শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। ম্যাট্রিক্স \(A\) এর মাত্রা \(4\times5\) ম্যাট্রিক্স \(B\) এর মাত্রা \(5\times4\) হলে \(AB\) এর মাত্রা কত?
উত্তরঃ (খ)
ক \(4\times4\)
গ \(4\times5\)
গ \(4\times5\)
খ \(5\times5\)
ঘ \(5\times4\)
ম্যাট্রিক্স \(A\) এর মাত্রা \(4\times5\) ম্যাট্রিক্স \(B\) এর মাত্রা \(5\times4\) হলে \(AB\) এর মাত্রা \(5\times5\) ঘ \(5\times4\)
উত্তরঃ (খ)
২। \(\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5\end{bmatrix}\) হলে \(A+3I=?\)
\(=A+3I\)
\(=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1+3 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1+3 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5+3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}4 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 2 & \ \ \ 2\\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\begin{bmatrix}-2 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ \ \ \ 4 & -4 & \ \ \ 2\\ \ \ \ 0 & \ \ \ 1 & -8\end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}4 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 2 & \ \ \ 2\\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}4 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 2 & \ \ \ 2\\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}-2 & 2 & \ \ \ 3\\ \ \ \ 4 & 2 & \ \ \ 2\\ \ \ \ 0 & \ \ \ 1 & -2\end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}-2 & \ \ \ 5 & \ \ \ 3\\ \ \ \ 4 & -1 & \ \ \ 5\\ \ \ \ 0 & \ \ \ 4 & -2\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5\end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix}-2 & \ \ \ 5 & \ \ \ 3\\ \ \ \ 4 & -1 & \ \ \ 5\\ \ \ \ 0 & \ \ \ 4 & -2\end{bmatrix}\)
\(=A+3I\)
\(=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5\end{bmatrix}+3\begin{bmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}1+3 & \ \ \ 2 & \ \ \ 3\\ 4 & -1+3 & \ \ \ 2\\ 0 & \ \ \ 1 & -5+3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}4 & 2 & \ \ \ 3\\ 4 & 2 & \ \ \ 2\\ 0 & 1 & -2\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (গ)
৩। \(\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & \ \ \ 1\\ -2 & -1\end{bmatrix}\) হলে \(A^{-1}=?\)
\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & \ \ \ 1\\ -2 & -1\end{array}\right|\)
\(=-3+2=-1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix} (-1)^2(-1) & (-1)^3(1)\\ (-1)^3(-2) & (-1)^4(3)\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\)
\(=-1\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & \ \ \ 1\\ -2 & -3\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & \ \ \ 1\\ -2 & -3\end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}3 & -1\\2 & -1\end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}3 & -1\\2 & -1\end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}-1 & -1\\ \ \ \ 2 & \ \ \ 3\end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix}-1 & 1\\-2 & 3\end{bmatrix}\)
\(\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & \ \ \ 1\\ -2 & -1\end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix}-1 & 1\\-2 & 3\end{bmatrix}\)
\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & \ \ \ 1\\ -2 & -1\end{array}\right|\)
\(=-3+2=-1\)
\(adj(A)=\begin{bmatrix} (-1)^2(-1) & (-1)^3(1)\\ (-1)^3(-2) & (-1)^4(3)\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\)
\(A^{-1}=\frac{1}{-1}\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\)
\(=-1\begin{bmatrix} -1 & -1\\ 2 & 3\end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} \ \ \ 1 & \ \ \ 1\\ -2 & -3\end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৪। \((2,3)\) ভুক্তির অনুরাশির মান কত?
ক \(11\)
গ \(-5\)
গ \(-5\)
খ \(5\)
ঘ \(-11\)
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & 2 & 1\\-1 & 2 & m\\ \ \ \ 4 & 1 & 0\end{array}\right|\)ঘ \(-11\)
\((2,3)\) ভুক্তির অনুরাশির মান \(=(3-8)\)
\(=-5\)
উত্তরঃ (গ)
৫। নির্ণায়কের মান শূন্য হলে \(m\) এর মান কত?
