শিক্ষা বোর্ড দিনাজপুর - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(A+iB=\frac{2-3i}{5-4i}\) হলে, \(B\) এর মান কোনটি?
\(=\frac{(5+4i)(2-3i)}{(5+4i)(5-4i)}\)
\(=\frac{10+8i-15i-12i^2}{(5)^2-(4i)^2}\)
\(=\frac{10-7i-12i^2}{25-16i^2}\)
\(=\frac{10-7i+12}{25+16}, \ \because i^2=-1\)
\(=\frac{22-7i}{41}\)
\(\therefore A+iB=\frac{22}{41}-i\frac{7}{41}\)
\(\Rightarrow B=-\frac{7}{41}\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(-\frac{7}{9}\)
গ \(\frac{22}{41}\)
গ \(\frac{22}{41}\)
খ \(-\frac{7}{41}\)
ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(A+iB=\frac{2-3i}{5-4i}\)ঘ \(\frac{3}{4}\)
\(=\frac{(5+4i)(2-3i)}{(5+4i)(5-4i)}\)
\(=\frac{10+8i-15i-12i^2}{(5)^2-(4i)^2}\)
\(=\frac{10-7i-12i^2}{25-16i^2}\)
\(=\frac{10-7i+12}{25+16}, \ \because i^2=-1\)
\(=\frac{22-7i}{41}\)
\(\therefore A+iB=\frac{22}{41}-i\frac{7}{41}\)
\(\Rightarrow B=-\frac{7}{41}\)
উত্তর ঃ (খ)
২। \(Z=x+iy\) হলে, \(|Z-7|=9\) নির্দেশ করে-
এবং \(|Z-7|=9\)
\(\Rightarrow |x+iy-7|=9\)
\(\Rightarrow |(x-7)+iy|=9\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-7)^2+y^2}=9\)
\(\therefore (x-7)^2+y^2=9^2\) যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তর ঃ (খ)
ক অধিবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
গ পরাবৃত্ত
খ বৃত্ত
ঘ উপবৃত্ত
\(Z=x+iy\)ঘ উপবৃত্ত
এবং \(|Z-7|=9\)
\(\Rightarrow |x+iy-7|=9\)
\(\Rightarrow |(x-7)+iy|=9\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-7)^2+y^2}=9\)
\(\therefore (x-7)^2+y^2=9^2\) যা একটি বৃত্ত প্রকাশ করে।
উত্তর ঃ (খ)
৩। \(-i\sqrt{3}\) এর আর্গুমেন্ট কত?
\(\Rightarrow x=0, \ y=-\sqrt{3}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\infty}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(0\)
গ \(-\frac{\pi}{2}\)
গ \(-\frac{\pi}{2}\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(-\frac{\pi}{3}\)
\(-i\sqrt{3}=0-i\sqrt{3}\)ঘ \(-\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow x=0, \ y=-\sqrt{3}\)
আর্গুমেন্ট \(\theta=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-\sqrt{3}}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\frac{\sqrt{3}}{0}}\)
\(=-\tan^{-1}{\infty}\)
\(=-\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{2}}}\)
\(=-\frac{\pi}{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
৪। \(x^2-5x+9=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\alpha+\beta\) ও \(\alpha\beta\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ কোনটি?
\(\alpha+\beta=-\frac{-5}{1}=5, \ \alpha\beta=\frac{9}{1}=9\)
নির্ণেয় সমীকরণ, \(x^2-(\alpha+\beta+\alpha\beta)x+(\alpha+\beta)\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2-(5+9)x+5\times9=0\)
\(\therefore x^2-14x+45=0\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(x^2-14x+45=0\)
গ \(x^2-14x-45=0\)
গ \(x^2-14x-45=0\)
খ \(x^2+14x+45=0\)
ঘ \(x^2+14x-45=0\)
\(x^2-5x+9=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha, \ \beta\)ঘ \(x^2+14x-45=0\)
\(\alpha+\beta=-\frac{-5}{1}=5, \ \alpha\beta=\frac{9}{1}=9\)
নির্ণেয় সমীকরণ, \(x^2-(\alpha+\beta+\alpha\beta)x+(\alpha+\beta)\alpha\beta=0\)
\(\Rightarrow x^2-(5+9)x+5\times9=0\)
\(\therefore x^2-14x+45=0\)
উত্তর ঃ (ক)
৫। \(x^2+bx+a=0\) এবং \(x^2-4x+b=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল \(3\) হলে, \(a\) এর মান কোনটি?
