শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
প্রথম পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 265
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3-2 \mathrm{i} \\ 1+2 \mathrm{i} & \mathrm{i}-2\end{array}\right)\) ম্যাট্রিক্সের অনুবন্ধী (conjugate) ম্যাট্রিক্স কোনটি?
এখন, \(A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3-2 \mathrm{i} \\ 1+2 \mathrm{i} & \mathrm{i}-2\end{array}\right)\)
\(\Rightarrow \bar{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 3+2i \\ 1-2i & -i-2\end{array}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left(\begin{array}{cc}2 & 3+2 i \\ 1-2 i & i+2\end{array}\right)\)
গ \(\left(\begin{array}{cc}2 & 1+2 \mathrm{i} \\ 3-2 \mathrm{i} & \mathrm{i}-2\end{array}\right)\)
গ \(\left(\begin{array}{cc}2 & 1+2 \mathrm{i} \\ 3-2 \mathrm{i} & \mathrm{i}-2\end{array}\right)\)
খ \(\left(\begin{array}{cc}3-2 i & 2 i \\ i-2 & 1+2 i\end{array}\right)\)
ঘ \(\left(\begin{array}{cc}2 & 3+2i \\ 1-2i & -i-2\end{array}\right)\)
কোনো \(A\) ম্যাট্রিক্সের ভুক্তি জটিল সংখ্যা হলে, প্রত্যেক জটিল সংখ্যার স্থলে তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বসিয়ে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সকে \(A\) এর অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং এটিকে \(\bar{A}\) প্রতীক দ্বারা সূচিত করা হয়।ঘ \(\left(\begin{array}{cc}2 & 3+2i \\ 1-2i & -i-2\end{array}\right)\)
এখন, \(A=\left(\begin{array}{cc}2 & 3-2 \mathrm{i} \\ 1+2 \mathrm{i} & \mathrm{i}-2\end{array}\right)\)
\(\Rightarrow \bar{A}=\left(\begin{array}{cc}2 & 3+2i \\ 1-2i & -i-2\end{array}\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
২। \(\left(3,-60^{o}\right)\) বিন্দুর কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক কোনটি?
এখানে, \(r=3, \ \theta=-60^{o}\)
আমরা জানি, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{(-60^{o})}, \ y=3\sin{(-60^{o})}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{(60^{o})}, \ y=-3\sin{(60^{o})}\)
\(\Rightarrow x=3\times\frac{1}{2}, \ y=-3\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}, \ y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
গ \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
খ \(\left(-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
ঘ \(\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\)
\(\left(3,-60^{o}\right)\)ঘ \(\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2},-\frac{3}{2}\right)\)
এখানে, \(r=3, \ \theta=-60^{o}\)
আমরা জানি, \(x=r\cos{\theta}, \ y=r\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{(-60^{o})}, \ y=3\sin{(-60^{o})}\)
\(\Rightarrow x=3\cos{(60^{o})}, \ y=-3\sin{(60^{o})}\)
\(\Rightarrow x=3\times\frac{1}{2}, \ y=-3\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{3}{2}, \ y=-\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
৩। \(x^{2}+y^{2}=12\) বৃত্তের-
\(i.\) কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(2\sqrt{3}\) একক
\(iii.\) y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) একক নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=(2\sqrt{3})^2\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(2\sqrt{3}\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\times2\sqrt{3}\)
\(=4\sqrt{3}\) একক
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(2\sqrt{3}\) একক
\(iii.\) y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(2\sqrt{3}\) একক নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^{2}+y^{2}=12\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}=(2\sqrt{3})^2\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(2\sqrt{3}\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
y-অক্ষের খণ্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\times2\sqrt{3}\)
\(=4\sqrt{3}\) একক
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
৪। \(\sin \left(\mathrm{A}-30^{o}\right)+\sin \left(150^{o}+\mathrm{A}\right)\) এর মান-
\(=-\sin{(30^{o}-A)}+\sin{\{180^{o}-(30^{o}-A)\}}\)
\(=-\sin{(30^{o}-A)}+\sin{(30^{o}-A)}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{1}{2}\cos{A}\)
গ \(\cos{A}\)
গ \(\cos{A}\)
খ \(0\)
ঘ \(\sin{A}\)
\(\sin \left(\mathrm{A}-30^{o}\right)+\sin \left(150^{o}+\mathrm{A}\right)\)ঘ \(\sin{A}\)
\(=-\sin{(30^{o}-A)}+\sin{\{180^{o}-(30^{o}-A)\}}\)
\(=-\sin{(30^{o}-A)}+\sin{(30^{o}-A)}\)
\(=0\)
উত্তরঃ (খ)
৫। \[\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-27}{x^{2}-9}\] এর মান কোনটি?
