শিক্ষা বোর্ড ময়মনসিংহ - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(6x+5y+25=0\) সরলরেখার ঢাল কত?
ক \(\frac{6}{5}\)
গ \(\frac{5}{6}\)
খ \(-\frac{6}{5}\)
ঘ \(-\frac{5}{6}\)
\(6x+5y+25=0\) সরলরেখার ঢাল,
এখানে, \(a=6, \ b=5\)
সরলরেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
\(=-\frac{6}{5}\)
উত্তরঃ (খ)
২। \(\sin{(-3690^{o})}\) এর মান কত?
ক \(0\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\sin{(-3690^{o})}\)
\(=-\sin{(3690^{o})}\)
\(=-\sin{(41\times90^{o}+0)}\)
\(=-\cos{(0)}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (খ)
৩। একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6cm, \ 8cm\) এবং \(10cm\) ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ কত?
ক \(6cm\)
গ \(8cm\)
খ \(7cm\)
ঘ \(5cm\)
একটি ত্রিভুজের বাহুগুলির দৈর্ঘ্য যথাক্রমে \(6cm, \ 8cm\) এবং \(10cm\)
এখানে, \(a=6, \ b=8, \ c=10\)
\(\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(=\frac{8^2+10^2-6^2}{2.8.10}\)
\(=\frac{64+100-36}{160}\)
\(=\frac{164-36}{160}\)
\(=\frac{4}{5}\)
\(\sin{A}=\sqrt{1-\cos^2{A}}\)
\(=\sqrt{1-\left(\frac{4}{5}\right)^2}\)
\(=\sqrt{1-\frac{16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{25-16}{25}}\)
\(=\sqrt{\frac{9}{25}}\)
\(=\frac{3}{5}\)
ত্রিভুজটির পরিব্যাসার্ধ \(=R\) হলে,
\(2R=\frac{a}{\sin{A}}\)
\(\Rightarrow 2R=\frac{6}{\frac{3}{5}}\)
\(\Rightarrow 2R=\frac{30}{3}\)
\(\Rightarrow 2R=10\)
\(\therefore R=5\)
উত্তরঃ (ঘ)
৪। \(\sqrt{4\sin^2{\frac{\pi}{24}}}\) এর মান কোনটি?
ক \(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
গ \(\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)
খ \(\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}\)
ঘ \(\sqrt{2+\sqrt{2-\sqrt{3}}}\)
\(\sqrt{4\sin^2{\frac{\pi}{24}}}\)
\(=\sqrt{2\times2\sin^2{\left(\frac{\pi}{24}\right)}}\)
\(=\sqrt{2\left\{1-\cos{2\left(\frac{\pi}{24}\right)}\right\}}\)
\(=\sqrt{2\left\{1-\cos{\left(\frac{\pi}{12}\right)}\right\}}\)
\(=\sqrt{2-2\cos{\left(\frac{\pi}{12}\right)}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{4\cos^2{\left(\frac{\pi}{12}\right)}}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{2\times2\cos^2{\left(\frac{\pi}{12}\right)}}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{2\left\{1+\cos{2\left(\frac{\pi}{12}\right)}\right\}}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{2\left\{1+\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}\right\}}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{2+2\cos{\left(\frac{\pi}{6}\right)}}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{2+2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}}\)
\(=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{3}}}\) উত্তরঃ (ক)
৫। \(\tan{4\theta}\) এর মান নিচের কোনটি?
ক \(\frac{2\tan{2\theta}}{1+\tan^2{2\theta}}\)
গ \(\frac{2\tan{\theta}}{1-\tan^2{\theta}}\)
খ \(\frac{2\tan{2\theta}}{1-\tan^2{2\theta}}\)
ঘ \(\frac{1-\tan^2{2\theta}}{1+\tan^2{2\theta}}\)
\(\tan{4\theta}\)
\(=\tan{2(2\theta)}\)
\(=\frac{2\tan{2\theta}}{1-\tan^2{2\theta}}\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \((-1, -\sqrt{3})\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক কত?