\(\Rightarrow 3^2+b\times3+a=0\) এবং \(3^2-4\times3+b=0\)
\(\Rightarrow 9+3b+a=0\) এবং \(9-12+b=0\)
\(\Rightarrow 9+3b+a=0\) এবং \(-3+b=0\)
\(\Rightarrow 9+3b+a=0\) এবং \(b=3\)
\(\Rightarrow 9+3\times3+a=0\)
\(\Rightarrow 9+9+a=0\)
\(\Rightarrow 18+a=0\)
\(\therefore a=-18\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(-18\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(0\)
ঘ \(18\)
\(x^2+bx+a=0\) এবং \(x^2-4x+b=0\) সমীকরণদ্বয়ের একটি সাধারণ মূল \(3\)ঘ \(18\)
\(\Rightarrow 3^2+b\times3+a=0\) এবং \(3^2-4\times3+b=0\)
\(\Rightarrow 9+3b+a=0\) এবং \(9-12+b=0\)
\(\Rightarrow 9+3b+a=0\) এবং \(-3+b=0\)
\(\Rightarrow 9+3b+a=0\) এবং \(b=3\)
\(\Rightarrow 9+3\times3+a=0\)
\(\Rightarrow 9+9+a=0\)
\(\Rightarrow 18+a=0\)
\(\therefore a=-18\)
উত্তর ঃ (ক)
৬। \(x^2=Py\) পরাবৃত্তটি \((6, -3)\) বিন্দুগামী হলে, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক-
\(\Rightarrow 6^2=P\times-3\)
\(\Rightarrow 36=-3P\)
\(\Rightarrow -3P=36\)
\(\therefore P=-12\)
\(\therefore\) পরাবৃত্ত \(x^2=-12y\)
এখানে, \(4a=-12\)
\(\therefore a=-3\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a) \Rightarrow (0, -3)\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \((0, 3)\)
গ \((0, -3)\)
গ \((0, -3)\)
খ \((3, 0)\)
ঘ \((-3, 0)\)
\(x^2=Py\) পরাবৃত্তটি \((6, -3)\) বিন্দুগামী,ঘ \((-3, 0)\)
\(\Rightarrow 6^2=P\times-3\)
\(\Rightarrow 36=-3P\)
\(\Rightarrow -3P=36\)
\(\therefore P=-12\)
\(\therefore\) পরাবৃত্ত \(x^2=-12y\)
এখানে, \(4a=-12\)
\(\therefore a=-3\)
\(\therefore \) উপকেন্দ্রের স্থানাংক \((0, a) \Rightarrow (0, -3)\)
উত্তর ঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৭ ও ৮ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(f(x)=2x^2-7x+7, \ g(x)=x\)
৭। \(f(x)=0\) সমীকরণের মূলগুলোর প্রকৃতি কীরূপ?\(f(x)=2x^2-7x+7, \ g(x)=x\)
ক বাস্তব ও সমান
গ মূলদ
গ মূলদ
খ বাস্তব ও অসমান
ঘ অবাস্তব
\(f(x)=2x^2-7x+7, \ f(x)=0\)ঘ অবাস্তব
\(\Rightarrow 2x^2-7x+7=0\)
এখানে, \(D=(-7)^2-4.2.7\)
\(=49-56\)
\(=-7\lt{0}\)
\(=-7\lt{0}\)
সমীকরণের মূলগুলো অবাস্তব।
উত্তর ঃ (ঘ)
৮। \(f(x).g(x)=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে,
\(\sum{\alpha^2}\) এর মান-
\(\Rightarrow (2x^2-7x+7)x=0\)
\(\therefore 2x^3-7x^2+7x=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{7}{2}\)
এখন, \(\sum{\alpha^2}=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)\)
\(=\left(\frac{7}{2}\right)^2-2\times\frac{7}{2}\)
\(=\frac{49}{4}-7\)
\(=\frac{49-28}{4}\)
\(=\frac{21}{4}\)
উত্তর ঃ (খ)
\(\sum{\alpha^2}\) এর মান-
ক \(\frac{77}{4}\)
গ \(\frac{49}{4}\)
গ \(\frac{49}{4}\)
খ \(\frac{21}{4}\)
ঘ \(\frac{35}{4}\)
\(f(x)=2x^2-7x+7, \ g(x)=x\) এবং \(f(x).g(x)=0\)ঘ \(\frac{35}{4}\)
\(\Rightarrow (2x^2-7x+7)x=0\)
\(\therefore 2x^3-7x^2+7x=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)
\(\therefore \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-7}{2}=\frac{7}{2}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{7}{2}\)
এখন, \(\sum{\alpha^2}=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\)
\(=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma)\)
\(=\left(\frac{7}{2}\right)^2-2\times\frac{7}{2}\)
\(=\frac{49}{4}-7\)
\(=\frac{49-28}{4}\)
\(=\frac{21}{4}\)
উত্তর ঃ (খ)
৯। \(\omega\) এককের কাল্পনিক ঘনমূল হলে,
\((\omega^5+\omega^6+\omega^7+\omega^8)\)\((\omega^{-1}+\omega^{-3}+\omega^{-5}+\omega^{-7})\) এর মান-
\(\Rightarrow \omega^3=1, \ 1+\omaga+\omega^2=0\)
