শিক্ষা বোর্ড বরিশাল - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(x^2+1=0\) সমীকরণের একটি মূল \(\alpha\) হলে, \(|\alpha|\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \alpha^2+1=0\)
\(\Rightarrow \alpha^2=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\pm\sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow |\alpha|=|\pm\sqrt{-1}|\)
\(=\sqrt{0^2+1^2}\) যেহেতু \(|a\pm{iy}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(2\)
গ \(\sqrt{2}\)
গ \(\sqrt{2}\)
খ \(\sqrt{-1}\)
ঘ \(1\)
\(x^2+1=0\) সমীকরণের একটি মূল \(\alpha\)ঘ \(1\)
\(\Rightarrow \alpha^2+1=0\)
\(\Rightarrow \alpha^2=-1\)
\(\Rightarrow \alpha=\pm\sqrt{-1}\)
\(\Rightarrow |\alpha|=|\pm\sqrt{-1}|\)
\(=\sqrt{0^2+1^2}\) যেহেতু \(|a\pm{iy}|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(=\sqrt{1}\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২। \(k\) এর মান কত হলে \(x^2-5x+k=0\) এর মূল দুইটি ক্রমিক সংখ্যা হবে?
এখন, \(\alpha+\alpha+1=-\frac{-5}{1}, \ \alpha(\alpha+1)=\frac{k}{1}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=5-1, \ \alpha(\alpha+1)=k\)
\(\Rightarrow 2\alpha=4, \ \alpha(\alpha+1)=k\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \ \alpha(\alpha+1)=k\)
\(\Rightarrow 2(2+1)=k\)
\(\Rightarrow 2\times3=k\)
\(\Rightarrow 6=k\)
\(\therefore k=6\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(2\)
গ \(30\)
গ \(30\)
খ \(6\)
ঘ \(0\)
\(x^2-5x+k=0\) এর মূল দুইটি ক্রমিক সংখ্যা অর্থাৎ \(\alpha\) ও \(\alpha+1\) ঘ \(0\)
এখন, \(\alpha+\alpha+1=-\frac{-5}{1}, \ \alpha(\alpha+1)=\frac{k}{1}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=5-1, \ \alpha(\alpha+1)=k\)
\(\Rightarrow 2\alpha=4, \ \alpha(\alpha+1)=k\)
\(\Rightarrow \alpha=2, \ \alpha(\alpha+1)=k\)
\(\Rightarrow 2(2+1)=k\)
\(\Rightarrow 2\times3=k\)
\(\Rightarrow 6=k\)
\(\therefore k=6\)
উত্তর ঃ (খ)
৩। \(x^2-y^2=18\) অধিবৃত্তের ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব কত?
\(\Rightarrow \frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(3\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{(3\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=3\sqrt{2}, \ b=3\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{18}{18}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times3\sqrt{2}\times\sqrt{2}|\)
\(=12\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(2\sqrt{2}\)
গ \(3\)
গ \(3\)
খ \(12\)
ঘ \(\sqrt{2}\)
\(x^2-y^2=18\)ঘ \(\sqrt{2}\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{18}-\frac{y^2}{18}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{(3\sqrt{2})^2}-\frac{y^2}{(3\sqrt{2})^2}=1\)
এখানে, \(a=3\sqrt{2}, \ b=3\sqrt{2}\)
উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1+\frac{18}{18}}\)
\(=\sqrt{1+1}\)
\(=\sqrt{2}\)
ফোকাসদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব \(=|2ae|\)
\(=|2\times3\sqrt{2}\times\sqrt{2}|\)
\(=12\)
উত্তর ঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ৪ ও ৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \((2\cos{\theta}, \sqrt{3}\sin{\theta})\)
৪। সঞ্চারপথটি কী নির্দেশ করে? কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \((2\cos{\theta}, \sqrt{3}\sin{\theta})\)
ক পরাবৃত্ত
গ বৃত্ত
গ বৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ অধিবৃত্ত
কোনো বিন্দুর পরামিতিক স্থানাংক \((2\cos{\theta}, \sqrt{3}\sin{\theta})\)ঘ অধিবৃত্ত
\(\Rightarrow 2\cos{\theta}=x, \ \sqrt{3}\sin{\theta}=y\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\frac{x}{2}, \ \sin{\theta}=\frac{y}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow \sin^2{\theta}+\cos^2{\theta}=\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{4}\)
\(\Rightarrow 1=\frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{3}+\frac{x^2}{4}=1\)
\(\therefore \frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
যা একটি উপবৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তর ঃ (খ)
৫। কেন্দ্রের স্থানাংক কত?