ক \((2, 240^{o})\)
গ \((2, 60^{o})\)
খ \((2, 120^{o})\)
ঘ \((2, 30^{o})\)
\((-1, -\sqrt{3})\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-\sqrt{3}\)
আমরা জানি \(r=\sqrt{x^2+y^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{(-1)^2+(-\sqrt{3})^2}, \ \theta=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{-1}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{1+3}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow r=\sqrt{4}, \ \theta=\pi+\tan^{-1}{(\tan{60^{o}})}\)
\(\Rightarrow r=2, \ \theta=180^{o}+60^{o}\)
\(\therefore r=2, \ \theta=240^{o}\)
পোলার স্থানাংক \((2, 240^{o})\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের উদ্দীপক থেকে ৭ ও ৮ প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
question
৭। \(BC\) এর মধ্যবিন্দু কত?
ক \((0, 1)\)
গ \((4, 0)\)
খ \((1, 0)\)
ঘ \((0, 4)\)
চিত্রে \(B(-3, 0), \ C(5, 0)\)
\(BC\) এর মধ্যবিন্দু \(\left(\frac{-3+5}{2}, \frac{0+0}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2}{2}, \frac{0}{2}\right)\)
\(\therefore (1, 0)\)
উত্তরঃ (খ)
৮। \(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল কত?
ক \(20\) বর্গ একক।
গ \(16\) বর্গ একক।
খ \(32\) বর্গ একক।
ঘ \(12\) বর্গ একক।
চিত্রে \(A(-2, 4), \ B(-3, 0), \ C(5, 0)\)
\(\triangle{ABC}\) এর ক্ষেত্রফল \(=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{c}-2 & -3 & 5 & -2\\ \ \ \ 4 & \ \ \ 0 & 0 & \ \ \ 4\end{array}\right|\)
\(=\frac{1}{2}\{(0+12)+(0-0)+(20+0)\}\)
\(=\frac{1}{2}\{12+0+20\}\)
\(=\frac{1}{2}\times32\)
\(=16\) বর্গ একক।
উত্তরঃ (গ)
৯। \(7(x^2+y^2)+14x+21y+28=0\) বৃত্তের কেন্দ্র কত?
ক \(\left(-1, -\frac{3}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{7}{2}, \frac{7}{3}\right)\)
খ \(\left(1, \frac{3}{2}\right)\)
ঘ \(\left(0, \frac{3}{2}\right)\)
\(7(x^2+y^2)+14x+21y+28=0\)
\(\Rightarrow 7(x^2+y^2+2x+3y+4)=0\)
\(\therefore x^2+y^2+2x+3y+4=0\)
এখানে, \(2g=2, \ 2f=3, \ c=4\)
\(\therefore g=1, \ f=\frac{3}{2}\)
কেন্দ্র \(\left(-g, -f\right)\)
\(\Rightarrow \left(-1, -\frac{3}{2}\right)\)
উত্তরঃ (ক)
১০। কোনটি বৃত্তের সমীকরণ?
ক \(x^2+9y^2=144\)
গ \(3x^2+5y^2+5=0\)
খ \(y^2=16x\)
ঘ \(x^2+y^2=16\)
\(x^2+y^2=16\) সমীকরণে,
\(x^2\) এবং \(y^2\) সম্বলিত পদ বিদ্যমান এবং তাদের সহগ সমান,
অতএব, ইহা বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{\sin{2x}}\] এর মান নিচের কোনটি?
ক \(0\)
গ \(-1\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{1}{2}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{\sin{2x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin{x}}{2\sin{x}\cos{x}}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1}{2\cos{x}}\]
\[=\frac{1}{2\times1}\]
\[=\frac{1}{2}\]
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(\sin^{-1}{2x}\) এর অন্তরজ কত?
ক \(\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\)
গ \(\frac{-2}{\sqrt{1-4x^2}}\)
খ \(\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\)
ঘ \(\frac{1}{2\sqrt{1-4x^2}}\)
\(\sin^{-1}{2x}\)
ধরি, \(y=\sin^{-1}{2x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}}\times\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}\times2\)
\(=\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}\)
উত্তরঃ (ক)
১৩। \(y=e^x\) হলে, \(y_{4}\) কত?
ক \(e^{4x}\)
গ \(e^{x}\)
খ \(e^{-x}\)
ঘ \(e^{-4x}\)
\(y=e^x\)
\(\Rightarrow y_{1}=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{2}=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{3}=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\Rightarrow y_{4}=\frac{d}{dx}(e^x)=e^x\)
\(\therefore y_{4}=e^x\)
উত্তরঃ (গ)
১৪। \(\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}.dx}\) এর মান কত?