এখন, \((\omega^5+\omega^6+\omega^7+\omega^8)\)\((\omega^{-1}+\omega^{-3}+\omega^{-5}+\omega^{-7})\)
\(=\{\omega^2.\omega^3+(\omega^3)^2+(\omega^3)^2.\omega+(\omega^3)^2.\omega^2\}\)\(\left\{\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^3}+\frac{1}{\omega^2.\omega^3}+\frac{1}{\omega.(\omega^3)^2}\right\}\)
\(=\{\omega^2.1+(1)^2+(1)^2.\omega+(1)^2.\omega^2\}\)\(\left\{\frac{1}{\omega}+\frac{1}{1}+\frac{1}{\omega^2.1}+\frac{1}{\omega.(1)^2}\right\}\)
\(=\{\omega^2+1+\omega+\omega^2\}\)\(\left\{\frac{1}{\omega}+1+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}\right\}\)
\(=\{\omega^2+0\}\)\(\left\{\frac{\omega^2}{\omega^3}+1+\frac{\omega}{\omega^3}+\frac{\omega^2}{\omega^3}\right\}\)
\(=\omega^2\left\{\frac{\omega^2}{1}+1+\frac{\omega}{1}+\frac{\omega^2}{1}\right\}\)
\(=\omega^2\left\{\omega^2+1+\omega+\omega^2\right\}\)
\(=\omega^2\left\{\omega^2+0\right\}\)
\(=\omega^4\)
\(=\omega.\omega^3\)
\(=\omega.1\)
\(=\omega\)
উত্তর ঃ (ক)
\((\omega^5+\omega^6+\omega^7+\omega^8)\)\((\omega^{-1}+\omega^{-3}+\omega^{-5}+\omega^{-7})\) এর মান-
ক \(\omega\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\omega^2\)
ঘ \(0\)
\(\omega\) এককের কাল্পনিক ঘনমূল,ঘ \(0\)
\(\Rightarrow \omega^3=1, \ 1+\omaga+\omega^2=0\)
এখন, \((\omega^5+\omega^6+\omega^7+\omega^8)\)\((\omega^{-1}+\omega^{-3}+\omega^{-5}+\omega^{-7})\)
\(=\{\omega^2.\omega^3+(\omega^3)^2+(\omega^3)^2.\omega+(\omega^3)^2.\omega^2\}\)\(\left\{\frac{1}{\omega}+\frac{1}{\omega^3}+\frac{1}{\omega^2.\omega^3}+\frac{1}{\omega.(\omega^3)^2}\right\}\)
\(=\{\omega^2.1+(1)^2+(1)^2.\omega+(1)^2.\omega^2\}\)\(\left\{\frac{1}{\omega}+\frac{1}{1}+\frac{1}{\omega^2.1}+\frac{1}{\omega.(1)^2}\right\}\)
\(=\{\omega^2+1+\omega+\omega^2\}\)\(\left\{\frac{1}{\omega}+1+\frac{1}{\omega^2}+\frac{1}{\omega}\right\}\)
\(=\{\omega^2+0\}\)\(\left\{\frac{\omega^2}{\omega^3}+1+\frac{\omega}{\omega^3}+\frac{\omega^2}{\omega^3}\right\}\)
\(=\omega^2\left\{\frac{\omega^2}{1}+1+\frac{\omega}{1}+\frac{\omega^2}{1}\right\}\)
\(=\omega^2\left\{\omega^2+1+\omega+\omega^2\right\}\)
\(=\omega^2\left\{\omega^2+0\right\}\)
\(=\omega^4\)
\(=\omega.\omega^3\)
\(=\omega.1\)
\(=\omega\)
উত্তর ঃ (ক)
১০। \(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব-
\(a^2=9 \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=3 \ b=2\)
\(\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\)
\(=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times3\times\frac{\sqrt{13}}{3}|\)
\(=2\sqrt{13}\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(2\sqrt{13}\)
গ \(\frac{2\sqrt{13}}{3}\)
গ \(\frac{2\sqrt{13}}{3}\)
খ \(\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
ঘ \(\sqrt{2}\)
\(\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1\) অধিবৃত্তের ক্ষেত্রে,ঘ \(\sqrt{2}\)
\(a^2=9 \ b^2=4\)
\(\Rightarrow a=3 \ b=2\)
\(\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\)
\(=\sqrt{\frac{9+4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{13}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{13}}{3}\)
উপকেন্দ্রদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times3\times\frac{\sqrt{13}}{3}|\)
\(=2\sqrt{13}\)
উত্তর ঃ (ক)
১১। \(\tan{\left(\sec^{-1}{\frac{a}{b}}\right)}\) এর মান-
অতিভুজ \(=a,\) এবং ভূমি \(=b\) যেহেতু, \(\sec^{-1}{\left(\frac{a}{b}\right)}=\sec^{-1}{\left(\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}\right)}\)
লম্ব \(=\sqrt{a^2-b^2}\)