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক, \((0, 0)\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \((2, \sqrt{3})\)
গ \((2, 0)\)
গ \((2, 0)\)
খ \((0, 0)\)
ঘ \((0, \sqrt{3})\)
'৪' নং হতে প্রাপ্ত উপবৃত্তের সমীকরণ,ঘ \((0, \sqrt{3})\)
\(\frac{x^2}{2^2}+\frac{y^2}{(\sqrt{3})^2}=1\)
উপবৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাংক, \((0, 0)\)
উত্তর ঃ (খ)
৬। \(x^2-4x+12y-32=0\) পরাবৃত্তের-
\(i.\) উপকেন্দ্র \((2, -6)\)
\(ii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=6\)
\(iii.\) শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow x^2-4x+4-4+12y-32=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+12y-36=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
ধরি, \(x-2=X, \ y-3=Y\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\)
এখানে, \(4a=-12\)
\(\therefore a=-3\)
উপকেন্দ্রে \(X=0, \ Y=a\)
\(\Rightarrow x-2=0, \ y-3=-3\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((2, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(Y=-a\)
\(\Rightarrow y-3=-(-3)\)
\(\Rightarrow y=3+3\)
\(\therefore y=6\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
শীর্ষবিন্দুতে, \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y-3=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=3\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) \(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (গ)
\(i.\) উপকেন্দ্র \((2, -6)\)
\(ii.\) নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(y=6\)
\(iii.\) শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(x^2-4x+12y-32=0\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow x^2-4x+4-4+12y-32=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^2+12y-36=0\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12y+36\)
\(\Rightarrow (x-2)^2=-12(y-3)\)
ধরি, \(x-2=X, \ y-3=Y\)
\(\Rightarrow X^2=-12Y\)
এখানে, \(4a=-12\)
\(\therefore a=-3\)
উপকেন্দ্রে \(X=0, \ Y=a\)
\(\Rightarrow x-2=0, \ y-3=-3\)
\(\Rightarrow x=2, \ y=0\)
\(\therefore\) উপকেন্দ্র \((2, 0)\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য নয়।
নিয়ামক রেখার সমীকরণ \(Y=-a\)
\(\Rightarrow y-3=-(-3)\)
\(\Rightarrow y=3+3\)
\(\therefore y=6\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
শীর্ষবিন্দুতে, \(X=0, Y=0\)
\(\Rightarrow x-2=0, y-3=0\)
\(\Rightarrow x=2, y=3\)
\(\therefore\) শীর্ষবিন্দু \((2, 3)\) \(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (গ)
৭। \(\tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\) কত? যখন \((xy\gt{1})\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}+\pi\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}\)
গ \(\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}+\pi\)
গ \(\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}+\pi\)
খ \(\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}-\pi\)
ঘ \(\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}+\frac{\pi}{2}\)
\((xy\gt{1})\)ঘ \(\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}+\frac{\pi}{2}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}+\tan^{-1}{y}=\tan^{-1}{\frac{x+y}{1-xy}}+\pi\)
উত্তর ঃ (গ)
৮। ভূমির \(150\) মিটার উঁচু একটি স্থান হতে একটি ভারী বস্তুকে ছেড়ে দোওয়া হলো। ভূমিতে পতনের সময় বেগ কত হবে?
এখানে, \(u=0, \ h=150, \ g=9.8\)
এখন, \(v^2=u^2+2gh\)
\(\Rightarrow v^2=0^2+2\times9.8\times150\)
\(\Rightarrow v^2=2940\)
\(\Rightarrow v=\sqrt{2940}\)
\(\therefore v=54.2\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(29.4\) মি./সে.
গ \(5.53\) মি./সে.
গ \(5.53\) মি./সে.
খ \(54.2\) মি./সে.
ঘ \(14.2\) মি./সে.
