শিক্ষা বোর্ড ঢাকা - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\sqrt{2}x^2+3x+1=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\alpha, \ \beta\) হলে, \(\frac{1}{\alpha}\) ও \(\frac{1}{\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ হবে-
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{3}{\sqrt{2}}, \ \alpha\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{\alpha}\) ও \(\frac{1}{\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ \(x^2-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)x+\frac{1}{\alpha}\times\frac{1}{\beta}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}x+\frac{1}{\alpha\beta}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{-\frac{3}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}x+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=0\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{3}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{1}x+\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x^2+3x+\sqrt{2}=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\sqrt{2}x^2-3x+1=0\)
গ \(x^2+3x+\sqrt{2}=0\)
গ \(x^2+3x+\sqrt{2}=0\)
খ \(\sqrt{2}x^2+3x-1=0\)
ঘ \(x^2-3x+\sqrt{2}=0\)
\(\sqrt{2}x^2+3x+1=0\) সমীকরণের মূল দুইটি \(\alpha, \ \beta\)ঘ \(x^2-3x+\sqrt{2}=0\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-\frac{3}{\sqrt{2}}, \ \alpha\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
\(\frac{1}{\alpha}\) ও \(\frac{1}{\beta}\) মূলবিশিষ্ট সমীকরণ \(x^2-\left(\frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}\right)x+\frac{1}{\alpha}\times\frac{1}{\beta}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}x+\frac{1}{\alpha\beta}=0\)
\(\Rightarrow x^2-\frac{-\frac{3}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}x+\frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=0\)
\(\Rightarrow x^2+\frac{3}{\sqrt{2}}\times\frac{\sqrt{2}}{1}x+\sqrt{2}=0\)
\(\therefore x^2+3x+\sqrt{2}=0\)
উত্তরঃ (গ)
২। সরল পথে স্থিতাবস্থা হতে সমত্বরণে চলমান একটি বস্তুকণা \(5\)ম সেকেন্ডে \(18 m\) মিটার পথ অতিক্রম করে। \(10\) সেকেন্ডে এর অতিক্রান্ত দূরত্ব-
এখন, \(u+\frac{1}{2}a(2\times5-1)=18\)
\(\Rightarrow 0+\frac{1}{2}a(10-1)=18\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}a(9)=18\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}a=18\)
\(\Rightarrow a=18\times\frac{2}{9}\)
\(\therefore a=4\)
\(10\) সেকেন্ডে এর অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=0.10+\frac{1}{2}a.10^2\)
\(=0+\frac{1}{2}\times4\times100\)
\(=2\times100\)
\(=200 m\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(100 m\)
গ \(200 m\)
গ \(200 m\)
খ \(150 m\)
ঘ \(250 m\)
এখানে, \(u=0, \ S_{5}=18\) ঘ \(250 m\)
এখন, \(u+\frac{1}{2}a(2\times5-1)=18\)
\(\Rightarrow 0+\frac{1}{2}a(10-1)=18\)
\(\Rightarrow \frac{1}{2}a(9)=18\)
\(\Rightarrow \frac{9}{2}a=18\)
\(\Rightarrow a=18\times\frac{2}{9}\)
\(\therefore a=4\)
\(10\) সেকেন্ডে এর অতিক্রান্ত দূরত্ব \(s=0.10+\frac{1}{2}a.10^2\)
\(=0+\frac{1}{2}\times4\times100\)
\(=2\times100\)
\(=200 m\)
উত্তরঃ (গ)
৩। একটি স্তম্ভের শীর্ষ হতে \(u ms^{-1}\) বেগে খাড়া উপরে নিক্ষিপ্ত পাথর \(10\) সেকেন্ডে মাটিতে \(58 ms^{-1}\) বেগে পড়ে। \(u\) এর মান হলো-
তাহলে, \(v=u-gt\)
\(\Rightarrow 58=u-9.8\times10\)
\(\Rightarrow 58=u-98\)
\(\Rightarrow 58+98=u\)
\(\Rightarrow u=58+98\)
\(\therefore u=156 ms^{-1}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(156 ms^{-1}\)
গ \(40 ms^{-1}\)
গ \(40 ms^{-1}\)
খ \(48.2 ms^{-1}\)
ঘ \(30 ms^{-1}\)
এখানে, শেষবেগ \(v=58 ms^{-1}, \ t=10, \ g=9.8ms^{-2}\)ঘ \(30 ms^{-1}\)
তাহলে, \(v=u-gt\)
\(\Rightarrow 58=u-9.8\times10\)
\(\Rightarrow 58=u-98\)
\(\Rightarrow 58+98=u\)
\(\Rightarrow u=58+98\)
\(\therefore u=156 ms^{-1}\)
উত্তরঃ (ক)
৪। \(9.8 ms^{-1}\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(30^{o}\) কোণে প্রক্ষিপ্ত একটি প্রক্ষেপকের-
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(1.22 m\)
\(ii.\) বিচরণকাল \(1 s\)
\(iii.\) আনুভূমিক পাল্লা \(4.9\sqrt{3} m\)
নিচের কোনটি সঠিক?
