শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(y=\frac{1}{x^3}\) বক্ররেখার \((-1, -1)\) বিন্দুতে \(y_{1}\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow y=x^{-3}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-3x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-3x^{-4}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\frac{3}{x^{4}}\)
\((-1, -1)\) বিন্দুতে \(y_{1}=-\frac{3}{1^{4}}\)
\(=-\frac{3}{1}\)
\(=-3\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-3\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(3\)
\(y=\frac{1}{x^3}\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow y=x^{-3}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-3x^{-3-1}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-3x^{-4}\)
\(\Rightarrow y_{1}=-\frac{3}{x^{4}}\)
\((-1, -1)\) বিন্দুতে \(y_{1}=-\frac{3}{1^{4}}\)
\(=-\frac{3}{1}\)
\(=-3\)
উত্তরঃ (ক)
২। \((1, 0)\) এবং \((0, 2)\) বিন্দুদ্বয়গামী এবং \(x\) অক্ষের উপর কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের ব্যাসার্ধ কোনটি?
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(\sqrt{(a-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(a-0)^2+(0-2)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a-1)^2+0}=\sqrt{a^2+4}\)
\(\Rightarrow (a-1)^2=a^2+4\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1-a^2-4=0\)
\(\Rightarrow -2a-3=0\)
\(\Rightarrow -2a=3\)
\(\Rightarrow a=-\frac{3}{2}\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(a-1)^2+(0-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-3-2}{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{4}}\)
\(=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{41}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{41}}{2}\)
খ \(\frac{5}{2}\)
ঘ \(\frac{25}{4}\)
\(x\) অক্ষের উপর যে কোনো \((a, 0)\)ঘ \(\frac{25}{4}\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(\sqrt{(a-1)^2+(0-0)^2}=\sqrt{(a-0)^2+(0-2)^2}\)
\(\Rightarrow \sqrt{(a-1)^2+0}=\sqrt{a^2+4}\)
\(\Rightarrow (a-1)^2=a^2+4\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1-a^2-4=0\)
\(\Rightarrow -2a-3=0\)
\(\Rightarrow -2a=3\)
\(\Rightarrow a=-\frac{3}{2}\)
\(\therefore\) ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{(a-1)^2+(0-0)^2}\)
\(=\sqrt{\left(-\frac{3}{2}-1\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-3-2}{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\left(\frac{-5}{2}\right)^2}\)
\(=\sqrt{\frac{25}{4}}\)
\(=\frac{5}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
৩। \(\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)=\) কত?
\(=e^{\sqrt{2x}-3}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x}-3\right)\)
\(=e^{\sqrt{2x}-3}\sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2}.\sqrt{2}\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2}\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2x}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)\)
গ \(\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2x}}\)
গ \(\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2x}}\)
খ \(\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2}}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{2}\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{x}}\)
\(\frac{d}{dx}\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)\)ঘ \(\frac{\sqrt{2}\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{x}}\)
\(=e^{\sqrt{2x}-3}\frac{d}{dx}\left(\sqrt{2x}-3\right)\)
\(=e^{\sqrt{2x}-3}\sqrt{2}\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2}.\sqrt{2}\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2}\sqrt{x}}\)
\(=\frac{\left(e^{\sqrt{2x}-3}\right)}{\sqrt{2x}}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 5 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}2 \\10\end{bmatrix}\)
৪। \(A^{-1}=\) কত?\(A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 5 \end{bmatrix}, \ B=\begin{bmatrix}2 \\10\end{bmatrix}\)
ক \(\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 5 & -1 \\-3 & \ \ \ 2\end{array}\right|\)
গ \(\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} 5 & 1 \\3 & 2\end{array}\right|\)
গ \(\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} 5 & 1 \\3 & 2\end{array}\right|\)
খ \(\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 2 & -3 \\-1 & \ \ \ 5\end{array}\right|\)
ঘ \(\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} 2 & 3 \\1 & 5\end{array}\right|\)
\(A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 5 \end{bmatrix}\)ঘ \(\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} 2 & 3 \\1 & 5\end{array}\right|\)
তাহলে, \(|A|=\left|\begin{array}{c}2 & 1 \\3 & 5\end{array}\right|\)
\(=10-3\)
\(=7\)
\(\therefore A^{-1}\) নির্ণয়যোগ্য।
\(adj(A)=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 5 & -3 \\-1 & \ \ \ 2\end{array}\right|^T\)
\(=\left|\begin{array}{c} \ \ \ 5 & -1 \\-3 & \ \ \ 2\end{array}\right|\)
\(\therefore A^{-1}=\frac{adj(A)}{|A|}\)
\(=\frac{1}{|A|}adj(A)\)
\(=\frac{1}{7}\left|\begin{array}{c} \ \ \ 5 & -1 \\-3 & \ \ \ 2\end{array}\right|\)
উত্তরঃ (ক)
৫। \(P=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)\) এবং \(AP=B\) হলে, \(x+y=\) কত?
