শিক্ষা বোর্ড রাজশাহী - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(y^2=8x\) পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ কোনটি?
এখানে, \(4a=8\)
\(\therefore a=2\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-2\)
\(\therefore x+2=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x-2=0\)
গ \(y-2=0\)
গ \(y-2=0\)
খ \(x+2=0\)
ঘ \(y+2=0\)
\(y^2=8x\)ঘ \(y+2=0\)
এখানে, \(4a=8\)
\(\therefore a=2\)
পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(x=-a\)
\(\Rightarrow x=-2\)
\(\therefore x+2=0\)
উত্তরঃ (খ)
২। \(\frac{(x-3)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{12}=1\) উপবৃত্তটির-
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((3, -1)\)
\(ii.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
\(iii.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \frac{(x-3)^2}{4^2}+\frac{(y+1)^2}{(2\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=2\sqrt{3}, \ \alpha=3, \ \beta=-1, \ a\gt{b}\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((\alpha, \beta)\)
\(\therefore (3, -1)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
\(=|2\times4|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{12}{16}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) কেন্দ্রের স্থানাংক \((3, -1)\)
\(ii.\) বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(8\) একক
\(iii.\) উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{1}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\frac{(x-3)^2}{16}+\frac{(y+1)^2}{12}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow \frac{(x-3)^2}{4^2}+\frac{(y+1)^2}{(2\sqrt{3})^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=2\sqrt{3}, \ \alpha=3, \ \beta=-1, \ a\gt{b}\)
কেন্দ্রের স্থানাংক \((\alpha, \beta)\)
\(\therefore (3, -1)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য \(=|2a|\)
\(=|2\times4|\)
\(=|8|\)
\(=8\) একক
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
উৎকেন্দ্রিকতা, \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{12}{16}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-3}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{4}}\)
\(=\frac{1}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(b\) এর মান কত হলে \(y=4x+1\) সরলরেখাটি \(y^2=8bx\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করবে?
\(m=4, \ c=1\)
\(y^2=8bx\) এর ক্ষেত্রে-
\(4a=8b\)
\(\therefore a=2b\)
\(y=mx+c\) সরলরেখার, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত
\(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{2b}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{b}{2}\)
\(\therefore b=2\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{1}{4}\)
গ \(2\)
গ \(2\)
খ \(\frac{1}{4}\)
ঘ \(4\)
\(y=4x+1\) এর ক্ষেত্রে-ঘ \(4\)
\(m=4, \ c=1\)
\(y^2=8bx\) এর ক্ষেত্রে-
\(4a=8b\)
\(\therefore a=2b\)
\(y=mx+c\) সরলরেখার, \(y^2=4ax\) পরাবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত
\(c=\frac{a}{m}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{2b}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{b}{2}\)
\(\therefore b=2\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(9x^2-16y^2=144\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
৪। অধিবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক কোনটি? \(9x^2-16y^2=144\) একটি অধিবৃত্তের সমীকরণ।
ক \((\pm4, 0)\)
গ \((0, \pm4)\)
গ \((0, \pm4)\)
খ \((\pm5, 0)\)
ঘ \((0, \pm5)\)
\(9x^2-16y^2=144\)ঘ \((0, \pm5)\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}-\frac{16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{4^2}-\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
শীর্ষবিন্দুর স্থানাংক \((\pm{a}, 0)\)
\(\therefore (\pm4, 0)\)
উত্তরঃ (ক)
৫। অধিবৃত্তটির অসীমতটের সমীকরণ কোনটি?
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
অধিবৃত্তটির অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3x}{4}\)
\(\therefore 3x=\pm4y\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(2x=\pm3y\)
গ \(3x=\pm4y\)
গ \(3x=\pm4y\)
খ \(3y=\pm2x\)
ঘ \(4x=\pm3y\)
\(9x^2-16y^2=144\)ঘ \(4x=\pm3y\)
এখানে, \(a=4, \ b=3\)
অধিবৃত্তটির অসীমতটের সমীকরণ \(y=\pm\frac{b}{a}x\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3}{4}x\)
\(\Rightarrow y=\pm\frac{3x}{4}\)
\(\therefore 3x=\pm4y\)
উত্তরঃ (গ)
৬। \(\cos{\sin^{-1}{x}}\) এর মান কোনটি?
