শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(A\) ও \(B\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম যথাক্রমে \(5\times3\) ও \(3\times4\) হলে, \(AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম কোনটি?
দ্বিতীয় \((B)\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা \(4\)
\(\therefore AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(5\times4\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(4\times5\)
গ \(3\times3\)
গ \(3\times3\)
খ \(5\times4\)
ঘ \(4\times3\)
প্রথম \((A)\) ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা \(5\)ঘ \(4\times3\)
দ্বিতীয় \((B)\) ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা \(4\)
\(\therefore AB\) ম্যাট্রিক্সের ক্রম \(5\times4\)
উত্তর ঃ (খ)
২। \(A\) একটি \(3\times3\) ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং \(|A|=1\) হলে, \(|(3A)^{-1}|\) এর মান কত?
\(\Rightarrow |3A|=3\times3\times3|A|\)
\(\Rightarrow |3A|=27|A|\)
\(\Rightarrow |3A|=27.1\)
\(\therefore |3A|=27\)
এখন, \(|(3A)^{-1}|\)
\(=\left|\frac{1}{3A}\right|\)
\(=\frac{1}{|3A|}\)
\(=\frac{1}{27}\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(\frac{1}{27}\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(\frac{1}{9}\)
ঘ \(27\)
\(A\) একটি \(3\times3\) ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং \(|A|=1\)ঘ \(27\)
\(\Rightarrow |3A|=3\times3\times3|A|\)
\(\Rightarrow |3A|=27|A|\)
\(\Rightarrow |3A|=27.1\)
\(\therefore |3A|=27\)
এখন, \(|(3A)^{-1}|\)
\(=\left|\frac{1}{3A}\right|\)
\(=\frac{1}{|3A|}\)
\(=\frac{1}{27}\)
উত্তর ঃ (ক)
৩। \(2x-y+1=0\) সরলরেখাটি-
\(i.\) \(x+2y+1=0\) রেখার উপর লম্ব
\(ii.\) \(x-2y+1=0\) রেখার সমান্তরাল
\(iii.\) দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের পরিমাণ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(2x-y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{2}{-1}=2\)
এখন, \(m_{1}m_{2}=-\frac{1}{2}\times2=-1\)
অতএব, সরলরেখাটি \(x+2y+1=0\) রেখার উপর লম্ব
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(x-2y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(2x-y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{2}{-1}=2\)
এখন, \(m_{1}\ne{m_{2}}\)
অতএব, সরলরেখাটি \(x-2y+1=0\) রেখার সমান্তরাল নয়
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(2x-y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x-y=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{-1}-\frac{y}{-1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{1}{2}}+\frac{y}{1}=1\)
\(\therefore\) রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) ও \(B(0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}-0\right)^2+(0-1)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+4}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য ।
উত্তর ঃ (গ)
\(i.\) \(x+2y+1=0\) রেখার উপর লম্ব
\(ii.\) \(x-2y+1=0\) রেখার সমান্তরাল
\(iii.\) দ্বারা অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের পরিমাণ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x+2y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{2}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(2x-y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{2}{-1}=2\)
এখন, \(m_{1}m_{2}=-\frac{1}{2}\times2=-1\)
অতএব, সরলরেখাটি \(x+2y+1=0\) রেখার উপর লম্ব
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(x-2y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{1}=-\frac{1}{-2}=\frac{1}{2}\)
\(2x-y+1=0\) রেখার ঢাল \(m_{2}=-\frac{2}{-1}=2\)
এখন, \(m_{1}\ne{m_{2}}\)
অতএব, সরলরেখাটি \(x-2y+1=0\) রেখার সমান্তরাল নয়
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(2x-y+1=0\)
\(\Rightarrow 2x-y=-1\)
\(\Rightarrow \frac{2x}{-1}-\frac{y}{-1}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-\frac{1}{2}}+\frac{y}{1}=1\)
\(\therefore\) রেখাটি অক্ষদ্বয়কে যথাক্রমে \(A\left(-\frac{1}{2}, 0\right)\) ও \(B(0, 1)\) বিন্দুতে ছেদ করে।
\(AB=\sqrt{\left(-\frac{1}{2}-0\right)^2+(0-1)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}+1}\)
\(=\sqrt{\frac{1+4}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য ।
উত্তর ঃ (গ)
৪। \(A^{-1}=\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}\) হলে, \(A=\) কত?