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 5 \end{bmatrix}\times\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\begin{bmatrix}2 \\10\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2x+y \\3x+5y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\10\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2x+y=2 ....(1), \ 3x+5y=10 ....(2)\)
\((1)\times5-(2)\) এর সাহায্যে,
\(10x+5y-3x-5y=10-10\)
\(\Rightarrow 7x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\((1)\) হতে,
\(2.0+y=2\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore x+y=0+2=2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\)
গ \(10\)
গ \(10\)
খ \(8\)
ঘ \(12\)
\(AP=B\)ঘ \(12\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2 & 1 \\3 & 5 \end{bmatrix}\times\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\begin{bmatrix}2 \\10\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix}2x+y \\3x+5y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2 \\10\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow 2x+y=2 ....(1), \ 3x+5y=10 ....(2)\)
\((1)\times5-(2)\) এর সাহায্যে,
\(10x+5y-3x-5y=10-10\)
\(\Rightarrow 7x=0\)
\(\Rightarrow x=0\)
\((1)\) হতে,
\(2.0+y=2\)
\(\Rightarrow y=2\)
\(\therefore x+y=0+2=2\)
উত্তরঃ (ক)
৬। \(2x^2+2y^2-2x-4y-22=0\) বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য কোনটি?
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2-x-2y-11)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x-2y-11=0\)
এখানে, \(2g=-1, \ 2f=-2, \ c=-11\)
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, \ f=-1, \ c=-11\)
বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-11)}\)
\(=2\sqrt{1+11}\)
\(=2\sqrt{12}\)
\(=2\times2\sqrt{3}\)
\(=4\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3\sqrt{5}\)
গ \(2\sqrt{23}\)
গ \(2\sqrt{23}\)
খ \(4\sqrt{3}\)
ঘ \(2\sqrt{26}\)
\(2x^2+2y^2-2x-4y-22=0\)ঘ \(2\sqrt{26}\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2-x-2y-11)=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2-x-2y-11=0\)
এখানে, \(2g=-1, \ 2f=-2, \ c=-11\)
\(\Rightarrow g=-\frac{1}{2}, \ f=-1, \ c=-11\)
বৃত্ত দ্বারা \(y\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{f^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-11)}\)
\(=2\sqrt{1+11}\)
\(=2\sqrt{12}\)
\(=2\times2\sqrt{3}\)
\(=4\sqrt{3}\)
উত্তরঃ (খ)
৭। \(A=\begin{bmatrix}2 & 1 & -1 \end{bmatrix}\) এবং \(B=\begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\) হলে, \(BA=?\)
\(=\begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 & 1 & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2\times2 & 2\times1 & 2\times-1 \\ 0\times2 & 0\times1 & 0\times-1 \\ 3\times2 & 3\times1 & 3\times-1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & \ \ \ 0 \\ 6 & 3 & -3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\begin{bmatrix}1 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & -3 \end{bmatrix}\)
গ \(\begin{bmatrix} 4 & 0 & -3 \end{bmatrix}\)
খ \(\begin{bmatrix} \ \ \ 4 \\ \ \ \ 0 \\ -3 \end{bmatrix}\)
ঘ \(\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & \ \ \ 0 \\ 6 & 3 & -3 \end{bmatrix}\)
\(BA\)ঘ \(\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & \ \ \ 0 \\ 6 & 3 & -3 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}\times\begin{bmatrix}2 & 1 & -1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix}2\times2 & 2\times1 & 2\times-1 \\ 0\times2 & 0\times1 & 0\times-1 \\ 3\times2 & 3\times1 & 3\times-1 \end{bmatrix}\)