\(\Rightarrow 1(-1-8)-m(3-8)=0\)
\(\Rightarrow -9+5m=0\)
\(\Rightarrow 5m=9\)
\(\therefore m=\frac{9}{5}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-\frac{9}{11}\)
গ \(\frac{9}{11}\)
গ \(\frac{9}{11}\)
খ \(\frac{5}{11}\)
ঘ \(\frac{9}{5}\)
\(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 3 & 2 & 1\\-1 & 2 & m\\ \ \ \ 4 & 1 & 0\end{array}\right|\)ঘ \(\frac{9}{5}\)
\(\Rightarrow 1(-1-8)-m(3-8)=0\)
\(\Rightarrow -9+5m=0\)
\(\Rightarrow 5m=9\)
\(\therefore m=\frac{9}{5}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৬। \(k\) এর মান কত হলে \(4x-y+3=0\) এবং \(2x+ky-1=0\) সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে?
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি, \(-\frac{4}{-1}\times-\frac{2}{k}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{8}{k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{8}{k}=1\)
\(\therefore k=8\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(8\)
গ \(-\frac{1}{8}\)
গ \(-\frac{1}{8}\)
খ \(\frac{1}{8}\)
ঘ \(-8\)
\(4x-y+3=0\) এবং \(2x+ky-1=0\)ঘ \(-8\)
সরলরেখাদ্বয় পরস্পর লম্ব হবে যদি, \(-\frac{4}{-1}\times-\frac{2}{k}=-1\)
\(\Rightarrow -\frac{8}{k}=-1\)
\(\Rightarrow \frac{8}{k}=1\)
\(\therefore k=8\)
উত্তরঃ (ক)
৭। \(A(-1, 2)\) এবং \(B(3, 1)\) দুইটি বিন্দু হলে-
\(i.\) \(AB\) রেখার \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{7}{4}\right)\)
\(ii.\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল \(4\)
\(iii.\) \(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(17\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
\(AB\) এর সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-3}=\frac{y-2}{2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-4}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow x+1=-4y+8\)
\(\therefore x+4y-7=0\)
\(y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}\)
\(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{7}{4}\right)\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(AB\) এর ঢাল\(=\frac{2-1}{-1-3}=-\frac{1}{4}\)
\(AB\) রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল \(4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(=AB^2\)
\(=(-1-3)^2+(2-1)^2\)
\(=(-4)^2+1^2\)
\(=17\) বর্গ একক
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(AB\) রেখার \(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{7}{4}\right)\)
\(ii.\) \(AB\) রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল \(4\)
\(iii.\) \(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(17\) বর্গ একক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A(-1, 2)\) এবং \(B(3, 1)\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(AB\) এর সমীকরণ, \(\frac{x+1}{-1-3}=\frac{y-2}{2-1}\)
\(\Rightarrow \frac{x+1}{-4}=\frac{y-2}{1}\)
\(\Rightarrow x+1=-4y+8\)
\(\therefore x+4y-7=0\)
\(y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{-7}{4}=\frac{7}{4}\)
\(y\) অক্ষের ছেদবিন্দু \(\left(0, \frac{7}{4}\right)\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(AB\) এর ঢাল\(=\frac{2-1}{-1-3}=-\frac{1}{4}\)
\(AB\) রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল \(4\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
\(AB\) কে বাহু ধরে অংকিত বর্গের ক্ষেত্রফল \(=AB^2\)
\(=(-1-3)^2+(2-1)^2\)
\(=(-4)^2+1^2\)
\(=17\) বর্গ একক
\(\therefore iii.\) নং বাক্যাটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৮। মূলবিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব কোনটি?
ক \(\frac{15}{8}\)
গ \(\frac{15}{\sqrt{34}}\)
গ \(\frac{15}{\sqrt{34}}\)
খ \(\frac{15}{34}\)
ঘ \(\frac{15}{2\sqrt{2}}\)
\(5x+3y+15=0\)ঘ \(\frac{15}{2\sqrt{2}}\)
মূলবিন্দু হতে \(AB\) এর লম্ব দূরত্ব \(=\frac{15}{\sqrt{5^2+3^2}}\)
\(=\frac{15}{\sqrt{25+9}}\)
\(=\frac{15}{\sqrt{34}}\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?
