শিক্ষা বোর্ড ময়মনসিংহ - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। একটি দ্বিঘাত সমীকরণ একটি মূল \(-i\) হলে, সমীকরণটি-
\(\Rightarrow x=-i\)
\(\Rightarrow x^2=(-i)^2\)
\(\Rightarrow x^2=i^2\)
\(\Rightarrow x^2=-1, \ \because i^2=-1\)
\(\therefore x^2+1=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x^2+1=0\)
গ \(x^2+i=0\)
গ \(x^2+i=0\)
খ \(x^2-1=0\)
ঘ \(x^2-i=0\)
একটি দ্বিঘাত সমীকরণ একটি মূল \(-i\)ঘ \(x^2-i=0\)
\(\Rightarrow x=-i\)
\(\Rightarrow x^2=(-i)^2\)
\(\Rightarrow x^2=i^2\)
\(\Rightarrow x^2=-1, \ \because i^2=-1\)
\(\therefore x^2+1=0\)
উত্তরঃ (ক)
২। \(2x^2+bx+6=0\) সমীকরণের মূল দুইটির যোগফল \(5\) হলে, \(b\) এর মান হলো-
\(\Rightarrow -\frac{b}{2}=5\)
\(\Rightarrow -b=10\)
\(\therefore b=-10\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-10\)
গ \(\frac{5}{2}\)
গ \(\frac{5}{2}\)
খ \(-\frac{5}{2}\)
ঘ \(10\)
\(2x^2+bx+6=0\) সমীকরণের মূল দুইটির যোগফল \(5\),ঘ \(10\)
\(\Rightarrow -\frac{b}{2}=5\)
\(\Rightarrow -b=10\)
\(\therefore b=-10\)
উত্তরঃ (ক)
৩। একটি বস্তুকণার উপরোস্থ কোনো বিন্দুতে \(\sqrt{3}P, \ \sqrt{2}P\) ও \(P\) মানের তিনটি বল ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। \(\sqrt{2}P\) ও \(P\) মানের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
ধরি, \(\sqrt{2}P\) ও \(P\) মানের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \((\sqrt{2}P)^2+P^2+2.\sqrt{2}P.P\cos{\alpha}=(\sqrt{3}P)^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+P^2+2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=3P^2\)
\(\Rightarrow 3P^2+2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=3P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=3P^2-3P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(150^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(135^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
একটি বস্তুকণার উপরোস্থ কোনো বিন্দুতে \(\sqrt{3}P, \ \sqrt{2}P\) ও \(P\) মানের তিনটি বল ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থার সৃষ্টি করে। ফলে, এদের যে কোনো দুইটি বলের লব্ধি তৃতীয় বলের সমান হবে।ঘ \(90^{o}\)
ধরি, \(\sqrt{2}P\) ও \(P\) মানের বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)
তাহলে, \((\sqrt{2}P)^2+P^2+2.\sqrt{2}P.P\cos{\alpha}=(\sqrt{3}P)^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+P^2+2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=3P^2\)
\(\Rightarrow 3P^2+2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=3P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=3P^2-3P^2\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{2}P^2\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৪। একটি নৌকা \(12\) মি./সে. বেগে সোজাসুজি একটি নদী পাড়ি দিতে পারে। যদি স্রোতের বেগ \(5\) মি./সে. হয়, তবে নৌকার বেগ কত?
ধরি, নৌকার বেগ \(u\)
তাহলে, \(\frac{u\sin{\alpha}}{5+u\cos{\alpha}}=\tan{90^{o}}\)
\(\Rightarrow \frac{u\sin{\alpha}}{5+u\cos{\alpha}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 5+u\cos{\alpha}=0\)
\(\therefore u\cos{\alpha}=-5\)
আবার, \(u^2+5^2+2u.5\cos{\alpha}=12^2\)
\(\Rightarrow u^2+25+10u\cos{\alpha}=144\)
\(\Rightarrow u^2+25+10u\cos{\alpha}=144\)
\(\Rightarrow u^2+10\times-5=144-25\)
\(\Rightarrow u^2-50=119\)
\(\Rightarrow u^2=119+50\)
\(\Rightarrow u^2=169\)
\(\Rightarrow u=\sqrt{169}\)
\(\therefore u=13\) মি./সে.