ক \(\sin{x}+c\)
গ \(\ln{\sin{x}}+c\)
খ \(\cos{x}+c\)
ঘ \(\ln{\cos{x}}+c\)
\(\int{\frac{\cos{x}}{\sin{x}}.dx}\)
\(=\int{\frac{d(\sin{x})}{\sin{x}}}\)
\(=\ln{\sin{x}}+c \ \because \int{\frac{dx}{x}}=\ln{x}+c\)
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(\int{\frac{1}{9+x^2}dx}\) এর মান কত?
ক \(\frac{1}{3}\tan^{-1}{\frac{x}{3}}+c\)
গ \(\frac{1}{3}\tan^{-1}{\frac{3}{x}}+c\)
খ \(-\frac{1}{3}\tan^{-1}{\frac{x}{3}}+c\)
ঘ \(\tan^{-1}{\frac{x}{3}}+c\)
\(\int{\frac{1}{9+x^2}dx}\)
\(=\int{\frac{1}{3^2+x^2}dx}\)
\(=\frac{1}{3}\tan^{-1}{\frac{x}{3}}+c \ \because \int{\frac{1}{a^2+x^2}dx}=\frac{1}{a}\tan^{-1}{\frac{x}{a}}+c\)
উত্তরঃ (ক)
১৬। \(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 4 & 5 \\0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\) এটি কোন ধরনের ম্যাট্রিক্স?
ক স্কেলার
গ ঊর্ধ ত্রিভুজাকার
খ নিম্ন ত্রিভুজাকার
ঘ কর্ণ
\(\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\0 & 4 & 5 \\0 & 0 & 6 \end{bmatrix}\)
এটি ঊর্ধ ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্স, কারণ এর মূখ্য বা প্রধান কর্ণের নিম্নস্থ সবগুলি ভুক্তি শুন্য \((0)\)
উত্তরঃ (গ)
১৭। \(\left|\begin{array}{c}2 & 2 & 5 \\2 & 4 & 6 \\2 & 2 & 7 \end{array}\right|\) এর \((2, 3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি নিচের কোনটি?
ক \(2\)
গ \(5\)
খ \(0\)
ঘ \(7\)
\(\left|\begin{array}{c}2 & 2 & 5 \\2 & 4 & 6 \\2 & 2 & 7 \end{array}\right|\)
এর \((2, 3)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=\left|\begin{array}{c}2 & 2 \\2 & 2 \end{array}\right|\)
\(=4-4\)
\(=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৮। \(\left|\begin{array}{c}x+4 & 2 \\4x & 6 \end{array}\right|=0, \ x\) এর মান কত?
ক \(12\)
গ \(4\)
খ \(6\)
ঘ \(-12\)
\(\left|\begin{array}{c}x+4 & 2 \\4x & 6 \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow 6(x+4)-8x=0\)
\(\Rightarrow 6x+24-8x=0\)
\(\Rightarrow 24-2x=0\)
\(\Rightarrow -2x=-24\)
\(\therefore x=12\)
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(\left|\begin{array}{c}0 & 1 & \omega \\1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & 1 & \omega^2 \end{array}\right|\) এর মান কত?
ক \(\omega-\omega^2\)
গ \(\omega+\omega^2\)
খ \(\omega^2\)
ঘ \(\omega^2-\omega\)
\(\left|\begin{array}{c}0 & 1 & \omega \\1 & \omega & \omega^2 \\ \omega & 1 & \omega^2 \end{array}\right|\)
\(=-1(\omega^2-\omega^3)+\omega(1-\omega^2)\)
\(=-\omega^2+\omega^3+\omega-\omega^3\)
\(=-\omega^2+\omega\)
\(=\omega-\omega^2\)
উত্তরঃ (ক)
২০। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos^2{2x}dx}\) এর মান কত?
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\pi\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{\pi}{8}\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\cos^2{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{2\cos^2{2x}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\{1+\cos{(2\times2x)}\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\{1+\cos{(4x)}\}dx}\)
\(=\frac{1}{2}\left[x+\frac{\sin{(4x)}}{4}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}+\frac{\sin{\left(4\times\frac{\pi}{4}\right)}}{4}-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}+\frac{\sin{\pi}}{4}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}+\frac{0}{4}\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[\frac{\pi}{4}+0\right]\)
\(=\frac{\pi}{8}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২১। \(\int_{-1}^{1}{x^2dx}\) এর মান কত?
