শিক্ষা বোর্ড সিলেট - 2023
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
উচ্চতর গণিত ( বহুনির্বাচনি )
[2023 সালের সিলেবাস অনুযায়ী ]
দ্বিতীয় পত্র বহুনির্বাচনি
বিষয় কোডঃ 266
সময়-২৫ মিনিট
পূর্ণমান-২৫
[ দ্রষ্টব্যঃ সরবরাহকৃত বহুনির্বাচনি অভীক্ষার উত্তরপত্রে প্রশ্নের ক্রমিক নম্বরের বিপরীতে প্রদত্ত বর্ণসংবলিত বৃত্তসমুহ হতে সিঠিক/সর্বোৎকৃষ্ট উত্তরের বৃত্তটি বল পয়ন্ট কলম দ্বারা সম্পুর্ণ ভরাট কর। প্রতিটি প্রশ্নের মাণ ১। প্রশ্নপত্রে কোন প্রকার দাগ/ চিহ্ন দেওয়া যাবে না। ]
১। \(\operatorname{cosec}^{2}{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-\sec^{2}{\left(\cot^{-1}{\sqrt{3}}\right)}\) এর মান নিচের কোনটি?
\(=\operatorname{cosec}^{2}{\left(\cot^{-1}{2}\right)}-\sec^{2}{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=1+\cot^{2}{\left(\cot^{-1}{2}\right)}-1-\tan^{2}{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=1+\left\{\cot{\left(\cot^{-1}{2}\right)}\right\}^{2}-1-\left\{\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}^{2}\)
\(=2^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
\(=4-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{12-1}{3}\)
\(=\frac{11}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{11}{3}\)
গ \(\frac{35}{9}\)
গ \(\frac{35}{9}\)
খ \(\frac{13}{3}\)
ঘ \(\frac{137}{9}\)
\(\operatorname{cosec}^{2}{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{2}}\right)}-\sec^{2}{\left(\cot^{-1}{\sqrt{3}}\right)}\)ঘ \(\frac{137}{9}\)
\(=\operatorname{cosec}^{2}{\left(\cot^{-1}{2}\right)}-\sec^{2}{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=1+\cot^{2}{\left(\cot^{-1}{2}\right)}-1-\tan^{2}{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\)
\(=1+\left\{\cot{\left(\cot^{-1}{2}\right)}\right\}^{2}-1-\left\{\tan{\left(\tan^{-1}{\frac{1}{\sqrt{3}}}\right)}\right\}^{2}\)
\(=2^{2}-\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}\)
\(=4-\frac{1}{3}\)
\(=\frac{12-1}{3}\)
\(=\frac{11}{3}\)
উত্তরঃ (ক)
২। \(\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^{2}}}+\cot^{-1}{\frac{1-b^{2}}{2b}}=2\tan^{-1}{x}\) হলে \(x\) এর মান-
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^{2}}}+\tan^{-1}{\frac{2b}{1-b^{2}}}=2\tan^{-1}{x}\)
ধরি, \(\tan{\theta}=a, \ \tan{\phi}=b\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{a}, \ \phi=\tan^{-1}{b}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}}+\tan^{-1}{\frac{2\tan{\phi}}{1-\tan^{2}{\phi}}}=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{(\sin{2\theta})}+\tan^{-1}{(\tan{2\phi})}=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow 2\theta+2\phi=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow 2(\theta+\phi)=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \theta+\phi=\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{a}+\tan^{-1}{b}=\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{a}+\tan^{-1}{b}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{a+b}{1-ab}}\)
\(\therefore x=\frac{a+b}{1-ab}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(a+b\)
গ \(\frac{a-b}{1+ab}\)
গ \(\frac{a-b}{1+ab}\)
খ \(a-b\)
ঘ \(\frac{a+b}{1-ab}\)
\(\sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^{2}}}+\cot^{-1}{\frac{1-b^{2}}{2b}}=2\tan^{-1}{x}\)ঘ \(\frac{a+b}{1-ab}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2a}{1+a^{2}}}+\tan^{-1}{\frac{2b}{1-b^{2}}}=2\tan^{-1}{x}\)
ধরি, \(\tan{\theta}=a, \ \tan{\phi}=b\)
\(\Rightarrow \theta=\tan^{-1}{a}, \ \phi=\tan^{-1}{b}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{\frac{2\tan{\theta}}{1+\tan^2{\theta}}}+\tan^{-1}{\frac{2\tan{\phi}}{1-\tan^{2}{\phi}}}=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \sin^{-1}{(\sin{2\theta})}+\tan^{-1}{(\tan{2\phi})}=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow 2\theta+2\phi=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow 2(\theta+\phi)=2\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \theta+\phi=\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{a}+\tan^{-1}{b}=\tan^{-1}{x}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{a}+\tan^{-1}{b}\)
\(\Rightarrow \tan^{-1}{x}=\tan^{-1}{\frac{a+b}{1-ab}}\)
\(\therefore x=\frac{a+b}{1-ab}\)
উত্তরঃ (ঘ)
৩। \(n\) পূর্ণসংখ্যা হলে, \(\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\) সমীকরণের সমাধান কোনটি?