\(=\cos{\cos^{-1}{(\sqrt{1-x^2})}},\) যেহেতু \(\sin^{-1}{A}=\cos^{-1}{(\sqrt{1-A^2})}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\sqrt{x^2-1}\)
গ \(x^2+1\)
গ \(x^2+1\)
খ \(\sqrt{1-x^2}\)
ঘ \(1-x^2\)
\(\cos{\sin^{-1}{x}}\)ঘ \(1-x^2\)
\(=\cos{\cos^{-1}{(\sqrt{1-x^2})}},\) যেহেতু \(\sin^{-1}{A}=\cos^{-1}{(\sqrt{1-A^2})}\)
\(=\sqrt{1-x^2}\)
উত্তরঃ (খ)
৭। \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে, \(\sin{2\theta}=1\) সমীকরণের সাধারণ সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow 2\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((4n+1)\frac{\pi}{4}\)
গ \((4n-1)\frac{\pi}{4}\)
গ \((4n-1)\frac{\pi}{4}\)
খ \((4n+1)\frac{\pi}{2}\)
ঘ \((4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\sin{2\theta}=1\)ঘ \((4n-1)\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow 2\theta=(4n+1)\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \theta=(4n+1)\frac{\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
৮। \(4\left(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\right)=\) কত?
\(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\) এর ক্ষেত্রে,
ভূমি \(=2,\) অতিভুজ \(=\sqrt{5}\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}\)
\(=\sqrt{5-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
প্রদত্ত রাশি \(=4\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\right)\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3+2}{6}}{1-\frac{1}{6}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{1}\)
\(=4\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=4\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(\frac{\pi}{2}\)
ঘ \(2\pi\)
\(4\left(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\right)\)ঘ \(2\pi\)
\(\cos^{-1}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\) এর ক্ষেত্রে,
ভূমি \(=2,\) অতিভুজ \(=\sqrt{5}\)
লম্ব \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{ভূমি})^2}\)
\(=\sqrt{(\sqrt{5})^2-2^2}\)
\(=\sqrt{5-4}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
প্রদত্ত রাশি \(=4\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}+\tan^{-1}{\frac{1}{3}}\right)\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}\times\frac{1}{3}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{3+2}{6}}{1-\frac{1}{6}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{6-1}{6}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{\left(\frac{\frac{5}{6}}{\frac{5}{6}}\right)}\)
\(=4\tan^{-1}{1}\)
\(=4\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}\)
\(=4\times\frac{\pi}{4}\)
\(=\pi\)
উত্তরঃ (গ)
৯। \(\sin^{-1}{\frac{1}{x}}=\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\) হলে, \(x=\) কত?
\(\sin^{-1}{\frac{1}{x}}\) এর ক্ষেত্রে,
লম্ব \(=1,\) অতিভুজ \(=x\)
ভূমি \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{লম্ব})^2}\)
\(=\sqrt{x^2-1^2}\)
\(=\sqrt{x^2-1}\)
তাহলে, \(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}=\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-1}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-1=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=1+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{4+9}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
\(\therefore x=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{13}}{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{13}}{3}\)
খ \(\frac{3}{2}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\)
\(\sin^{-1}{\frac{1}{x}}=\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\)ঘ \(\frac{\sqrt{13}}{2}\)
\(\sin^{-1}{\frac{1}{x}}\) এর ক্ষেত্রে,
লম্ব \(=1,\) অতিভুজ \(=x\)
ভূমি \(=\sqrt{(\text{অতিভুজ})^2-(\text{লম্ব})^2}\)
\(=\sqrt{x^2-1^2}\)
\(=\sqrt{x^2-1}\)
তাহলে, \(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}}=\tan^{-1}{\frac{2}{3}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \sqrt{x^2-1}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow x^2-1=\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=1+\frac{9}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{4+9}{4}\)
\(\Rightarrow x^2=\frac{13}{4}\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{\frac{13}{4}}\)
\(\therefore x=\frac{\sqrt{13}}{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। \(\sqrt{3}, \ 1, \ 2\) মানের তিনটি বল এক বিন্দুতে ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় রয়েছে। প্রথম দুইটি বলের মধ্যবর্তী কোন কত?