ভূমির \(150\) মিটার উঁচু একটি স্থান হতে একটি ভারী বস্তুকে ছেড়ে দোওয়া হলো।ঘ \(14.2\) মি./সে.
এখানে, \(u=0, \ h=150, \ g=9.8\)
এখন, \(v^2=u^2+2gh\)
\(\Rightarrow v^2=0^2+2\times9.8\times150\)
\(\Rightarrow v^2=2940\)
\(\Rightarrow v=\sqrt{2940}\)
\(\therefore v=54.2\)
উত্তর ঃ (খ)
৯। কোনো বিন্দুতে ক্রিয়ারত \(P\) ও \(Q\) বল দুইটি তাদের লব্ধি \(R\) বলের উভয় দিকে যথাক্রমে \(30^{o}\) ও \(60^{o}\) কোণে আনত। বলদ্বয়ের অনুপাত কত?
লব্ধি \(R, \ P\) বলের সাথে \(30^{o}\) কোণ করে।
তাহলে, \(\tan{30^{o}}=\frac{Q\sin{90^{o}}}{P+Q\cos{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q.1}{P+Q.0}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q}{P}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{P}{Q}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(\therefore P:Q=\sqrt{3}:1\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(1:\sqrt{3}\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}:1\)
গ \(\frac{\sqrt{3}}{2}:1\)
খ \(\sqrt{3}:1\)
ঘ \(\frac{1}{2}:\sqrt{3}\)
শর্তমতে, বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(=(30^{o}+60^{o})=90^{o}\)ঘ \(\frac{1}{2}:\sqrt{3}\)
লব্ধি \(R, \ P\) বলের সাথে \(30^{o}\) কোণ করে।
তাহলে, \(\tan{30^{o}}=\frac{Q\sin{90^{o}}}{P+Q\cos{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q.1}{P+Q.0}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q}{P}\)
\(\Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{1}=\frac{P}{Q}\)
\(\Rightarrow \frac{P}{Q}=\frac{\sqrt{3}}{1}\)
\(\therefore P:Q=\sqrt{3}:1\)
উত্তর ঃ (খ)
১০। \(2N\) ও \(2\sqrt{3}N\) মানের বলদ্বয় \(30^{o}\) কোণে ক্রিয়ারত। \(2N\) মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি কত?
\(=2\cos{0^{o}}+2\sqrt{3}\cos{30^{o}}\)
\(=2\times1+2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=2+3\)
\(=5\)
\(\therefore\) বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি \(5N\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(4\sqrt{3}N\)
গ \(7N\)
গ \(7N\)
খ \(5N\)
ঘ \((\sqrt{3}+2)N\)
\(2N\) মানের বল বরাবর বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টিঘ \((\sqrt{3}+2)N\)
\(=2\cos{0^{o}}+2\sqrt{3}\cos{30^{o}}\)
\(=2\times1+2\sqrt{3}\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=2+3\)
\(=5\)
\(\therefore\) বলদ্বয়ের লম্বাংশের সমষ্টি \(5N\)
উত্তর ঃ (খ)
১১। \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংক কত? \((a\gt{b})\)
\((\pm{ae}, 0)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{a\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{\sqrt{a^2\times1-a^2\times\frac{b^2}{a^2}}}, 0\right)\)
\(\therefore \left(\pm{\sqrt{a^2-b^2}}, 0\right)\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(\left(\pm{\sqrt{a^2+b^2}}, 0\right)\)
গ \(\left(\pm{\frac{a}{e}}, 0\right)\)
গ \(\left(\pm{\frac{a}{e}}, 0\right)\)
খ \(\left(\pm{\sqrt{a^2-b^2}}, 0\right)\)
ঘ \(\left(0, \pm{ae}\right)\)
\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1; \ (a\gt{b})\) উপবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাংকঘ \(\left(0, \pm{ae}\right)\)
\((\pm{ae}, 0)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{a\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}}, 0\right)\)
\(\Rightarrow \left(\pm{\sqrt{a^2\times1-a^2\times\frac{b^2}{a^2}}}, 0\right)\)
\(\therefore \left(\pm{\sqrt{a^2-b^2}}, 0\right)\)
উত্তর ঃ (খ)
১২। \(P\) ও \(Q, \ (P\gt{Q})\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(alpha\) এবং এদের লব্ধি \(R\) হলে-
\(i.\) \(P=Q\) হলে, \(R=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(ii.\) \(\alpha=90^{o}\) হলে, \(\tan{\theta}=\frac{Q}{P}\)