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{3\times3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(\frac{2}{3}n\pi-\frac{\pi}{9}\)
গ \(\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
গ \(\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
খ \(\frac{2}{3}n\pi+\frac{\pi}{9}\)
ঘ \(\frac{3}{2}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
\(\cos{3\theta}=\frac{1}{2}\)ঘ \(\frac{3}{2}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
\(\Rightarrow \cos{3\theta}=\cos{\frac{\pi}{3}}\)
\(\Rightarrow 3\theta=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\)
\(\Rightarrow \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{3\times3}\)
\(\therefore \theta=\frac{2}{3}n\pi\pm\frac{\pi}{9}\)
উত্তরঃ (গ)
৪। \(\cos{\theta}-\sin{\theta}=0\) হলে, \(\theta\) এর মান কত?
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{45^{o}}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(30^{o}\)
গ \(60^{o}\)
গ \(60^{o}\)
খ \(45^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
\(\cos{\theta}-\sin{\theta}=0\)ঘ \(120^{o}\)
\(\Rightarrow \cos{\theta}=\sin{\theta}\)
\(\Rightarrow \sin{\theta}=\cos{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{\sin{\theta}}{\cos{\theta}}=1\)
\(\Rightarrow \tan{\theta}=\tan{45^{o}}\)
\(\therefore \theta=45^{o}\)
উত্তরঃ (খ)
উপরের তথ্যের আলোকে ৫ ও ৬ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
ক \(3\)
গ \(5\)
গ \(5\)
খ \(4\)
ঘ \(6\)
চিত্রে, \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ক্রিয়ারত বলদ্বয়ের লব্ধি \(AB\) এর উপরোস্থ \(C\) বিন্দুতে ক্রিয়া করে।ঘ \(6\)
\(\therefore 6.AC=4.BC\)
\(\Rightarrow 6.AC=4.(AB-AC)\)
\(\Rightarrow 6.AC=4.AB-4.AC\)
\(\Rightarrow 6.AC+4.AC=4.AB\)
\(\Rightarrow 10.AC=4\times10\) যেহেতু \(AB=10\) মি.
\(\therefore AC=4\) মিটার
উত্তরঃ (খ)
৬। বলদ্বয় বিসদৃশ হলে লব্ধির মান কত?
\(=6-4\)
\(=2\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(1\)
গ \(4\)
গ \(4\)
খ \(2\)
ঘ \(10\)
বলদ্বয় বিসদৃশ হলে লব্ধির মান,ঘ \(10\)
\(=6-4\)
\(=2\)
উত্তরঃ (খ)
৭। কোনো বিন্দুতে \(\sqrt{5}, \ 2\) ও \(1\) একক বলত্রয় ক্রিয়া করে সাম্যাবস্থায় আছে। ক্ষুদ্রতর বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ কত?
\(2^2+1^2+2.2.1\cos{\alpha}=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow 4+1+4\cos{\alpha}=5\)
\(\Rightarrow 5+4\cos{\alpha}=5\)
\(\Rightarrow 4\cos{\alpha}=5-5\)
\(\Rightarrow 4\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(30^{o}\)
গ \(90^{o}\)
গ \(90^{o}\)
খ \(60^{o}\)
ঘ \(120^{o}\)
এখানে, ক্ষুদ্রতর বলদ্বয় \(2\) ও \(1\) এবং এদের মধ্যবর্তী কোণ \(\alpha\) হলে,ঘ \(120^{o}\)
\(2^2+1^2+2.2.1\cos{\alpha}=(\sqrt{5})^2\)
\(\Rightarrow 4+1+4\cos{\alpha}=5\)
\(\Rightarrow 5+4\cos{\alpha}=5\)
\(\Rightarrow 4\cos{\alpha}=5-5\)
\(\Rightarrow 4\cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=0\)
\(\Rightarrow \cos{\alpha}=\cos{90^{o}}\)
\(\therefore \alpha=90^{o}\)
উত্তরঃ (গ)
৮। স্রোতের বেগ \(u\) এবং নৌকার বেগ \(v\), নৌকাটি স্রোতের বিপরীত দিকে চালালে স্রোতের সাপেক্ষে নৌকাটির আপেক্ষিক বেগ কত?