শর্তমতে, \(\sqrt{3}, \ 1\) বলদ্বয়ের লব্ধি হবে \(2\)
তাহলে, \((\sqrt{3})^2+1^2+2.\sqrt{3}.1\cos{\alpha}=2^2\)
\(\Rightarrow 3+1+2\sqrt{3}\cos{\alpha}=4\)
\(\Rightarrow 4+2\sqrt{3}\cos{\alpha}=4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=4-4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(90^{o}\)
গ \(150^{o}\)
গ \(150^{o}\)
খ \(120^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
ধরি, \(\sqrt{3}, \ 1\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\)ঘ \(180^{o}\)
শর্তমতে, \(\sqrt{3}, \ 1\) বলদ্বয়ের লব্ধি হবে \(2\)
তাহলে, \((\sqrt{3})^2+1^2+2.\sqrt{3}.1\cos{\alpha}=2^2\)
\(\Rightarrow 3+1+2\sqrt{3}\cos{\alpha}=4\)
\(\Rightarrow 4+2\sqrt{3}\cos{\alpha}=4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=4-4\)
\(\Rightarrow 2\sqrt{3}\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (ক)
১১। \(12\) মিটার দীর্ঘ একটি সূক্ষ্ণ হালকা রডের দুই বিপরীত প্রান্তে \(3W\) এবং \(W\) ওজন দুটি ক্রিয়া করছে। \(W\) ওজন থেকে এদের লব্ধির ক্রিয়াবিন্দুর দূরত্ব কত মিটার?
তাহলে, \(AC.3W=BC.W\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{W}{3W}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{1+3}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 4BC=3AB\)
\(\Rightarrow BC=\frac{3AB}{4}\)
\(\Rightarrow BC=\frac{3\times12}{4}\)
\(\therefore BC=9\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(1\)
গ \(6\)
গ \(6\)
খ \(3\)
ঘ \(9\)
ধরি, \(AB\) রডের দুই বিপরীত প্রান্ত \(A\) এবং \(B\) বিন্দুতে যথাক্রমে \(3W\) এবং \(W\) ওজন দুটি ক্রিয়া করছে এবং লব্ধির ক্রিয়াবিন্দু \(C\)।ঘ \(9\)
তাহলে, \(AC.3W=BC.W\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{W}{3W}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC+BC}{BC}=\frac{1+3}{3}\)
\(\Rightarrow \frac{AB}{BC}=\frac{4}{3}\)
\(\Rightarrow 4BC=3AB\)
\(\Rightarrow BC=\frac{3AB}{4}\)
\(\Rightarrow BC=\frac{3\times12}{4}\)
\(\therefore BC=9\)
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(50\) মিটার উঁচু হতে একটি পাথরকে ছেড়ে দিলে ভূমিতে পড়তে কত সেকেন্ড সময় লাগবে?
তাহলে, \(\frac{1}{2}gt^2=h\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times9.8\times{t^2}=50\)
\(\Rightarrow 4.9\times{t^2}=50\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{50}{4.9}\)
\(\Rightarrow t^2=10.204\)
\(\therefore t=3.19\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(2.25\)
গ \(5.10\)
গ \(5.10\)
খ \(3.19\)
ঘ \(10.20\)
ধরি, \(t\) সেকেন্ড সময় লাগবে,ঘ \(10.20\)
তাহলে, \(\frac{1}{2}gt^2=h\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}\times9.8\times{t^2}=50\)
\(\Rightarrow 4.9\times{t^2}=50\)
\(\Rightarrow t^2=\frac{50}{4.9}\)
\(\Rightarrow t^2=10.204\)
\(\therefore t=3.19\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(P\) মানের তিনটি সমান একতলীয় বল সাম্যাবস্থায় থাকলে এদের মধ্যবর্তী কোণ কত?