\(iii.\) লব্ধি \(R, \ Q\) বলের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করলে \(\cos{\alpha}=-\frac{Q}{P}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}}\) যেহেতু \(P=Q\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{2P^2(1+\cos{\alpha})}\)
\(=\sqrt{2P^2\times2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=\sqrt{4P^2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore R=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধি \(R, \ P\) বলের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে এবং \(\alpha=90^{o}\) হলে,
\(\tan{\theta}=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(=\frac{Q\sin{90^{o}}}{P+Q\cos{90^{o}}}\)
\(=\frac{Q.1}{P+Q.0}\)
\(=\frac{Q}{P}\)
\(\therefore \tan{\theta}=\frac{Q}{P}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধি \(R, \ Q\) বলের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করলে,
\(\tan{90^{o}}=\frac{P\sin{\alpha}}{Q+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{P\sin{\alpha}}{Q+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow Q+P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow P\cos{\alpha}=-Q\)
\(\therefore \cos{\alpha}=-\frac{Q}{P}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)
\(i.\) \(P=Q\) হলে, \(R=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(ii.\) \(\alpha=90^{o}\) হলে, \(\tan{\theta}=\frac{Q}{P}\)
\(iii.\) লব্ধি \(R, \ Q\) বলের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করলে \(\cos{\alpha}=-\frac{Q}{P}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(P\) ও \(Q, \ (P\gt{Q})\) বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ \(alpha\) এবং এদের লব্ধি \(R\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow R=\sqrt{P^2+Q^2+2PQ\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{P^2+P^2+2P.P\cos{\alpha}}\) যেহেতু \(P=Q\)
\(=\sqrt{2P^2+2P^2\cos{\alpha}}\)
\(=\sqrt{2P^2(1+\cos{\alpha})}\)
\(=\sqrt{2P^2\times2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=\sqrt{4P^2\cos^2{\frac{\alpha}{2}}}\)
\(=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore R=2P\cos{\frac{\alpha}{2}}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধি \(R, \ P\) বলের সাথে \(\theta\) কোণ উৎপন্ন করলে এবং \(\alpha=90^{o}\) হলে,
\(\tan{\theta}=\frac{Q\sin{\alpha}}{P+Q\cos{\alpha}}\)
\(=\frac{Q\sin{90^{o}}}{P+Q\cos{90^{o}}}\)
\(=\frac{Q.1}{P+Q.0}\)
\(=\frac{Q}{P}\)
\(\therefore \tan{\theta}=\frac{Q}{P}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
লব্ধি \(R, \ Q\) বলের সাথে সমকোণ উৎপন্ন করলে,
\(\tan{90^{o}}=\frac{P\sin{\alpha}}{Q+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{P\sin{\alpha}}{Q+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow Q+P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow P\cos{\alpha}=-Q\)
\(\therefore \cos{\alpha}=-\frac{Q}{P}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (ঘ)
১৩। \(z=3-4i\) এবং \(\sqrt{z}=x-iy\) হলে, নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow \sqrt{3-4i}=x-iy\)
\(\Rightarrow x-iy=\sqrt{3-4i}\)
\(\Rightarrow (x-iy)^2=3-4i\)
\(\Rightarrow x^2-2xyi+i^2y^2=3-4i\)
\(\Rightarrow x^2-2xyi-y^2=3-4i\) যেহেতু \(i^2=-1\)
\(\Rightarrow x^2-y^2-2xyi=3-4i\)
বাস্তব অংশের সমতা নিয়ে,
\(\therefore x^2-y^2=3\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(x^2-y^2=5\)
গ \(x^2-y^2=3\)
গ \(x^2-y^2=3\)
খ \(x^2+y^2=5\)
ঘ \(x^2-y^2=4\)
\(z=3-4i\) এবং \(\sqrt{z}=x-iy\)ঘ \(x^2-y^2=4\)
\(\Rightarrow \sqrt{3-4i}=x-iy\)
\(\Rightarrow x-iy=\sqrt{3-4i}\)
\(\Rightarrow (x-iy)^2=3-4i\)
\(\Rightarrow x^2-2xyi+i^2y^2=3-4i\)
\(\Rightarrow x^2-2xyi-y^2=3-4i\) যেহেতু \(i^2=-1\)
\(\Rightarrow x^2-y^2-2xyi=3-4i\)