\[=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-3^3}{x^{2}-3^2}\]
\[=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}\]
\[=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x^2+3x+9)}{x+3}\]
\[=\frac{(3^2+9+9)}{3+3}\]
\[=\frac{(9+18)}{6}\]
\[=\frac{27}{6}\]
\[=\frac{9}{2}\]
উত্তরঃ (গ)
ক \(\infty\)
গ \(\frac{9}{2}\)
গ \(\frac{9}{2}\)
খ \(0\)
ঘ \(6\)
\[\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-27}{x^{2}-9}\]ঘ \(6\)
\[=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^{3}-3^3}{x^{2}-3^2}\]
\[=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x-3)(x^2+3x+9)}{(x-3)(x+3)}\]
\[=\lim _{x \rightarrow 3} \frac{(x^2+3x+9)}{x+3}\]
\[=\frac{(3^2+9+9)}{3+3}\]
\[=\frac{(9+18)}{6}\]
\[=\frac{27}{6}\]
\[=\frac{9}{2}\]
উত্তরঃ (গ)
৬। \(\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx}=\)?
\(=\int_{0}^{1}{\frac{x+1-1}{1+x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx}\)
\(=[x-\ln{1+x}]_{0}^{1}\)
\(=(1-\ln{1+1})-(0-\ln{1+0})\)
\(=1-\ln{2}-(0-0)\)
\(=1-\ln{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(1-\ln{2}\)
গ \(\ln{2}-1\)
গ \(\ln{2}-1\)
খ \(\ln{2}\)
ঘ \(\ln{2}\)
\(\int_{0}^{1}{\frac{x}{1+x}dx}\)ঘ \(\ln{2}\)
\(=\int_{0}^{1}{\frac{x+1-1}{1+x}dx}\)
\(=\int_{0}^{1}{\left(1-\frac{1}{1+x}\right)dx}\)
\(=[x-\ln{1+x}]_{0}^{1}\)
\(=(1-\ln{1+1})-(0-\ln{1+0})\)
\(=1-\ln{2}-(0-0)\)
\(=1-\ln{2}\)
উত্তরঃ (ক)
৭। \(A=\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]\) হলে, \(A^{-1}=\)?
\(|A|=\left|\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=1+1\)
\(=2\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]^t\)
\(=\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
এখন, \(A^{-1}=\frac{adj(A)}{|A|}\)
\(=\frac{1}{2}adj(A)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
গ \(\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
খ \(\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]\)
ঘ \(\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]\)
\(A=\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]\)ঘ \(\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]\)
\(|A|=\left|\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right|\)
\(=1+1\)
\(=2\)
\(adj(A)=\left[\begin{array}{c}1 & -1 \\ 1 & \ \ \ 1\end{array}\right]^t\)
\(=\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
এখন, \(A^{-1}=\frac{adj(A)}{|A|}\)
\(=\frac{1}{2}adj(A)\)
\(=\frac{1}{2}\left[\begin{array}{c} \ \ \ 1 & 1 \\ -1 & 1\end{array}\right]\)
উত্তরঃ (ক)
৮। \((-2,-4)\) ও \((4,6)\) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখাকে \(x\)-অক্ষ কত অনুপাতে বিভক্ত করে?