\(=\begin{bmatrix} 4 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & \ \ \ 0 \\ 6 & 3 & -3 \end{bmatrix}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৮। \(f(1)=6, \ f^{\prime}(1)=3\) হলে, \(x=0\) বিন্দুতে \(\frac{d}{dx}\{\log{f(e^{x})}\}\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{1}{f(e^{x})}\frac{d}{dx}\{f(e^{x})\}\)
\(=\frac{1}{f(e^{x})}\timesf^{\prime}(e^{x})\)
\(\therefore p=\frac{f^{\prime}(e^{x})}{f(e^{x})}\)
\(x=0\) বিন্দুতে \(p\)
\(=\frac{f^{\prime}(e^{0})}{f(e^{0})}\)
\(=\frac{f^{\prime}(1)}{f(1)}\)
\(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(1\)
ঘ \(0\)
ধরি, \(p=\frac{d}{dx}\{\log{f(e^{x})}\}\)ঘ \(0\)
\(=\frac{1}{f(e^{x})}\frac{d}{dx}\{f(e^{x})\}\)
\(=\frac{1}{f(e^{x})}\timesf^{\prime}(e^{x})\)
\(\therefore p=\frac{f^{\prime}(e^{x})}{f(e^{x})}\)
\(x=0\) বিন্দুতে \(p\)
\(=\frac{f^{\prime}(e^{0})}{f(e^{0})}\)
\(=\frac{f^{\prime}(1)}{f(1)}\)
\(=\frac{3}{6}\)
\(=\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \((1, 2)\) বিন্দুগামী \(3x+2y+5=0\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ কোনটি?
\(2x-3y=2\times1-3\times2\)
\(\Rightarrow 2x-3y=2-6\)
\(\Rightarrow 2x-3y=-4\)
\(\therefore 2x-3y+4=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(2x+3y-8=0\)
গ \(3x+2y-7=0\)
গ \(3x+2y-7=0\)
খ \(3x-2y+1=0\)
ঘ \(2x-3y+4=0\)
\((1, 2)\) বিন্দুগামী \(3x+2y+5=0\) রেখার উপর লম্ব রেখার সমীকরণ,ঘ \(2x-3y+4=0\)
\(2x-3y=2\times1-3\times2\)
\(\Rightarrow 2x-3y=2-6\)
\(\Rightarrow 2x-3y=-4\)
\(\therefore 2x-3y+4=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। \(\frac{d}{dx}\{\tan^{-1}{(e^{x})}\}=\) কত?
\(=\frac{1}{1+(e^{x})^2}\frac{d}{dx}(e^{x})\)
\(=\frac{1}{1+e^{2x}}\times{e^{x}}\)
\(=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{e^{x}}{1+e^{x^2}}\)
গ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
গ \(\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
খ \(\frac{1}{1+e^{x}}\)
ঘ \(\frac{e^{x}}{1+e^{x^2}}\)
\(\frac{d}{dx}\{\tan^{-1}{(e^{x})}\}\)ঘ \(\frac{e^{x}}{1+e^{x^2}}\)
\(=\frac{1}{1+(e^{x})^2}\frac{d}{dx}(e^{x})\)
\(=\frac{1}{1+e^{2x}}\times{e^{x}}\)
\(=\frac{e^{x}}{1+e^{2x}}\)
উত্তরঃ (গ)
১১। \(\left|\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 2\\ -3 & 6\end{array}\right|\) নির্ণায়কে-
\(i.\) \((1, 2)\) ভুক্তির সহগুণক \(3\)
\(ii.\) \((2, 2)\) ভুক্তির অনুরাশি \(1\)
\(iii.\) নির্ণায়কের মান \(12\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=(-1)^{3}(-3)\)
\(=-(-3)\)
\(=3\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((2, 2)\) ভুক্তির অনুরাশি \(=1\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নির্ণায়কের মান \(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \((1, 2)\) ভুক্তির সহগুণক \(3\)
\(ii.\) \((2, 2)\) ভুক্তির অনুরাশি \(1\)
\(iii.\) নির্ণায়কের মান \(12\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((1, 2)\) ভুক্তির সহগুণক \(=(-1)^{1+2}(-3)\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(=(-1)^{3}(-3)\)
\(=-(-3)\)
\(=3\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((2, 2)\) ভুক্তির অনুরাশি \(=1\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
নির্ণায়কের মান \(=6+6\)
\(=12\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(qy+px+r=0\) রেখার ঢাল কোনটি?