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{9.8\times\frac{1}{4}}{2}\)
\(=\frac{9.8}{8}\)
\(=1.22 m\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times9.8\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\)
\(=1 s\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=9.8\times\sin{60^{o}}\)
\(=9.8\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=4.9\sqrt{3} m\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) সর্বাধিক উচ্চতা \(1.22 m\)
\(ii.\) বিচরণকাল \(1 s\)
\(iii.\) আনুভূমিক পাল্লা \(4.9\sqrt{3} m\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এখানে, \(u=9.8 ms^{-1}, \ \alpha=30^{o}, \ g=9.8ms^{-2}\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
সর্বাধিক উচ্চতা \(H=\frac{u^2\sin^2{\alpha}}{2g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin^2{30^{o}}}{2\times9.8}\)
\(=\frac{9.8\times\left(\frac{1}{2}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{9.8\times\frac{1}{4}}{2}\)
\(=\frac{9.8}{8}\)
\(=1.22 m\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
বিচরণকাল \(T=\frac{2u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{2\times9.8\sin{30^{o}}}{9.8}\)
\(=2\times\frac{1}{2}\)
\(=1 s\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক পাল্লা \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(=\frac{(9.8)^2\sin{(2\times30^{o})}}{9.8}\)
\(=9.8\times\sin{60^{o}}\)
\(=9.8\times\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(=4.9\sqrt{3} m\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
৫। \(y=x+c\) সরলরেখা \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করলে \(c\) এর মান-
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3, \ m=1\)
স্পর্শ করার শর্ত, \(c=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}\)
\(=\pm\sqrt{4^2.1^2+3^2}\)
\(=\pm\sqrt{16+9}\)
\(=\pm\sqrt{25}\)
\(=\pm5\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\pm3\)
গ \(\pm5\)
গ \(\pm5\)
খ \(\pm4\)
ঘ \(\pm6\)
\(y=x+c\) সরলরেখা \(9x^2+16y^2=144\) উপবৃত্তকে স্পর্শ করে,ঘ \(\pm6\)
\(\Rightarrow \frac{9x^2}{144}+\frac{16y^2}{144}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^2}{4^2}+\frac{y^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=4, \ b=3, \ m=1\)
স্পর্শ করার শর্ত, \(c=\pm\sqrt{a^2m^2+b^2}\)
\(=\pm\sqrt{4^2.1^2+3^2}\)
\(=\pm\sqrt{16+9}\)
\(=\pm\sqrt{25}\)
\(=\pm5\)
উত্তরঃ (গ)
৬। \(7x^2-9y^2+63=0\) অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য হলো-
\(\Rightarrow 7x^2-9y^2=-63\)
\(\Rightarrow 9y^2-7x^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{9y^2}{63}-\frac{7x^2}{63}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{7}-\frac{x^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{(\sqrt{7})^2}-\frac{x^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=\sqrt{7}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times9}{\sqrt{7}}\)
\(=\frac{18}{\sqrt{7}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{14}{3}\)
গ \(\frac{18}{7}\)
গ \(\frac{18}{7}\)
খ \(\frac{14}{9}\)
ঘ \(\frac{18}{\sqrt{7}}\)
\(7x^2-9y^2+63=0\)ঘ \(\frac{18}{\sqrt{7}}\)
\(\Rightarrow 7x^2-9y^2=-63\)
\(\Rightarrow 9y^2-7x^2=63\)
\(\Rightarrow \frac{9y^2}{63}-\frac{7x^2}{63}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{7}-\frac{x^2}{9}=1\)
\(\Rightarrow \frac{y^2}{(\sqrt{7})^2}-\frac{x^2}{3^2}=1\)
এখানে, \(a=3, \ b=\sqrt{7}\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=\frac{2a^2}{b}\)