উত্তরঃ (গ)
ক \(7\) মি./সে.
গ \(13\) মি./সে.
গ \(13\) মি./সে.
খ \(\sqrt{119}\) মি./সে.
ঘ \(17\) মি./সে.
সোজাসুজি নদী পাড়ি দেওয়ার ক্ষেত্রে লব্ধি বেগ \(12\) মি./সে. স্রোতের বেগের সাথে \(90^{o}\) কোণ করে।ঘ \(17\) মি./সে.
ধরি, নৌকার বেগ \(u\)
তাহলে, \(\frac{u\sin{\alpha}}{5+u\cos{\alpha}}=\tan{90^{o}}\)
\(\Rightarrow \frac{u\sin{\alpha}}{5+u\cos{\alpha}}=\frac{1}{0}\)
\(\Rightarrow 5+u\cos{\alpha}=0\)
\(\therefore u\cos{\alpha}=-5\)
আবার, \(u^2+5^2+2u.5\cos{\alpha}=12^2\)
\(\Rightarrow u^2+25+10u\cos{\alpha}=144\)
\(\Rightarrow u^2+25+10u\cos{\alpha}=144\)
\(\Rightarrow u^2+10\times-5=144-25\)
\(\Rightarrow u^2-50=119\)
\(\Rightarrow u^2=119+50\)
\(\Rightarrow u^2=169\)
\(\Rightarrow u=\sqrt{169}\)
\(\therefore u=13\) মি./সে.
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(\alpha+\beta=2, \ \alpha^3+\beta^3=8\)
৫। \(\sum{\alpha^2}\) এর মান কত?\(\alpha+\beta=2, \ \alpha^3+\beta^3=8\)
ক \(0\)
গ \(8\)
গ \(8\)
খ \(4\)
ঘ \(16\)
\(\alpha+\beta=2, \ \alpha^3+\beta^3=8\)ঘ \(16\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=2, \ (\alpha+\beta)(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)=8\)
\(\Rightarrow 2(\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2)=8\)
\(\Rightarrow \alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=4\)
\(\Rightarrow \alpha^2+\beta^2-\alpha\beta=4\)
\(\Rightarrow (\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta-\alpha\beta=4\)
\(\Rightarrow (2)^2-3\alpha\beta=4\)
\(\Rightarrow 4-3\alpha\beta=4\)
\(\Rightarrow -3\alpha\beta=4-4\)
\(\Rightarrow -3\alpha\beta=0\)
\(\therefore \alpha\beta=0\)
এখন, \(\sum{\alpha^2}\)
\(=\alpha^2+\beta^2\)
\(=(\alpha+\beta)^2-2\alpha\beta\)
\(=(2)^2-2\times0\)
\(=4-0\)
\(=4\)
উত্তরঃ (খ)
৬। \(\alpha, \ \beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হলো-
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+0=0, \ \because \alpha+\beta=2, \ \alpha\beta=0\)
\(\therefore x^2-2x=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x^2+2=0\)
গ \(2x^2-1=0\)
গ \(2x^2-1=0\)
খ \(x^2+2x=0\)
ঘ \(x^2-2x=0\)
\(\alpha, \ \beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ,ঘ \(x^2-2x=0\)
\(x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2-2x+0=0, \ \because \alpha+\beta=2, \ \alpha\beta=0\)
\(\therefore x^2-2x=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। \(f(x)=x^4-3x^2-2x\) একটি বহুপদী হলে-
\(i.\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূল \(4\)টি
\(ii.\) \(f(x)=0\) এর একটি মূল \(2\)
\(iii.\) \((x-1), \ f(x)=0\) একটি উৎপাদক
নিচের কোনটি সঠিক?