\(=u+v\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(u+v\)
গ \(v\)
গ \(v\)
খ \(u-v\)
ঘ \(v-u\)
স্রোতের বেগ \(u\) এবং নৌকার বেগ \(v\), নৌকাটি স্রোতের বিপরীত দিকে চালালে স্রোতের সাপেক্ষে নৌকাটির আপেক্ষিক বেগঘ \(v-u\)
\(=u+v\)
উত্তরঃ (ক)
৯। \(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে শূন্যে নিক্ষিপ্ত হয়ে \(t\) সময় পরে কোনো প্রক্ষেপক \(P(x, y)\) বিন্দুতে পৌছালে-
\(i.\) আনুভূমিক দূরত্ব, \(x=u\cos{\alpha}.t\)
\(ii.\) উলম্ব দূরত্ব, \(y=u\sin{\alpha}.t-\frac{1}{2}gt^{2}\)
\(iii.\) গতির সমীকরণ \(y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{R}{x}\right)\); যেখানে \(R=\) আনুভূমিক পাল্লা
নিচের কোনটি সঠিক?
আনুভূমিক বেগ \(=u\cos{\alpha}\)
আনুভূমিক দূরত্ব, \(x=u\cos{\alpha}.t\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
উলম্ব বেগ \(=u\sin{\alpha}\)
উলম্ব দূরত্ব, \(y=u\sin{\alpha}.t-\frac{1}{2}gt^{2}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক দূরত্ব, \(x=u\cos{\alpha}.t\)
\(\Rightarrow u\cos{\alpha}.t=x\)
\(\therefore t=\frac{x}{u\cos{\alpha}}\)
আবার, উলম্ব দূরত্ব, \(y=u\sin{\alpha}.t-\frac{1}{2}gt^{2}\)
\(\Rightarrow y=u\sin{\alpha}\times\frac{x}{u\cos{\alpha}}-\frac{1}{2}g\times\frac{x^2}{u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}-\frac{gx^2\tan{\alpha}}{2u^2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}\left\{1-\frac{gx}{u^22\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\right\}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}\left\{1-\frac{gx}{u^2\sin{2\alpha}}\right\}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}\left\{1-\frac{x}{\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}}\right\}\)
\(\therefore y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)\) যেহেতু \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
\(i.\) আনুভূমিক দূরত্ব, \(x=u\cos{\alpha}.t\)
\(ii.\) উলম্ব দূরত্ব, \(y=u\sin{\alpha}.t-\frac{1}{2}gt^{2}\)
\(iii.\) গতির সমীকরণ \(y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{R}{x}\right)\); যেখানে \(R=\) আনুভূমিক পাল্লা
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(u\) আদিবেগে আনুভূমিকের সাথে \(\alpha\) কোণে শূন্যে নিক্ষিপ্ত হয়ে \(t\) সময় পরে কোনো প্রক্ষেপক \(P(x, y)\) বিন্দুতে পৌছালে,ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
আনুভূমিক বেগ \(=u\cos{\alpha}\)
আনুভূমিক দূরত্ব, \(x=u\cos{\alpha}.t\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
উলম্ব বেগ \(=u\sin{\alpha}\)
উলম্ব দূরত্ব, \(y=u\sin{\alpha}.t-\frac{1}{2}gt^{2}\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
আনুভূমিক দূরত্ব, \(x=u\cos{\alpha}.t\)
\(\Rightarrow u\cos{\alpha}.t=x\)
\(\therefore t=\frac{x}{u\cos{\alpha}}\)
আবার, উলম্ব দূরত্ব, \(y=u\sin{\alpha}.t-\frac{1}{2}gt^{2}\)
\(\Rightarrow y=u\sin{\alpha}\times\frac{x}{u\cos{\alpha}}-\frac{1}{2}g\times\frac{x^2}{u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}-\frac{gx^2}{2u^2\cos^2{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}-\frac{gx^2\tan{\alpha}}{2u^2\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}\left\{1-\frac{gx}{u^22\sin{\alpha}\cos{\alpha}}\right\}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}\left\{1-\frac{gx}{u^2\sin{2\alpha}}\right\}\)
\(\Rightarrow y=x\tan{\alpha}\left\{1-\frac{x}{\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}}\right\}\)
\(\therefore y=x\tan{\alpha}\left(1-\frac{x}{R}\right)\) যেহেতু \(R=\frac{u^2\sin{2\alpha}}{g}\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য নয়।
উত্তরঃ (ক)
নিচের তথ্যের আলোকে ১০ ও ১১ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(O\) বিন্দু হতে একটি বলকে তীর্যকভানে ছুঁড়ে দেওয়া হলো। বলটির গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দু \(C\) এবং বলটি \(T\) সময় পরে নিক্ষেপণ বিন্দুর সমতলে \(A\) বিন্দুতে ফিরে আসে।
১০। বলটির সর্বাধিক আনুভূমিক পাল্লা কত মিটার?