তাহলে, \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow |B|=1\times3-2\times1=3-2=1\ne{0}\)
\(\therefore B^{-1}\) নির্ণয়যোগ্য।
\(adj(B)=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
এখন, \(B^{-1}=\frac{1}{|B|}\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow (A^{-1})^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(\begin{bmatrix}3 & 1 \\2 & 1 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} -1 & \ \ \ 1 \\ \ \ \ 2 & -3 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} -1 & \ \ \ 1 \\ \ \ \ 2 & -3 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} 1 & \ \ \ 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\)
ধরি, \(A^{-1}=B\)ঘ \(\begin{bmatrix} 1 & \ \ \ 2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\)
তাহলে, \(B=\begin{bmatrix}1 & 2 \\1 & 3 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow |B|=1\times3-2\times1=3-2=1\ne{0}\)
\(\therefore B^{-1}\) নির্ণয়যোগ্য।
\(adj(B)=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
এখন, \(B^{-1}=\frac{1}{|B|}\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow (A^{-1})^{-1}=\frac{1}{1}\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
\(\therefore A=\begin{bmatrix} \ \ \ 3 & -2 \\-1 & \ \ \ 1 \end{bmatrix}\)
উত্তর ঃ (খ)
উদ্দীপকের আলোকে ৫ ও ৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
৫। চিত্রের আলোকে নিচের কোন সম্পর্কটি সঠিক?
ক \(\sin{A}=2\sin{C}\)
গ \(3\sin{A}=2\sin{C}\)
গ \(3\sin{A}=2\sin{C}\)
খ \(2\sin{A}=\sin{C}\)
ঘ \(2\sin{A}=3\sin{C}\)
চিত্র হতে,ঘ \(2\sin{A}=3\sin{C}\)
\(a=6, \ b=4, \ c=3\)
\(\triangle{ABC}\) এর সাইন সূত্রানুসারে,
\(\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{6}{\sin{A}}=\frac{4}{\sin{B}}=\frac{3}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{6}{\sin{A}}=\frac{3}{\sin{C}}\)
\(\Rightarrow \frac{2}{\sin{A}}=\frac{1}{\sin{C}}\)
\(\therefore \sin{A}=2\sin{C}\)
উত্তর ঃ (ক)
৬। \(\cos{B}\) এর মান কত?
\(a=6, \ b=4, \ c=3\)
\(\triangle{ABC}\) হতে,
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(=\frac{3^2+6^2-4^2}{2\times3\times6}\)
\(=\frac{9+36-16}{36}\)
\(=\frac{45-16}{36}\)
\(=\frac{29}{36}\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{29}{36}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(-\frac{11}{24}\)
গ \(\frac{29}{36}\)
গ \(\frac{29}{36}\)
খ \(\frac{11}{24}\)
ঘ \(\frac{43}{48}\)
চিত্র হতে,ঘ \(\frac{43}{48}\)
\(a=6, \ b=4, \ c=3\)
\(\triangle{ABC}\) হতে,
\(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(=\frac{3^2+6^2-4^2}{2\times3\times6}\)
\(=\frac{9+36-16}{36}\)
\(=\frac{45-16}{36}\)
\(=\frac{29}{36}\)
\(\therefore \cos{B}=\frac{29}{36}\)
উত্তর ঃ (গ)
৭। \(f(x)=\sin{2x}\) হলে-
\(i.\) \(\int{f(x)dx}=-\frac{\cos{2x}}{2}+c\)
\(ii.\) \(\int{\sqrt{1+f(x)}dx}=\sin{x}-\cos{x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-f(x)}dx}=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\int{f(x)dx}\)
\(=\int{\sin{2x}dx}\)
\(=-\frac{\cos{2x}}{2}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{\sqrt{1+f(x)}dx}\)
\(=\int{\sqrt{1+\sin{2x}}dx}\)
\(=\int{\sqrt{\sin^2{x}+\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}}dx}\)
\(=\int{\sqrt{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx}\)
\(=\int{(\sin{x}+\cos{x})dx}\)
\(=-\cos{x}+\sin{x}+c\)
\(=\sin{x}-\cos{x}+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-f(x)}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin{2x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\sin^2{x}+\cos^2{x}-2\sin{x}\cos{x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(\sin{x}-\cos{x})^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{x}-\cos{x})dx}\)
\(=[-\cos{x}-\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-[\cos{x}+\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\left[\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{2}}\right)-(\cos{0}+\sin{0})\right]\)
\(=-\left[\left(0+1\right)-(1+0)\right]\)
\(=-\left[1-1\right]\)
\(=-\left[0\right]\)
\(=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)
\(i.\) \(\int{f(x)dx}=-\frac{\cos{2x}}{2}+c\)
\(ii.\) \(\int{\sqrt{1+f(x)}dx}=\sin{x}-\cos{x}+c\)