\(=-\frac{p}{q}\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{p}{q}\)
গ \(\frac{q}{p}\)
গ \(\frac{q}{p}\)
খ \(-\frac{q}{p}\)
ঘ \(\frac{p}{q}\)
\(qy+px+r=0\) রেখার ঢাল,ঘ \(\frac{p}{q}\)
\(=-\frac{p}{q}\) যেহেতু \(ax+by+c=0\) রেখার ঢাল \(=-\frac{a}{b}\)
উত্তরঃ (ক)
১৩। \(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(1+\sin{2x})}dx}=?\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(\sin^2{x}+\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x})}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{x}+\cos{x})dx}\)
\(=[-\cos{x}+\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=[\left(-\cos{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{2}}\right)-(-\cos{0}+\sin{0})]\)
\(=[\left(-0+1\right)-(-1+0)]\)
\(=[1+1]\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-2\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(2\)
\(\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(1+\sin{2x})}dx}\)ঘ \(2\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(\sin^2{x}+\cos^2{x}+2\sin{x}\cos{x})}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{(\sin{x}+\cos{x})^2}dx}\)
\(=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin{x}+\cos{x})dx}\)
\(=[-\cos{x}+\sin{x}]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\)
\(=[\left(-\cos{\frac{\pi}{2}}+\sin{\frac{\pi}{2}}\right)-(-\cos{0}+\sin{0})]\)
\(=[\left(-0+1\right)-(-1+0)]\)
\(=[1+1]\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। যদি \(\int{P^{x}dx}=F(x)+C\) হয়, তবে \(F(x)\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow \frac{P^{x}}{\log_{e}P}+C=F(x)+C\)
\(\Rightarrow \frac{P^{x}}{\log_{e}P}=F(x)\)
\(\therefore F(x)=\frac{P^{x}}{\log_{e}P}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{P^{x}}{\log_{e}P}\)
গ \(xP^{x-1}\)
গ \(xP^{x-1}\)
খ \(P^{x}\log_{e}P\)
ঘ \(\frac{P^{x+1}}{x+1}\)
\(\int{P^{x}dx}=F(x)+C\)ঘ \(\frac{P^{x+1}}{x+1}\)
\(\Rightarrow \frac{P^{x}}{\log_{e}P}+C=F(x)+C\)
\(\Rightarrow \frac{P^{x}}{\log_{e}P}=F(x)\)
\(\therefore F(x)=\frac{P^{x}}{\log_{e}P}\)
উত্তরঃ (ক)
উদ্দীপকের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১৫। \((-1, -2)\) হতে \(AB\) রেখার লম্ব দূরত্ব কোনটি?
ক \(\frac{1}{5}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{2}{5}\)
ঘ \(\frac{17}{5}\)
\((-1, -2)\) হতে \(AB\) রেখার লম্ব দূরত্ব,ঘ \(\frac{17}{5}\)
\(=\frac{|3(-1)-4(-2)+12|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\)
\(=\frac{|-3+8+12|}{\sqrt{9+16}}\)
\(=\frac{|-3+20|}{\sqrt{25}}\)
\(=\frac{17}{5}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৬। \(AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক কোনটি?