শর্তমতে, বিভক্তকারী বিন্দু \(P\left(\frac{m\times4+n\times-2}{m+n}, \frac{m\times6+n\times-4}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{4m-2n}{m+n}, \frac{6m-4n}{m+n}\right)\)
তাহলে, \(\frac{6m-4n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 6m-4n=0\)
\(\Rightarrow 6m=4n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\therefore m:n=2:3\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3:2\)
গ \(1:2\)
গ \(1:2\)
খ \(2:3\)
ঘ \(2:1\)
ধরি, \(x\)-অক্ষ \(P(x, 0)\) বিন্দুতে \(m:n\) অনুপাতে বিভক্ত করেঘ \(2:1\)
শর্তমতে, বিভক্তকারী বিন্দু \(P\left(\frac{m\times4+n\times-2}{m+n}, \frac{m\times6+n\times-4}{m+n}\right)\)
\(\Rightarrow P\left(\frac{4m-2n}{m+n}, \frac{6m-4n}{m+n}\right)\)
তাহলে, \(\frac{6m-4n}{m+n}=0\)
\(\Rightarrow 6m-4n=0\)
\(\Rightarrow 6m=4n\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{4}{6}\)
\(\Rightarrow \frac{m}{n}=\frac{2}{3}\)
\(\therefore m:n=2:3\)
উত্তরঃ (খ)
৯। \(x^{2}+y^{2}+6x-4y-3=0\) বৃত্তের ক্ষেত্রে-
\(i.\)কেন্দ্র \((-3, 2)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(=4\)
\(iii.\) মূলবিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত
নিচের কোনটি সঠিক?
এখানে, \(2g=6, \ 2f=-4, \ c=-3\)
\(\Rightarrow g=3, \ f=-2, \ c=-3\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-3, 2)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{3^2+(-2)^2-(-3)}\)
\(=\sqrt{9+4+3}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
মূলবিন্দুটি \(x^{2}+y^{2}+6x-4y-3=0\) বৃত্তে বসিয়ে,
\(=0^{2}+0^{2}+6.0-4.0-3\)
\(=0+0+0-0-3\)
\(=-3\lt{0}\)
\(=-3\lt{0}\)
সুতরাং মূলবিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\)কেন্দ্র \((-3, 2)\)
\(ii.\) ব্যাসার্ধ \(=4\)
\(iii.\) মূলবিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^{2}+y^{2}+6x-4y-3=0\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(2g=6, \ 2f=-4, \ c=-3\)
\(\Rightarrow g=3, \ f=-2, \ c=-3\)
বৃত্তের কেন্দ্র \((-g, -f)\)
\(\Rightarrow (-3, 2)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{3^2+(-2)^2-(-3)}\)
\(=\sqrt{9+4+3}\)
\(=\sqrt{16}\)
\(=4\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
মূলবিন্দুটি \(x^{2}+y^{2}+6x-4y-3=0\) বৃত্তে বসিয়ে,
\(=0^{2}+0^{2}+6.0-4.0-3\)
\(=0+0+0-0-3\)
\(=-3\lt{0}\)
\(=-3\lt{0}\)
সুতরাং মূলবিন্দুটি বৃত্তের ভিতরে অবস্থিত।
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
১০। \(ABC\) ত্রিভুজের ক্ষেত্রেল কত বর্গ একক?