\(\tan{\left(\sec^{-1}{\frac{a}{b}}\right)}=\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(\frac{\sqrt{b^2-a^2}}{a}\)
গ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
গ \(\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
খ \(\frac{a}{\sqrt{b^2-a^2}}\)
ঘ \(\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\)
\(\tan{\left(\sec^{-1}{\frac{a}{b}}\right)}\) এর ক্ষেত্রে,ঘ \(\frac{b^2}{\sqrt{a^2-b^2}}\)
অতিভুজ \(=a,\) এবং ভূমি \(=b\) যেহেতু, \(\sec^{-1}{\left(\frac{a}{b}\right)}=\sec^{-1}{\left(\frac{\text{অতিভুজ}}{\text{ভূমি}}\right)}\)
লম্ব \(=\sqrt{a^2-b^2}\)
\(\tan{\left(\sec^{-1}{\frac{a}{b}}\right)}=\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}}\right)}\)
\(=\frac{\sqrt{a^2-b^2}}{b}\)
উত্তর ঃ (গ)
১২। \(\cos{x}+2+\sec{x}=0\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কত?
\(\Rightarrow \cos{x}+2+\frac{1}{\cos{x}}=0\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}+2\cos{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\cos{x}+1)^2=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}+1=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\cos{(2n+1)\pi}\)
\(\therefore x=(2n+1)\pi\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(2n\pi\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
গ \((2n+1)\frac{\pi}{2}\)
খ \((2n+1)\pi\)
ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{4}\)
\(\cos{x}+2+\sec{x}=0\)ঘ \((2n+1)\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \cos{x}+2+\frac{1}{\cos{x}}=0\)
\(\Rightarrow \cos^2{x}+2\cos{x}+1=0\)
\(\Rightarrow (\cos{x}+1)^2=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}+1=0\)
\(\Rightarrow \cos{x}=-1\)
\(\Rightarrow \cos{x}=\cos{(2n+1)\pi}\)
\(\therefore x=(2n+1)\pi\)
উত্তর ঃ (খ)
১৩। \(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রে-
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(ii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(\sqrt{5}y=\pm9\)
\(iii.\) শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=4\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(a^2=4 \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=2 \ b=3 \ \therefore a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{9}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore \sqrt{5}y=\pm9\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2b|=|2\times3|=6\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (ক)
\(i.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(ii.\) নিয়ামকের সমীকরণ \(\sqrt{5}y=\pm9\)
\(iii.\) শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=4\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{9}=1\) উপবৃত্তের ক্ষেত্রে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(a^2=4 \ b^2=9\)
\(\Rightarrow a=2 \ b=3 \ \therefore a\lt{b}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{a^2}{b^2}}=\sqrt{1-\frac{4}{9}}=\)
\(=\sqrt{\frac{9-4}{9}}\)
\(=\sqrt{\frac{5}{9}}\)
\(=\frac{\sqrt{5}}{3}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{e}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3}{\frac{\sqrt{5}}{3}}\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{9}{\sqrt{5}}\)
\(\therefore \sqrt{5}y=\pm9\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য।
শীর্ষবিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2b|=|2\times3|=6\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (ক)