\(\Rightarrow 3x-4y=-12\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-12}-\frac{4y}{-12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}-\frac{y}{-3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow A(-4, 0), \ B(0, 3)\)
\(AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-4}{2}, \frac{3}{2}\right)\)
\(\therefore \left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\left(2, -\frac{3}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{3}{2}, -2\right)\)
গ \(\left(\frac{3}{2}, -2\right)\)
খ \(\left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
\(3x-4y+12=0\)ঘ \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
\(\Rightarrow 3x-4y=-12\)
\(\Rightarrow \frac{3x}{-12}-\frac{4y}{-12}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}-\frac{y}{-3}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x}{-4}+\frac{y}{3}=1\)
\(\Rightarrow A(-4, 0), \ B(0, 3)\)
\(AB\) রেখাংশের মধ্যবিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{-4+0}{2}, \frac{0+3}{2}\right)\)
\(\Rightarrow \left(\frac{-4}{2}, \frac{3}{2}\right)\)
\(\therefore \left(-2, \frac{3}{2}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। যদি \(\int{coes^2{(5-8x)}dx}=a\cot{(5-8x)}+c\) হয়, তবে \(a\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow -\frac{\cot{(5-8x)}}{\frac{d}{dx}(5-8x)}+c=a\cot{(5-8x)}+c\)
\(\Rightarrow -\frac{\cot{(5-8x)}}{-8}+c=a\cot{(5-8x)}+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}\cot{(5-8x)}+c=a\cot{(5-8x)}+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}=a\)
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-8\)
গ \(\frac{1}{8}\)
গ \(\frac{1}{8}\)
খ \(-\frac{1}{8}\)
ঘ \(8\)
\(\int{coes^2{(5-8x)}dx}=a\cot{(5-8x)}+c\) ঘ \(8\)
\(\Rightarrow -\frac{\cot{(5-8x)}}{\frac{d}{dx}(5-8x)}+c=a\cot{(5-8x)}+c\)
\(\Rightarrow -\frac{\cot{(5-8x)}}{-8}+c=a\cot{(5-8x)}+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}\cot{(5-8x)}+c=a\cot{(5-8x)}+c\)
\(\Rightarrow \frac{1}{8}=a\)
\(\therefore a=\frac{1}{8}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\Delta=?\)
আমরা জানি, \(\Delta=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{bc}{2}\times\frac{a}{2R}, \ \because \sin{A}=\frac{a}{2R}\)
\(=\frac{abc}{4R}\)
\(\therefore \Delta=\frac{abc}{4R}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{abc}{4R}\)
গ \(\frac{abc}{R}\)
গ \(\frac{abc}{R}\)
খ \(\frac{4R}{abc}\)
ঘ \(\frac{R}{abc}\)
\(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \(\Delta\)ঘ \(\frac{R}{abc}\)
আমরা জানি, \(\Delta=\frac{1}{2}bc\sin{A}\)
\(=\frac{bc}{2}\times\frac{a}{2R}, \ \because \sin{A}=\frac{a}{2R}\)
\(=\frac{abc}{4R}\)
\(\therefore \Delta=\frac{abc}{4R}\)
উত্তরঃ (ক)
১৯। \(2x+3y=9\) এবং \(4x+6y=7\) সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কোনটি?
\(\Rightarrow 2x+3y-9=0\) এবং \(4x+6y-7=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y-9=0\) এবং \(2\left(2x+3y-\frac{7}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y-9=0\) এবং \(2x+3y-\frac{7}{2}=0\)
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{\left|-9+\frac{7}{2}\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}\)
\(=\frac{\left|\frac{-18+7}{2}\right|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{\left|\frac{-11}{2}\right|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|-11|}{2\sqrt{13}}\)
\(=\frac{11}{2\sqrt{13}}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{\sqrt{13}}\)
গ \(\frac{11}{2\sqrt{13}}\)
গ \(\frac{11}{2\sqrt{13}}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{13}}\)
ঘ \(\frac{25}{2\sqrt{13}}\)
\(2x+3y=9\) এবং \(4x+6y=7\)ঘ \(\frac{25}{2\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow 2x+3y-9=0\) এবং \(4x+6y-7=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y-9=0\) এবং \(2\left(2x+3y-\frac{7}{2}\right)=0\)
\(\Rightarrow 2x+3y-9=0\) এবং \(2x+3y-\frac{7}{2}=0\)
সরলরেখাদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=\frac{\left|-9+\frac{7}{2}\right|}{\sqrt{2^2+3^2}}\)
\(=\frac{\left|\frac{-18+7}{2}\right|}{\sqrt{4+9}}\)
\(=\frac{\left|\frac{-11}{2}\right|}{\sqrt{13}}\)
\(=\frac{|-11|}{2\sqrt{13}}\)
\(=\frac{11}{2\sqrt{13}}\)
উত্তরঃ (গ)
২০। \(r=2a\cos{\theta}\) বৃত্তের-
\(i.\) কেন্দ্র \((a, 0)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(2a\)
\(iii.\) \(x\) অক্ষ হতে ছেদাংশের পরিমাণ \(2a\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow r^2=2ar\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2ax\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+y^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+a^2+y^2=a^2\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+(y-0)^2=a^2\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((a, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((x-a)^2+(y-0)^2=a^2\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(a\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(x^2-2ax+y^2=0\)
এখানে, \(g=-a, \ f=0, \ c=0\)
\(x\) অক্ষ হতে ছেদাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-a)^2-0}\)
\(=2\sqrt{a^2}\)
\(=2a\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) কেন্দ্র \((a, 0)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(2a\)
\(iii.\) \(x\) অক্ষ হতে ছেদাংশের পরিমাণ \(2a\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(r=2a\cos{\theta}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow r^2=2ar\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=2ax\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+y^2=0\)
\(\Rightarrow x^2-2ax+a^2+y^2=a^2\)
\(\Rightarrow (x-a)^2+(y-0)^2=a^2\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((a, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\((x-a)^2+(y-0)^2=a^2\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(a\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(x^2-2ax+y^2=0\)
এখানে, \(g=-a, \ f=0, \ c=0\)
\(x\) অক্ষ হতে ছেদাংশের পরিমাণ \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-a)^2-0}\)
\(=2\sqrt{a^2}\)
\(=2a\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
উদ্দীপকের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
২১। \(\cos{\frac{A}{2}}=\) কত?