ক \(3\)
গ \(6\sqrt{2}\)
গ \(6\sqrt{2}\)
খ \(6\)
ঘ \(3\sqrt{2}\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(a=3, \ c=4, \ \angle{ABC}=45^{o}\)ঘ \(3\sqrt{2}\)
\(\therefore \tringle{ABC}=\frac{1}{2}ca\sin{B}\)
\(=\frac{1}{2}\times4\times3\sin{45^{o}}\)
\(=6\times\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=3\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}\times\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=3\sqrt{2}\) বর্গ একক
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(AC\) বাহুর দৈর্ঘ্য-
এবং \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\Rightarrow \cos{45^{o}}=\frac{4^2+3^2-b^2}{2\times4\times3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{16+9-b^2}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{25-b^2}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{24}{\sqrt{2}}=25-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=25-\frac{24}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow b^2=25-\frac{12\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow b^2=25-12\sqrt{2}\)
\(\therefore b=\sqrt{25-12\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{25+12\sqrt{2}}\)
গ \(\sqrt{13}\)
গ \(\sqrt{13}\)
খ \(\sqrt{25-12\sqrt{2}}\)
ঘ \(\sqrt{37}\)
এখানে, \(AC=b\)ঘ \(\sqrt{37}\)
এবং \(\cos{B}=\frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}\)
\(\Rightarrow \cos{45^{o}}=\frac{4^2+3^2-b^2}{2\times4\times3}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{16+9-b^2}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{25-b^2}{24}\)
\(\Rightarrow \frac{24}{\sqrt{2}}=25-b^2\)
\(\Rightarrow b^2=25-\frac{24}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow b^2=25-\frac{12\times\sqrt{2}\times\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(\Rightarrow b^2=25-12\sqrt{2}\)
\(\therefore b=\sqrt{25-12\sqrt{2}}\)
উত্তরঃ (খ)
১২। \(\left|\begin{array}{c}-2 & \ \ \ 4 & 5\\ \ \ \ 0 & \ \ \ 1 & 2\\ \ \ \ 3 & -2 & 5\end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((2, 3)\) তম ভুক্তির সহগুণক কত?
\(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c}-2 & \ \ \ 4 \\ \ \ \ 3 & -2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(4-12)\)
\(=-(4-12)\)
\(=8\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-8\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(-4\)
ঘ \(8\)
\(\left|\begin{array}{c}-2 & \ \ \ 4 & 5\\ \ \ \ 0 & \ \ \ 1 & 2\\ \ \ \ 3 & -2 & 5\end{array}\right|\) নির্ণায়কের \((2, 3)\) তম ভুক্তির সহগুণক,ঘ \(8\)
\(=(-1)^{2+3}\left|\begin{array}{c}-2 & \ \ \ 4 \\ \ \ \ 3 & -2 \end{array}\right|\)
\(=(-1)^{5}(4-12)\)
\(=-(4-12)\)
\(=8\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{4x}=\]?
\[=\left\{\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right\}^{12}\]
\[=\left\{e\right\}^{12}\]
\[=e^{12}\]
উত্তরঃ (খ)
ক \(e^{\frac{4}{3}}\)
গ \(3e^{12}\)
গ \(3e^{12}\)
খ \(e^{12}\)
ঘ \(1\)
\[\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{3}{x}\right)^{4x}\]ঘ \(1\)
\[=\left\{\lim_{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{\frac{x}{3}}\right)^{\frac{x}{3}}\right\}^{12}\]
\[=\left\{e\right\}^{12}\]
\[=e^{12}\]
উত্তরঃ (খ)
১৪।
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ-
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ, \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\)
\(\Rightarrow x\cos{60^{o}}+y\sin{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
\(\therefore x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\) (উভয় পার্শ্বে \(2\) গুণ করে।)
উত্তরঃ (গ)
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ-
ক \(\sqrt{3}x-y=2\sqrt{3}\)
গ \(x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
গ \(x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
খ \(\sqrt{3}x+y=2\sqrt{3}\)
ঘ \(x-\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
চিত্রে দেওয়া আছে, \(p=\sqrt{3}, \ \alpha=60^{o}\)ঘ \(x-\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\)
\(AB\) সরলরেখার সমীকরণ, \(x\cos{\alpha}+y\sin{\alpha}=p\)
\(\Rightarrow x\cos{60^{o}}+y\sin{60^{o}}=\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow x\frac{1}{2}+y\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\)
\(\therefore x+\sqrt{3}y=2\sqrt{3}\) (উভয় পার্শ্বে \(2\) গুণ করে।)
উত্তরঃ (গ)
১৫। \(3x-5y=7\) সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ-
\(5x+3y=5\times1+3\times2\)
\(\Rightarrow 5x+3y=5+6\)
\(\Rightarrow 5x+3y=11\)
\(\therefore 5x+3y-11=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(5x+3y+11=0\)
গ \(3x+5y+7=0\)
গ \(3x+5y+7=0\)
খ \(5x+3y-11=0\)
ঘ \(3x+5y-7=0\)
\(3x-5y=7\) সরলরেখার উপর লম্ব এবং \((1, 2)\) বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,ঘ \(3x+5y-7=0\)
\(5x+3y=5\times1+3\times2\)
\(\Rightarrow 5x+3y=5+6\)
\(\Rightarrow 5x+3y=11\)
\(\therefore 5x+3y-11=0\)
উত্তরঃ (খ)
১৬। পোলার স্থানাঙ্কে \(r^{2}-2r\sin{\theta}=3\) একটি বৃত্তের সমীকরণ। বৃত্তটির ব্যাসার্ব কত?