১৪। \(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\) অধিবৃত্তের \((x, y)\) বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক-
\(L.S=\frac{(4\sec{\theta})^2}{16}-\frac{(3\tan{\theta})^2}{9}\)
\(=\frac{16\sec^2{\theta}}{16}-\frac{9\tan^2{\theta}}{9}\)
\(=\sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}\)
\(=1=R.S\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \((4\sec{\theta}, 3\tan{\theta})\)
গ \((4\cos{\theta}, 3\sin{\theta})\)
গ \((4\cos{\theta}, 3\sin{\theta})\)
খ \((4\sin{\theta}, -3\cos{\theta})\)
ঘ \((4\tan{\theta}, 3\sec{\theta})\)
\(\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)ঘ \((4\tan{\theta}, 3\sec{\theta})\)
\(L.S=\frac{(4\sec{\theta})^2}{16}-\frac{(3\tan{\theta})^2}{9}\)
\(=\frac{16\sec^2{\theta}}{16}-\frac{9\tan^2{\theta}}{9}\)
\(=\sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}\)
\(=1=R.S\)
উত্তর ঃ (ক)
১৫। \(2\tan^{-1}{\frac{1}{5}}=\) কত?
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{25-1}{25}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{2}{5}\times\frac{25}{24}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{12}}\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(\tan^{-1}{\frac{5}{12}}\)
গ \(\tan^{-1}{\frac{5}{24}}\)
গ \(\tan^{-1}{\frac{5}{24}}\)
খ \(\tan^{-1}{\frac{5}{13}}\)
ঘ \(\tan^{-1}{\frac{5}{26}}\)
\(2\tan^{-1}{\frac{1}{5}}=\tan^{-1}{\frac{2\times\frac{1}{5}}{1-\left(\frac{1}{5}\right)^2}}\)ঘ \(\tan^{-1}{\frac{5}{26}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{1}{25}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{25-1}{25}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{2}{5}\times\frac{25}{24}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{5}{12}}\)
উত্তর ঃ (ক)
১৬। \(\sin{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=1\) এর সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \sin{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore x=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(-\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
গ \(\frac{\pi}{2}\)
খ \(\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(\sin{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=1\)ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(\Rightarrow \sin{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}=\sin{\frac{\pi}{2}}\)
\(\Rightarrow x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow x=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4}\)
\(\Rightarrow x=\frac{2\pi+\pi}{4}\)
\(\therefore x=\frac{3\pi}{4}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
১৭। কোনো বিন্দুতে \(4N\) ও \(\sqrt{3}N\) দুইটি বল পরস্পর \(30^{o}\) কোণে কার্যরত। এদের লব্ধি-
লব্ধি \(=\sqrt{(4N)^2+(\sqrt{3}N)^2+2.4N.\sqrt{3}N\cos{30^{o}}}\)
\(=\sqrt{16N^2+3N^2+8\sqrt{3}N^2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=\sqrt{19N^2+4\times3N^2}\)
\(=\sqrt{19N^2+12N^2}\)
\(=\sqrt{31N^2}\)
\(=\sqrt{31}N\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(31N\)
গ \(\sqrt{31}N\)
গ \(\sqrt{31}N\)
খ \(7N\)
ঘ \(\sqrt{7}N\)
\(4N\) ও \(\sqrt{3}N\) দুইটি বল পরস্পর \(30^{o}\) কোণে কার্যরত।ঘ \(\sqrt{7}N\)
লব্ধি \(=\sqrt{(4N)^2+(\sqrt{3}N)^2+2.4N.\sqrt{3}N\cos{30^{o}}}\)
\(=\sqrt{16N^2+3N^2+8\sqrt{3}N^2\times\frac{\sqrt{3}}{2}}\)
\(=\sqrt{19N^2+4\times3N^2}\)
\(=\sqrt{19N^2+12N^2}\)
\(=\sqrt{31N^2}\)
\(=\sqrt{31}N\)
উত্তর ঃ (গ)
১৮।
যখন \(T_{1}, \ T_{2}, \ W\) ভারসাম্য অবস্থায় থাকে, উদ্দীপকের আলোকে \(T_{1}\) এর মান কত?