\(O\) বিন্দু হতে একটি বলকে তীর্যকভানে ছুঁড়ে দেওয়া হলো। বলটির গতিপথের সর্বোচ্চ বিন্দু \(C\) এবং বলটি \(T\) সময় পরে নিক্ষেপণ বিন্দুর সমতলে \(A\) বিন্দুতে ফিরে আসে।
ক \(56.4\)
গ \(45.4\)
গ \(45.4\)
খ \(48.5\)
ঘ \(40.8\)
চিত্রে দেওয়া আছে,\(u=20 m/s, \ \alpha=45^{o}\)ঘ \(40.8\)
বলটির সর্বাধিক আনুভূমিক পাল্লা \(=\frac{u^2}{g}\)
\(=\frac{(20)^2}{9.8}\)
\(=\frac{400}{9.8}\)
\(=40.8\)
উত্তরঃ (ঘ)
১১। \(C\) বিন্দুতে পৌছাতে কত সেকেন্ড সময় নাগবে?
\(C\) বিন্দুতে পৌছাতে সময় নাগবে \(=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{20\sin{45^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{20\times\frac{1}{\sqrt{2}}}{9.8}\)
\(=\frac{20}{9.8\times\sqrt{2}}\)
\(=\frac{20}{13.86}\)
\(=1.4\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(4.5\)
গ \(2.8\)
গ \(2.8\)
খ \(3.6\)
ঘ \(1.4\)
চিত্রে দেওয়া আছে,\(u=20 m/s, \ \alpha=45^{o}\)ঘ \(1.4\)
\(C\) বিন্দুতে পৌছাতে সময় নাগবে \(=\frac{u\sin{\alpha}}{g}\)
\(=\frac{20\sin{45^{o}}}{9.8}\)
\(=\frac{20\times\frac{1}{\sqrt{2}}}{9.8}\)
\(=\frac{20}{9.8\times\sqrt{2}}\)
\(=\frac{20}{13.86}\)
\(=1.4\) সেকেন্ড
উত্তরঃ (ঘ)
১২। \(-5+12i\) এর বর্গমূল কোনটি?
\(=\pm\sqrt{-5+12i}\)
\(=\pm\sqrt{4+12i-9}\)
\(=\pm\sqrt{4+12i+9i^2}\)
\(=\pm\sqrt{2^2+2.2.3i+(3i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{(2+3i)^2}\)
\(=\pm(2+3i)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\pm(-2+3i)\)
গ \(\pm(2-3i)\)
গ \(\pm(2-3i)\)
খ \(\pm(2+3i)\)
ঘ \(\pm(-2-2i)\)
\(-5+12i\) এর বর্গমূল,ঘ \(\pm(-2-2i)\)
\(=\pm\sqrt{-5+12i}\)
\(=\pm\sqrt{4+12i-9}\)
\(=\pm\sqrt{4+12i+9i^2}\)
\(=\pm\sqrt{2^2+2.2.3i+(3i)^2}\)
\(=\pm\sqrt{(2+3i)^2}\)
\(=\pm(2+3i)\)
উত্তরঃ (খ)
১৩। \(\frac{i^{-5}}{1+i^{9}}\) এর বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমষ্টি কত?