বাস্তব অংশের সমতা নিয়ে,
\(\therefore x^2-y^2=3\)
উত্তর ঃ (গ)
১৪। যদি \(z=x+iy, \ z_{1}=x_{1}+iy_{1}, \ z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) তিনটি জটিল সংখ্যা হয় তবে-
\(i.\) \(Re(z)\le{|z|}\)
\(ii.\) \(arg(z_{1}z_{2})\le{arg(z_{1})+arg(z_{2})}\)
\(iii.\) \(|z_{1}-z_{2}|\le{|z_{1}|-|z_{2}|}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\Rightarrow Re(z)=x\)
আবার, \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow Re(z)\le{|z|}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(z_{1}=x_{1}+iy_{1}, \ z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(arg(z_{1}z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2})\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(z_{1}=x_{1}+iy_{1}, \ z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(|z_{1}-z_{2}|\le{|z_{1}|-|z_{2}|}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (খ)
\(i.\) \(Re(z)\le{|z|}\)
\(ii.\) \(arg(z_{1}z_{2})\le{arg(z_{1})+arg(z_{2})}\)
\(iii.\) \(|z_{1}-z_{2}|\le{|z_{1}|-|z_{2}|}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(z=x+iy\) একটি জটিল সংখ্যাঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\Rightarrow Re(z)=x\)
আবার, \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\)
\(\Rightarrow Re(z)\le{|z|}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(z_{1}=x_{1}+iy_{1}, \ z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(arg(z_{1}z_{2})=arg(z_{1})+arg(z_{2})\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(z_{1}=x_{1}+iy_{1}, \ z_{2}=x_{2}+iy_{2}\) দুইটি জটিল সংখ্যা
তাহলে, \(|z_{1}-z_{2}|\le{|z_{1}|-|z_{2}|}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তর ঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৫ ও ১৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(p=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\) একটি জটিল সংখ্যা।
১৫। \((p+\overline{p})^2=\) কত?\(p=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\) একটি জটিল সংখ্যা।
ক \(1\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(p\)
ঘ \(\overline{p}\)
\(p=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})=\omega\) একটি জটিল সংখ্যা।ঘ \(\overline{p}\)
\(\Rightarrow \overline{p}=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})=\omega^2\)
এখন, \((p+\overline{p})^2\)
\(=(\omega+\omega^2)^2\)
\(=(1+\omega+\omega^2-1)^2\)
\(=(0-1)^2\) যেহেতু \(1+\omega+\omega^2=0\)
\(=1\)
উত্তর ঃ (ক)
১৬। \(\sqrt{p^2+\overline{p}^2}=\) কত?
\(\Rightarrow \overline{p}=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})=\omega^2\)
এখন, \(\sqrt{p^2+\overline{p}^2}\)
\(=\sqrt{\omega^2+(\omega^2)^2}\)
\(=\sqrt{\omega^2+\omega^4}\)
\(=\sqrt{\omega^2+\omega^3.\omega}\)
\(=\sqrt{\omega^2+1.\omega}\) যেহেতু \(\omega^3=1\)
\(=\sqrt{\omega^2+\omega}\)
\(=\sqrt{1+\omega+\omega^2-1}\)
\(=\sqrt{0-1}\) যেহেতু \(1+\omega+\omega^2=0\)
\(=\sqrt{-1}\)
\(=i\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(i\)
গ \(-1\)
গ \(-1\)
খ \(-i\)
ঘ \(1\)
\(p=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})=\omega\) একটি জটিল সংখ্যা।ঘ \(1\)
\(\Rightarrow \overline{p}=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})=\omega^2\)
এখন, \(\sqrt{p^2+\overline{p}^2}\)
\(=\sqrt{\omega^2+(\omega^2)^2}\)
\(=\sqrt{\omega^2+\omega^4}\)
\(=\sqrt{\omega^2+\omega^3.\omega}\)
\(=\sqrt{\omega^2+1.\omega}\) যেহেতু \(\omega^3=1\)
\(=\sqrt{\omega^2+\omega}\)
\(=\sqrt{1+\omega+\omega^2-1}\)
\(=\sqrt{0-1}\) যেহেতু \(1+\omega+\omega^2=0\)
\(=\sqrt{-1}\)
\(=i\)
উত্তর ঃ (ক)
১৭। \(x^2+ax+b=0\) এবং \(x^2+bx+a=0\) সমীকরণের একটি সাধারণ মূল থাকলে, \(a+b=\) কত?