লামির উপপাদ্য অনুযায়ী \(\frac{T_{1}}{\sin{(T_{2}\wedge{W})}}=\frac{W}{\sin{(T_{1}\wedge{T_{2}})}}\)
\(\Rightarrow T_{1}=\frac{\sin{(T_{2}\wedge{W})}}{\sin{(T_{1}\wedge{T_{2}})}}W\)
\(=\frac{\sin{45^{o}}}{\sin{90^{o}}}W\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}W\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times40\)
\(=\frac{40}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{40\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}\)
\(=\frac{40\sqrt{2}}{2}\)
\(=20\sqrt{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
যখন \(T_{1}, \ T_{2}, \ W\) ভারসাম্য অবস্থায় থাকে, উদ্দীপকের আলোকে \(T_{1}\) এর মান কত?
ক \(40\sqrt{2}kg-wet\)
গ \(20\sqrt{2}kg-wet\)
গ \(20\sqrt{2}kg-wet\)
খ \(40kg-wet\)
ঘ \(20kg-wet\)
\(T_{1}, \ T_{2}, \ W\) ভারসাম্য অবস্থায় থাকে,ঘ \(20kg-wet\)
লামির উপপাদ্য অনুযায়ী \(\frac{T_{1}}{\sin{(T_{2}\wedge{W})}}=\frac{W}{\sin{(T_{1}\wedge{T_{2}})}}\)
\(\Rightarrow T_{1}=\frac{\sin{(T_{2}\wedge{W})}}{\sin{(T_{1}\wedge{T_{2}})}}W\)
\(=\frac{\sin{45^{o}}}{\sin{90^{o}}}W\)
\(=\frac{\frac{1}{\sqrt{2}}}{1}W\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\times40\)
\(=\frac{40}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{40\sqrt{2}}{(\sqrt{2})^2}\)
\(=\frac{40\sqrt{2}}{2}\)
\(=20\sqrt{2}\)
উত্তর ঃ (গ)
১৯। \(\tan^{-1}{x}\) এর ডোমেন-
\(x\) এর সকল বাস্তব মান \(\tan^{-1}{x}\) কে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \tan^{-1}{x}\) এর ডোমেন \(\mathbb{R}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(\left[\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\)
গ \(\left[-2\pi, 2\pi\right]\)
গ \(\left[-2\pi, 2\pi\right]\)
খ \(\left[-1, 1\right]\)
ঘ \(\mathbb{R}\)
\(\tan^{-1}{x}\)ঘ \(\mathbb{R}\)
\(x\) এর সকল বাস্তব মান \(\tan^{-1}{x}\) কে সিদ্ধ করে।
\(\therefore \tan^{-1}{x}\) এর ডোমেন \(\mathbb{R}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২০। সরলরেখায় গতিশীল একটি কণা \(2m/sec^2\) সমত্বরণে \(30\) সেকেন্ড যাবৎ চলে গড়বেগ \(60m/sec\) হলে তার আদিবেগ-
আমরা জানি, \(v=u+at\) যেখানে শেষবেগ \(=v\) এবং আদিবেগ \(=u\)
\(\Rightarrow v=u+2\times30\)
\(\therefore v=u+60\)
আবার, \(\frac{u+v}{2}=\overline{V}\)
\(\Rightarrow \frac{u+u+60}{2}=60\)
\(\Rightarrow \frac{2u+60}{2}=60\)
\(\Rightarrow \frac{2(u+30)}{2}=60\)
\(\Rightarrow u+30=60\)
\(\Rightarrow u=60-30\)
\(\therefore u=30\)
\(\therefore\) আদিবেগ \(=30m/sec\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(120m/sec\)
গ \(45m/sec\)
গ \(45m/sec\)
খ \(90m/sec\)
ঘ \(30m/sec\)
এখানে, \(t=30\) সেকেন্ড, সমত্বরণ \(a=2m/sec^2\) এবং গড়বেগ \(\overline{V}=60m/sec\)ঘ \(30m/sec\)
আমরা জানি, \(v=u+at\) যেখানে শেষবেগ \(=v\) এবং আদিবেগ \(=u\)
\(\Rightarrow v=u+2\times30\)
\(\therefore v=u+60\)
আবার, \(\frac{u+v}{2}=\overline{V}\)
\(\Rightarrow \frac{u+u+60}{2}=60\)
\(\Rightarrow \frac{2u+60}{2}=60\)
\(\Rightarrow \frac{2(u+30)}{2}=60\)
\(\Rightarrow u+30=60\)
\(\Rightarrow u=60-30\)
\(\therefore u=30\)
\(\therefore\) আদিবেগ \(=30m/sec\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২১। একটি বুলেট কোনো দেয়ালের ভিতর \(3\) ইঞ্চি ভেদ করতে এর বেগের \(\frac{1}{3}\) অংশ হারায়। বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আর কতদূর ঢকবে?