এবং \(f(x)=0\)
\(\Rightarrow x^4-3x^2-2x=0\) যা একটি চার ঘাতবিশিষ্ট সমীকরণ, এর \(4\)টি মূল আছে।
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x=2, \ f(x)=0\) তথা \(x^4-3x^2-2x=0\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে,
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x-1=0 \Rightarrow x=1, \ f(x)=0\) তথা \(x^4-3x^2-2x=0\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে না,
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(f(x)=0\) সমীকরণের মূল \(4\)টি
\(ii.\) \(f(x)=0\) এর একটি মূল \(2\)
\(iii.\) \((x-1), \ f(x)=0\) একটি উৎপাদক
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(f(x)=x^4-3x^2-2x\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এবং \(f(x)=0\)
\(\Rightarrow x^4-3x^2-2x=0\) যা একটি চার ঘাতবিশিষ্ট সমীকরণ, এর \(4\)টি মূল আছে।
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x=2, \ f(x)=0\) তথা \(x^4-3x^2-2x=0\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে,
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
\(x-1=0 \Rightarrow x=1, \ f(x)=0\) তথা \(x^4-3x^2-2x=0\) সমীকরণকে সিদ্ধ করে না,
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
৮। \((x-1)^2+3y=0\) সমীকরণটি কী নির্দেশ করে?
\(\Rightarrow (x-1)^2=-3y\)
\(\Rightarrow X^2=4\times\frac{-3}{4}y\)
\(\therefore X^2=4ay\) যেখানে, \(x-1=X, \ \frac{-3}{4}=a\)
যা পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (গ)
ক সরলরেখা
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
\((x-1)^2+3y=0\)ঘ অধিবৃত্ত
\(\Rightarrow (x-1)^2=-3y\)
\(\Rightarrow X^2=4\times\frac{-3}{4}y\)
\(\therefore X^2=4ay\) যেখানে, \(x-1=X, \ \frac{-3}{4}=a\)
যা পরাবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (গ)
৯। \(y^2-kx=0\) পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-1=0\) হলে, \(k\) এর মান-
\(\Rightarrow y^2=kx\)
এখানে, \(4a=k\)
\(\Rightarrow a=\frac{k}{4}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{k}{4}=0\) দেওয়া আছে, নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-1=0\)
\(\Rightarrow \frac{k}{4}=-1\)
\(\therefore k=-4\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(4\sqrt{2}\)
গ \(-4\)
গ \(-4\)
খ \(4\)
ঘ \(-4\sqrt{2}\)
\(y^2-kx=0\) পরাবৃত্তটির নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-1=0\),ঘ \(-4\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow y^2=kx\)
এখানে, \(4a=k\)
\(\Rightarrow a=\frac{k}{4}\)
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x+a=0\)
\(\Rightarrow x+\frac{k}{4}=0\) দেওয়া আছে, নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x-1=0\)
\(\Rightarrow \frac{k}{4}=-1\)
\(\therefore k=-4\)
উত্তরঃ (গ)
১০। \(27x^2+8y^2=216\) উপবৃত্তের বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ হলো-
\(\Rightarrow \frac{27x^2}{216}+\frac{8y^2}{216}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{27}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(2\sqrt{2})^2}+\frac{y^2}{(3\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=2\sqrt{2}, \ b=3\sqrt{3}, \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(x=0\)
গ \(x=2\sqrt{2}\)
গ \(x=2\sqrt{2}\)
খ \(y=0\)
ঘ \(y=3\sqrt{3}\)
\(27x^2+8y^2=216\)ঘ \(y=3\sqrt{3}\)
\(\Rightarrow \frac{27x^2}{216}+\frac{8y^2}{216}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{27}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(2\sqrt{2})^2}+\frac{y^2}{(3\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=2\sqrt{2}, \ b=3\sqrt{3}, \ a\lt{b}\)