\(=\frac{2\times9}{\sqrt{7}}\)
\(=\frac{18}{\sqrt{7}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৭। \(\tan{\theta}=0\) হলে, \(\theta\) এর সাধারণ সমাধান-
\(\Rightarrow \theta=n\pi\)
উত্তরঃ (খ)
ক \((2n+1)\pi\)
গ \(\pi\)
গ \(\pi\)
খ \(n\pi\)
ঘ \(0\)
\(\tan{\theta}=0\) ঘ \(0\)
\(\Rightarrow \theta=n\pi\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকটি পড় এবং ৮ ও ৯ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(15 kg\) ও \(9 kg\) ওজনের দুইটি সমান্তরাল বল \(32 cm\) ব্যবধানে ক্রিয়া করে। বৃহত্তম বল হতে এদের লব্ধির প্রয়োগ বিন্দু-
৮। যখন বল দুইটি সদৃশ-\(15 kg\) ও \(9 kg\) ওজনের দুইটি সমান্তরাল বল \(32 cm\) ব্যবধানে ক্রিয়া করে। বৃহত্তম বল হতে এদের লব্ধির প্রয়োগ বিন্দু-
ক \(12 cm\)
গ \(20 cm\)
গ \(20 cm\)
খ \(16 cm\)
ঘ কোনোটিই নয়
\(AB=32 cm\)ঘ কোনোটিই নয়
এখন, \(15.AC=9.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{9}{15}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AC+BC}=\frac{3}{3+5}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{3}{8}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{32}=\frac{3}{8}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3}{8}\times32\)
\(\therefore AC=12 cm\)
উত্তরঃ (ক)
৯। যখন বল দুইটি অসদৃশ-
এখন, \(15.AC=9.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{9}{15}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{3}{5-3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{32}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3}{2}\times32\)
\(\therefore AC=48 cm\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(16 cm\)
গ \(47 cm\)
গ \(47 cm\)
খ \(20 cm\)
ঘ কোনোটিই নয়
\(AB=32 cm\)ঘ কোনোটিই নয়
এখন, \(15.AC=9.BC\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{9}{15}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC}=\frac{3}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{BC-AC}=\frac{3}{5-3}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{AB}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow \frac{AC}{32}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow AC=\frac{3}{2}\times32\)
\(\therefore AC=48 cm\)
উত্তরঃ (ঘ)
১০। \(y^2+4x+3y-7=0\) পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য-
\(\Rightarrow y^2+3y+4x-7=0\)
\(\Rightarrow y^2+3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+4x-7=0\)
\(\Rightarrow y^2+2.\frac{3}{2}.y+\left(\frac{3}{2}\right)^2=-4x+\frac{9}{4}+7\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=-4x+\frac{9+28}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=-4x+\frac{37}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=-4\left(x-\frac{37}{16}\right)\)
এখানে, \(4a=-4\)
\(\therefore a=-1\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times-1|\)
\(=|-4|\)
\(=4\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(4\)
গ \(16\)
গ \(16\)
খ \(8\)
ঘ কোনোটিই নয়
\(y^2+4x+3y-7=0\)ঘ কোনোটিই নয়
\(\Rightarrow y^2+3y+4x-7=0\)
\(\Rightarrow y^2+3y+\frac{9}{4}-\frac{9}{4}+4x-7=0\)
\(\Rightarrow y^2+2.\frac{3}{2}.y+\left(\frac{3}{2}\right)^2=-4x+\frac{9}{4}+7\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=-4x+\frac{9+28}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=-4x+\frac{37}{4}\)
\(\Rightarrow \left(y+\frac{3}{2}\right)^2=-4\left(x-\frac{37}{16}\right)\)
এখানে, \(4a=-4\)
\(\therefore a=-1\)
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য \(=|4a|\)