\(=\frac{\frac{1}{i^{5}}}{1+(i^{2})^4.i}\)
\(=\frac{\frac{1}{(i^{2})^2.i}}{1+(i^{2})^4.i}\)
\(=\frac{\frac{1}{(-1)^2.i}}{1+(-1)^4.i}\)
\(=\frac{\frac{1}{i}}{1+i}\)
\(=\frac{1}{i(1+i)}\)
\(=\frac{1}{i+i^2}\)
\(=\frac{1}{i-1}\)
\(=\frac{i+1}{(i-1)(i+1)}\)
\(=\frac{i+1}{i^2-1^2}\)
\(=\frac{i+1}{-1-1}\)
\(=\frac{i+1}{-2}\)
\(=\frac{1}{-2}i+\frac{1}{-2}\)
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমষ্টি \(=\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}\)
\(=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{-1-1}{2}\)
\(=\frac{-2}{2}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(-1\)
গ \(1\)
গ \(1\)
খ \(0\)
ঘ \(2\)
\(\frac{i^{-5}}{1+i^{9}}\)ঘ \(2\)
\(=\frac{\frac{1}{i^{5}}}{1+(i^{2})^4.i}\)
\(=\frac{\frac{1}{(i^{2})^2.i}}{1+(i^{2})^4.i}\)
\(=\frac{\frac{1}{(-1)^2.i}}{1+(-1)^4.i}\)
\(=\frac{\frac{1}{i}}{1+i}\)
\(=\frac{1}{i(1+i)}\)
\(=\frac{1}{i+i^2}\)
\(=\frac{1}{i-1}\)
\(=\frac{i+1}{(i-1)(i+1)}\)
\(=\frac{i+1}{i^2-1^2}\)
\(=\frac{i+1}{-1-1}\)
\(=\frac{i+1}{-2}\)
\(=\frac{1}{-2}i+\frac{1}{-2}\)
বাস্তব ও কাল্পনিক অংশের সমষ্টি \(=\frac{1}{-2}+\frac{1}{-2}\)
\(=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\)
\(=\frac{-1-1}{2}\)
\(=\frac{-2}{2}\)
\(=-1\)
উত্তরঃ (ক)
১৪। \(p=x+iy\) হলে \(|p-2|=3\) সমীকরণ নির্দেশ করে-
\(|p-2|=3\)
\(\Rightarrow |x+iy-2|=3\)
\(\Rightarrow |x-2+iy|=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=3\)
\(\therefore (x-2)^2+y^2=3^2\) যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (ক)
ক বৃত্ত
গ বিন্দুবৃত্ত
গ বিন্দুবৃত্ত
খ সরলরেখা
ঘ উপবৃত্ত
\(p=x+iy\) হলে ঘ উপবৃত্ত
\(|p-2|=3\)
\(\Rightarrow |x+iy-2|=3\)
\(\Rightarrow |x-2+iy|=3\)
\(\Rightarrow \sqrt{(x-2)^2+y^2}=3\)
\(\therefore (x-2)^2+y^2=3^2\) যা একটি বৃত্ত নির্দেশ করে।
উত্তরঃ (ক)
১৫। এককের জটিল ঘনমূল \(\alpha, \beta\) হলে-
\(i.\) \(\alpha\beta=1\)
\(ii.\) \(\alpha^2=\beta\)
\(iii.\) \(\alpha+\beta=-1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
\(\alpha=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}), \beta=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(\Rightarrow \alpha\beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\times\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{-3})(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{4}\{(-1)^2-(\sqrt{-3})^2\}\)
\(=\frac{1}{4}\{1-(-3)\}\)
\(=\frac{1}{4}\{1+3\}\)
\(=\frac{1}{4}\{4\}\)
\(=1\)
\(\therefore \alpha\beta=1\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha^2=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{-3})^2\)
\(=\frac{1}{4}\{(-1)^2+2(-1)\sqrt{-3}+(\sqrt{-3})^2\}\)
\(=\frac{1}{4}\{1-2\sqrt{-3}-3\}\)
\(=\frac{1}{4}\{-2-2\sqrt{-3}\}\)
\(=\frac{1}{4}\times2(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\beta\)
\(\therefore \alpha^2=\beta\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha+\beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})+\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{2}(-2)\)
\(=-1\)
\(\therefore \alpha+\beta=-1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
\(i.\) \(\alpha\beta=1\)
\(ii.\) \(\alpha^2=\beta\)
\(iii.\) \(\alpha+\beta=-1\)
নিচের কোনটি সঠিক?