ক \(\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
গ \(\sqrt{\frac{bc}{s(s-a)}}\)
গ \(\sqrt{\frac{bc}{s(s-a)}}\)
খ \(\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}\)
ঘ \(\sqrt{\frac{bc}{(s-b)(s-c)}}\)
আমরা জানি, \(2\cos^2{\frac{A}{2}}=1+\cos{A}\)ঘ \(\sqrt{\frac{bc}{(s-b)(s-c)}}\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{\frac{A}{2}}=1+\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\Rightarrow 2\cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{2bc+b^2+c^2-a^2}{2bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{(b+c)^2-a^2}{4bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{(a+b+c)(b+c-a)}{4bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{(a+b+c)(a+b+c-2a)}{4bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{2s(2s-2a)}{4bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{4s(s-a)}{4bc}\)
\(\Rightarrow \cos^2{\frac{A}{2}}=\frac{s(s-a)}{bc}\)
\(\therefore \cos{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}\)
উত্তরঃ (ক)
২২। উদ্দীপকে-
\(i.\) \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\(ii.\) \(c^2=a^2+b^2+2ab\cos{C}\)
\(iii.\) \(c=2R\sin{C}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(ABC\) ত্রিভুজে \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(ABC\) ত্রিভুজে \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore c=2R\sin{C}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\(ii.\) \(c^2=a^2+b^2+2ab\cos{C}\)
\(iii.\) \(c=2R\sin{C}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ABC\) ত্রিভুজের তিনটি বাহু \(BC=a, \ CA=b, \ AB=c\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(ABC\) ত্রিভুজে \(b=c\cos{A}+a\cos{C}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(ABC\) ত্রিভুজে \(c^2=a^2+b^2-2ab\cos{C}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(ABC\) ত্রিভুজে \(\frac{c}{\sin{C}}=2R\)
\(\therefore c=2R\sin{C}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(\begin{bmatrix}m & -1 \\m-2 & m-2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে, \(m\) এর মান কোনটি?
তাহলে, \(\left|\begin{array}{c}m & -1 \\m-2 & m-2 \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow m(m-2)+m-2=0\)
\(\Rightarrow m^2-2m+m-2=0\)
\(\Rightarrow m(m-2)+1(m-2)=0\)
\(\Rightarrow (m-2)(m+1)=0\)
\(\Rightarrow m-2=0, \ m+1=0\)
\(\Rightarrow m=2, \ m=-1\)
\(\therefore m=-1, \ 2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(1, \ -2\)
গ \(-1, \ 2\)
গ \(-1, \ 2\)
খ \(-1, \ -2\)
ঘ \(1, \ 2\)
\(\begin{bmatrix}m & -1 \\m-2 & m-2 \end{bmatrix}\) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমীঘ \(1, \ 2\)
তাহলে, \(\left|\begin{array}{c}m & -1 \\m-2 & m-2 \end{array}\right|=0\)
\(\Rightarrow m(m-2)+m-2=0\)
\(\Rightarrow m^2-2m+m-2=0\)
\(\Rightarrow m(m-2)+1(m-2)=0\)
\(\Rightarrow (m-2)(m+1)=0\)
\(\Rightarrow m-2=0, \ m+1=0\)
\(\Rightarrow m=2, \ m=-1\)
\(\therefore m=-1, \ 2\)
উত্তরঃ (গ)
২৪। বিন্দু বৃত্তের সমীকরণ কোনটি?
