমতে, লব্ধি \(6N, \ P_{1}\) এর সাথে \(90^{o}\) কোণ করে,
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{P_{2}\sin{120^{o}}}{P_{1}+P_{2}\cos{120^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{P_{2}\sin{120^{o}}}{P_{1}+P_{2}\cos{120^{o}}}\)
\(\Rightarrow P_{1}+P_{2}\cos{120^{o}}=0\)
\(\Rightarrow P_{1}+P_{2}\times-\frac{1}{2}=0\)
\(\Rightarrow P_{1}-\frac{P_{2}}{2}=0\)
\(\Rightarrow P_{1}=\frac{P_{2}}{2}\)
\(\therefore P_{2}=2P_{1}\)
আবার, \(P_{1}^2+P_{2}^2+2P_{1}P_{2}\cos{120^{o}}=6^2\)
\(\Rightarrow P_{1}^2+(2P_{1})^2+2P_{1}.2P_{1}\cos{120^{o}}=36\)
\(\Rightarrow P_{1}^2+4P_{1}^2+4P_{1}^2\times-\frac{1}{2}=36\)
\(\Rightarrow 5P_{1}^2-2P_{1}^2=36\)
\(\Rightarrow 3P_{1}^2=36\)
\(\Rightarrow P_{1}^2=12\)
\(\Rightarrow P_{1}=\sqrt{12}\)
\(\Rightarrow P_{1}=2\sqrt{3}\)
\(\therefore P_{1}=\frac{6\sqrt{3}}{3}\)
উত্তরঃ (গ)

৯। \(P\) ও \(Q\) দুইটি সমান্তরাল বল এবং \(P\gt{Q}\) হলে নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান চিত্র মোতাবেক,
সঠিক
উত্তরঃ (ক)

১০। একটি গাড়ি ঘন্টায় \(8\) কি.মি. বেগে চলছে। গাড়ি থেকে \(16\) কি.মি. বেগে একটি বস্তুকে কোনদিকে নিক্ষেপ করলে বস্তুর গতিপথ গাড়ির সাথে সমকোণ তৈরী করবে?
উত্তর সমাধান ধরি, \(\alpha\) কোণে নিক্ষেপ করলে লব্ধি বেগ গাড়ির বেগের সাথে \(90^{o}\) কোণ করবে।
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{16\sin{\alpha}}{8+16\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{16\sin{\alpha}}{8+16\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 8+16\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow 16\cos{\alpha}=-8\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{8}{16}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)

১১। উদ্দীপকে \(OA=?\)

উত্তর সমাধান চিত্রে, দেওয়া আছে, \(u=29.4ms^{-1}, \ \alpha=30^{o}\)
এখন, \(OA=R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{(29.4)^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=\frac{864.36\times\frac{\sqrt{3}}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{432.18\times\sqrt{3}}{9.8}\)
\(=\frac{748.56}{9.8}\)
\(=\frac{748.56}{9.8}\)
\(=76.38\)
\(\therefore OA=76.38 m\)
উত্তরঃ (খ)

১২। \(u\) গতিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তুকণা প্রক্ষিপ্ত হলে-
\(i.\) বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত
\(ii.\) আনুভূমিক পাল্লা \(R\) বৃহত্তম হলে, \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(iii.\) বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান \(u\) গতিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তুকণা প্রক্ষিপ্ত হলে
অপর মূল \(\alpha\) হলে,
বায়ুশূন্য স্থানে বস্তুকণাটির গতিপথ একটি পরাবৃত্ত
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক পাল্লা \(R\) বৃহত্তম হলে, \(R=\frac{u^2}{g}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
বস্তুকণাটির বিচরণকাল \(=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)

১৩। \(n\in{\mathbb{N}}\) হলে, \(i^{8n+5}\) এর মান কত?
উত্তর সমাধান \(i^{8n+5}\)
\(=i^{8n+4+1}\)
\(=i^{8n+4}.i\)
\(=i^{2(2n+2)}.i\)
\(=(i^{2})^{(2n+2)}.i\)
\(=(-1)^{(2n+2)}.i\)
\(=1.i\)
\(=i\)
উত্তরঃ (গ)