ক \(i.\) ও \(ii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
গ \(ii.\) ও \(iii.\)
খ \(i.\) ও \(iii.\)
ঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
এককের জটিল ঘনমূল \(\alpha, \beta\) হলেঘ \(i.\), \(ii.\) ও \(iii.\)
\(\alpha=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}), \beta=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(\Rightarrow \alpha\beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})\times\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{-3})(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{4}\{(-1)^2-(\sqrt{-3})^2\}\)
\(=\frac{1}{4}\{1-(-3)\}\)
\(=\frac{1}{4}\{1+3\}\)
\(=\frac{1}{4}\{4\}\)
\(=1\)
\(\therefore \alpha\beta=1\)
\(\therefore i.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha^2=\frac{1}{4}(-1+\sqrt{-3})^2\)
\(=\frac{1}{4}\{(-1)^2+2(-1)\sqrt{-3}+(\sqrt{-3})^2\}\)
\(=\frac{1}{4}\{1-2\sqrt{-3}-3\}\)
\(=\frac{1}{4}\{-2-2\sqrt{-3}\}\)
\(=\frac{1}{4}\times2(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\beta\)
\(\therefore \alpha^2=\beta\)
\(\therefore ii.\) বাক্যটি সত্য।
\(\alpha+\beta=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3})+\frac{1}{2}(-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{2}(-1+\sqrt{-3}-1-\sqrt{-3})\)
\(=\frac{1}{2}(-2)\)
\(=-1\)
\(\therefore \alpha+\beta=-1\)
\(\therefore iii.\) বাক্যটি সত্য।
উত্তরঃ (ঘ)
১৬। \(x^{2}+4x-2=0\) সমীকরণের মূলের চেয়ে \(1\) বেশি মূলবিশিষ্ট সমীকরণ-
\(\Rightarrow x=a-1\)
এখন, \(x^{2}+4x-2=0\)
\(\Rightarrow (a-1)^{2}+4(a-1)-2=0\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1+4a-4-2=0\)
\(\Rightarrow a^2+2a-5=0\)
\(\therefore x^{2}+2x-5=0; \ a\) এর স্থলে \(x\) বসিয়ে,
উত্তরঃ (খ)
ক \(x^{2}-2x-5=0\)
গ \(x^{2}-2x+5=0\)
গ \(x^{2}-2x+5=0\)
খ \(x^{2}+2x-5=0\)
ঘ \(x^{2}+2x+5=0\)
ধরি, \(x+1=a\)ঘ \(x^{2}+2x+5=0\)
\(\Rightarrow x=a-1\)
এখন, \(x^{2}+4x-2=0\)
\(\Rightarrow (a-1)^{2}+4(a-1)-2=0\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1+4a-4-2=0\)
\(\Rightarrow a^2+2a-5=0\)
\(\therefore x^{2}+2x-5=0; \ a\) এর স্থলে \(x\) বসিয়ে,
উত্তরঃ (খ)
১৭। \(x^{3}-3x^{2}-25x+75=0\) সমীকরণের দুটি মূলের যোগফল শূন্য হলে মূলগুলো কত?
তাহলে, \(a+b-b=-\frac{-3}{1}\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore\) সমীকরণের একটি মূল \(x=3\)
\(\therefore (x-3); \ x^{3}-3x^{2}-11x+75\) এর একটি উৎপাদক হবে।
\(\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-25x+75=0\)
\(\Rightarrow x^{2}(x-3)-25(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x^{2}-25)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, \ x^{2}-25=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-5^2=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x+5)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, \ x+5=0\)
\(\Rightarrow x=5, \ x=-5\)
\(\therefore x=3, \ 5, \ -5\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(3, \ 5, \ -5\)
গ \(2, \ 5, \ -5\)
গ \(2, \ 5, \ -5\)
খ \(5, \ -3, \ 3\)
ঘ \(5, \ 2, \ -2\)
ধরি, সমীকরণের মূলগুলো \(a, \ b, \ -b\)ঘ \(5, \ 2, \ -2\)
তাহলে, \(a+b-b=-\frac{-3}{1}\)
\(\Rightarrow a=3\)
\(\therefore\) সমীকরণের একটি মূল \(x=3\)
\(\therefore (x-3); \ x^{3}-3x^{2}-11x+75\) এর একটি উৎপাদক হবে।
\(\Rightarrow x^{3}-3x^{2}-25x+75=0\)
\(\Rightarrow x^{2}(x-3)-25(x-3)=0\)
\(\Rightarrow (x-3)(x^{2}-25)=0\)
\(\Rightarrow x-3=0, \ x^{2}-25=0\)
\(\Rightarrow x^{2}-5^2=0\)
\(\Rightarrow (x-5)(x+5)=0\)
\(\Rightarrow x-5=0, \ x+5=0\)
\(\Rightarrow x=5, \ x=-5\)
\(\therefore x=3, \ 5, \ -5\)
উত্তরঃ (ক)
১৮। কোন শর্তে \(px^{2}+qx+r=0\) সমীকরণটির একটি মূল শূন্য হবে?