\(iii.\) \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-f(x)}dx}=0\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\sin{2x}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\int{f(x)dx}\)
\(=\int{\sin{2x}dx}\)
\(=-\frac{\cos{2x}}{2}+c\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{\sqrt{1+f(x)}dx}\)
\(=\int{\sqrt{1+\sin{2x}}dx}\)
\(=\int{\sqrt{\sin^2{x}+\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x}}dx}\)
\(=\int{\sqrt{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx}\)
\(=\int{(\sin{x}+\cos{x})dx}\)
\(=-\cos{x}+\sin{x}+c\)
\(=\sin{x}-\cos{x}+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-f(x)}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{1-\sin{2x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{\sin^2{x}+\cos^2{x}-2\sin{x}\cos{x}}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(\sin{x}-\cos{x})^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{x}-\cos{x})dx}\)
\(=[-\cos{x}-\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-[\cos{x}+\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=-\left[\left(\cos{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{2}}\right)-(\cos{0}+\sin{0})\right]\)
\(=-\left[\left(0+1\right)-(1+0)\right]\)
\(=-\left[1-1\right]\)
\(=-\left[0\right]\)
\(=0\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)
৮। \(A=\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & \ \ \ 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}\) হলে, \(BA=\) কত?
এখন, \(BA\)
\(=\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & \ \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}a\times0+b\times1 & a\times-1+b\times0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}0+b & -a+0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}b & -a \end{bmatrix}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(\begin{bmatrix}-b & a \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}b & -a \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix}b & -a \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix}-b \\ \ \ \ a \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ b \\ -a \end{bmatrix}\)
\(A=\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & \ \ \ 0 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}\)ঘ \(\begin{bmatrix} \ \ \ b \\ -a \end{bmatrix}\)
এখন, \(BA\)
\(=\begin{bmatrix}a & b \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}0 & -1 \\1 & \ \ \ 0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}a\times0+b\times1 & a\times-1+b\times0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}0+b & -a+0 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}b & -a \end{bmatrix}\)
উত্তর ঃ (গ)
৯। \(x\) অক্ষরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ হলো-
\(y=1\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(x=2\)
গ \(y=1\)
গ \(y=1\)
খ \(x=y\)
ঘ \(x-y=2\)
\(x\) অক্ষরেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(x-y=2\)
\(y=1\)
উত্তর ঃ (গ)
১০। \(\tan{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\) হলে, \(\sin{3A}=\) কত?
\(\Rightarrow \tan{A}=\tan{30^{o}}\)
\(\therefore A=30^{o}\)
এখন, \(\sin{3A}\)
\(=\sin{(3\times30^{o})}\)
\(=\sin{90^{o}}\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
খ \(1\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\tan{A}=\frac{1}{\sqrt{3}}\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \tan{A}=\tan{30^{o}}\)
\(\therefore A=30^{o}\)
এখন, \(\sin{3A}\)
\(=\sin{(3\times30^{o})}\)
\(=\sin{90^{o}}\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (খ)
উদ্দীপকের আলোকে ১১ ও ১২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১১। প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র \(C\) হলো-
ক \((1, 1)\)
গ \((1, 2)c\)
গ \((1, 2)c\)
খ \((2, 2)\)
ঘ \((2, 1)\)
চিত্রে, প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)ঘ \((2, 1)\)
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-2, \ c=1\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-1, \ c=1\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (2, 1)\)
উত্তর ঃ (ঘ)
১২। \(AB\) এর দৈর্ঘ্য কত?