\(=|4\times-1|\)
\(=|-4|\)
\(=4\)
উত্তরঃ (ক)
১১। \(y^2=4x+4y-8\) পরাবৃত্তের শীর্ষের স্থানাংক-
\(\Rightarrow y^2-4y=4x-8\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4=4x-8\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4=4x-8\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-8+4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-1)\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-1)\)
এখানে, \(4a=4\)
\(\therefore a=1\)
পরাবৃত্তের শীর্ষের স্থানাংকে \(x-1=0, \ y-2=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=2\)
শীর্ষের স্থানাংক \((1, 2)\)
উত্তরঃ (ক)
ক \((1, 2)\)
গ \((2, 2)\)
গ \((2, 2)\)
খ \((2, 1)\)
ঘ \((2, 4)\)
\(y^2=4x+4y-8\)ঘ \((2, 4)\)
\(\Rightarrow y^2-4y=4x-8\)
\(\Rightarrow y^2-4y+4-4=4x-8\)
\(\Rightarrow (y-2)^2-4=4x-8\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-8+4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4x-4\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-1)\)
\(\Rightarrow (y-2)^2=4(x-1)\)
এখানে, \(4a=4\)
\(\therefore a=1\)
পরাবৃত্তের শীর্ষের স্থানাংকে \(x-1=0, \ y-2=0\)
\(\Rightarrow x=1, \ y=2\)
শীর্ষের স্থানাংক \((1, 2)\)
উত্তরঃ (ক)
১২। \(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\) উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা হলো-
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{(\sqrt{5})^2}+\frac{(y+1)^2}{2^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{5}, \ b=2\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(\frac{3}{5}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
গ \(\frac{2}{\sqrt{5}}\)
খ \(\frac{2}{5}\)
ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\frac{(x-2)^2}{5}+\frac{(y+1)^2}{4}=1\)ঘ \(\frac{1}{\sqrt{5}}\)
\(\Rightarrow \frac{(x-2)^2}{(\sqrt{5})^2}+\frac{(y+1)^2}{2^2}=1\)
এখানে, \(a=\sqrt{5}, \ b=2\)
উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{5-4}{5}}\)
\(=\sqrt{\frac{1}{5}}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{5}}\)
উত্তরঃ (ঘ)
১৩। \(2x^2-3x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2\) হলে, অপর মূলটি হবে-
ধরি, অপর মূলটি \(\alpha\)
\(\Rightarrow \alpha+2=-\frac{-3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{3}{2}-2\)
\(=\frac{3-4}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{7}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
গ \(\frac{1}{2}\)
খ \(-\frac{1}{2}\)
ঘ \(\frac{7}{2}\)
\(2x^2-3x+k=0\) সমীকরণের একটি মূল \(2\)ঘ \(\frac{7}{2}\)
ধরি, অপর মূলটি \(\alpha\)
\(\Rightarrow \alpha+2=-\frac{-3}{2}\)
\(\Rightarrow \alpha=\frac{3}{2}-2\)
\(=\frac{3-4}{2}\)
\(=-\frac{1}{2}\)
উত্তরঃ (খ)
নিচের উদ্দীপকটি পড় এবং ১৪ ও ১৫ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(1 km\) প্রস্থ একটি নদীর স্রোতের বেগ \(2 km/h.\)
১৪। সর্বনিম্ন সময়ে পার হতে একজন সাঁতারু \(6 km/h\) বেগে কোনদিকে সাঁতার দিবে?\(1 km\) প্রস্থ একটি নদীর স্রোতের বেগ \(2 km/h.\)
ক \(15^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(30^{o}\)
ঘ \(90^{o}\)
এখানে, \(d=1 km, \ u=2 km/h, \ v=6 km/h\)ঘ \(90^{o}\)
ধরি, সাঁতারু তীরের সাথে \(\alpha\) কোণে পাড়ি দিবে।
সর্বনিম্ন সময় \(t=\frac{d}{v\sin{\alpha}}\)
\(\Rightarrow t=\frac{1}{6\sin{\alpha}}\)
\(t\) সর্বনিম্ন হবে যদি \(\sin{\alpha}\) এর মান বৃহত্তম হয়,
অর্থাৎ \(\sin{\alpha}=1\)
\(\Rightarrow \sin{\alpha}=\sin{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
১৫। নদী পার হতে সর্বনিম্ন কত সময় লাগবে?