তাহলে, \(p.0^{2}+q.0+r=0\)
\(\Rightarrow 0+0+r=0\)
\(\therefore r=0\)
উত্তরঃ (গ)
ক \(p=0\)
গ \(r=0\)
গ \(r=0\)
খ \(q=0\)
ঘ \(p=q\)
\(px^{2}+qx+r=0\) সমীকরণটির একটি মূল শূন্য হলে, \(x=0\)ঘ \(p=q\)
তাহলে, \(p.0^{2}+q.0+r=0\)
\(\Rightarrow 0+0+r=0\)
\(\therefore r=0\)
উত্তরঃ (গ)
নিচের তথ্যের আলোকে ১৯ ও ২০ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^{2}+ax+(a+2)=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(\frac{1}{\alpha}, \ \frac{1}{\beta}\)
১৯। \(\alpha+\beta\) এর মান কত?\(x^{2}+ax+(a+2)=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(\frac{1}{\alpha}, \ \frac{1}{\beta}\)
ক \(-\frac{1}{a+2}\)
গ \(\frac{1}{a+2}\)
গ \(\frac{1}{a+2}\)
খ \(-\frac{a}{a+2}\)
ঘ \(\frac{a}{a+2}\)
\(x^{2}+ax+(a+2)=0\) একটি দ্বিঘাত সমীকরণ যার মূলদ্বয় \(\frac{1}{\alpha}, \ \frac{1}{\beta}\) ঘ \(\frac{a}{a+2}\)
\(\Rightarrow \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta}=-\frac{a}{1}, \ \frac{1}{\alpha}\times\frac{1}{\beta}=\frac{a+2}{1}\)
\(\Rightarrow \frac{\alpha+\beta}{\alpha\beta}=-a, \ \frac{1}{\alpha\beta}=a+2\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-a\alpha\beta, \ \alpha\beta=\frac{1}{a+2}\)
\(\Rightarrow \alpha+\beta=-a\times\frac{1}{a+2}\)
\(\therefore \alpha+\beta=-\frac{a}{a+2}\)
উত্তরঃ (খ)
২০। \(a=1\) হলে সমীকরণটির মূলগুলোর প্রকৃতি কীরূপ?
\(\Rightarrow x^{2}+x+3=0\) এখানে, \(a=1, \ b=1, \ c=3\)
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=1^2-4.1.3\)
\(=1-12\)
\(=-11\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore\) সমীকরণটির মূলগুলোর হবে জটিল সংখ্যা।
উত্তরঃ (ঘ)
ক বাস্তব ও সমান
গ বাস্তব ও অসমান
গ বাস্তব ও অসমান
খ মূলদ
ঘ জটিল সংখ্যা
\(a=1\) হলে সমীকরণটি, \(x^{2}+1.x+(1+2)=0\)ঘ জটিল সংখ্যা
\(\Rightarrow x^{2}+x+3=0\) এখানে, \(a=1, \ b=1, \ c=3\)
নিশ্চায়ক \(D=b^2-4ac\)
\(=1^2-4.1.3\)
\(=1-12\)
\(=-11\lt{0}\)
\(\therefore D\lt{0}\)
\(\therefore\) সমীকরণটির মূলগুলোর হবে জটিল সংখ্যা।
উত্তরঃ (ঘ)
২১। কোনো কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) হলে, সেটি একটি-
সেটি একটি উপবৃত্ত।
উত্তরঃ (খ)
ক পরাবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
গ অধিবৃত্ত
খ উপবৃত্ত
ঘ সম অধিবৃত্ত
কোনো কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(\frac{\sqrt{3}}{2}\lt{1}\) হলে,ঘ সম অধিবৃত্ত
সেটি একটি উপবৃত্ত।
উত্তরঃ (খ)
নিচের তর্থ্যের আলোকে ২২ ও ২৩ নং প্রশ্নের উত্তর দাওঃ
\(x^{2}+5y=0\) একটি কণিক।
২২। কণিকটির নিয়ামকের সমীকরণ কোনটি?\(x^{2}+5y=0\) একটি কণিক।
ক \(5x+4=0\)
গ \(4y+5=0\)
গ \(4y+5=0\)
খ \(5x-4=0\)
ঘ \(4y-5=0\)
\(x^{2}+5y=0\)ঘ \(4y-5=0\)
\(\Rightarrow x^{2}=-5y\)
এখানে, \(4a=-5\)
\(\Rightarrow a=-\frac{5}{4}\)
নিয়ামকের সমীকরণ \(y=-a\)
\(\Rightarrow y=\frac{5}{4}\)
\(\Rightarrow 4y=5\)
\(\therefore 4y-5=0\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৩। কণিকটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক কত?