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-2, \ c=1\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-1, \ c=1\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমাণ \(=AB\)
এবং \(AB=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-1}\)
\(=2\sqrt{4-1}\)
\(=2\sqrt{3}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(2\) একক
গ \(2\sqrt{3}\) একক
গ \(2\sqrt{3}\) একক
খ \(4\) একক
ঘ \(\sqrt{3}\) একক
চিত্রে, প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ \(x^2+y^2-4x-2y+1=0\)ঘ \(\sqrt{3}\) একক
এখানে, \(2g=-4, \ 2f=-2, \ c=1\)
\(\Rightarrow g=-2, \ f=-1, \ c=1\)
বৃত্তটি দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের পরিমাণ \(=AB\)
এবং \(AB=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-2)^2-1}\)
\(=2\sqrt{4-1}\)
\(=2\sqrt{3}\)
উত্তর ঃ (গ)
১৩। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2+3x+1}{2x^2-4x+2}\] এর মান কত?
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2\left(2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}\]
\[=\frac{2+0+0}{2-0+0}\]
\[=\frac{2}{2}\]
\[=1\]
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(0\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(\infty\)
ঘ \(1\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2x^2+3x+1}{2x^2-4x+2}\]ঘ \(1\)
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{x^2\left(2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}\right)}\]
\[=\lim_{x \rightarrow \infty}\frac{2+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2}}{2-\frac{4}{x}+\frac{2}{x^2}}\]
\[=\frac{2+0+0}{2-0+0}\]
\[=\frac{2}{2}\]
\[=1\]
উত্তর ঃ (ঘ)
১৪। \((2, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং \(y=0\) রেখাকে স্পর্শ করে এমন বৃত্তের সমীকরণ হলো-
অর্থাৎ বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে। ফলে, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান।
ব্যাসার্ধ \(=3\)
বৃত্তের সমীকরণ \((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+6y+9=9\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
গ \(x^2+y^2-4x+6y+13=0\)
গ \(x^2+y^2-4x+6y+13=0\)
খ \(x^2+y^2-4x+6y+9=0\)
ঘ \(x^2+y^2+4x-6y+4=0\)
\((2, -3)\) কেন্দ্রবিশিষ্ট এবং \(y=0\) রেখাকে স্পর্শ করে,ঘ \(x^2+y^2+4x-6y+4=0\)
অর্থাৎ বৃত্তটি \(x\) অক্ষকে স্পর্শ করে। ফলে, কেন্দ্রের \(y\) স্থানাংক ব্যাসার্ধের সমান।
ব্যাসার্ধ \(=3\)
বৃত্তের সমীকরণ \((x-2)^2+(y+3)^2=3^2\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4+y^2+6y+9=9\)
\(\therefore x^2+y^2-4x+6y+4=0\)
উত্তর ঃ (খ)
১৫। \(A=\begin{bmatrix}p-3 & -1 \\-8 & p+4 \end{bmatrix}\) একটি ম্যাট্রিক্স হলে-
\(i.\) \(p=4\) এর জন্য \(A^{-1}\) নির্ণয় করা যায় না
\(ii.\) \(p=-5\) এর জন্য \(A\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) \(|A|\) এর \((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(p=4\) এর জন্য \(A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\-8 & 8 \end{bmatrix}\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & -1 \\-8 & \ \ \ 8\end{array}\right|\)
\(=1\times8-(-1)\times-8\)
\(=8-8\)
\(=0\)
\(\therefore A^{-1}\) নির্ণয় করা যায় না
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(A=\begin{bmatrix}p-3 & -1 \\-8 & p+4 \end{bmatrix}\)
\(p=-5\) এর জন্য \(A=\begin{bmatrix}-8 & -1 \\-8 & -1 \end{bmatrix}\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{c}-8 & -1 \\-8 & -1\end{array}\right|\)
\(=-8\times-1-(-1)\times-8\)
\(=8-8\)
\(=0\)
\(\therefore A\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(A=\begin{bmatrix}p-3 & -1 \\-8 & p+4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |A|=\left|\begin{array}{c} p-3 & -1 \\-8 & p+4\end{array}\right|\)
\((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=-1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (ক)
\(i.\) \(p=4\) এর জন্য \(A^{-1}\) নির্ণয় করা যায় না
\(ii.\) \(p=-5\) এর জন্য \(A\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(iii.\) \(|A|\) এর \((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(A=\begin{bmatrix}p-3 & -1 \\-8 & p+4 \end{bmatrix}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(p=4\) এর জন্য \(A=\begin{bmatrix}1 & -1 \\-8 & 8 \end{bmatrix}\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & -1 \\-8 & \ \ \ 8\end{array}\right|\)
\(=1\times8-(-1)\times-8\)
\(=8-8\)
\(=0\)
\(\therefore A^{-1}\) নির্ণয় করা যায় না
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(A=\begin{bmatrix}p-3 & -1 \\-8 & p+4 \end{bmatrix}\)
\(p=-5\) এর জন্য \(A=\begin{bmatrix}-8 & -1 \\-8 & -1 \end{bmatrix}\)
এখন, \(|A|=\left|\begin{array}{c}-8 & -1 \\-8 & -1\end{array}\right|\)
\(=-8\times-1-(-1)\times-8\)
\(=8-8\)
\(=0\)
\(\therefore A\) একটি ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(A=\begin{bmatrix}p-3 & -1 \\-8 & p+4 \end{bmatrix}\)
\(\therefore |A|=\left|\begin{array}{c} p-3 & -1 \\-8 & p+4\end{array}\right|\)
\((2, 1)\) তম ভুক্তির অনুরাশি \(=-1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (ক)
১৬। \(\frac{d}{dx}(3^{x})=\) কত?