সাঁতারু তীরের সাথে \(90^{o}\) কোণে পাড়ি দিবে।
সর্বনিম্ন সময় \(t=\frac{d}{v\sin{90^{o}}}\)
\(=\frac{d}{v\sin{90^{o}}}\)
\(=\frac{1}{6\times1} h\)
\(=\frac{1}{6}\times60 m\)
\(=10 m\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(10 m\)
গ \(30 m\)
গ \(30 m\)
খ \(15 m\)
ঘ \(45 m\)
'১৪' হতে প্রাপ্ত সর্বনিম্ন সময়ে নদী পার হতেঘ \(45 m\)
সাঁতারু তীরের সাথে \(90^{o}\) কোণে পাড়ি দিবে।
সর্বনিম্ন সময় \(t=\frac{d}{v\sin{90^{o}}}\)
\(=\frac{d}{v\sin{90^{o}}}\)
\(=\frac{1}{6\times1} h\)
\(=\frac{1}{6}\times60 m\)
\(=10 m\)
উত্তরঃ (ক)
১৬।
উপরের চিত্রে দুইটি বল \(P\) এবং \(Q\) ক্রিয়া করেছে। \(P\) এবং \(Q\) এর মান কত?
তাহলে, \(\tan{30^{o}}=\frac{Q\sin{90^{o}}}{P+Q\cos{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q.1}{P+Q.0}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q}{P}\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{3}Q .....(1)\)
আবার, \(P^2+Q^2+2PQ\ccos{90^{o}}=5^2\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2+2PQ.0=25\)
\(\Rightarrow (\sqrt{3}Q)^2+Q^2=25\)
\(\Rightarrow 3Q^2+Q^2=25\)
\(\Rightarrow 4Q^2=25\)
\(\Rightarrow Q^2=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow Q=\sqrt{\frac{25}{4}}\)
\(\therefore Q=\frac{5}{2}N\)
\((1)\) হতে,
\(P=\sqrt{3}\times\frac{5}{2}N\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{2}N\)
বলদ্বয় \(\frac{5\sqrt{3}}{2}N, \ \frac{5}{2}N\)
উত্তরঃ (গ)
উপরের চিত্রে দুইটি বল \(P\) এবং \(Q\) ক্রিয়া করেছে। \(P\) এবং \(Q\) এর মান কত?
ক \(\frac{25}{2}N, \ \frac{5\sqrt{3}}{2}N\)
গ \(\frac{5\sqrt{3}}{2}N, \ \frac{5}{2}N\)
গ \(\frac{5\sqrt{3}}{2}N, \ \frac{5}{2}N\)
খ \(\frac{5}{2}N, \ 5N\)
ঘ \(\frac{25\sqrt{3}}{2}N, \ \frac{25}{2}N\)
চিত্রে দেওয়া আছে, বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(90^{o},\) লব্ধি \(5N\) যা \(P\) বলের সাথে \(30^{o}\) করে।ঘ \(\frac{25\sqrt{3}}{2}N, \ \frac{25}{2}N\)
তাহলে, \(\tan{30^{o}}=\frac{Q\sin{90^{o}}}{P+Q\cos{90^{o}}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q.1}{P+Q.0}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{Q}{P}\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{3}Q .....(1)\)
আবার, \(P^2+Q^2+2PQ\ccos{90^{o}}=5^2\)
\(\Rightarrow P^2+Q^2+2PQ.0=25\)
\(\Rightarrow (\sqrt{3}Q)^2+Q^2=25\)
\(\Rightarrow 3Q^2+Q^2=25\)
\(\Rightarrow 4Q^2=25\)
\(\Rightarrow Q^2=\frac{25}{4}\)
\(\Rightarrow Q=\sqrt{\frac{25}{4}}\)
\(\therefore Q=\frac{5}{2}N\)
\((1)\) হতে,
\(P=\sqrt{3}\times\frac{5}{2}N\)
\(=\frac{5\sqrt{3}}{2}N\)
বলদ্বয় \(\frac{5\sqrt{3}}{2}N, \ \frac{5}{2}N\)
উত্তরঃ (গ)
১৭। দুইটি বলের লব্ধি \(12N\) যা ক্ষুদ্রতর বল \(5N\) বলের উপর লম্ব। বৃহত্তর বলটি হলো-
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{P\sin{\alpha}}{5+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{P\sin{\alpha}}{5+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 5+P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow P\cos{\alpha}=-5\)