এখন, \(v^2=u^2-2as\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2u}{3}\right)^2=u^2-2a\times3\)
\(\Rightarrow \frac{4u^2}{9}=u^2-6a\)
\(\Rightarrow 6a=u^2-\frac{4u^2}{9}\)
\(\Rightarrow 6a=\frac{9u^2-4u^2}{9}\)
\(\Rightarrow 6a=\frac{5u^2}{9}\)
\(\therefore a=\frac{5u^2}{54}\)
বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আরও \(d\) ইঞ্চি ঢোকার পর থেমে যায়।
তাহলে, \(0^2=v^2-2ad\)
\(\Rightarrow 0=\left(\frac{2u}{3}\right)^2-2\times\frac{5u^2}{54}\times{d}\)
\(\Rightarrow 0=\frac{4u^2}{9}-\frac{5u^2d}{27}\)
\(\Rightarrow \frac{5u^2d}{27}=\frac{4u^2}{9}\)
\(\Rightarrow d=\frac{4u^2}{9}\times\frac{27}{5u^2}\)
\(\therefore d=\frac{12}{5}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(\frac{3}{8}\) ইঞ্চি
গ \(\frac{6}{5}\) ইঞ্চি
গ \(\frac{6}{5}\) ইঞ্চি
খ \(\frac{3}{4}\) ইঞ্চি
ঘ \(\frac{12}{5}\) ইঞ্চি
বুলেটের আদিবেগ \(=u\) হলে, শেষবেগ \(v=u-\frac{u}{3}=\frac{2u}{3}\)ঘ \(\frac{12}{5}\) ইঞ্চি
এখন, \(v^2=u^2-2as\)
\(\Rightarrow \left(\frac{2u}{3}\right)^2=u^2-2a\times3\)
\(\Rightarrow \frac{4u^2}{9}=u^2-6a\)
\(\Rightarrow 6a=u^2-\frac{4u^2}{9}\)
\(\Rightarrow 6a=\frac{9u^2-4u^2}{9}\)
\(\Rightarrow 6a=\frac{5u^2}{9}\)
\(\therefore a=\frac{5u^2}{54}\)
বুলেটটি দেয়ালের ভিতর আরও \(d\) ইঞ্চি ঢোকার পর থেমে যায়।
তাহলে, \(0^2=v^2-2ad\)
\(\Rightarrow 0=\left(\frac{2u}{3}\right)^2-2\times\frac{5u^2}{54}\times{d}\)
\(\Rightarrow 0=\frac{4u^2}{9}-\frac{5u^2d}{27}\)
\(\Rightarrow \frac{5u^2d}{27}=\frac{4u^2}{9}\)
\(\Rightarrow d=\frac{4u^2}{9}\times\frac{27}{5u^2}\)
\(\therefore d=\frac{12}{5}\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২২। \(y^2+3y=3x-8\) পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য-
\(\Rightarrow y^2+3y+\frac{9}{4}=3x-8+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=3x-\frac{32-9}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=3x-\frac{23}{4}\)
\(\therefore \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=3\left(x-\frac{23}{12}\right)\)
এখানে, \(4a=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|3|=3\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(-\frac{3}{2}\)
গ \(\frac{23}{12}\)
গ \(\frac{23}{12}\)
খ \(\frac{3}{4}\) ইঞ্চি
ঘ \(3\)
\(y^2+3y=3x-8\)ঘ \(3\)
\(\Rightarrow y^2+3y+\frac{9}{4}=3x-8+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=3x-\frac{32-9}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=3x-\frac{23}{4}\)
\(\therefore \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=3\left(x-\frac{23}{12}\right)\)
এখানে, \(4a=3\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|3|=3\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২৩। ভূমি হতে \(u\) আদিবেগে একটি বস্তু উল্লম্বভাবে উপরের দিকে নিক্ষেপ করা হলে-
\(i.\) বৃহত্তম উচ্চতা \(=\frac{u^2}{2g}\)
\(ii.\) বিচরণকাল \(=\frac{u}{g}\)
\(iii.\) \(h\) উচ্চতায় গমনকাল \(=\frac{u\pm\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
তাহলে, \(0^2=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 2gH=u^2\)
\(\therefore H=\frac{u^2}{2g}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(0=u-gt\)