বৃহৎ অক্ষের সমীকরণ, \(x=0\)
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১১ ও ১২ প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(y^2-4x+4y-6=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
১১। পরাবৃত্তেটির উপকেন্দ্রের স্থানাংক-\(y^2-4x+4y-6=0\) একটি পরাবৃত্তের সমীকরণ।
ক \(\left(\frac{3}{2}, -2\right)\)
গ \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
গ \(\left(-\frac{3}{2}, 2\right)\)
খ \(\left(-2, -\frac{3}{2}\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{3}{2}, -2\right)\)
\(y^2-4x+4y-6=0\)ঘ \(\left(-\frac{3}{2}, -2\right)\)
\(\Rightarrow y^2+4y+4-4x-10=0\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=4x+10\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=4\left(x+\frac{5}{2}\right)\)
এখানে, \(4a=4, \ X=x+\frac{5}{2}, \ Y=y+2\)
\(\therefore a=1\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((a, 0)\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{2}=1, \ y+2=0\)
\(\Rightarrow x=1-\frac{5}{2}, \ y=-2\)
\(\Rightarrow x=\frac{2-5}{2}, \ y=-2\)
\(\therefore x=-\frac{3}{2}, \ y=-2\)
উপকেন্দ্রের স্থানাংক \(\left(-\frac{3}{2}, -2\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। পরাবৃত্তেটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক-
\(\Rightarrow y^2+4y+4-4x-10=0\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=4x+10\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=4\left(x+\frac{5}{2}\right)\)
এখানে, \(4a=4, \ X=x+\frac{5}{2}, \ Y=y+2\)
\(\therefore a=1\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \((0, 0)\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{2}=0, \ y+2=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, \ y=-2\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \(\left(-\frac{5}{2}, -2\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\left(\frac{5}{2}, 2\right)\)
গ \(\left(-\frac{5}{2}, 2\right)\)
গ \(\left(-\frac{5}{2}, 2\right)\)
খ \(\left(\frac{5}{2}, -2\right)\)
ঘ \(\left(-\frac{5}{2}, -2\right)\)
\(y^2-4x+4y-6=0\)ঘ \(\left(-\frac{5}{2}, -2\right)\)
\(\Rightarrow y^2+4y+4-4x-10=0\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=4x+10\)
\(\Rightarrow (y+2)^2=4\left(x+\frac{5}{2}\right)\)
এখানে, \(4a=4, \ X=x+\frac{5}{2}, \ Y=y+2\)
\(\therefore a=1\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \((0, 0)\)
\(\Rightarrow x+\frac{5}{2}=0, \ y+2=0\)
\(\Rightarrow x=-\frac{5}{2}, \ y=-2\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \(\left(-\frac{5}{2}, -2\right)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(\tan^{-1}{p}+\tan^{-1}{q}=\frac{\pi}{4}\) হলে-
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{p+q}{1-pq}}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{p+q}{1-pq}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{p+q}{1-pq}=1\)
\(\Rightarrow p+q=1-pq\)
\(\therefore p+q+pq=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(pq=1\)
গ \(p+q-pq=1\)
গ \(p+q-pq=1\)
খ \(p+q=0\)
ঘ \(p+q+pq=1\)
\(\tan^{-1}{p}+\tan^{-1}{q}=\frac{\pi}{4}\)ঘ \(p+q+pq=1\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{\frac{p+q}{1-pq}}=\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{p+q}{1-pq}=\tan{\frac{\pi}{4}}\)
\(\Rightarrow \frac{p+q}{1-pq}=1\)
\(\Rightarrow p+q=1-pq\)
\(\therefore p+q+pq=1\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৪। \(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\) হলে, \(x\) এর মান কোনটি?