\(\therefore \cos{\alpha}=-\frac{5}{P}\)
আবার, \(P^2+5^2+2.p.5\cos{\alpha}=12^2\)
\(\Rightarrow P^2+25+10P\times-\frac{5}{P}=144\)
\(\Rightarrow P^2+25-50=144\)
\(\Rightarrow P^2-25=144\)
\(\Rightarrow P^2=144+25\)
\(\Rightarrow P^2=169\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{169}\)
\(\therefore P=13\)
\(\therefore\) বৃহত্তর বলটি \(13N\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(7N\)
গ \(\sqrt{119}N\)
গ \(\sqrt{119}N\)
খ \(13N\)
ঘ \(17N\)
ধরি, বৃহত্তর বলটি \(P\) বলদ্বয়ের অন্তর্গত কোণ \(\alpha\)ঘ \(17N\)
তাহলে, \(\tan{90^{o}}=\frac{P\sin{\alpha}}{5+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{0}=\frac{P\sin{\alpha}}{5+P\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow 5+P\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow P\cos{\alpha}=-5\)
\(\therefore \cos{\alpha}=-\frac{5}{P}\)
আবার, \(P^2+5^2+2.p.5\cos{\alpha}=12^2\)
\(\Rightarrow P^2+25+10P\times-\frac{5}{P}=144\)
\(\Rightarrow P^2+25-50=144\)
\(\Rightarrow P^2-25=144\)
\(\Rightarrow P^2=144+25\)
\(\Rightarrow P^2=169\)
\(\Rightarrow P=\sqrt{169}\)
\(\therefore P=13\)
\(\therefore\) বৃহত্তর বলটি \(13N\)
উত্তরঃ (খ)
১৮। \(n\in{\mathbb{Z}}\) হলে-
\(i.\) \((i)^{4n}=1\)
\(ii.\) \((i)^{2n+1}=-1\)
\(iii.\) \((i)^{8n+4}=1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(n=0\) হলে \((i)^{4\times0}=(i)^{0}=1\)
\(n=1\) হলে \((i)^{4\times1}=(i)^{4}=\{i^2\}^2=\{-1\}^2=1\)
\(n=-1\) হলে \((i)^{4\times-1}=(i)^{-4}\)
\(=\{i^2\}^{-2}=\{-1\}^{-2}=\frac{1}{\{-1\}^{2}}=\frac{1}{1}=1\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(n=0\) হলে \((i)^{0+1}=(i)^{1}=i\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(n=0\) হলে \((i)^{0+4}=(i)^{4}=\{i^2\}^2=\{-1\}^2=1=1\)
\(n=1\) হলে \((i)^{8+4}=(i)^{12}=\{i^2\}^{6}=\{-1\}^6=1\)
\(n=-1\) হলে \((i)^{-8+4}=(i)^{-4}\)
\(=\{i^2\}^{-2}=\{-1\}^{-2}=\frac{1}{\{-1\}^{2}}=\frac{1}{1}=1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
\(i.\) \((i)^{4n}=1\)
\(ii.\) \((i)^{2n+1}=-1\)
\(iii.\) \((i)^{8n+4}=1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\((i)^{4n}=1\)ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(n=0\) হলে \((i)^{4\times0}=(i)^{0}=1\)
\(n=1\) হলে \((i)^{4\times1}=(i)^{4}=\{i^2\}^2=\{-1\}^2=1\)
\(n=-1\) হলে \((i)^{4\times-1}=(i)^{-4}\)
\(=\{i^2\}^{-2}=\{-1\}^{-2}=\frac{1}{\{-1\}^{2}}=\frac{1}{1}=1\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(n=0\) হলে \((i)^{0+1}=(i)^{1}=i\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(n=0\) হলে \((i)^{0+4}=(i)^{4}=\{i^2\}^2=\{-1\}^2=1=1\)
\(n=1\) হলে \((i)^{8+4}=(i)^{12}=\{i^2\}^{6}=\{-1\}^6=1\)
\(n=-1\) হলে \((i)^{-8+4}=(i)^{-4}\)
\(=\{i^2\}^{-2}=\{-1\}^{-2}=\frac{1}{\{-1\}^{2}}=\frac{1}{1}=1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (খ)
১৯। \(z=\frac{2-3i}{2+i}\) হলে, \(Re(z)=\)?