\(\Rightarrow gt=u\)
\(\therefore t=\frac{u}{g}\)
বিচরণকাল \(=2t=\frac{2u}{g}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(h\) উচ্চতায় গমনকাল \(T\)
তাহলে, \(h=uT-\frac{1}{2}gT^2\)
\(\Rightarrow 2h=2uT-gT^2\)
\(\Rightarrow gT^2-2uT+2h=0\)
\(\Rightarrow T=\frac{2u\pm\sqrt{4u^2-4g.2h}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm\sqrt{4u^2-8gh}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm2\sqrt{u^2-2gh}}{2g}\)
\(=\frac{2(u\pm\sqrt{u^2-2gh})}{2g}\)
\(=\frac{u\pm\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (গ)
\(i.\) বৃহত্তম উচ্চতা \(=\frac{u^2}{2g}\)
\(ii.\) বিচরণকাল \(=\frac{u}{g}\)
\(iii.\) \(h\) উচ্চতায় গমনকাল \(=\frac{u\pm\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
ধরি, বস্তুটি \(t\) সময়ে সর্বাধিক \(H\) উচ্চতায় উঠে।ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
তাহলে, \(0^2=u^2-2gH\)
\(\Rightarrow 2gH=u^2\)
\(\therefore H=\frac{u^2}{2g}\)
\(\therefore i.\) নং বাক্যটি সত্য।
আবার, \(0=u-gt\)
\(\Rightarrow gt=u\)
\(\therefore t=\frac{u}{g}\)
বিচরণকাল \(=2t=\frac{2u}{g}\)
\(\therefore ii.\) নং বাক্যটি সত্য নয়।
\(h\) উচ্চতায় গমনকাল \(T\)
তাহলে, \(h=uT-\frac{1}{2}gT^2\)
\(\Rightarrow 2h=2uT-gT^2\)
\(\Rightarrow gT^2-2uT+2h=0\)
\(\Rightarrow T=\frac{2u\pm\sqrt{4u^2-4g.2h}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm\sqrt{4u^2-8gh}}{2g}\)
\(=\frac{2u\pm2\sqrt{u^2-2gh}}{2g}\)
\(=\frac{2(u\pm\sqrt{u^2-2gh})}{2g}\)
\(=\frac{u\pm\sqrt{u^2-2gh}}{g}\)
\(\therefore iii.\) নং বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ২৪ ও ২৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(u\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তু কণা নিক্ষেপ করা হলো।
২৪। ভূমির সাথে কত কোণে নিক্ষেপ করলে বস্তুটি সর্বাধিক দূরত্বে পড়বে?\(u\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তু কণা নিক্ষেপ করা হলো।
ক \(45^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
\(u\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তু কণা নিক্ষেপ করলে,ঘ \(120^{o}\)
পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
পাল্লা বৃহত্তম হবে যদি \(\sin{2\alpha}\) বৃহত্তম হয়।
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তর ঃ (ক)
২৫। \(\alpha=60^{o}\) এবং \(u=16m/sec\) হলে সর্বোচ্চ উচ্চতা-
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{16^2\sin^2{60^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{256\times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=\frac{256\times\frac{3}{4}}{2g}\)
\(=\frac{192}{2g}\)
\(=\frac{96}{g}\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(\frac{48}{g}\)
গ \(\frac{192}{g}\)
গ \(\frac{192}{g}\)
খ \(\frac{96}{g}\)
ঘ \(\frac{192\sqrt{3}}{g}\)
\(u\) আদিবেগে ভূমির সাথে \(\alpha\) কোণে একটি বস্তু কণা নিক্ষেপ করলে,ঘ \(\frac{192\sqrt{3}}{g}\)
সর্বোচ্চ উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{16^2\sin^2{60^{o}}}{2g}\)
\(=\frac{256\times\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}{2g}\)
\(=\frac{256\times\frac{3}{4}}{2g}\)
\(=\frac{192}{2g}\)
\(=\frac{96}{g}\)
উত্তর ঃ (খ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000002