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=2, \ c=2\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=1, \ c=2\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2-2}\)
\(=\sqrt{1+1-2}\)
\(=\sqrt{2-2}\)
\(=\sqrt{0}\)
\(=0\)
ইহাই বিন্দু বৃত্ত।
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^2+y^2-2x+2y+1=0\)
গ \(x^2+y^2-2x+2y-1=0\)
গ \(x^2+y^2-2x+2y-1=0\)
খ \(x^2+y^2-2x+2y+2=0\)
ঘ \(x^2+y^2-2x+2y=0\)
\(x^2+y^2-2x+2y+2=0\) বৃত্তেঘ \(x^2+y^2-2x+2y=0\)
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=2, \ c=2\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=1, \ c=2\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{(-1)^2+1^2-2}\)
\(=\sqrt{1+1-2}\)
\(=\sqrt{2-2}\)
\(=\sqrt{0}\)
\(=0\)
ইহাই বিন্দু বৃত্ত।
উত্তরঃ (খ)
২৫। \(f(x)=\ln{|2x|}\) হলে-
\(i.\) \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\)
\(ii.\) \(\int{f(x)dx}=x(\ln{|2x|}-1)+c\)
\(iii.\) \(\int_{1}^{\frac{1}{2}}{f(x)dx}=\frac{1}{2}-\ln{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(\ln{|2x|})\)
\(=\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{1}{2x}\times2\)
\(=\frac{1}{x}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{f(x)dx}\)
\(=\int{\ln{|2x|}dx}\)
\(=\ln{|2x|}\int{1.dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{2x})\int{1.dx}\right\}dx}\)
\(=\ln{|2x|}.x-\int{\left\{\frac{1}{2x}(2).x\right\}dx}\)
\(=x\ln{|2x|}-\int{1.dx}\)
\(=x\ln{|2x|}-x+c\)
\(=x(\ln{|2x|}-1)+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{1}^{\frac{1}{2}}{f(x)dx}\)
\(=\int_{1}^{\frac{1}{2}}{\ln{|2x|}dx}\)
\(=[x(\ln{|2x|}-1)]_{1}^{\frac{1}{2}}\)
\(=[\frac{1}{2}(\ln{|2\times\frac{1}{2}|}-1)-1(\ln{2.1}-1)]\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{1}-1)-\ln{2}+1\)
\(=\frac{1}{2}(0-1)-\ln{2}+1\)
\(=-\frac{1}{2}-\ln{2}+1\)
\(=1-\frac{1}{2}-\ln{2}\)
\(=\frac{2-1}{2}-\ln{2}\)
\(=\frac{1}{2}-\ln{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(f^{\prime}(x)=\frac{1}{x}\)
\(ii.\) \(\int{f(x)dx}=x(\ln{|2x|}-1)+c\)
\(iii.\) \(\int_{1}^{\frac{1}{2}}{f(x)dx}=\frac{1}{2}-\ln{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=\ln{|2x|}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow f^{\prime}(x)=\frac{d}{dx}(\ln{|2x|})\)
\(=\frac{1}{2x}\frac{d}{dx}(2x)\)
\(=\frac{1}{2x}\times2\)
\(=\frac{1}{x}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int{f(x)dx}\)
\(=\int{\ln{|2x|}dx}\)
\(=\ln{|2x|}\int{1.dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\ln{2x})\int{1.dx}\right\}dx}\)
\(=\ln{|2x|}.x-\int{\left\{\frac{1}{2x}(2).x\right\}dx}\)
\(=x\ln{|2x|}-\int{1.dx}\)
\(=x\ln{|2x|}-x+c\)
\(=x(\ln{|2x|}-1)+c\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\int_{1}^{\frac{1}{2}}{f(x)dx}\)
\(=\int_{1}^{\frac{1}{2}}{\ln{|2x|}dx}\)
\(=[x(\ln{|2x|}-1)]_{1}^{\frac{1}{2}}\)
\(=[\frac{1}{2}(\ln{|2\times\frac{1}{2}|}-1)-1(\ln{2.1}-1)]\)
\(=\frac{1}{2}(\ln{1}-1)-\ln{2}+1\)
\(=\frac{1}{2}(0-1)-\ln{2}+1\)
\(=-\frac{1}{2}-\ln{2}+1\)
\(=1-\frac{1}{2}-\ln{2}\)
\(=\frac{2-1}{2}-\ln{2}\)
\(=\frac{1}{2}-\ln{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000006