\(\Rightarrow z=\frac{(2-3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\)
\(\Rightarrow z=\frac{4-2i-6i+3i^2}{2^2-(i)^2}\)
\(\Rightarrow z=\frac{4-8i-3}{4+1}\)
\(\Rightarrow z=\frac{1-8i}{5}\)
\(\Rightarrow z=\frac{1}{5}-i\frac{8}{5}\)
\(\therefore Re(z)=-\frac{8}{5}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{8}{5}\)
গ \(\frac{1}{5}\)
গ \(\frac{1}{5}\)
খ \(-\frac{1}{5}\)
ঘ \(\frac{8}{5}\)
\(z=\frac{2-3i}{2+i}\)ঘ \(\frac{8}{5}\)
\(\Rightarrow z=\frac{(2-3i)(2-i)}{(2+i)(2-i)}\)
\(\Rightarrow z=\frac{4-2i-6i+3i^2}{2^2-(i)^2}\)
\(\Rightarrow z=\frac{4-8i-3}{4+1}\)
\(\Rightarrow z=\frac{1-8i}{5}\)
\(\Rightarrow z=\frac{1}{5}-i\frac{8}{5}\)
\(\therefore Re(z)=-\frac{8}{5}\)
উত্তরঃ (ক)
২০। \((k-2)x^2+2kx-1=0\) সমীকরণের মূলগুলো জটিল সংখ্যা হলে \(k\) এর মান-
\(\Rightarrow \{(2k)^2-4(k-2)(-1)\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{4k^2+4(k-2)\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{4k^2+4k-8\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow 4\{k^2+k-2\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k^2+k-2\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k^2+2k-k-2\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k(k+2)-1(k+2)\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow (k+2)(k-1)\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k-(-2)\}(k-1)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{k}\lt{1}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-2\le{k}\le{1}\)
গ \(-2\gt{k}\gt{1}\)
গ \(-2\gt{k}\gt{1}\)
খ \(-2\lt{k}\lt{1}\)
ঘ \(-2\ge{k}\ge{1}\)
\((k-2)x^2+2kx-1=0\) সমীকরণের মূলগুলো জটিল সংখ্যা,ঘ \(-2\ge{k}\ge{1}\)
\(\Rightarrow \{(2k)^2-4(k-2)(-1)\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{4k^2+4(k-2)\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{4k^2+4k-8\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow 4\{k^2+k-2\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k^2+k-2\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k^2+2k-k-2\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k(k+2)-1(k+2)\}\lt{0}\)
\(\Rightarrow (k+2)(k-1)\lt{0}\)
\(\Rightarrow \{k-(-2)\}(k-1)\lt{0}\)
\(\therefore -2\lt{k}\lt{1}\)
উত্তরঃ (খ)
২১। \(\sqrt{-6i}\) এর মান-
\(=\sqrt{3\times-2i}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{-2i}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{1-2i-1}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{1^2-2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{(1-i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{3}(1-i)\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\pm\sqrt{3}(1+i)\)
গ \(\pm\sqrt{3}(1-i)\)
গ \(\pm\sqrt{3}(1-i)\)
খ \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}(1+i)\)
ঘ \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}(1-i)\)
\(\sqrt{-6i}\)ঘ \(\pm\frac{\sqrt{3}}{2}(1-i)\)
\(=\sqrt{3\times-2i}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{-2i}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{1-2i-1}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{1^2-2.1.i+i^2}\)
\(=\pm\sqrt{3}\sqrt{(1-i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{3}(1-i)\)
উত্তরঃ (গ)
২২। \(3x^3-2x^2+1=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta\) এবং \(\gamma\) হলে, \(\sum{\alpha\beta}=\)?
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-2}{3}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{0}{3}\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\frac{2}{3}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=0\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=-\frac{1}{3}\)
এখন, \(\sum{\alpha\beta}\)
\(=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)
\(=0\)
\(\therefore \sum{\alpha\beta}=0\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(-\frac{1}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
গ \(\frac{2}{3}\)
খ \(0\)
ঘ \(-\frac{2}{3}\)
\(3x^3-2x^2+1=0 \Rightarrow 3x^3-2x^2+0.x+1=0\) সমীকরণের মূলগুলো \(\alpha, \ \beta\) এবং \(\gamma\)ঘ \(-\frac{2}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=-\frac{-2}{3}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=\frac{0}{3}\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=-\frac{1}{3}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta+\gamma=\frac{2}{3}\)
\(\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma=0\)
এবং \(\alpha\beta\gamma=-\frac{1}{3}\)
এখন, \(\sum{\alpha\beta}\)
\(=\alpha\beta+\beta\gamma+\alpha\gamma\)
\(=0\)
\(\therefore \sum{\alpha\beta}=0\)
উত্তরঃ (খ)
২৩। \(z=(1-i)^3\) হলে, \(arg(z)\) হবে-
\(\Rightarrow z=1^3-3.1^2.i+3.1.i^2-i^3\)
\(\Rightarrow z=1-3i+3i^2-i^3\)
\(\Rightarrow z=1-3i-3+i\)
\(\Rightarrow z=-2-2i\)
\(\Rightarrow arg(z)=\tan^{-1}{\frac{-2}{-2}}\)
\(=\tan^{-1}{1}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{4}-\pi\)
\(=\frac{\pi-4\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-\frac{3\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
গ \(\frac{\pi}{4}\)
খ \(-\frac{\pi}{4}\)
ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(z=(1-i)^3\)ঘ \(\frac{3\pi}{4}\)
\(\Rightarrow z=1^3-3.1^2.i+3.1.i^2-i^3\)
\(\Rightarrow z=1-3i+3i^2-i^3\)
\(\Rightarrow z=1-3i-3+i\)
\(\Rightarrow z=-2-2i\)
\(\Rightarrow arg(z)=\tan^{-1}{\frac{-2}{-2}}\)
\(=\tan^{-1}{1}-\pi\)
\(=\tan^{-1}{\tan{\frac{\pi}{4}}}-\pi\)
\(=\frac{\pi}{4}-\pi\)
\(=\frac{\pi-4\pi}{4}\)
\(=-\frac{3\pi}{4}\)
উত্তরঃ (ক)
২৪। \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{5}}=\)?