\(=3^{x}\ln{3}\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(a^{x})=a^{x}\ln{a}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(x3^{x-1}\)
গ \(3\ln{x}\)
গ \(3\ln{x}\)
খ \(3^{x}\)
ঘ \(3^{x}\ln{3}\)
\(\frac{d}{dx}(3^{x})\)ঘ \(3^{x}\ln{3}\)
\(=3^{x}\ln{3}\) যেহেতু \(\frac{d}{dx}(a^{x})=a^{x}\ln{a}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
উদ্দীপকের আলোকে ১৭ ও ১৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৭। \(A\) বিন্দুর পোলার স্থানাংক হলো-
ক \(\left(5, \tan^{-1}{-\frac{1}{2}}\right)\)
গ \(\left(\sqrt{5}, \tan^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\)
গ \(\left(\sqrt{5}, \tan^{-1}{\left(-\frac{1}{2}\right)}\right)\)
খ \(\left(5, \tan^{-1}{\left(-2\right)}\right)\)
ঘ \(\left(\sqrt{5}, \tan^{-1}{\left(-2\right)}\right)\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(-1, 2)\) ঘ \(\left(\sqrt{5}, \tan^{-1}{\left(-2\right)}\right)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=2\)
পোলার স্থানাংকে, \(r=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
পোলার স্থানাংকে, \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{2}{-1}}\)
\(=\tan^{-1}{(-2)}\)
\(\therefore \) পোলার স্থানাংক \(\left(\sqrt{5}, \tan^{-1}{\left(-2\right)}\right)\)
উত্তর ঃ (ঘ)
১৮। \(A\) ও \(B\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাংশকে \(x\) অক্ষরেখা কত অনুপাতে বিভক্ত করে?
ধরি, \(x\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(P(x, 0)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করে
\(\therefore P\left(\frac{m\times3+n\times-1}{m+n}, \frac{m\times-4+n\times2}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{3m-n}{m+n}, \frac{-4m+2n}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{-4m+2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -4m+2n=0\)
\(\Rightarrow -4m=-2n\)
\(\Rightarrow 2m=n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore m:n=1:2\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(2:1\)
গ \(3:1\)
গ \(3:1\)
খ \(1:2\)
ঘ \(1:3\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(A(-1, 2)\) ও \(B(3, -4)\)ঘ \(1:3\)
ধরি, \(x\) অক্ষরেখা \(AB\) কে \(P(x, 0)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করে
\(\therefore P\left(\frac{m\times3+n\times-1}{m+n}, \frac{m\times-4+n\times2}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{3m-n}{m+n}, \frac{-4m+2n}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{-4m+2n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow -4m+2n=0\)
\(\Rightarrow -4m=-2n\)
\(\Rightarrow 2m=n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{1}{2}\)
\(\therefore m:n=1:2\)
উত্তর ঃ (খ)
১৯। \(y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+.....}}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=\) কত?