এখানে, প্রত্যেকটি বল অপর বলদ্বয়ের লব্ধির সমান হবে।
তাহলে, \(P^2+P^2+2.P.P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(60^{o}\)
গ \(120^{o}\)
গ \(120^{o}\)
খ \(90^{o}\)
ঘ \(180^{o}\)
ধরি, মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) ঘ \(180^{o}\)
এখানে, প্রত্যেকটি বল অপর বলদ্বয়ের লব্ধির সমান হবে।
তাহলে, \(P^2+P^2+2.P.P\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2+2P^2\cos{\alpha}=P^2\)
\(\Rightarrow 2P^2(1+\cos{\alpha})=P^2\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{P^2}{2P^2}\)
\(\Rightarrow 1+\cos{\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1}{2}-1\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\frac{1-2}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=-\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{120^{o}}\)
\(\therefore \alpha=120^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৪ ও ১৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একখন্ড পাথর আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(19.6\) মি./সে. বেগে নিক্ষেপ করা হলো।
১৪। পাথরটির বিচরণকাল কত?একখন্ড পাথর আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে \(19.6\) মি./সে. বেগে নিক্ষেপ করা হলো।
ক \(1\) সেকেন্ড
গ \(3\) সেকেন্ড
গ \(3\) সেকেন্ড
খ \(2\) সেকেন্ড
ঘ \(4\) সেকেন্ড
এখানে, \(\alpha=30^{o}, \ u=19.6\) মি./সে., \(g=9.8\) মি./বর্গ সে.ঘ \(4\) সেকেন্ড
তাহলে, বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times19.6\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{2\times19.6\times\frac{1}{2}}{9.8}\)
\(=\frac{19.6}{9.8}\)
\(=2\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (খ)
১৫। পাথরটির সর্বাধিক উচ্চতা কত মিটার?
তাহলে, সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(19.6)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{(19.6)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{(19.6)^2\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{19.6}\)
\(=19.6\times\frac{1}{4}\)
\(=\frac{19.6}{4}\)
\(=4.9\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(1.23\)
গ \(4.9\)
গ \(4.9\)
খ \(1.73\)
ঘ \(33.94\)
এখানে, \(\alpha=30^{o}, \ u=19.6\) মি./সে., \(g=9.8\) মি./বর্গ সে.ঘ \(33.94\)
তাহলে, সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(19.6)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{(19.6)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{(19.6)^2\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{19.6}\)
\(=19.6\times\frac{1}{4}\)
\(=\frac{19.6}{4}\)
\(=4.9\)
উত্তরঃ (গ)
১৬। \(z=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})\) হলে, \(z-\overline{z}\) এর মান কত?
এখন, \(z-\overline{z}\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})-\overline{\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})}\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})-\frac{1}{2}\overline{(-1-i\sqrt{7})}\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})-\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{7})\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7}+1-i\sqrt{7})\)
\(=\frac{1}{2}(-2i\sqrt{7})\)
\(=-i\sqrt{7}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-i\sqrt{7}\)
গ \(i\sqrt{7}\)
গ \(i\sqrt{7}\)
খ \(-1\)
ঘ \(1\)
\(z=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})\)ঘ \(1\)
এখন, \(z-\overline{z}\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})-\overline{\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})}\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})-\frac{1}{2}\overline{(-1-i\sqrt{7})}\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7})-\frac{1}{2}(-1+i\sqrt{7})\)
\(=\frac{1}{2}(-1-i\sqrt{7}+1-i\sqrt{7})\)
\(=\frac{1}{2}(-2i\sqrt{7})\)
\(=-i\sqrt{7}\)
উত্তরঃ (ক)
১৭। \(\frac{1+i}{i}=p+iq\) হলে, \(q\) এর মান কত?
\(\Rightarrow p+iq=\frac{1+i}{i}\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{1}{i}+\frac{i}{i}\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{i}{i^2}+1\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{i}{-1}+1\)
\(\Rightarrow p+iq=-i+1\)
\(\Rightarrow p+iq=1+i.(-1)\)
\(\therefore q=-1\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-i\)
গ \(i\)
গ \(i\)
খ \(-1\)
ঘ \(1\)
\(\frac{1+i}{i}=p+iq\)ঘ \(1\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{1+i}{i}\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{1}{i}+\frac{i}{i}\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{i}{i^2}+1\)
\(\Rightarrow p+iq=\frac{i}{-1}+1\)
\(\Rightarrow p+iq=-i+1\)
\(\Rightarrow p+iq=1+i.(-1)\)
\(\therefore q=-1\)
উত্তরঃ (খ)
১৮। \(i\) এর বর্গমূল কোনটি?