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{4}{5}}=2p\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sin{2p}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{2\tan{p}}{1+\tan^2{p}}\)
\(\Rightarrow 4+4\tan^2{p}=10\tan{p}\)
\(\Rightarrow 4\tan^2{p}-10\tan{p}+4=0\)
\(\Rightarrow 2(2\tan^2{p}-5\tan{p}+2)=0\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{p}-5\tan{p}+2=0\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{p}-4\tan{p}-\tan{p}+2=0\)
\(\Rightarrow 2\tan{p}(\tan{p}-2)-1(\tan{p}-2)=0\)
\(\Rightarrow (\tan{p}-2)(2\tan{p}-1)=0\)
\(\Rightarrow (\tan{p}-2)\ne{0}, \ 2\tan{p}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\tan{p}=1\)
\(\Rightarrow \tan{p}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow p=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
\(\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{5}}=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
গ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
গ \(\cos^{-1}{\left(\frac{3}{4}\right)}\)
খ \(\tan^{-1}{(2)}\)
ঘ \(\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\right)}\)
ধরি, \(\frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{5}}=p\)ঘ \(\sin^{-1}{\left(\frac{2}{5}\right)}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{4}{5}}=2p\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\sin{2p}\)
\(\Rightarrow \frac{4}{5}=\frac{2\tan{p}}{1+\tan^2{p}}\)
\(\Rightarrow 4+4\tan^2{p}=10\tan{p}\)
\(\Rightarrow 4\tan^2{p}-10\tan{p}+4=0\)
\(\Rightarrow 2(2\tan^2{p}-5\tan{p}+2)=0\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{p}-5\tan{p}+2=0\)
\(\Rightarrow 2\tan^2{p}-4\tan{p}-\tan{p}+2=0\)
\(\Rightarrow 2\tan{p}(\tan{p}-2)-1(\tan{p}-2)=0\)
\(\Rightarrow (\tan{p}-2)(2\tan{p}-1)=0\)
\(\Rightarrow (\tan{p}-2)\ne{0}, \ 2\tan{p}-1=0\)
\(\Rightarrow 2\tan{p}=1\)
\(\Rightarrow \tan{p}=\frac{1}{2}\)
\(\Rightarrow p=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
\(\therefore \frac{1}{2}\sin^{-1}{\frac{4}{5}}=\tan^{-1}{\left(\frac{1}{2}\right)}\)
উত্তরঃ (ক)
২৫। নিচের কোনটি সঠিক?
\(i.\) \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\pi\)
\(iii.\) \(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}-\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}-cosec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(ii.\) \(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\pi\)
\(iii.\) \(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\)
গ \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(i.\) ও \(ii.\)
খ \(ii.\)
ঘ \(i.\) ও \(iii.\)
\(\sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}\)ঘ \(i.\) ও \(iii.\)
\(=\frac{\pi}{2}-\cos^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sin^{-1}{x}+\cos^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}-\cot^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \tan^{-1}{x}+\cot^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
\(\sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}-cosec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}\)
\(=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore \sec^{-1}{x}+cosec^{-1}{x}=\frac{\pi}{2}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000004