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2y=3\) যেহেতু, \(r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ r\sin{\theta}=y\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2y-3=0\)
এখানে, \(2g=0, \ 2f=-2, \ c=-3\)
\(\Rightarrow g=0, \ f=-1, \ c=-3\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2-(-3)}\)
\(=\sqrt{1+3}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(2\) একক
গ \(4\) একক
গ \(4\) একক
খ \(3\) একক
ঘ \(6\) একক
\(r^{2}-2r\sin{\theta}=3\)ঘ \(6\) একক
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2y=3\) যেহেতু, \(r^{2}=x^{2}+y^{2}, \ r\sin{\theta}=y\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2y-3=0\)
এখানে, \(2g=0, \ 2f=-2, \ c=-3\)
\(\Rightarrow g=0, \ f=-1, \ c=-3\)
বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(=\sqrt{g^2+f^2-c}\)
\(=\sqrt{0^2+(-1)^2-(-3)}\)
\(=\sqrt{1+3}\)
\(=\sqrt{4}\)
\(=2\)
উত্তরঃ (ক)
১৭। \(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) ও \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক হলে, \(\sin{\theta}\) এর মান কত?
ফলে, \(\sin{\theta}\) এর মানও ঋণাত্মক হবে।
\(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) এর ক্ষেত্রে,
লম্ব \(=4\), ভূমি \(=3\)
অতএব, অতিভুজ \(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore \sin{\theta}=-\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{4}{5}\)
গ \(-\frac{4}{5}\)
গ \(-\frac{4}{5}\)
খ \(\frac{5}{4}\)
ঘ \(\frac{1}{5}\)
\(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) ও \(\cos{\theta}\) ঋণাত্মক,ঘ \(\frac{1}{5}\)
ফলে, \(\sin{\theta}\) এর মানও ঋণাত্মক হবে।
\(\cot{\theta}=\frac{3}{4}\) এর ক্ষেত্রে,
লম্ব \(=4\), ভূমি \(=3\)
অতএব, অতিভুজ \(=\sqrt{4^2+3^2}\)
\(=\sqrt{16+9}\)
\(=\sqrt{25}\)
\(=5\)
\(\therefore \sin{\theta}=-\frac{4}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
১৮। \(y=x^{-\frac{1}{x}}\) হলে, \(\frac{dy}{dx}=\) ?