\(x\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{15}{5}=-3\)
\(y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{15}{3}=-5\)
\(A(-3, 0), \ B(0, -5)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{-3+0}{2}, \frac{0-5}{2}\right)\)
\(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\left(\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)\)
খ \(\left(-\frac{3}{2},-\frac{5}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)\)
\(5x+3y+15=0\)ঘ \(\left(-\frac{3}{2},\frac{5}{2}\right)\)
\(x\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{15}{5}=-3\)
\(y\) অক্ষের ছেদিতাংশ \(=-\frac{15}{3}=-5\)
\(A(-3, 0), \ B(0, -5)\)
\(AB\) এর মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{-3+0}{2}, \frac{0-5}{2}\right)\)
\(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
১০। \((-2, -1)\) বিন্দু থেকে \(x^2+y^2-6x+2y+5=0\) বৃত্তে অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কোনটি?
\(=\sqrt{4+1+12-2+5}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{10}\) একক
গ \(\sqrt{24}\) একক
গ \(\sqrt{24}\) একক
খ \(2\sqrt{5}\) একক
ঘ \(5\sqrt{2}\) একক
স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(=\sqrt{(-2)^2+(-1)^2-6(-2)+2(-1)+5}\)ঘ \(5\sqrt{2}\) একক
\(=\sqrt{4+1+12-2+5}\)
\(=\sqrt{20}\)
\(=2\sqrt{5}\) একক
উত্তরঃ (খ)
১১। \((-2, 4)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করলে বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
বৃত্তের সমীকরণ \((x+2)^2+(y-4)^2=4^2\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-8y+16=16\)
\(\therefore x^2+y^2+4x-8y+4=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x^2+y^2+4x-8y+4=0\)
গ \(x^2+y^2-4x-8y+4=0\)
গ \(x^2+y^2-4x-8y+4=0\)
খ \(x^2+y^2-4x+8y+4=0\)
ঘ \(x^2+y^2+4x+8y+4=0\)
শর্তমতে বৃত্তের ব্যাসার্ধ\(=4\) কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান।ঘ \(x^2+y^2+4x+8y+4=0\)
বৃত্তের সমীকরণ \((x+2)^2+(y-4)^2=4^2\)
\(\Rightarrow x^2+4x+4+y^2-8y+16=16\)
\(\therefore x^2+y^2+4x-8y+4=0\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১২ ও ১৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(C, \ AB\) জ্যা এর মধ্যবিন্দু
১২। \(AB\) জ্যা এর সমীকরণ কোনটি?
\(C, \ AB\) জ্যা এর মধ্যবিন্দু
ক \(x+2y-3=0\)
গ \(2x-y+4=0\)
গ \(2x-y+4=0\)
খ \(2x+y=0\)
ঘ \(x-2y+5=0\)
\(O(0, 0), \ C(-1, 2)\)ঘ \(x-2y+5=0\)
\(OC\) এর ঢাল\(=\frac{0-2}{0+1}=-2\)
\(AB\) এর ঢাল\(=\frac{1}{2}\)
\(AB\) এর সমীকরণ, \(y-2=\frac{1}{2}(x+1)\)
\(\Rightarrow x+1=2y-4\)
\(\therefore x-2y+5=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(AB\) জ্যা এর দৈর্ঘ্য কোনটি?