১৪। \(\frac{1}{3}i\) এর বর্গমূল কোনটি?
উত্তর সমাধান \(\frac{1}{3}i\) এর বর্গমূল,
\(=\pm\sqrt{\frac{1}{3}i}\)
\(=\pm\sqrt{\frac{1}{6}.2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{6}}(1+i)\)
উত্তরঃ (গ)

১৫। অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\)
\(ii.\) \(\bar{\bar{z}}=z\)
\(iii.\) \(\overline{z_{1} z_{2}}=\bar{z}_{1}.\bar{z}_{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে
\(\overline{z_{1}+z_{2}}=\bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
ধরি, \(z=x+iy\)
\(\Rightarrow \bar{z}=\overline{x+iy}\)
\(\Rightarrow \bar{z}=x-iy\)
\(\Rightarrow \bar{\bar{z}}=\overline{x-iy}\)
\(\Rightarrow \bar{\bar{z}}=x+iy\)
\(\Rightarrow \bar{\bar{z}}=z\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
অনুবন্ধী জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে
\(\overline{z_{1} z_{2}}=\bar{z}_{1}.\bar{z}_{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)

১৬। এককের একটি কাল্পনিক ঘনমূল \(\omega\) হলে, \(\left(1+\omega-\omega^{2}\right)\left(\omega+\omega^{2}-1\right)\left(\omega^{2}+1-\omega\right)\) এর মান কত?
উত্তর সমাধান \(\left(1+\omega-\omega^{2}\right)\left(\omega+\omega^{2}-1\right)\left(\omega^{2}+1-\omega\right)\)
\(=\left(1+\omega+\omega^{2}-2\omega^{2}\right)\left(1+\omega+\omega^{2}-2\right)\left(1+\omega+\omega^{2}-2\omega\right)\)
\(=\left(0-2\omega^{2}\right)\left(0-2\right)\left(0-2\omega\right)\)
\(=-8\omega^3\)
\(=-8\times1\)
\(=-8\)
উত্তরঃ (ক)

১৭। নিচের কোনটি বহুপদী রাশি নয়?
উত্তর সমাধান বহুপদী এক প্রকারের বীজগণিতীয় রাশি। এরূপ রাশিতে এক বা একাধিক পদ থাকতে পারে। বহুপদীর বিভিন্ন পদগুলি এক বা একাধিক চলকের কেবলমাত্র ধনাত্মক পূর্ণসাংখ্যিক ঘাত ও ধ্রুবকের গুণফল দ্বারা গঠিত ।
কিন্তু \(2x^{2}+\frac{3y}{x}+y^{2} \Rightarrow 2x^{2}+3yx^{-1}+y^{2}\) রাশিতে \(x\) এর ঘাত ঋনাত্মক। তাই ইহা বহুপদী নয়।
উত্তরঃ (ঘ)

১৮। সমীকরণটির মূলদ্বয়ের ক্ষেত্রে নীচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান \(x^2-5x+6=0\)
এখানে, \(a=1, \ b=-5, \ c=6\)
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=(-5)^2-4.1.6\)
\(=25-24\)
\(=1\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ।
\(\therefore D\gt{0}\) এবং পূর্ণ বর্গ।
\(\therefore\) মূলদ্বয় মূলদ ও অসমান
উত্তরঃ (গ)

১৯। \(\gamma\gt{\delta}\) হলে, \(\gamma-\delta=\) কত?
উত্তর সমাধান \(x^2-5x+6=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\gamma, \ \delta\)
\(\Rightarrow \gamma+\delta=-\frac{-5}{1}, \ \gamma\delta=\frac{6}{1}\)
\(\Rightarrow \gamma+\delta=5, \ \gamma\delta=6\)
এখন, \(\gamma-\delta=\sqrt{(\gamma-\delta)^2}\)
\(=\sqrt{(\gamma+\delta)^2-4\gamma\delta}\)
\(=\sqrt{(5)^2-4\times6}\)
\(=\sqrt{25-24}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
উত্তরঃ (ক)