এখানে, ভূমি \(=1,\) লম্ব \(=2\)
অতিভুজ \(=\sqrt{1^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখন, \(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\)
\(\therefore x=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
খ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
ঘ \(\sqrt{5}\)
\(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\)ঘ \(\sqrt{5}\)
এখানে, ভূমি \(=1,\) লম্ব \(=2\)
অতিভুজ \(=\sqrt{1^2+2^2}\)
\(=\sqrt{1+4}\)
\(=\sqrt{5}\)
এখন, \(\sin^{-1}{x}=\cot^{-1}{\frac{1}{2}}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{x}=\sin^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\)
\(\therefore x=\frac{2}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। \(\cos^2{x}+2\sin{x}=2\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান \((\text{যখন} \ n\in{\mathbb{Z}})\)
\(\Rightarrow 1-\sin^2{x}+2\sin{x}=2\)
\(\Rightarrow 1-\sin^2{x}+2\sin{x}-2=0\)
\(\Rightarrow -\sin^2{x}+2\sin{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \sin^2{x}-2\sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\sin{x}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}=1\)
\(\therefore x=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \((4n-1)\frac{\pi}{2}\)
গ \((4n+1)\frac{\pi}{2}\)
গ \((4n+1)\frac{\pi}{2}\)
খ \(n\pi\)
ঘ \((2n+1)\pi\)
\(\cos^2{x}+2\sin{x}=2\)ঘ \((2n+1)\pi\)
\(\Rightarrow 1-\sin^2{x}+2\sin{x}=2\)
\(\Rightarrow 1-\sin^2{x}+2\sin{x}-2=0\)
\(\Rightarrow -\sin^2{x}+2\sin{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \sin^2{x}-2\sin{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\sin{x}-1)^2=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}-1=0\)
\(\Rightarrow \sin{x}=1\)
\(\therefore x=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\) সরলরেখার ঢাল কত?
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi}{2}, \ \because \sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{2\pi}{3}\)
গ \(\frac{2\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\pi\)
\(\sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}\)ঘ \(\pi\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}+\cos^{-1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=\frac{\pi}{2}, \ \because \sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(P, \ Q \ (P\lt{Q})\) বলদ্বয়ের ক্ষুদ্রতম লব্ধি কত?
ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times-1}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}\)
\(=\sqrt{Q^2-2PQ+P^2}\)
\(=\sqrt{(Q-P)^2}\)
\(=Q-P \ \because P\lt{Q}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(P-Q\)
গ \(\sqrt{P^2-Q^2}\)
গ \(\sqrt{P^2-Q^2}\)
খ \(Q-P\)
ঘ \(\sqrt{Q^2-P^2}\)
কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুইটি বল পরস্পর \(180^{o}\) কোণে ক্রিয়া করলে তাদের লব্ধি ক্ষুদ্রতম হয়।ঘ \(\sqrt{Q^2-P^2}\)
ক্ষুদ্রতম লব্ধি \(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{180^{o}}}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\times-1}\)
\(=\sqrt{P^2+Q^2-2PQ}\)
\(=\sqrt{Q^2-2PQ+P^2}\)
\(=\sqrt{(Q-P)^2}\)
\(=Q-P \ \because P\lt{Q}\)
উত্তরঃ (খ)
১৮। \(16 \ fit/sec\) আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \(45^{o}\) কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলে, আনুভূমিক পাল্লা হবে \((g=32 \ fit/sec^2)\)-
\(=\frac{16^2\sin{(2\times45^{o})}}{32}, \ \because R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=8\sin{(9^{o})}\)
\(=8\times1\)
\(=8 \ fit\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(16 \ fit\)
গ \(4\sqrt{2} \ fit\)
গ \(4\sqrt{2} \ fit\)
খ \(8 \ fit\)
ঘ \(1 \ fit\)
\(16 \ fit/sec\) আদিবেগে এবং ভূমির সাথে \(45^{o}\) কোণে একটি বস্তু নিক্ষেপ করা হলে, আনুভূমিক পাল্লা,ঘ \(1 \ fit\)
\(=\frac{16^2\sin{(2\times45^{o})}}{32}, \ \because R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=8\sin{(9^{o})}\)
\(=8\times1\)
\(=8 \ fit\)
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(19.6\) মিটার উঁচু স্থান হতে একটি বস্তুকে ছেড়ে দেওয়া হলে, তার পতন কাল কত?