\(OC=\sqrt{(-1)^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখন, \(AB=2AC=2\sqrt{AO^2-OC^2}=2\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}\)
\(=2\sqrt{25-5}\)
\(=2\sqrt{20}\)
\(=4\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(4\sqrt{5}\) একক
গ \(5\sqrt{2}\) একক
গ \(5\sqrt{2}\) একক
খ \(2\sqrt{6}\) একক
ঘ \(2\sqrt{5}\) একক
\(O(0, 0), \ C(-1, 2), \ AO=5\)ঘ \(2\sqrt{5}\) একক
\(OC=\sqrt{(-1)^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখন, \(AB=2AC=2\sqrt{AO^2-OC^2}=2\sqrt{5^2-(\sqrt{5})^2}\)
\(=2\sqrt{25-5}\)
\(=2\sqrt{20}\)
\(=4\sqrt{5}\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(\cot{\theta}=\frac{4}{3}\) এবং \(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) হলে-
\(i.\) \(\sin{\theta}=\frac{3}{5}\)
\(ii.\) \(\cos^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
\(iii.\) \(cosec \ {\theta}.\sec{\theta}=\frac{25}{12}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, লম্ব \(=3\), ভুমি \(=4\)
অতিভুজ \(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) ব্যাবধিতে \(\theta\) তৃতীয় চৌকোণে অবস্থিত।
\(\sin{\theta}=-\frac{3}{5}\) \(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(\cos^2{\theta}=\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\) \(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(cosec \ {\theta}.\sec{\theta}=-\frac{5}{3}\times-\frac{5}{4}=\frac{25}{12}\) \(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(\sin{\theta}=\frac{3}{5}\)
\(ii.\) \(\cos^2{\theta}=\frac{16}{25}\)
\(iii.\) \(cosec \ {\theta}.\sec{\theta}=\frac{25}{12}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\cot{\theta}=\frac{4}{3}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, লম্ব \(=3\), ভুমি \(=4\)
অতিভুজ \(=\sqrt{3^2+4^2}\)
\(=\sqrt{9+16}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\pi\lt{\theta}\lt{\frac{3\pi}{2}}\) ব্যাবধিতে \(\theta\) তৃতীয় চৌকোণে অবস্থিত।
\(\sin{\theta}=-\frac{3}{5}\) \(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(\cos^2{\theta}=\left(-\frac{4}{5}\right)^2=\frac{16}{25}\) \(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(cosec \ {\theta}.\sec{\theta}=-\frac{5}{3}\times-\frac{5}{4}=\frac{25}{12}\) \(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(\frac{1-\tan^2{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}}{1+\tan^2{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}}\) এর মান কত?
\(=\cos{2\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}\)
\(=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)}\)
\(=-\sin{(2x)}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sin{(2x)}\)
গ \(-\sin{(2x)}\)
গ \(-\sin{(2x)}\)
খ \(-\cos{(2x)}\)
ঘ \(\cos{(2x)}\)
\(\frac{1-\tan^2{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}}{1+\tan^2{\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}}\)ঘ \(\cos{(2x)}\)
\(=\cos{2\left(\frac{\pi}{4}+x\right)}\)
\(=\cos{\left(\frac{\pi}{2}+2x\right)}\)
\(=-\sin{(2x)}\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(\triangle{ABC}\) এ \(\angle{B}=60^{o}, \ \angle{C}=30^{o}\) এবং \(b=3\sqrt{3}\) একক হলে \(c\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{\sin{60^{o}}}=\frac{c}{\sin{30^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 3=c\)
\(\therefore c=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{1}{2}\) একক
গ \(2\sqrt{3}\) একক
গ \(2\sqrt{3}\) একক
খ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) একক
ঘ \(3\) একক
\(\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)ঘ \(3\) একক
\(\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{\sin{60^{o}}}=\frac{c}{\sin{30^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{3\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \frac{3}{\frac{1}{2}}=\frac{c}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow 3=c\)
\(\therefore c=3\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৭। \(\sin{(A-30^{o})}+\sin{(150^{o}+A)}\) এর মান কত?
\(=\sin{(A-30^{o})}+\sin{\{90^{o}\times2+(A-30^{o})\}}\)
\(=\sin{(A-30^{o})}-\sin{(A-30^{o})}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(0\)
গ \(2\sin{(A-30^{o})}\)
গ \(2\sin{(A-30^{o})}\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(\sin{A}\)
\(\sin{(A-30^{o})}+\sin{(150^{o}+A)}\)ঘ \(\sin{A}\)
\(=\sin{(A-30^{o})}+\sin{\{90^{o}\times2+(A-30^{o})\}}\)
\(=\sin{(A-30^{o})}-\sin{(A-30^{o})}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (ক)
১৮। \[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times\frac{1}{2}\]
\[=1\times\frac{1}{2}\]
\[=\frac{1}{2}\]
উত্তরঃ (খ)
ক \(2\)
গ \(\frac{1}{4}\)
গ \(\frac{1}{4}\)
খ \(\frac{1}{2}\)
ঘ \(-\frac{1}{2}\)
\[\lim_{x \rightarrow 0}\frac{1-\cos{x}}{x^2}\]ঘ \(-\frac{1}{2}\)
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{2\sin^2{\frac{x}{2}}}{x^2}\]
\[=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin{\frac{x}{2}}}{\frac{x}{2}}\right)^2\times\frac{1}{2}\]
\[=1\times\frac{1}{2}\]
\[=\frac{1}{2}\]
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(\frac{d}{dx}\left(\cos{\frac{1}{x}}\right)\) এর মান কোনটি?