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x^2+ax+b-x^2-bx-a=0\)
\(\Rightarrow ax-bx=a-b\)
\(\Rightarrow x(a-b)=a-b\)
\(\therefore x=1, \ \because a-b\ne{0}\)
\(x=1, \ (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1^2+a.1+b=0\)
\(\Rightarrow 1+a+b=0\)
\(\therefore a+b=-1\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(0\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(-1\)
ঘ \(\infty\)
ধরি, \(x^2+ax+b=0 ....(1)\) এবং \(x^2+bx+a=0 .....(2)\) সমীকরণের সাধারণ মূলটি \(x\)ঘ \(\infty\)
\((1)-(2)\) এর সাহায্যে,
\(\Rightarrow x^2+ax+b-x^2-bx-a=0\)
\(\Rightarrow ax-bx=a-b\)
\(\Rightarrow x(a-b)=a-b\)
\(\therefore x=1, \ \because a-b\ne{0}\)
\(x=1, \ (1)\) নং সমীকরণে বসিয়ে,
\(1^2+a.1+b=0\)
\(\Rightarrow 1+a+b=0\)
\(\therefore a+b=-1\)
উত্তর ঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকের আলোকে ১৮ ও ১৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\sqrt{-3}+5i^2\)
১৮। অপর মূলটি কত?একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\sqrt{-3}+5i^2\)
ক \(\sqrt{3}-5i^2\)
গ \(-5-\sqrt{3}i\)
গ \(-5-\sqrt{3}i\)
খ \(\sqrt{3}+5i^2\)
ঘ \(-5+\sqrt{3}i\)
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের একটি মূল \(\sqrt{-3}+5i^2\)ঘ \(-5+\sqrt{3}i\)
\(=\sqrt{3i^2}-5, \ \because i^2=-1\)
\(=\sqrt{3}i-5\)
\(=-5+\sqrt{3}i\)
সমীকরণের অপর মূলটি \(=-5-\sqrt{3}i\) যেহেতু দ্বিঘাত সমীকরণের জটিল মূলদ্বয় পরস্পর অনুবন্ধী যুগল।
উত্তর ঃ (গ)
১৯। দ্বিঘাত সমীকরণ কোনটি?
সমীকরণ \(x^2-(-5+\sqrt{3}i-5-\sqrt{3}i)x+(-5+\sqrt{3}i)(-5-\sqrt{3}i)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-10)x+(-5)^2-(\sqrt{3}i)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25-3i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25+3=0, \ \because i^2=-1\)
\(\therefore x^2+10x+28=0\)
উত্তর ঃ (ঘ)
ক \(x^2-9x+20=0\)
গ \(x^2-10x-28=0\)
গ \(x^2-10x-28=0\)
খ \(x^2+9x-28=0\)
ঘ \(x^2+10x+28=0\)
দ্বিঘাত সমীকরণের মূলদ্বয় \(-5+\sqrt{3}i, \ -5-\sqrt{3}i\)ঘ \(x^2+10x+28=0\)
সমীকরণ \(x^2-(-5+\sqrt{3}i-5-\sqrt{3}i)x+(-5+\sqrt{3}i)(-5-\sqrt{3}i)=0\)
\(\Rightarrow x^2-(-10)x+(-5)^2-(\sqrt{3}i)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25-3i^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+10x+25+3=0, \ \because i^2=-1\)
\(\therefore x^2+10x+28=0\)
উত্তর ঃ (ঘ)
২০। \(\cos^{-1}{\left\{\cos{\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}=\) কত?