\(\frac{1}{2}\times9.8t^2=19.6, \ \because \frac{1}{2}gt^2=h\)
\(\Rightarrow 4.9t^2=19.6\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{19.6}{4.9}\)
\(\Rightarrow t^2=4\)
\(\therefore t=2 \ sec\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(4 \ sec\)
গ \(\sqrt{2} \ sec\)
গ \(\sqrt{2} \ sec\)
খ \(2 \ sec\)
ঘ \(1 \ sec\)
পতন কাল \(t \ sec\) হলে,ঘ \(1 \ sec\)
\(\frac{1}{2}\times9.8t^2=19.6, \ \because \frac{1}{2}gt^2=h\)
\(\Rightarrow 4.9t^2=19.6\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{19.6}{4.9}\)
\(\Rightarrow t^2=4\)
\(\therefore t=2 \ sec\)
উত্তরঃ (খ)
২০।
\(A\) বিন্দু হতে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব কত?
এখন, \(AC.10=BC.6\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{6}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{6}{6+10}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{6}{16}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{12}=\frac{3}{8}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3\times12}{8}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{9}{2}\)
\(\therefore AC=4.5\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
\(A\) বিন্দু হতে লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব কত?
ক \(3\) মিটার
গ \(5\) মিটার
গ \(5\) মিটার
খ \(4.5\) মিটার
ঘ \(7.5\) মিটার
চিত্রে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত সদৃশ সমান্তরাল বলদ্বয় যথাক্রমে \(10 kg-wet\) ও \(6 kg-wet\) যাদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(C\)ঘ \(7.5\) মিটার
এখন, \(AC.10=BC.6\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{6}{10}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{6}{6+10}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{6}{16}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{12}=\frac{3}{8}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3\times12}{8}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{9}{2}\)
\(\therefore AC=4.5\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
২১। \(-2+i\sqrt{5}\) এর মডুলাস কোনটি?
এখানে, \(x=-2, \ y=\sqrt{5}\)
মডুলাস \(=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(\sqrt{5})^2}\)
\(=\sqrt{4+5}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-2\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(\sqrt{5}\)
ঘ \(9\)
\(-2+i\sqrt{5}\)ঘ \(9\)
এখানে, \(x=-2, \ y=\sqrt{5}\)
মডুলাস \(=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{(-2)^2+(\sqrt{5})^2}\)
\(=\sqrt{4+5}\)
\(=\sqrt{9}\)
\(=3\)
উত্তরঃ (গ)
২২। \(z=2+3i\) একটি জটিল সংখ্যা হলে, \(z-\overline{z}\) এর মূখ্য আর্গুমেন্ট কত?