\(\Rightarrow y=\sqrt{x+y}\)
\(\Rightarrow y^2=x+y\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\) উভয় পার্শ্বে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-1)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y-1}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(\frac{1}{2y}\)
গ \(\frac{1}{2y-1}\)
গ \(\frac{1}{2y-1}\)
খ \(-\frac{1}{2y}\)
ঘ \(\frac{1}{1-2y}\)
\(y=\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+.....}}}\)ঘ \(\frac{1}{1-2y}\)
\(\Rightarrow y=\sqrt{x+y}\)
\(\Rightarrow y^2=x+y\)
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}=1+\frac{dy}{dx}\) উভয় পার্শ্বে \(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে।
\(\Rightarrow 2y\frac{dy}{dx}-\frac{dy}{dx}=1\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}(2y-1)=1\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y-1}\)
উত্তর ঃ (গ)
২০। \(x^2+y^2=4\) বৃত্তের \((-1, \sqrt{3})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণ কোনটি?
\(x.(-1)+y.(\sqrt{3})-4=0\)
\(\Rightarrow -x+\sqrt{3}y-4=0\)
\(\Rightarrow -(x-\sqrt{3}y+4)=0\)
\(\therefore x-\sqrt{3}y+4=0\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(x-\sqrt{3}y+4=0\)
গ \(\sqrt{3}x-y+4=0\)
গ \(\sqrt{3}x-y+4=0\)
খ \(x-\sqrt{3}y-4=0\)
ঘ \(\sqrt{3}x-y-4=0\)
\(x^2+y^2=4 \Rightarrow x^2+y^2-4=0\) বৃত্তের \((-1, \sqrt{3})\) বিন্দুতে স্পর্শকের সমীকরণঘ \(\sqrt{3}x-y-4=0\)
\(x.(-1)+y.(\sqrt{3})-4=0\)
\(\Rightarrow -x+\sqrt{3}y-4=0\)
\(\Rightarrow -(x-\sqrt{3}y+4)=0\)
\(\therefore x-\sqrt{3}y+4=0\)
উত্তর ঃ (ক)
২১। \(ABC\) ত্রিভুজের তিনটি বাহু \(a=3, \ b=4, \ c=5\) হলে-
\(i.\)\(5=4\cos{A}+3\cos{B}\)
\(ii.\) \(\cos{\frac{C}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(iii.\) \(\tan{\frac{A-C}{2}}=\frac{1}{4}\cot{\frac{B}{2}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(ABC\) ত্রিভুজে \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)
\(\Rightarrow 5=3\cos{B}+4\cos{A}\)
\(\Rightarrow 5=4\cos{A}+3\cos{B}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(s=\frac{a+b+c}{2}\)
\(=\frac{3+4+5}{2}\)
\(=\frac{12}{2}\)
\(=6\)
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)
\(=\sqrt{\frac{6(6-5)}{3\times4}}\)
\(=\sqrt{\frac{6\times1}{12}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \cos{\frac{C}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{5-3}{5+3}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{2}{8}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{1}{4}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (ক)
\(i.\)\(5=4\cos{A}+3\cos{B}\)
\(ii.\) \(\cos{\frac{C}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(iii.\) \(\tan{\frac{A-C}{2}}=\frac{1}{4}\cot{\frac{B}{2}}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ABC\) ত্রিভুজের তিনটি বাহু \(a=3, \ b=4, \ c=5\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ABC\) ত্রিভুজে \(c=a\cos{B}+b\cos{A}\)
\(\Rightarrow 5=3\cos{B}+4\cos{A}\)
\(\Rightarrow 5=4\cos{A}+3\cos{B}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
আবার, \(s=\frac{a+b+c}{2}\)
\(=\frac{3+4+5}{2}\)
\(=\frac{12}{2}\)
\(=6\)
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\cos{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}\)
\(=\sqrt{\frac{6(6-5)}{3\times4}}\)
\(=\sqrt{\frac{6\times1}{12}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore \cos{\frac{C}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{c-a}{c+a}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{5-3}{5+3}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\Rightarrow \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{2}{8}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\therefore \tan{\frac{C-A}{2}}=\frac{1}{4}\cot{\frac{B}{2}}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (ক)
২২। \(\int_{2}^{3}{\frac{\ln{(x-1)}}{x-1}dx}\) এর মান কত?