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\pm\frac{1}{2}(1+i)\)
গ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
গ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1-i)\)
খ \(\pm\frac{1}{2}(1-i)\)
ঘ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)
\(i\) এর বর্গমূল \(\pm\sqrt{i}\)ঘ \(\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{2i}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1+2i-1}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1^2+2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{(1+i)^2}\)
\(=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}(1+i)\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৯। \(k\) এর মান কত হলে \(x^2+7x+3+k=0\) সমীকরণের একটি উৎপাদক \((x+3)\) হবে?
অর্থাৎ \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
\(\Rightarrow (-3)^2+7(-3)+3+k=0\)
\(\Rightarrow 9-21+3+k=0\)
\(\Rightarrow 12-21+k=0\)
\(\Rightarrow -9+k=0\)
\(\therefore k=9\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(-33\)
গ \(9\)
গ \(9\)
খ \(-9\)
ঘ \(33\)
\(x^2+7x+3+k=0\) সমীকরণের একটি উৎপাদক \((x+3)\)ঘ \(33\)
অর্থাৎ \(x+3=0 \Rightarrow x=-3\) সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে।
\(\Rightarrow (-3)^2+7(-3)+3+k=0\)
\(\Rightarrow 9-21+3+k=0\)
\(\Rightarrow 12-21+k=0\)
\(\Rightarrow -9+k=0\)
\(\therefore k=9\)
উত্তরঃ (গ)
২০। \(z=-1-i\) জটিল সংখ্যাটির-
\(i.\) আর্গুমেন্ট \(=-\frac{3\pi}{4}\)
\(ii.\) বাস্তব অংশ \(=-1\)
\(iii.\) অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা \(=1-i\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow z=-1+i.(-1)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{-1}}\)
\(=\tan^{-1}{1}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{4}-\pi\)
\(=\frac{\pi-4\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বাস্তব অংশ \(=-1\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা \(=\overline{-1-i}\)
\(=-1+i\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) আর্গুমেন্ট \(=-\frac{3\pi}{4}\)
\(ii.\) বাস্তব অংশ \(=-1\)
\(iii.\) অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা \(=1-i\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
গ \(i.\) ও \(iii.\)
খ \(ii.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=-1-i\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow z=-1+i.(-1)\)
এখানে, \(x=-1, \ y=-1\)
আর্গুমেন্ট \(=\tan^{-1}{\frac{y}{x}}\)
\(=\tan^{-1}{\frac{-1}{-1}}\)
\(=\tan^{-1}{1}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{4}-\pi\)
\(=\frac{\pi-4\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বাস্তব অংশ \(=-1\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
অনুবন্ধি জটিল সংখ্যা \(=\overline{-1-i}\)
\(=-1+i\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
২১। \(\sqrt{-3}+1\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ নিচের কোনটি?
\(\Rightarrow x=\sqrt{-3}+1\)
\(\Rightarrow x-1=\sqrt{-3}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=-3\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=-3\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+3=0\)
\(\therefore x^2-2x+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^2+2x+4=0\)
গ \(x^2+2x-4=0\)
গ \(x^2+2x-4=0\)
খ \(x^2-2x+4=0\)
ঘ \(x^2-2x-4=0\)
\(\sqrt{-3}+1\) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণঘ \(x^2-2x-4=0\)
\(\Rightarrow x=\sqrt{-3}+1\)
\(\Rightarrow x-1=\sqrt{-3}\)
\(\Rightarrow (x-1)^2=-3\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1=-3\)
\(\Rightarrow x^2-2x+1+3=0\)
\(\therefore x^2-2x+4=0\)
উত্তরঃ (খ)
২২। \(x^3-3x+10=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\) হলে, \(\sum\alpha=\) কত?
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-3}{1}\)
\(\therefore \sum\alpha=3\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(7\)
গ \(0\)
গ \(0\)
খ \(3\)
ঘ \(-3\)
\(x^3-3x+10=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta, \ \gamma\)ঘ \(-3\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-3}{1}\)
\(\therefore \sum\alpha=3\)
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(k\) এর মান কত হলে, \((k+2)x^2-(k+2)x+1=0\) সমীকরণের মূলগুলো জটিল হবে?