ক \(0\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(-\frac{2}{3}\)
ঘ \(\frac{3}{2}\)
\(\int_{-1}^{1}{x^2dx}\)
\(=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^{1}\)
\(=\frac{1^3}{3}-\frac{(-1)^3}{3}\)
\(=\frac{1}{3}-\frac{-1}{3}\)
\(=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\)
\(=\frac{1+1}{3}\)
\(=\frac{2}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
২২। \(\int_{-1}^{e}{\frac{1}{x}dx}\) এর মান কত?
ক \(1\)
গ \(e\)
খ \(-1\)
ঘ \(0\)
\(\int_{-1}^{e}{\frac{1}{x}dx}\)
\(=[\ln{|x|}]_{-1}^{e}\)
\(=\ln{|e|}-\ln{|-1|}\)
\(=\ln{(e)}-\ln{(1)}\)
\(=1-0\)
\(=1\)
উত্তরঃ (ক)
২৩। \(\int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{e^{x}+1}dx}\) এর মান কত?
ক \(\ln{e}\)
গ \(0\)
খ \(\ln{(e+1)}\)
ঘ \(\ln{(e+1)}-\ln{2}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{e^{x}+1}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{d(e^{x}+1)}{e^{x}+1}}\)
\(=[\ln{|e^{x}+1|}]_{0}^{1}\)
\(=\ln{|e^{1}+1|}-\ln{|e^{0}+1|}\)
\(=\ln{|e+1|}-\ln{|1+1|}\)
\(=\ln{(e+1)}-\ln{2}\)
\(=\ln{(e+1)}-\ln{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। \(f(x)=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\) হলে, \(f^{\prime}(x)\) এর মান কত?
ক \(2\tan{\frac{x}{2}}\)
গ \(\tan{\frac{x}{2}}\sec^2{\frac{x}{2}}\)
খ \(\sec^2{\frac{x}{2}}\)
ঘ \(2\tan{\frac{x}{2}}\sec^2{\frac{x}{2}}\)
\(f(x)=\frac{1-\cos{x}}{1+\cos{x}}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{2\cos^2{\frac{x}{2}}}\)
\(\Rightarrow f(x)=\frac{\sin^2{\frac{x}{2}}}{\cos^2{\frac{x}{2}}}\)
\(\Rightarrow f(x)=\tan^2{\frac{x}{2}}\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=2\tan{\frac{x}{2}}\frac{d}{dx}\left(\tan{\frac{x}{2}}\right)\)
\(=2\tan{\frac{x}{2}}\times\sec^2{\frac{x}{2}}\frac{d}{dx}\left(\frac{x}{2}\right)\)
\(=2\tan{\frac{x}{2}}\sec^2{\frac{x}{2}}\times\frac{1}{2}\)
\(=\tan{\frac{x}{2}}\sec^2{\frac{x}{2}}\)
উত্তরঃ (গ)
২৫। কোনটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স?
ক \(\begin{bmatrix}1 \\4 \\3 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}5 & 7 & 9 \end{bmatrix}\)
খ \(\left(\begin{array}{c}-7 & 16\\ -3 & 7\end{array}\right)\)
ঘ \(\begin{bmatrix}000 \end{bmatrix}\)
একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স \(A\) কে অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স বলা হবে যদি \(A^2=I\) হয়।
\(\left(\begin{array}{c}-7 & 16\\ -3 & 7\end{array}\right)\) এর ক্ষেত্রে,
ধরি, \(A=\left(\begin{array}{c}-7 & 16\\ -3 & 7\end{array}\right)\)
\(\Rightarrow A^2=\left(\begin{array}{c}-7 & 16\\ -3 & 7\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}-7 & 16\\ -3 & 7\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}49-48 & -112+112\\ 21-21 & -48+49\end{array}\right)\)
\(=\left(\begin{array}{c}1 & 0\\ 0 & 1\end{array}\right)\)
\(=I\)
\(\therefore A^2=I\)
\(\therefore A\) অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স।
উত্তরঃ (খ)
Back to Question List

Post List

Multiple Choise

Ctagory

Copyright © Mathgr All Right Reserved. 2024