\(\int_{2}^{3}{\frac{\ln{x-1}}{x+1}dx}\)
\(=\int_{2}^{3}{\ln{x-1}.\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\int_{0}^{\ln{(2)}}{tdt}\)
\(=\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{\ln{(2)}}\) \(=\frac{1}{2}\left[t^2\right]_{0}^{\ln{(2)}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{2})^2\) উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(2\ln{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\ln{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\ln{2}\)
খ \(2(\ln{2})^2\)
ঘ \(\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
\(\int_{2}^{3}{\frac{\ln{(x-1)}}{x-1}dx}\)ঘ \(\frac{1}{2}(\ln{2})^2\)
\(\int_{2}^{3}{\frac{\ln{x-1}}{x+1}dx}\)
\(=\int_{2}^{3}{\ln{x-1}.\frac{1}{x+1}dx}\)
\(=\int_{0}^{\ln{(2)}}{tdt}\)
\(=\left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{\ln{(2)}}\) \(=\frac{1}{2}\left[t^2\right]_{0}^{\ln{(2)}}\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-0^2\right]\)
\(=\frac{1}{2}\left[(\ln{2})^2-0\right]\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{2})^2\) উত্তর ঃ (ঘ)
২৩। \((0, 1)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2-8x-6y+21=0\) বৃত্তের উপর অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য কত?
\(=\sqrt{0^2+1^2-8.0-6.1+21}\)
\(=\sqrt{1-6+21}\)
\(=\sqrt{22-6}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(2\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\sqrt{5}\)
ঘ \(4\sqrt{5}\)
\((0, 1)\) বিন্দু হতে \(x^2+y^2-8x-6y+21=0\) বৃত্তের উপর অংকিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্যঘ \(4\sqrt{5}\)
\(=\sqrt{0^2+1^2-8.0-6.1+21}\)
\(=\sqrt{1-6+21}\)
\(=\sqrt{22-6}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
উত্তর ঃ (গ)
২৪।
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
এখন, \(x=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{x}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=0, \ \sqrt{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=0, \ \sqrt{x}=1\)
\(\therefore x=0, \ x=1\)
এখানে, \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(1\)
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[\frac{1^2}{2}\right]-\left[\frac{0^2}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{2}-0\)
\(=\frac{1}{2}\) বর্গ একক
উত্তর ঃ (ক)
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ক \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{3}{2}\)
খ \(1\)
ঘ \(2\)
চিত্রে ছায়াঘেরা অংশটি \(y=x\) এবং \(x\) অক্ষ দ্বারা আবদ্ধ।ঘ \(2\)
এখন, \(x=\sqrt{x}\)
\(\Rightarrow x-\sqrt{x}=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}(\sqrt{x}-1)=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=0, \ \sqrt{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \sqrt{x}=0, \ \sqrt{x}=1\)
\(\therefore x=0, \ x=1\)
এখানে, \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(1\)
ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{1}{xdx}\)
\(=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1}\)
\(=\left[\frac{1^2}{2}\right]-\left[\frac{0^2}{2}\right]\)
\(=\frac{1}{2}-0\)
\(=\frac{1}{2}\) বর্গ একক
উত্তর ঃ (ক)
২৫। \(y=\tan^{-1}{\frac{4x}{1-4x^2}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=\) কত?
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\frac{2.2x}{1-(2x)^2}}\)
ধরি, \(\tan{\alpha}=2x \Rightarrow \alpha=\tan^{-1}{2x}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{(\tan{2\alpha})}\)
\(\Rightarrow y=2\alpha\)
\(\Rightarrow y=2\tan^{-1}{2x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{2x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+(2x)^2}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{2}{1+4x^2}\times2\)
\(=\frac{4}{1+4x^2}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(\frac{2}{1+4x^2}\)
গ \(\frac{4}{1-4x^2}\)
গ \(\frac{4}{1-4x^2}\)
খ \(\frac{2}{1-4x^2}\)
ঘ \(\frac{4}{1+4x^2}\)
\(y=\tan^{-1}{\frac{4x}{1-4x^2}}\)ঘ \(\frac{4}{1+4x^2}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\frac{2.2x}{1-(2x)^2}}\)
ধরি, \(\tan{\alpha}=2x \Rightarrow \alpha=\tan^{-1}{2x}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{\frac{2\tan{\alpha}}{1-\tan^2{\alpha}}}\)
\(\Rightarrow y=\tan^{-1}{(\tan{2\alpha})}\)
\(\Rightarrow y=2\alpha\)
\(\Rightarrow y=2\tan^{-1}{2x}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=2\frac{d}{dx}\left(\tan^{-1}{2x}\right)\)
\(=2\frac{1}{1+(2x)^2}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{2}{1+4x^2}\times2\)
\(=\frac{4}{1+4x^2}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000008