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(x^{-\frac{1}{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}}\left\{\frac{-\frac{1}{x}}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)\right\}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\times1+\ln{x}\times\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}}\times\frac{1}{x^2}(\ln{x}-1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}-2}(\ln{x}-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{-2-\frac{1}{x}}(\ln{x}-1)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x^{-2-\frac{1}{x}}(1-\ln{x})\)
গ \(x^{-2+\frac{1}{x}}(1-\ln{x})\)
গ \(x^{-2+\frac{1}{x}}(1-\ln{x})\)
খ \(x^{\frac{1}{x}+2}(\ln{x}-1)\)
ঘ \(x^{-2-\frac{1}{x}}(\ln{x}-1)\)
\(y=x^{-\frac{1}{x}}\)ঘ \(x^{-2-\frac{1}{x}}(\ln{x}-1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\left(x^{-\frac{1}{x}}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}}\left\{\frac{-\frac{1}{x}}{x}\frac{d}{dx}(x)+\ln{x}\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x}\right)\right\}\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}}\left(-\frac{1}{x^2}\times1+\ln{x}\times\frac{1}{x^2}\right)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}}\times\frac{1}{x^2}(\ln{x}-1)\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{dx}=x^{-\frac{1}{x}-2}(\ln{x}-1)\)
\(\therefore \frac{dy}{dx}=x^{-2-\frac{1}{x}}(\ln{x}-1)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(y=5x, x\) অক্ষ এবং \(x=4\) সরলরেখা দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{4}{5xdx}\)
\(=5\int_{0}^{4}{xdx}\)
\(=5\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{5}{2}\left[x^2\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{5}{2}\left[4^2-0^2\right]\)
\(=\frac{5}{2}\left[16-0\right]\)
\(=5\times8\)
\(=40\) বর্গ একক
উত্তরঃ (গ)
ক \(10\)
গ \(40\)
গ \(40\)
খ \(20\)
ঘ \(80\)
এখানে, \(x\) এর সীমা \(0\) থেকে \(4\)ঘ \(80\)
ক্ষেত্রফল \(=\int_{0}^{4}{5xdx}\)
\(=5\int_{0}^{4}{xdx}\)
\(=5\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{5}{2}\left[x^2\right]_{0}^{4}\)
\(=\frac{5}{2}\left[4^2-0^2\right]\)
\(=\frac{5}{2}\left[16-0\right]\)
\(=5\times8\)
\(=40\) বর্গ একক
উত্তরঃ (গ)
২০। \(A\) একটি \(2\times2\) ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং \(|A|=5\) হলে, \(|3A|\) এর মান কত?
তাহলে, \(|3A|=9|A|\)
\(=9\times5\) যেহেতু \(|A|=5\)
\(=45\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{5}{9}\)
গ \(15\)
গ \(15\)
খ \(\frac{5}{3}\)
ঘ \(45\)
\(A\) একটি \(2\times2\) ক্রমের ম্যাট্রিক্সঘ \(45\)
তাহলে, \(|3A|=9|A|\)
\(=9\times5\) যেহেতু \(|A|=5\)
\(=45\)
উত্তরঃ (ঘ)
উদ্দীপকের আলোকে ২১ ও ২২ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^{2}+y^{2}-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^{2}+3y^{2}-6x-9y-3=0\) দুটি বৃত্তের সমীকরণ।
২১। ২য় বৃত্তের দ্বারা \(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য কত? \(x^{2}+y^{2}-3x-4y+5=0\) এবং \(3x^{2}+3y^{2}-6x-9y-3=0\) দুটি বৃত্তের সমীকরণ।
ক \(3\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
গ \(2\sqrt{2}\)
খ \(2\sqrt{3}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\)
\(3x^{2}+3y^{2}-6x-9y-3=0\)ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\)
\(\Rightarrow 3(x^{2}+y^{2}-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-3y-1=0\)
এখানে, \(2g=-2, \ 2f=-3, \ c=-1\)
\(\Rightarrow g=-1, \ f=-\frac{3}{2}, \ c=-1\)
\(x\) অক্ষের খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য \(=2\sqrt{g^2-c}\)
\(=2\sqrt{(-1)^2-(-1)}\)
\(=2\sqrt{1+1}\)
\(=2\sqrt{2}\)
উত্তরঃ (গ)
২২। বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ-
বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-4y+5-(x^{2}+y^{2}-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-4y+5-x^{2}-y^{2}+2x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow -x-y+6=0\)
\(\Rightarrow -(x+y-6)=0\)
\(\therefore x+y-6=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(x-y-6=0\)
গ \(x+y-6=0\)
গ \(x+y-6=0\)
খ \(x+y+6=0\)
ঘ \(x-y+6=0\)
\(x^{2}+y^{2}-3x-4y+5=0\)
এবং \(3x^{2}+3y^{2}-6x-9y-3=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}-2x-3y-1=0\)ঘ \(x-y+6=0\)
বৃত্তের সাধারণ জ্যা এর সমীকরণ,
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-4y+5-(x^{2}+y^{2}-2x-3y-1)=0\)
\(\Rightarrow x^{2}+y^{2}-3x-4y+5-x^{2}-y^{2}+2x+3y+1=0\)
\(\Rightarrow -x-y+6=0\)
\(\Rightarrow -(x+y-6)=0\)
\(\therefore x+y-6=0\)
উত্তরঃ (গ)
২৩। \(\int{e^{x}\left(\sin{3x}+\frac{3}{\sec{3x}}\right)dx}=\) ?