\(\Rightarrow x^{2}=-5y\)
এখানে, \(4a=-5\)
\(\Rightarrow a=-\frac{5}{4}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(0, a\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{5}{4}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
ক \(\left(0, \frac{5}{4}\right)\)
গ \(\left(0, \frac{4}{5}\right)\)
গ \(\left(0, \frac{4}{5}\right)\)
খ \(\left(0, -\frac{5}{4}\right)\)
ঘ \(\left(0, -\frac{4}{5}\right)\)
\(x^{2}+5y=0\)ঘ \(\left(0, -\frac{4}{5}\right)\)
\(\Rightarrow x^{2}=-5y\)
এখানে, \(4a=-5\)
\(\Rightarrow a=-\frac{5}{4}\)
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \(\left(0, a\right)\)
\(\Rightarrow \left(0, -\frac{5}{4}\right)\)
উত্তরঃ (খ)
২৪। \(\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ-
\(\Rightarrow \frac{5^{2}\sec^2{\theta}}{25}-\frac{4^{2}\tan^2{\theta}}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25\sec^2{\theta}}{25}-\frac{16\tan^2{\theta}}{16}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 1=1\)
\(\therefore x=4\tan{\theta}, y=5\sec{\theta}\) অধিবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ \(x=4\tan{\theta}, y=5\sec{\theta}\)
উত্তরঃ (ঘ)
ক \(x=5\tan{\theta}, y=4\sec{\theta}\)
গ \(x=5\sin{\theta}, y=4\cos{\theta}\)
গ \(x=5\sin{\theta}, y=4\cos{\theta}\)
খ \(x=5\sec{\theta}, y=4\tan{\theta}\)
ঘ \(x=4\tan{\theta}, y=5\sec{\theta}\)
\(\frac{y^{2}}{25}-\frac{x^{2}}{16}=1\)ঘ \(x=4\tan{\theta}, y=5\sec{\theta}\)
\(\Rightarrow \frac{5^{2}\sec^2{\theta}}{25}-\frac{4^{2}\tan^2{\theta}}{16}=1\)
\(\Rightarrow \frac{25\sec^2{\theta}}{25}-\frac{16\tan^2{\theta}}{16}=1\)
\(\Rightarrow \sec^2{\theta}-\tan^2{\theta}=1\)
\(\Rightarrow 1=1\)
\(\therefore x=4\tan{\theta}, y=5\sec{\theta}\) অধিবৃত্তকে সিদ্ধ করে।
\(\therefore\) অধিবৃত্তের পরামিতিক সমীকরণ \(x=4\tan{\theta}, y=5\sec{\theta}\)
উত্তরঃ (ঘ)
২৫। \(x^{2}+4y^{2}=100\) কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা কত?
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{100}+\frac{4y^{2}}{100}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{10^2}+\frac{y^{2}}{5^2}=1\)
এখানে, \(a=10, \ b=5; \ a\gt{b}\)
কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
ক \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
গ \(\frac{\sqrt{5}}{2}\)
খ \(\frac{\sqrt{2}}{3}\)
ঘ \(\frac{\sqrt{2}}{5}\)
\(x^{2}+4y^{2}=100\)ঘ \(\frac{\sqrt{2}}{5}\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{100}+\frac{4y^{2}}{100}=1\)
\(\Rightarrow \frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1\)
\(\therefore \frac{x^{2}}{10^2}+\frac{y^{2}}{5^2}=1\)
এখানে, \(a=10, \ b=5; \ a\gt{b}\)
কণিকের উৎকেন্দ্রিকতা \(e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{25}{100}}\)
\(=\sqrt{1-\frac{1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{4-1}{4}}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{3}}{2}\)
উত্তরঃ (ক)
- About
- Author
-
Contact
Call me at +880-1715-651163Email: Golzarrahman1966@gmail.com
Visitors online: 000003