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\times-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-\frac{1}{x^2}\cos{\frac{1}{x}}\)
গ \(\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
গ \(\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
খ \(-\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
ঘ \(\frac{1}{x^2}\cos{\frac{1}{x}}\)
\(\frac{d}{dx}\left(\cos{\frac{1}{x}}\right)\)ঘ \(\frac{1}{x^2}\cos{\frac{1}{x}}\)
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right)\)
\(=-\sin{\frac{1}{x}}\times-\frac{1}{x^2}\)
\(=\frac{1}{x^2}\sin{\frac{1}{x}}\)
উত্তরঃ (গ)
২০। \(f(x)=x^2-x-2\) বক্ররেখার \((2, -1)\) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল কোনটি?
\(f^{\prime}(x)=2x-1-0\)
\(f^{\prime}(2)=2.2-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(5\)
গ \(-5\)
গ \(-5\)
খ \(3\)
ঘ \(-3\)
\(f(x)=x^2-x-2\) ঘ \(-3\)
\(f^{\prime}(x)=2x-1-0\)
\(f^{\prime}(2)=2.2-1\)
\(=4-1\)
\(=3\)
উত্তরঃ (খ)
২১। \(e^{xy+3}=2\) হলে, \(\frac{dy}{dx}\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow xy+3=\ln{2}\)
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)=\frac{d}{dx}(\ln{2})\)
\(\Rightarrow x\frac{dy}{dx}+y+0=0\)
\(\Rightarrow x\frac{dy}{dx}+y=0\)
\(\Rightarrow x\frac{dy}{dx}=-y\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{y}{x}\)
গ \(\frac{\ln{2}}{x}\)
গ \(\frac{\ln{2}}{x}\)
খ \(-\frac{x}{y}\)
ঘ \(\frac{\ln{2}}{xy}\)
\(e^{xy+3}=2\)ঘ \(\frac{\ln{2}}{xy}\)
\(\Rightarrow xy+3=\ln{2}\)
\(\Rightarrow x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}(2)=\frac{d}{dx}(\ln{2})\)
\(\Rightarrow x\frac{dy}{dx}+y+0=0\)
\(\Rightarrow x\frac{dy}{dx}+y=0\)
\(\Rightarrow x\frac{dy}{dx}=-y\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=-\frac{y}{x}\)
উত্তরঃ (ক)
২২। \(\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}=f(x)+c\) হলে \(f(x)=\) কত?
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\int{\frac{-2xdx}{\sqrt{1-x^2}}}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\int{t^{-\frac{1}{2}}dt}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=f(x)\)
\(\Rightarrow -\sqrt{t}=f(x)\)
\(\Rightarrow f(x)=-\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\sin^{-1}{x}\)
গ \(\ln{\sqrt{1-x^2}}\)
গ \(\ln{\sqrt{1-x^2}}\)
খ \(\cos^{-1}{x}\)
ঘ \(-\sqrt{1-x^2}\)
\(\int{\frac{xdx}{\sqrt{1-x^2}}}=f(x)+c\)ঘ \(-\sqrt{1-x^2}\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\int{\frac{-2xdx}{\sqrt{1-x^2}}}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\int{\frac{dt}{\sqrt{t}}}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\int{t^{-\frac{1}{2}}dt}=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\frac{t^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}+c=f(x)+c\)
\(\Rightarrow -\frac{1}{2}\frac{t^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}=f(x)\)
\(\Rightarrow -\sqrt{t}=f(x)\)
\(\Rightarrow f(x)=-\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। \(\int{\frac{1+\tan^2{x}}{(1-\tan^2{x})^2}dx}\) এর মান কোনটি?