\(=\cos^{-1}{\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}, \ \because \cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(=\frac{\pi}{3}\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(-\frac{\pi}{3}\)
গ \(\frac{2\pi}{3}\)
গ \(\frac{2\pi}{3}\)
খ \(\frac{\pi}{3}\)
ঘ \(-\frac{2\pi}{3}\)
\(\cos^{-1}{\left\{\cos{\left(-\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}\)ঘ \(-\frac{2\pi}{3}\)
\(=\cos^{-1}{\left\{\cos{\left(\frac{\pi}{3}\right)}\right\}}, \ \because \cos{(-\theta)}=\cos{\theta}\)
\(=\frac{\pi}{3}\)
উত্তর ঃ (খ)
২১। বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে-
\(i.\) \(\sin^{-1}{(-x)}=-\sin^{-1}{x}, \ (-1\le{x}\le{1})\)
\(ii.\) \(\sin^{-1}{\left\{\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\right\}}=\frac{3\pi}{4}\)
\(iii.\) \(\sec^{-1}{(-x)}=\pi-\sec^{-1}{x}, \ (|x|\ge{1})\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\sin^{-1}{(-x)}=-\sin^{-1}{x}, \ (-1\le{x}\le{1})\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\sin^{-1}{\left\{\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\right\}}=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\sec^{-1}{(-x)}=\sec^{-1}{x}, \ (|x|\ge{1})\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (খ)
\(i.\) \(\sin^{-1}{(-x)}=-\sin^{-1}{x}, \ (-1\le{x}\le{1})\)
\(ii.\) \(\sin^{-1}{\left\{\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\right\}}=\frac{3\pi}{4}\)
\(iii.\) \(\sec^{-1}{(-x)}=\pi-\sec^{-1}{x}, \ (|x|\ge{1})\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
বিপরীত বৃত্তীয় ফাংশনের ক্ষেত্রে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\sin^{-1}{(-x)}=-\sin^{-1}{x}, \ (-1\le{x}\le{1})\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\sin^{-1}{\left\{\sin{\left(\frac{3\pi}{4}\right)}\right\}}=\frac{3\pi}{4}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\sec^{-1}{(-x)}=\sec^{-1}{x}, \ (|x|\ge{1})\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তর ঃ (খ)
২২। \(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\) হলে, \(\theta\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তর ঃ (ক)
ক \(n\pi+(-1)^{n}\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi\pm\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
গ \(n\pi\pm\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
খ \(n\pi\pm(-1)^{n}\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
ঘ \(n\pi-(-1)^{n}\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\sin{\theta}=\sin{\alpha}\)ঘ \(n\pi-(-1)^{n}\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi+(-1)^{n}\alpha, \ n\in{\mathbb{Z}}\)
উত্তর ঃ (ক)
২৩। \(\sin{\theta}+\cos{\theta}\) এর বৃহত্তম মান কত?
\(\Rightarrow \frac{dy}{d\theta}=\cos{\theta}-\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{d\theta^2}=-\sin{\theta}-\cos{\theta}\)
বৃহত্তম মানের জন্য \(\frac{dy}{d\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\sin{\theta}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{4}\)
এখন, \(\theta=\frac{\pi}{4}\) বিন্দুতে \(\frac{d^2y}{d\theta^2}=-\sin{\frac{\pi}{4}}-\cos{\frac{\pi}{4}}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=-\frac{2}{\sqrt{2}}\lt{0}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{4}\) বিন্দুতে \(\sin{\theta}+\cos{\theta}\) এর বৃহত্তম মান আছে।
এর বৃহত্তম মান \(=\sin{\frac{\pi}{4}}+\cos{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(+\sqrt{2}+1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(\sqrt{2}\)
ঘ \(2\)
ধরি, \(y=\sin{\theta}+\cos{\theta}\)ঘ \(2\)
\(\Rightarrow \frac{dy}{d\theta}=\cos{\theta}-\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{d^2y}{d\theta^2}=-\sin{\theta}-\cos{\theta}\)
বৃহত্তম মানের জন্য \(\frac{dy}{d\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}-\sin{\theta}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\sin{\theta}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{4}\)
এখন, \(\theta=\frac{\pi}{4}\) বিন্দুতে \(\frac{d^2y}{d\theta^2}=-\sin{\frac{\pi}{4}}-\cos{\frac{\pi}{4}}\)
\(=-\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=-\frac{2}{\sqrt{2}}\lt{0}\)
\(\therefore \theta=\frac{\pi}{4}\) বিন্দুতে \(\sin{\theta}+\cos{\theta}\) এর বৃহত্তম মান আছে।
এর বৃহত্তম মান \(=\sin{\frac{\pi}{4}}+\cos{\frac{\pi}{4}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{2}{\sqrt{2}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}.\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\)
\(=\sqrt{2}\)
উত্তর ঃ (খ)
২৪। একটি প্রক্ষেপকের বৃহত্তম পাল্লা আনুভূমিক পাল্লার দ্বিগুণ হলে প্রক্ষেপ কোণ কত?