এখানে, \(a=k+2, \ b=-(k+2), \ c=1\)
এখন, নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=\{-(k+2)\}^2-4.(k+2).1\)
\(=(k+2)^2-4(k+2)\)
\(=k^2+4k+4-4k-8\)
\(=k^2-4\)
সমীকরণের মূলগুলো জটিল হবে যদি, \(D\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow k^2-4\lt{0}\)
\(\Rightarrow k^2-2^2\lt{0}\)
\(\Rightarrow (k+2)(k-2)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{k}\lt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(-2\le{k}\lt{2}\)
গ \(-2\le{k}\le{2}\)
গ \(-2\le{k}\le{2}\)
খ \(-2\lt{k}\le{2}\)
ঘ \(-2\lt{k}\lt{2}\)
\((k+2)x^2-(k+2)x+1=0\)ঘ \(-2\lt{k}\lt{2}\)
এখানে, \(a=k+2, \ b=-(k+2), \ c=1\)
এখন, নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=\{-(k+2)\}^2-4.(k+2).1\)
\(=(k+2)^2-4(k+2)\)
\(=k^2+4k+4-4k-8\)
\(=k^2-4\)
সমীকরণের মূলগুলো জটিল হবে যদি, \(D\lt{0}\) হয়।
\(\Rightarrow k^2-4\lt{0}\)
\(\Rightarrow k^2-2^2\lt{0}\)
\(\Rightarrow (k+2)(k-2)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{k}\lt{2}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৪। \(x^2-2x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\) হলে, \(\alpha-\beta=\) কত?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-2}{1} \ \alpha\beta=\frac{-3}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=2 \ \alpha\beta=-3\)
এখন, \(\alpha-\beta\)
\(=\pm\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\)
\(=\pm\sqrt{2^2-4\times-3}\)
\(=\pm\sqrt{4+12}\)
\(=\pm\sqrt{16}\)
\(=\pm4\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\pm4\)
গ \(\pm\sqrt{-4}\)
গ \(\pm\sqrt{-4}\)
খ \(\pm8\)
ঘ \(\pm\sqrt{-8}\)
\(x^2-2x-3=0\) সমীকরণের মূলদ্বয় \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(\pm\sqrt{-8}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-2}{1} \ \alpha\beta=\frac{-3}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=2 \ \alpha\beta=-3\)
এখন, \(\alpha-\beta\)
\(=\pm\sqrt{(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta}\)
\(=\pm\sqrt{2^2-4\times-3}\)
\(=\pm\sqrt{4+12}\)
\(=\pm\sqrt{16}\)
\(=\pm4\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। \(c\) এর মান কত হলে, \(x^2-7x+c=0\) সমীকরণের মূলদুটি ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা হবে?
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-7}{1} \ \alpha\beta=\frac{c}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=7 \ \alpha\beta=c\)
শর্তমতে, \(\alpha-\beta=1\)
\(\Rightarrow (\alpha-\beta)^2=1\)
\(\Rightarrow (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=1\)
\(\Rightarrow (7)^2-4\times{c}=1\)
\(\Rightarrow 49-4c=1\)
\(\Rightarrow -4c=1-49\)
\(\Rightarrow -4c=-48\)
\(\therefore c=12\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(3\)
গ \(7\)
গ \(7\)
খ \(4\)
ঘ \(12\)
ধরি, \(x^2-7x+c=0\) সমীকরণের মূলদুটি \(\alpha\) ও \(\beta\)ঘ \(12\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{-7}{1} \ \alpha\beta=\frac{c}{1}\)
\(\therefore \alpha+\beta=7 \ \alpha\beta=c\)
শর্তমতে, \(\alpha-\beta=1\)
\(\Rightarrow (\alpha-\beta)^2=1\)
\(\Rightarrow (\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta=1\)
\(\Rightarrow (7)^2-4\times{c}=1\)
\(\Rightarrow 49-4c=1\)
\(\Rightarrow -4c=1-49\)
\(\Rightarrow -4c=-48\)
\(\therefore c=12\)
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000001