\(=-\int{\frac{-\sec^2{x}dx}{(1-\tan{x})^2}}\)
\(=-\int{\frac{dt}{t^2}}\)
\(=\int{-\frac{1}{t^2}dt}\)
\(=\frac{1}{t}+c\)
\(=\frac{1}{1-\tan{x}}+c\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{-1}{1+\tan{x}}+c\)
গ \(\frac{1}{1-\tan{x}}+c\)
গ \(\frac{1}{1-\tan{x}}+c\)
খ \(\frac{-1}{1-\tan{x}}+c\)
ঘ \(\frac{1}{1+\tan{x}}+c\)
\(\int{\frac{1+\tan^2{x}}{(1-\tan{x})^2}dx}\)ঘ \(\frac{1}{1+\tan{x}}+c\)
\(=-\int{\frac{-\sec^2{x}dx}{(1-\tan{x})^2}}\)
\(=-\int{\frac{dt}{t^2}}\)
\(=\int{-\frac{1}{t^2}dt}\)
\(=\frac{1}{t}+c\)
\(=\frac{1}{1-\tan{x}}+c\)
উত্তরঃ (গ)
২৪। \(\int_{0}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}}=?\)
\(=\int_{0}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{4-(x^2-4x+4)}}}\)
\(=\int_{0}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{2^2-(x-2)^2}}}\)
\(=\left[\sin^{-1}{\frac{x-2}{2}}\right]_{0}^{2}\)
\(=\sin^{-1}{\frac{2-2}{2}}-\sin^{-1}{\frac{0-2}{2}}\)
\(=\sin^{-1}{\frac{0}{2}}-\sin^{-1}{\frac{-2}{2}}\)
\(=\sin^{-1}{1}\)
\(=\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(-\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(-\pi\)
\(\int_{0}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{4x-x^2}}}\) ঘ \(-\pi\)
\(=\int_{0}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{4-(x^2-4x+4)}}}\)
\(=\int_{0}^{2}{\frac{dx}{\sqrt{2^2-(x-2)^2}}}\)
\(=\left[\sin^{-1}{\frac{x-2}{2}}\right]_{0}^{2}\)
\(=\sin^{-1}{\frac{2-2}{2}}-\sin^{-1}{\frac{0-2}{2}}\)
\(=\sin^{-1}{\frac{0}{2}}-\sin^{-1}{\frac{-2}{2}}\)
\(=\sin^{-1}{1}\)
\(=\sin^{-1}{\sin{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
২৫।
উপরোক্ত চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
\(y=x......(2)\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{4}{\sqrt{4x}-x}\)
\(=\int_{0}^{4}{2x^{\frac{1}{2}}-x}\)
\(=\left[2\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[2\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[2\times\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[\frac{4}{3}4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^2}{2}\right]-\left[\frac{4}{3}0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^2}{2}\right]\)
\(=\frac{4}{3}\times8-\frac{16}{2}\)
\(=\frac{32}{3}-8\)
\(=\frac{32-24}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
উপরোক্ত চিত্রের ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ক \(\frac{16}{3}\)
গ \(\frac{8}{3}\)
গ \(\frac{8}{3}\)
খ \(\frac{4}{3}\)
ঘ \(\frac{32}{3}\)
\(y^2=4x......(1)\)ঘ \(\frac{32}{3}\)
\(y=x......(2)\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{4}{\sqrt{4x}-x}\)
\(=\int_{0}^{4}{2x^{\frac{1}{2}}-x}\)
\(=\left[2\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[2\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[2\times\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\left[\frac{4}{3}4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^2}{2}\right]-\left[\frac{4}{3}0^{\frac{3}{2}}-\frac{0^2}{2}\right]\)
\(=\frac{4}{3}\times8-\frac{16}{2}\)
\(=\frac{32}{3}-8\)
\(=\frac{32-24}{3}\)
\(=\frac{8}{3}\)
উত্তরঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005