২০। \(x^2+4x+2y=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্ব \(x\) অক্ষের সাথে কত কোণ তৈরী করে?
উত্তর সমাধান \(x^2+4x+2y=0\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4-4+2y=0\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2y+4\)
\(\Rightarrow (x+2)^2=-2(y-2)\)
\(\Rightarrow X^2=-2Y\) যেখানে, \(X=x+2, \ Y=y-2\)
এখানে, \(4a=-2\)
\(\Rightarrow a=-\frac{2}{4}\)
\(\therefore a=-\frac{1}{2}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, \(y-2=a\)
\(\Rightarrow y-2=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=2-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{4-1}{2}\)
\(\Rightarrow y=\frac{3}{2}\)
\(\therefore y=\frac{3}{2}\) রেখাটির ঢাল \(0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্রিক লম্ব \(x\) অক্ষের সাথে \(0\) কোণ তৈরী করে।
উত্তরঃ (ঘ)

২১। বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন \([-1, 1]\)
\(ii.\) \(\cos^{-1}x\) এর রেঞ্জ \([0, \pi]\)
\(iii.\) \(\tan^{-1}{x}\) এর ডোমেন \((-\infty, \infty)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান বিপরীত ত্রিকোণমিতিক ফাংশনের ক্ষেত্রে
\(\sin^{-1}{x}\) এর ডোমেন \([-1, 1]\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos^{-1}x\) এর রেঞ্জ \([0, \pi]\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}\) এর ডোমেন \((-\infty, \infty)\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)

২২। \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{x}}}}\) এর মান কত?
উত্তর সমাধান \(\sin{\cot^{-1}{\tan{\cos^{-1}{x}}}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\tan{\tan^{-1}{\frac{1-x^2}{x}}}}}\)
\(=\sin{\cot^{-1}{\frac{1-x^2}{x}}}\)
\(=\sin{\sin^{-1}{\frac{x}{1}}}\)
\(=\sin{\sin^{-1}{x}}\)
\(=x\)
উত্তরঃ (ক)

২৩। \(\cos{\theta}+\sin{\theta}=\sqrt{2}\) হলে, \(\theta\) এর মান-
উত্তর সমাধান \(\cos{\theta}+\sin{\theta}=\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}\frac{1}{\sqrt{2}}+\sin{\theta}\frac{1}{\sqrt{2}}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}\cos{\frac{\pi}{4}}+\sin{\theta}\sin{\frac{\pi}{4}}=1\)
\(\Rightarrow \cos{\left(\theta-\frac{\pi}{4}\right)}=1\)
\(\Rightarrow \theta-\frac{\pi}{4}=2n\pi\)
\(\therefore \theta=2n\pi+\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (গ)

২৪। বিপরীত বৃতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}\left\{x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\right\}\) যেখানে \(-1\le{x}, y\le{1}\) এবং \(x^{2}+y^{2}\le{1}\)
\(ii.\) \(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y=\cos^{-1}{\left\{xy-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}\right\}}\) যেখানে \(-1\le{x}, y\le{1}\) এবং \(x+y\ge{0}\)
\(iii.\) \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\) যেখানে \(x\gt{0}, y\gt{0}\) এবং \(0\lt{xy}\le{1}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
উত্তর সমাধান বিপরীত বৃতীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে
\(\sin^{-1}{x}+\sin^{-1}{y}=\sin^{-1}\left\{x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}\right\}\) যেখানে \(-1\le{x}, y\le{1}\) এবং \(x^{2}+y^{2}\le{1}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\cos^{-1}x+\cos^{-1}y=\cos^{-1}{\left\{xy-\sqrt{\left(1-x^{2}\right)\left(1-y^{2}\right)}\right\}}\) যেখানে \(-1\le{x}, y\le{1}\) এবং \(x+y\ge{0}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\) যেখানে \(x\gt{0}, y\gt{0}\) এবং \(0\lt{xy}\le{1}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)

২৫। \(\sin{2\theta}=\frac{1}{2}\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান-
উত্তর সমাধান \(\sin{2\theta}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\theta}=\sin{\frac{\pi}{6}}\)
\(\Rightarrow 2\theta=n\pi+(-1)^{n}\frac{\pi}{6}\)
\(\therefore \theta=\frac{n\pi}{2}+(-1)^{n}\frac{\pi}{12}\)
উত্তরঃ (ক)