শর্তমতে, \(\frac{u^2}{g}=2\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\Rightarrow 1=2\sin{2\alpha}\)
\(\Rightarrow 2\sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{30^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=30^{o}\)
\(\therefore \alpha=15^{o}\)
আমরা জানি, একটি প্রক্ষেপকের নির্দিষ্ট পাল্লার জন্য দুইটি নিক্ষেপণ কোণ থাকে। এদের একটি \(\alpha\) হলে, অপরটি \(90^{o}-\alpha\) হবে।
প্রক্ষেপ কোণ \(15^{o}\) অথবা \(90^{o}-15^{o}\)
\(\therefore 15^{o}\) অথবা \(75^{o}\)
উত্তর ঃ (খ)
ক \(30^{o}\) অথবা \(150^{o}\)
গ \(15^{o}\) অথবা \(60^{o}\)
গ \(15^{o}\) অথবা \(60^{o}\)
খ \(15^{o}\) অথবা \(75^{o}\)
ঘ \(30^{o}\) অথবা \(75^{o}\)
ধরি, প্রক্ষেপ কোণ \(\alpha\)ঘ \(30^{o}\) অথবা \(75^{o}\)
শর্তমতে, \(\frac{u^2}{g}=2\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\Rightarrow 1=2\sin{2\alpha}\)
\(\Rightarrow 2\sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{30^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=30^{o}\)
\(\therefore \alpha=15^{o}\)
আমরা জানি, একটি প্রক্ষেপকের নির্দিষ্ট পাল্লার জন্য দুইটি নিক্ষেপণ কোণ থাকে। এদের একটি \(\alpha\) হলে, অপরটি \(90^{o}-\alpha\) হবে।
প্রক্ষেপ কোণ \(15^{o}\) অথবা \(90^{o}-15^{o}\)
\(\therefore 15^{o}\) অথবা \(75^{o}\)
উত্তর ঃ (খ)
২৫। একজন খেলোয়াড় পেনাল্টি শট করার জন্য \(14 m s^{-1}\) বেগে একটি বল শট করলেন এবং তা \(10\) মিটার দূরে কোনোরকমে বারের উপর দিয়ে আনুভূমিকভাবে অতিক্রম করল। বল শট করার সময় প্রক্ষেপ কোণ কত ছিল?
এখানে, \(u=14 m s^{-1}, \ g=9.8,\) অর্ধ আনুভূমিক পাল্লা \(\frac{R}{2}=10\)
\(\Rightarrow R=20\)
\(\Rightarrow \frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}=20\)
\(\Rightarrow \frac{14^2\sin{2\alpha}}{9.8}=20\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\frac{20\times9.8}{14^2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\frac{196}{196}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তর ঃ (গ)
ক \(30^{o}\)
গ \(45^{o}\)
গ \(45^{o}\)
খ \(40^{o}\)
ঘ \(60^{o}\)
ধরি, প্রক্ষেপ কোণ \(\alpha\) ঘ \(60^{o}\)
এখানে, \(u=14 m s^{-1}, \ g=9.8,\) অর্ধ আনুভূমিক পাল্লা \(\frac{R}{2}=10\)
\(\Rightarrow R=20\)
\(\Rightarrow \frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}=20\)
\(\Rightarrow \frac{14^2\sin{2\alpha}}{9.8}=20\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\frac{20\times9.8}{14^2}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\frac{196}{196}\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{2\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\Rightarrow 2\alpha=90^{o}\)
\(\therefore \alpha=45^{o}\)
উত্তর ঃ (গ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000005