এবং \(z-\overline{z}\)
\(=2+3i-\overline{2+3i}\)
\(=2+3i-(2-3i)\)
\(=2+3i-2+3i\)
\(=6i\)
এখানে, \(x=0, \ y=6\)
মূখ্য আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{6}{0}}\)
\(=\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{2}\)
\(z=2+3i\) একটি জটিল সংখ্যাঘ \(\frac{3\pi}{2}\)
এবং \(z-\overline{z}\)
\(=2+3i-\overline{2+3i}\)
\(=2+3i-(2-3i)\)
\(=2+3i-2+3i\)
\(=6i\)
এখানে, \(x=0, \ y=6\)
মূখ্য আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{6}{0}}\)
\(=\tan^{-1}{\infty}\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৩ ও ২৪ প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি জটিল সংখ্যা \(z=\frac{1}{2+i}\)
২৩। \(z\) এর অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা কোনটি?একটি জটিল সংখ্যা \(z=\frac{1}{2+i}\)
ক \(\frac{2-i}{3}\)
গ \(\frac{2+i}{5}\)
গ \(\frac{2+i}{5}\)
খ \(\frac{2+i}{3}\)
ঘ \(\frac{2-i}{5}\)
\(z=\frac{1}{2+i}\)ঘ \(\frac{2-i}{5}\)
\(=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(=\frac{2-i}{2^2-i^2}\)
\(=\frac{2-i}{4+1}\)
\(\therefore z=\frac{2-i}{5}\)
\(z\) এর অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা \(\overline{z}\)
\(\overline{z}=\frac{\overline{2-i}}{5}\)
\(=\frac{2+i}{5}\)
উত্তরঃ (গ)
২৪। জটিল সংখ্যাটি কার্তেসীয় সমতলে যে বিন্দু নির্দেশ তার স্থানাংক-
\(=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(=\frac{2-i}{2^2-i^2}\)
\(=\frac{2-i}{4+1}\)
\(=\frac{2-i}{5}\)
\(=\frac{2}{5}-i\frac{1}{5}\)
\(\therefore\) নির্দেশিত বিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\left(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)\)
গ \(\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)\)
গ \(\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)\)
খ \(\left(\frac{1}{5}, \frac{2}{5}\right)\)
ঘ \(\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)\)
\(z=\frac{1}{2+i}\)ঘ \(\left(\frac{2}{5}, \frac{1}{5}\right)\)
\(=\frac{2-i}{(2+i)(2-i)}\)
\(=\frac{2-i}{2^2-i^2}\)
\(=\frac{2-i}{4+1}\)
\(=\frac{2-i}{5}\)
\(=\frac{2}{5}-i\frac{1}{5}\)
\(\therefore\) নির্দেশিত বিন্দুর স্থানাংক \(\left(\frac{2}{5}, -\frac{1}{5}\right)\)
উত্তরঃ (গ)
২৫। \(z\) একটি জটিল সংখ্যা হলে,
\(i.\) \(\frac{|z|}{|\overline{z}|}=1\)
\(ii.\) \(z.\overline{z}=|\overline{z}|^2\)
\(iii.\) \(arg\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=arg(z)+arg(\overline{z})\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \overline{z}=x-iy\)
এখন, \(\frac{|z|}{|\overline{z}|}\)
\(=\frac{|x+iy|}{|x-iy|}\)
\(=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+(-y)^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(=1\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(z.\overline{z}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-(iy)^2\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\)
\(=|\sqrt{x^2+y^2}|^2\)
\(=|\sqrt{x^2+(-y)^2}|^2\)
\(=|\overline{z}|^2\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
আমরা জানি, \(arg\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)=arg{(A_{1})}-arg{(A_{2})}\)
\(\therefore arg\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=arg{(z)}-arg{(\overline{z})}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) \(\frac{|z|}{|\overline{z}|}=1\)
\(ii.\) \(z.\overline{z}=|\overline{z}|^2\)
\(iii.\) \(arg\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=arg(z)+arg(\overline{z})\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ধরি, \(z=x+iy\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \overline{z}=x-iy\)
এখন, \(\frac{|z|}{|\overline{z}|}\)
\(=\frac{|x+iy|}{|x-iy|}\)
\(=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+(-y)^2}}\)
\(=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\)
\(=1\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(z.\overline{z}\)
\(=(x+iy)(x-iy)\)
\(=x^2-(iy)^2\)
\(=x^2-i^2y^2\)
\(=x^2+y^2\)
\(=|\sqrt{x^2+y^2}|^2\)
\(=|\sqrt{x^2+(-y)^2}|^2\)
\(=|\overline{z}|^2\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
আমরা জানি, \(arg\left(\frac{A_{1}}{A_{2}}\right)=arg{(A_{1})}-arg{(A_{2})}\)
\(\therefore arg\left(\frac{z}{\overline{z}}\right)=arg{(z)}-arg{(\overline{z})}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000006