\(=\int{e^{x}\left(\sin{3x}+3\cos{3x}\right)dx}\)
\(=\int{e^{x}\sin{3x}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=\sin{3x}\int{e^{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\sin{3x})\int{e^{x}dx}\right\}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=\sin{3x}e^{x}-\int{\cos{3x}.3.e^{x}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=e^{x}\sin{3x}-3\int{e^{x}\cos{3x}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=e^{x}\sin{3x}+c\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(3e^{x}\sin{3x}+c\)
গ \(3e^{x}\cos{3x}+c\)
গ \(3e^{x}\cos{3x}+c\)
খ \(e^{x}\sin{3x}+c\)
ঘ \(e^{x}\cos{3x}+c\)
\(\int{e^{x}\left(\sin{3x}+\frac{3}{\sec{3x}}\right)dx}\)ঘ \(e^{x}\cos{3x}+c\)
\(=\int{e^{x}\left(\sin{3x}+3\cos{3x}\right)dx}\)
\(=\int{e^{x}\sin{3x}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=\sin{3x}\int{e^{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(\sin{3x})\int{e^{x}dx}\right\}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=\sin{3x}e^{x}-\int{\cos{3x}.3.e^{x}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=e^{x}\sin{3x}-3\int{e^{x}\cos{3x}dx}+3\int{e^{x}\cos{3x}dx}\)
\(=e^{x}\sin{3x}+c\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(\int{e^{x}(x+1)dx}=\)?
\(=\int{xe^{x}xdx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=x\int{e^{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(x)\int{e^{x}dx}\right\}dx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=xe^{x}-\int{1.e^{x}dx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=xe^{x}-\int{e^{x}dx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=xe^{x}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x+e^{x}+c\)
গ \(e^{x}x^2+c\)
গ \(e^{x}x^2+c\)
খ \(e^{x}+x+c\)
ঘ \(xe^{x}+c\)
\(\int{e^{x}(x+1)dx}\)ঘ \(xe^{x}+c\)
\(=\int{xe^{x}xdx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=x\int{e^{x}dx}-\int{\left\{\frac{d}{dx}(x)\int{e^{x}dx}\right\}dx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=xe^{x}-\int{1.e^{x}dx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=xe^{x}-\int{e^{x}dx}+\int{e^{x}dx}\)
\(=xe^{x}+c\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(P(x, y)\) হতে \((-3, 0)\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের বর্গের সমষ্টি সর্বদা \(40\) হলে \(P\) বিন্দুর সঞ্চারপথ হবে একটি-
তাহলে, \((x+3)^2+(y-0)^2+(x-3)^2+(y-0)^2=40\)
\(\Rightarrow (x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2=40\)
\(\Rightarrow (x+3)^2+(x-3)^2+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2.x^2+2.3^2+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2x^2+2.9+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2x^2+18+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=40-18\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)=22\)
\(\therefore x^2+y^2=11\) যা বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (ক)
ক বৃত্ত
গ উপবৃত্ত
গ উপবৃত্ত
খ পরাবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\(P(x, y)\) হতে \((-3, 0)\) এবং \((3, 0)\) বিন্দুদ্বয়ের দূরত্বের বর্গের সমষ্টি সর্বদা \(40\)ঘ অধিবৃত্ত
তাহলে, \((x+3)^2+(y-0)^2+(x-3)^2+(y-0)^2=40\)
\(\Rightarrow (x+3)^2+y^2+(x-3)^2+y^2=40\)
\(\Rightarrow (x+3)^2+(x-3)^2+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2.x^2+2.3^2+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2x^2+2.9+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2x^2+18+2y^2=40\)
\(\Rightarrow 2x^2+2y^2=40-18\)
\(\Rightarrow 2(x^2+y^2)=22\)
\(\therefore x^2+y^2=11\) যা বৃত্তের সমীকরণ।
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000007